高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名： 授课教师： 授课时间：
1．函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率为.
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
Δy
若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ，则平均变化率可表示为.
Δx 2．函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数 (1)定义
→0 称函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率li Δx m
∆x →0
Δy
＝ Δx
∆x →0∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) '
lim 为函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0) 或y ′|x ＝x 0，即f (x 0) =lim
∆x ∆x
(2)几何意义
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y ＝f (x ) 上点(x 0，f (x 0)) 处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0) ． 3．函数f (x ) 的导函数 称函数f (x 0) ＝lim
'
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
为f (x ) 的导函数，导函数有时也记作y ′.
∆x
4．基本初等函数的导数公式 若f (x ) ＝c ，则f ′(x ) ＝0； 若f (x ) ＝x (α∈R) ，则f ′(x ) ＝αx
α
α－1
；
若f (x ) ＝sin x ，则f ′(x ) ＝cos x ； 若f (x ) ＝cos x ，则f ′(x ) ＝－sin x ；
若f (x ) ＝a (a >0，且a ≠1) ，则f ′(x ) ＝a ln_a ； 若f (x ) ＝e ，则f ′(x ) ＝e ；
若f (x ) ＝log a x (a >0，且a ≠1) ，则f ′(x ) ＝
第 1 页 共 6 页
x
x
x
x
1
x ln a
1
若f (x ) ＝ln x ，则f ′(x ) ＝x
5．导数四则运算法则
(1)[f (x ) ±g (x )]′＝f ′(x ) ±g ′(x ) ；
(2)[f (x ) ·g (x )]′＝f ′(x ) g (x ) ＋f (x ) g ′(x ) ；
⎛f (x ) ⎫f ' (x ) g (x ) -f (x ) g ' (x ) (3) 2 g (x ) ⎪⎪=g (x ) ⎝⎭
6．复合函数的求导法则
复合函数y ＝f (g (x )) 的导数和函数y ＝f (u ) ，u ＝g (x ) 的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 7. 一个区别
曲线y ＝f (x ) “在”点P (x 0，y 0) 处的切线与“过”点P (x 0，y 0) 的切线的区别：
曲线y ＝f (x ) 在点P (x 0，y 0) 处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0) ，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x ) 过点P (x 0，y 0) 的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则
(1)导数的四则运算法则． 第二部分 例题解析 考向一 导数的定义
【例1】利用导数的定义求函数f (x ) ＝x 在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x ) ＝x 在x ＝x 0处切线与曲线f (x ) ＝x 的交点．
考向二 导数的运算
【例2】求下列各函数的导数：
第 2 页 共 6 页
3
3
3
'
x ＋x 5＋sin x 11
(1)y ＝；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ；(3)y ＝＋；
2
x 1－x 1＋x
(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．
(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数：
考向三 求复合函数的导数 【例3】求下列复合函数的导数．
(1)y ＝(2x －3) ；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2x ＋
由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析
函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基
第 3 页 共 6 页
5
2
⎛
⎝
π； (4)y ＝ln(2
x ＋5) ． 3⎭
本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数： (1)y ＝x ＋1； (2)y ＝sin 2x ； (3)y ＝e sin 2x; (4)y ＝ln 1＋x .
求曲线上某一点的切线方程
【问题研究】利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题. 这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,
【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点. 看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【例4】已知函数f (x ) ＝ln x －ax ＋切线方程；
1
当0＜a ＜时，函数f (x ) 在(0,1)上单调递减，
2
第三部分 巩固练习
1．设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x ) 在x ＝5处的切线的斜率为( )
第 4 页 共 6 页
－x
2
2
1－a
x
1(a ∈R) ．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的
11
A ．－ B．0 C. D．5
55
2．函数f (x ) 是定义在(0，＋∞) 上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x ) ＋f (x )b ，则必有
( ) ．
A ．af (b )
B ．bf (a )
D ．bf (b )
132
3．已知函数f (x ) ＝x ＋2ax ＋x (a >0)，则f (2)的最小值为( ) ．
a
3
A ．122
12
B ．12＋8a ＋ C．8＋8a ＋
a a
D ．16
4．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) ． A ．－e B．－1 C．1 D．e
5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x ) ＝x (x －a 1)(x －a 2) „(x －a 8) ，则f ′(0)＝( ) ． A ．2 B．2 C．2 D．2
6．已知函数f ′(x ) ，g ′(x ) 分别是二次函数f (x ) 和三次函数g (x ) 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h (x ) ＝f (x ) －g (x ) ，则 ( ) ． A ．h (1)
7．曲线y ＝x (3ln x ＋1) 在点(1,1)处的切线方程为________．
8．若过原点作曲线y ＝e 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
9．已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) ＝2f (2－x ) －x ＋8x －8，则曲线y ＝f (x ) 在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.
10．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元) 与时间t (单位：月) 的函数关系为：y ＝2＋≤t ≤12) ，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．
20－t 11．求下列函数的导数：
e ＋1
(1)y ＝(2x ＋1) ，(n ∈N ) ； (2)y ＝ln (x ＋1＋x ) ； (3)y ＝x ； (4)y ＝2x sin(2x ＋5) ．
e －1
n
*
2
2
6
9
12
15
x
t 2
x
12．设函数f (x ) ＝x ＋2ax ＋bx ＋a ，g (x ) ＝x －3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线l . 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
第 5 页 共 6 页
3
2
2
13．设函数f (x ) ＝ax －曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. 求f (x ) 的解析式；
3
14．设f (x ) ＝ln(x ＋1) x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数) ，曲线y ＝f (x ) 与直线y ＝x 在(0,0)
2点相切．求a ，b 的值；
b x
第 6 页 共 6 页
高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）
学生姓名： 授课教师： 授课时间：
1．函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率为.
f (x 2) -f (x 1)
x 2-x 1
Δy
若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ，则平均变化率可表示为.
Δx 2．函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数 (1)定义
→0 称函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率li Δx m
∆x →0
Δy
＝ Δx
∆x →0∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) '
lim 为函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0) 或y ′|x ＝x 0，即f (x 0) =lim
∆x ∆x
(2)几何意义
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y ＝f (x ) 上点(x 0，f (x 0)) 处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0) ． 3．函数f (x ) 的导函数 称函数f (x 0) ＝lim
'
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
为f (x ) 的导函数，导函数有时也记作y ′.
∆x
4．基本初等函数的导数公式 若f (x ) ＝c ，则f ′(x ) ＝0； 若f (x ) ＝x (α∈R) ，则f ′(x ) ＝αx
α
α－1
；
若f (x ) ＝sin x ，则f ′(x ) ＝cos x ； 若f (x ) ＝cos x ，则f ′(x ) ＝－sin x ；
若f (x ) ＝a (a >0，且a ≠1) ，则f ′(x ) ＝a ln_a ； 若f (x ) ＝e ，则f ′(x ) ＝e ；
若f (x ) ＝log a x (a >0，且a ≠1) ，则f ′(x ) ＝
第 1 页 共 6 页
x
x
x
x
1
x ln a
1
若f (x ) ＝ln x ，则f ′(x ) ＝x
5．导数四则运算法则
(1)[f (x ) ±g (x )]′＝f ′(x ) ±g ′(x ) ；
(2)[f (x ) ·g (x )]′＝f ′(x ) g (x ) ＋f (x ) g ′(x ) ；
⎛f (x ) ⎫f ' (x ) g (x ) -f (x ) g ' (x ) (3) 2 g (x ) ⎪⎪=g (x ) ⎝⎭
6．复合函数的求导法则
复合函数y ＝f (g (x )) 的导数和函数y ＝f (u ) ，u ＝g (x ) 的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 7. 一个区别
曲线y ＝f (x ) “在”点P (x 0，y 0) 处的切线与“过”点P (x 0，y 0) 的切线的区别：
曲线y ＝f (x ) 在点P (x 0，y 0) 处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0) ，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x ) 过点P (x 0，y 0) 的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则
(1)导数的四则运算法则． 第二部分 例题解析 考向一 导数的定义
【例1】利用导数的定义求函数f (x ) ＝x 在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x ) ＝x 在x ＝x 0处切线与曲线f (x ) ＝x 的交点．
考向二 导数的运算
【例2】求下列各函数的导数：
第 2 页 共 6 页
3
3
3
'
x ＋x 5＋sin x 11
(1)y ＝；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ；(3)y ＝＋；
2
x 1－x 1＋x
(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确求导的基础．
(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数：
考向三 求复合函数的导数 【例3】求下列复合函数的导数．
(1)y ＝(2x －3) ；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2x ＋
由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析
函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基
第 3 页 共 6 页
5
2
⎛
⎝
π； (4)y ＝ln(2
x ＋5) ． 3⎭
本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数： (1)y ＝x ＋1； (2)y ＝sin 2x ； (3)y ＝e sin 2x; (4)y ＝ln 1＋x .
求曲线上某一点的切线方程
【问题研究】利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题. 这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误.,
【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点. 看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【例4】已知函数f (x ) ＝ln x －ax ＋切线方程；
1
当0＜a ＜时，函数f (x ) 在(0,1)上单调递减，
2
第三部分 巩固练习
1．设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x ) 在x ＝5处的切线的斜率为( )
第 4 页 共 6 页
－x
2
2
1－a
x
1(a ∈R) ．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的
11
A ．－ B．0 C. D．5
55
2．函数f (x ) 是定义在(0，＋∞) 上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x ) ＋f (x )b ，则必有
( ) ．
A ．af (b )
B ．bf (a )
D ．bf (b )
132
3．已知函数f (x ) ＝x ＋2ax ＋x (a >0)，则f (2)的最小值为( ) ．
a
3
A ．122
12
B ．12＋8a ＋ C．8＋8a ＋
a a
D ．16
4．已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) ． A ．－e B．－1 C．1 D．e
5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x ) ＝x (x －a 1)(x －a 2) „(x －a 8) ，则f ′(0)＝( ) ． A ．2 B．2 C．2 D．2
6．已知函数f ′(x ) ，g ′(x ) 分别是二次函数f (x ) 和三次函数g (x ) 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h (x ) ＝f (x ) －g (x ) ，则 ( ) ． A ．h (1)
7．曲线y ＝x (3ln x ＋1) 在点(1,1)处的切线方程为________．
8．若过原点作曲线y ＝e 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
9．已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) ＝2f (2－x ) －x ＋8x －8，则曲线y ＝f (x ) 在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.
10．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元) 与时间t (单位：月) 的函数关系为：y ＝2＋≤t ≤12) ，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．
20－t 11．求下列函数的导数：
e ＋1
(1)y ＝(2x ＋1) ，(n ∈N ) ； (2)y ＝ln (x ＋1＋x ) ； (3)y ＝x ； (4)y ＝2x sin(2x ＋5) ．
e －1
n
*
2
2
6
9
12
15
x
t 2
x
12．设函数f (x ) ＝x ＋2ax ＋bx ＋a ，g (x ) ＝x －3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 在点(2,0)处有相同的切线l . 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
第 5 页 共 6 页
3
2
2
13．设函数f (x ) ＝ax －曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. 求f (x ) 的解析式；
3
14．设f (x ) ＝ln(x ＋1) x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数) ，曲线y ＝f (x ) 与直线y ＝x 在(0,0)
2点相切．求a ，b 的值；
b x
第 6 页 共 6 页