第四章 一次函数
１. 函 数
一、学生起点分析
在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。
二、教学任务分析
《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。
本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。一次本节课教学目标定位为：
1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；
2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；
3．了解函数的三种表示方法。
4．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；
5. 在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神 对学生来讲本节课的难点在于对函数概念的理解；
教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境、导入新课；第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材；第三环节：概念的抽象；第四环节：概念辨析与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业
第一环节：创设情境、导入新课
内容：展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k 线图等，提请学生思考问题。
意图：承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。
第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材
内容：问题1. 你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？
你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？
当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，
那么变化有规律吗？
摩天轮上一点的高度h 与旋转时间t 之间有一
定的关系，右图就反映了时间t(
分）与摩天轮上一
点的高度h （米) 之间的关系. 你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t 分别取3，6，10时，相应的h 是多少？给定一个t 值，你都能找到相应的h 值吗？
问题2. 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
问题3。一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度. 热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃) 之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
（1）当t 分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T 是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t 值，你能求出相应的T 值吗？
意图：通过上面三个问题的展示，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量的变量间的关系，并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的（图象、列表和解析式等）.
第三环节：概念的抽象
内容：1．引导学生思考以上三个问题的共同点，进而揭示出函数的概念：
在上面的问题中，都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应的就确定了另一个变量（因变量）的值.
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.
2．点明函数概念中的两个关键词：两个变量, 一个x 值确定一个y 值，它们是判断函数关系的关键。
3．再通过对上面3个情境的比较，引导学生思考三个情境呈现形式的不同（依次以图像、代数表达式、表格的形式反映两个变量之间的关系），得出函数常用的三种表示方法：
（1） 图象法 ； （2）列表法 ； （3）解析法。
意图：通过比较异同点，揭示函数的本质概念和不同的表示方法。
第四环节：概念辨析与巩固
内容：1．介绍常量与变量的概念
常量：在某一变化过程中, 始终保持不变的量；
变量：在某一变化过程中, 可以取不同数值的量．
指出下列关系式中的变量与常量：
22（1）球的表面积S （cm ）与球半径R （cm) 的关系式是Ｓ＝４ R
（2）以固定的速度V 0（米／秒）向上抛一个球，小球的高度ｈ（米）与小球运动的时间ｔ（秒）
2 之间的关系式是ｈ＝V 0t-4.9t .
2．概念应用举例
1. 小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s 与时间t 之间的变化关系吗？S 是t 的函数吗？路程s 随时间t 的变化的图像是什么？
略解：S=15t,是函数，图像略.
2. 如果A 、B 路程为200千米，一辆汽车从A 地到B 地行驶的速度v 与行驶时间t 是怎样的变化关系？V 是t 的函数吗？速度v 随时间t 的变化的图像是什么？
200v =略解：，是函数，图像略. t
3. 若正方形的边长为x, 则面积y 与边长x 之间的关系是什么？y 是x 的函数吗？面积y 随边长x 的变化的图像是什么？
2略解：s=x, 是函数，图像通过课件展示给同学们
意图：通过常量与变量的区别阐述，进一步理解函数的关键；通过三个例题，对函数概念进行更深入的探讨，再次揭示函数概念的本质特征.
第五环节：课时小结
内容：请同学们针对本节的内容进行自我小结，学生之间相互补充后；最后教师总结。
意图：引导学生自己总结本节课的知识要点和数学学习方法，使学生从感性上升到理性，形成系统的知识。
第六环节：布置作业 习题4.1
２．一次函数
一、学生起点分析
在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数. 由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成x +y =1, x -y =-1等，培养学生良好的书写习惯.
二、教学任务分析
《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节. 本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.
本节课教学目标分析是：
(1)理解一次函数和正比例函数的概念；
(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.
(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
本节课教学重点是：
理解一次函数和正比例函数的概念.
本节课教学难点是：
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式, 发展学生的抽象思维能力.
三、教学过程设计
本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业. 第一环节：复习引入
内容：复习上节课学习的函数, 教师提出问题:
a) 什么是函数?
b) 函数有哪些表示方式?
c) 在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题, 大家能不能举一些例子呢?
意图：为了激发学生的求知欲望, 吸引同学们的注意力, 这里采用了“复习旧知识, 诱导新内容”的引入方法. 问题(1)(2)复习上节课的内容, 问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活, 提高学生的运用意识.
第二环节：新课讲述
内容：
例1 某弹簧的自然长度为3cm, 在弹簧限度内, 所挂物体的质量x 每增加1kg, 弹簧长度y 增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg 、2kg 、3kg 、4kg 、5kg 时的弹簧长度, 并填入下表:
(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?
答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) y =3+0.5x .
例2 某辆汽车油箱有汽油100L, 汽车每行驶50km 耗油9L.
(1)完成下表:
(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x 可以无限增大吗? 有没有一个取值范围? 剩余油量y 呢?
答案 (1) 100、91、82、73、64、46；
(2) x与y 之间的关系式为 y =100-0.18x ；
(3) 汽车行驶路程x 不可能无限增大, 因为汽油只有100L, 每行驶50km 耗油9L, 行驶
560km 后, 油箱就没有油了, 所以x 不会超过560km.y 代表油箱剩余油量, 所以y 应该小于100但不能小于零.
通过观察、探索、总结, 归纳出一次函数与正比例函数的概念:
一般地, 若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y =kx +b (k , b 为常数, k ≠0) 的形式, 则称y 是x 的一次函数(x 是自变量, y 为因变量). 特别地, 当b =0时, 则y 是x 的正比例函数.
意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量) 出发, 通过对一般规律的探索过程, 从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
第三环节：巩固练习
内容:
1. 在函数(1)y =
(5)y =3,(2)y =x -5,(3)y =-4x ,(4)y =2x 2-3x ,
x 1中是一次函数的是 , 是正比例函数的 (6)y =x -2
是 .
2. 若函数y =(6+3m ) x +4n -4是一次函数, 则m , n 应满足的条件是 ；若是正比例函数, 则m , n 应满足的条件是 .
3. 当k = 时, 函数y =(k +3) x k
意图：对本节知识进行巩固练习.
第四环节：知识提高
内容：例3 写出下列各题中x 与y 之间的关系式, 并判断:y 是否为x 的一次函数? 是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶, 行驶路程y (千米) 与行驶时间x (时) 之间的关系；
(2)圆的面积y (厘米) 与它的半径x (厘米) 之间的关系； 22-8-5是关于x 的一次函数.
(3)一棵树现在高50厘米, 每个月长高2厘米, x 个月后这棵树的高度为y (厘米), 则y 与x 的关系.
答案: (1)由路程=速度×时间, 得y =60x , y 是x 的一次函数, 也是x 的正比例函数；
(2)由圆的面积公式, 得y =p x , y 不是x 的一次函数, 也不是x 的正比例函数；
(3)这棵树每月长高2厘米, x 个月长高了2x 厘米, 因而y =50+20x , y 是x 的一
2
次函数, 但不是x 的正比例函数.
例4 某地区电话的月租费为25元, 在此基础上, 可免费打50次市话(每次3分钟), 超过50次后, 每次0.2元.
(1)写出每月电话费y (元) 与通话次数x (x ＞50) 的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元, 求该月通话的次数.
分析:解决此类问题首先要理解题意, 然后找出相等关系. 此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.
答案: (1)根据题意得: y =25+(x -50) ×0.2, 即y =0.2x +15；
(2)当x =150时, y =0.2×150+15=45；
(3)因为53. 6＞25, 可知通话次数大于50次, 即当y =53. 6时, 求x 的值. 53.6=0.2x +15, 解得x =193.
意图：通过丰富的现实背景的例题, 进一步理解一次函数和正比例函数的概念, 根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式, 让学生体会数学的广泛应用, 发展学生的抽象思维能力.
充分加强数学与现实的联系, 促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
第五环节：反馈练习
内容:
1. 下列语句中, 具有正比例函数关系的是( )
(A) 长方形花坛的面积不变, 长y 与宽x 之间的关系；
(B) 正方形的周长不变, 边长x 与面积S 之间的关系；
(C) 三角形的一条边不变, 这条边上的高h 与面积S 之间的关系；
(D) 圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税；月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税„„如果某人月收入1960元. 他应缴纳个人工资、薪金所得税为（1960-1600）×5%=18（元）.
（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴纳所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式.
（2）某人月收入为1760元，他应该缴纳所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？
意图：对本节知识进行巩固练习.
第六环节: 课堂小结
内容: 这节课我们学习了一类很有用的函数—— 一次函数，只要解析式可以表示成
的形式的函数则称为一次函数. 正比例函数是一次函数当b =0y =kx +b （k , b 为常数，k ≠0）
时的特殊情形. （方式：师生互相交流总结. ）
目的：鼓励学生结合本节课的学习内容, 谈谈自己的收获和感想, 进一步巩固本节课的知识. 第七环节：布置作业
1．根据下表写出x , y 之间的一个关系式.
2. 某电信公司手机的A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元.
（1）写出每月应缴费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系式；
（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
3．某电信公司手机的B 类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元. 按照此类收费标准，分别完成第2题中的各小题.
4．根据上面第2，3题中的条件，完成下列各题：
（1）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？
（2）每月通话多长时间时，按A ，B 两类收费标准缴费，所交话费相等？
3. 一次函数的图象（第1课时）
一、学生起点分析
八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系．
二、教学任务分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识．
为此本节课的教学目标是:
1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象．
2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．
4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．
教学重点是:
初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
教学难点是:
理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．
三、教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境 引入课题；第二环节：画一次函数的图象；第三环节：动手操作，深化探索；第四环节：巩固练习，深化理解；第五环节：课时小结；第六环节：拓展探究；第七环节：作业布置．
第一环节：创设情境 引入课题
内容： 一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S （米）与小明出发的时间t （分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t ≥0）
下面的图象能表示上面问题中的S 与t 的关系吗？
我们说，上面的图象是函数S=80t（t ≥0）的图象, 这 就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。
目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．
第二环节：画正比例函数的图象
内容：首先我们来学习什么是函数的图象？
把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph ）．
例1 请作出正比例函数y=2x的图象．
解：列表:
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内
描出相应的点．
连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．
由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：
列表，描点，连线．
目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．
第三环节：动手操作，深化探索
内容：做一做
（1）作出正比例函数y=-3x 的图象．
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=3x ．
请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．
（1）满足关系式y=-3x 的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在正比例函数y=-3x 的图象上吗？
（2）正比例函数y=-3x 的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y=-3x 吗？
（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
明晰：由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点（x ，y ）都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx．
议一议：既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？
因为“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因
-
为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线, 所以只需再确定一个点就可以了, 通常过(0,0),(1,k)作直线.
例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-
解：列表
1x,y=-4x的图象． 2过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象．
过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象．
过点（0，0）和（1，-11）作直线，则这条直线就是y=-x 的图象． 22
过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象．
目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在
让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求
学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,
以及k 的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.
议一议：上述四个函数中, 随着x 的增大,y 的值分别如何
变化?
在正比例函数y=kx中,
当k ＞0时, 图象在第一、三象限，y 的值随着x 值的增大而
增大(即从左向右观察图象时, 直线是向上倾斜的); 当k ＜0时,
图象在第二、四象限， y的值随着x 值的增大而减小 (即从左
向右观察图象时, 直线是向下倾斜的).
请你进一步思考:
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x 值的增大y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你
能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=-
你是如何判断的？ 我们发现：k 越大，直线越靠近y 轴。
第四环节：巩固练习，深化理解
内容：
练习1：在同一直角坐标系中分别作出y=1x 和y=-4x中，随着x 值的增大y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？211x 与y=-x 的图象． 23
练习2：当x >0时，y 与x 的函数解析式为y =2x ，当x ≤0时，y 与x 的函数解析式为y =-2x ，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )
(A) (B) (C ) ( D)
练习3：对于函数y =-3x 的两个确定的值x 1、x 2来说，当x 1
对应的函数值y 1与y 2 的关系是( )
A. y 1y 2 D. 无法确定
目的：这里的三个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。
第五环节：课时小结
内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容：
（1）函数与图象之间是一一对应的关系；
（2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线．
（3）作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出．
x x x x
目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识．
第六环节：拓展探究
内容：如图所示，你认为下列结论中正确的是
（ ）
A. k 1
C. k 3
目的：对学有余力的学生，能进一步提高，让
他们的学习活动深入下去，同时为以后学习正比例
函数图象的应用奠定基础．
第七环节：作业布置
习题4.3 1、2、3、4题，5题选做。
３. 一次函数的图象（第2课时）
一、 学生起点分析
八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系，积累了研究变量之间关系以及图象的一些方法和初步经验. 在此基础上，学生能在“引导——探究——发现”式的课堂教学中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法. 但由于初中学生的年龄特点，他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变化规律及其性质.
二、 教学任务分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成. 第1课时让学生了解了作正比例函数图象的方法，并通过作图的操作过程，明确正比例函数的图象性质. 本节课为第2课时，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质. 与原传统教材相比，新教材更注重借助感性材料，让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数值的
增减性和增减速度、具体直线之间的平行、相交等位置关系，实际上，这一过程，也是培养学生
数形结合的意识和能力的好机会，并为今后继续学习一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础.
为此，本节课的教学目标是：
1. 了解一次函数两个变量之间的变化规律. 在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质；
2. 经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略；
3. 在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想；
4. 通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
三、 教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节： 图片展示；第二环节：复习引入；第三环节：活动探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置. 第一环节：创设情境
内容：展示一些与实际生活息息相关的图片. 说明在我们生活中，有许许多多这样的图案，这些图象当中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地作出决策或预测.
目的：通过富有现实意义的图片展示，引入生活中熟悉的图片，使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策，激发学生的求知欲望，感受图象的实用价值.
说明：通过欣赏这些生活中的图象，学生感受到图象中所蕴含的规律，激发了学生的好奇心和求知欲.
第二环节：复习引入
内容：在前面，我们已经学会了绘制正比例函数图象，明确了正比例函数图像的有关性质，那么一次函数图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数图象的性质. 首先，我们来复习一下上节课所学习的知识
.
复习提问：（1）作函数图象有几个主要步骤？
（2）上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征？
目的：学生回顾上节课学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫. 在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线. 本节课主要内容是对一次函数y =kx +b 中常数k 、b 对图象的影响进行探究.
本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习.
说明：学生通过知识回顾，再次明确正比例函数图象的一些特征，为学习本节课在知识上作好准备.
第三环节： 活动探究
1、合作探究，发现规律
内容：观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象.
（1）y =2x +6, y =5x , y =x -2；
1(2) y =-x +6, y =-2x , y =-x -3. 2
得出结论：一次函数图像是一条直线. 因此作一次函数图像时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了. 一次函数y =kx +b 的图像也称为直线y =kx +b .
议一议：
（1）观察图象，它们分别分布在哪些象限.
（2）观察每组三个函数的图象，随着x 值的变化，y 的值在怎样变化？
（3）从以上观察中，你发现了什么规律？
归纳出一次函数图象的特点：
在一次函数y =kx +b 中
当k >0时，y 随x 的增大而增大，当b >0时，直线必过一、二、三象限；
当b
当k 0时，直线必过一、二、四象限；
当b
目的：归纳出一次函数图象中系数k ，b 对函数图象的影响。
说明：本节课主要是结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质，教学内容较多，为更好地突出教学重点，提高课堂教学效率，建议在上一节课的家庭作业中，要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上.
本节课首先请学生展示作出的函数图象, 师生、生生互评，再让学生结合自己绘制的函数图象来探究一次函数的性质. 通过问题串的精心设计，引导学生对k ，b 两个常数进行分类讨论，探索出k 、b 值的变化对图象的影响和变化规律. 在此过程中渗透分类讨论的思想方法, 培养学生数形结合的意识.
学生拿出课前已经做好的函数图象. 通过师生互动、生生互动进行批改, 互评. 让学生再次巩固了已学知识，调动了学生学习的自主意识. 在此基础上学生进行观察并分小组对一次函数y =kx +b 中k ，b 的几何意义作了初步的探索. 本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的识图能力、探究能力和合作能力. 初步感受到了一次函数的图象及函数的性质由常数k 、b 决定.
2观察思考，深入探究
内容1：右图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路程s
（米）和所用时间t （秒）的函数图象. 观察图象, 你能看出谁
跑得更快吗?
目的：学生通过对熟悉的实际问题的讨论，体会不同函数
图象的倾斜程度不同，函数值的增减速度也不同，为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫.
说明：通过具体的实例，学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出谁跑得更快，那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢？再次激发学生的求知欲望，为课堂注入新的活力.
内容2： )
1x ，y =2x 和y =5x 的图象，观察图象，x 从0开始逐渐增大，2
1哪个函数的值先到达6？ 直线y =x ，y =2x 和y =5x 哪个与x 轴正方向所成的锐角最大？ 2（1）作出一次函数y =
从中你能发现与x 轴正方向所成的锐角的大小是由什么决定的？
（2）直线y =-x -2与y =-x +6的位置关系如何？
（3）直线y =2x +6与y =-x -2的位置关系如何？
引导学生结合函数图象，回答以上的问题.
结合上面几个例子，你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决定？请和同桌交流，看看对你有没有启发.
从而希望学生总结出一次函数图象的特点：
当k >0时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大.
同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1=k 1x +b 1与l 2：y 2=k 2x +b 2
当k 1=k 2时，l 1 l 2；
当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交.
目的：问题（1）在教材中是放在一次函数图象的第一节课，根据教学安排，我们把这个内容调整到了本节课. 经过自主探究、合作交流，力图让学生对两直线的位置关系及k ，b 的几何意义作进一步的探讨，感受在具体图象中平行、相交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与k 值之间的联系.
说明：学生通过讨论，得出所观察到的图象的规律，在教师的引导下，逐步加深对一次函数图象及性质的认识.
内容3：比一比，看谁画得快
一次函数y =x 的图象如图所示，你能画出函数y =x +4. . . 和y =x -5的图象吗？
目的：学生作图（学生可能按常规过两点作直线，也可能利用两直线的位置关系，过直线外一点作已知直线的平行线）. 利用所学的知识反过来解决了作图问题，再次强调了数形结合的思想.
说明：通过探究，学生已经了解了一次函数图象的特点. 根据一次函数图象的特点，学生能较容易的完成此题.
3归纳总结，认识规律
内容：归纳总结一次函数图象的特点：
1. 在一次函数y =kx +b 中
当k >0时，y 随x 的增大而增大，当b >0时，直线必过一、二、三象限；
当b
当k 0时，直线必过一、二、四象限；
当b
2. 当k >0时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大.
3. 同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1=k 1x +b 1与l 2：y 2=k 2x +b 2
当k 1=k 2时，l 1 l 2；
当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交.
目的：通过师生、生生互动，共同总结，使学生再次明确一次函数图象的特点，为下个环节的知识运用作好准备.
说明：通过教师的引导，学生之间的相互补充，完善，很容易归纳出一次函数图象的特点. 第四环节：反馈练习
内容：1. 你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由：
（1）y =-2x +1； （2
）y =-1；
（3）y =x ； （4）y =-
2. （1）判断下列各组直线的位置关系：
（A ）y =x 与y =x -1； 2x . 311与y =-x -. 22
2（2）已知直线y =x +5与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系式3（B ）y =3x -为 .
3. （1）一次函数y =x -1的图象经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
（2）一次函数y =mx +n -2的图象如图所示，则
m 、n 的取值范围是（ ）
A. m >0，n 0，n >2
C. m 2 4.
行时间的图象是下图中的 ；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的 .
(A ) (分）(B ) 分）
答案：
1. 四个图象对应的函数关系式分别为：
（3）、（1）、（2）、（4）.
2. （1）平行，相交；
（2）y =2x . 3
3. （1）D ；（2）D
4. B ，A .
目的：四组练习，旨在检测学生对一次函数的图象和性质的掌握情况. 可根据学生情况和上课情况适当调整. 若学生在回答第1题时有困难，可先引导学生完成分层教学中基础训练1、2题，若学生完成上述练习比较顺利，可根据上课时间适当选择分层教学中提高训练或知识拓展完成.
说明：四组练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步加深学生对一次函数图象及性质的认识. 对同学的回答, 教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学, 教师应帮助他们树立信心. 第五环节 课时小结
内容：本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨，通过这节课，我们学习了以下内容：
1．一次函数y =kx +b 中，
当k >0时，y 的值随x 的增大而增大，图象经过一、三象限；
当k
2．同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1=k 1x +b 1与l 2：y 2=k 2x +b 2
当k 1=k 2时，l 1 l 2；当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交.
用到了以下的数学思想和基本方法：
1．本节课中用到的数学思想：数形结合、分类讨论.
2．本节课中用到的基本方法：通过观察、操作、猜想、推理、类比、归纳等过程获取数学知识.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学思想、方法，教师再补充完善，使知识系统化.
说明：学生畅所欲言，相互进行补充, 能用自己的话进行归纳总结.
第六环节 作业布置
习题4.4
课外探究
当x ＞0时，y 与x 的关系式y =5x ；当x
≤0时，y =-5x ，则它们在同一直角坐标系
中大致图象是（ ）
４. 一次函数的应用（第1课时）
一、学生起点分析
本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；
并且让学生更加明确确定一次函数的表达
式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k 、b 的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．
本节课的教学目标是：
①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法
确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．
②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进
一步发展数形结合的思想方法；
③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置． 第一环节 复习引入
内容：提问：（1）什么是一次函数？
（2）一次函数的图象是什么？
（3）一次函数具有什么性质？
目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节 初步探究
内容1：
展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用．
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v (米/秒) 与其下滑
时间t (秒 )的关系如图所示．
(1) 写出v 与t 之间的关系式；
(2) 下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v 与t 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y 与时间x
的关系如图所示．
（1）这是一次多少米的赛跑？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人y 与x 的函数关系式．
目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．
教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．
内容2：想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k 、b ，所以需要两个条件来确定．
第三环节 深入探究
内容1：例1 在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米) 是所挂物体的质量x (千克) 的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长16cm 。写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度．
解：设y =kx +b ，根据题意，得
14.5=b ， ①
16=3k +b ，②
将b =14. 5代入②，得k =0. 5．
所以在弹性限度内，y =0. 5x +14. 5．
当x =4时，y =0. 5⨯4+14. 5=16. 5（厘米）．
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16. 5厘米．
目的：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．
教学注意事项：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．
内容2：想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k ，b 值代回到表达式中即可．
目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．
第四环节 反馈练习
内容：1．如图，直线l 是一次函数y =kx +b 的图象，求它的表达
式．
2．若一次函数y =2x +b 的图象经过A （－1，1），则
b = ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ 0）．
３．如图，直线l 是一次函数y =kx +b 的图象，填空：
（1）b = ，k = ；
（2）当x =30时，y = ；
（3）当y =30时，x = ．
４．已知直线l 与直线y =-2x 平行，且与y 轴交于点（0，2），求直线l 的表达式．
目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程． 第五环节 课时小结
内容：总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k ，b 的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k ，b 的方程；
（3）解方程，求k ，b ；4．把k ，b 代回表达式中，写出表达式．
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第六环节 作业布置
习题４．５：１，２，３，４
目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．
4. 一次函数的应用（第2课时）
一、学生起点分析
学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质．在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础．但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第2课时，主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维．
为此，本节课的教学目标是：
①能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
②在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系；
③通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；
④通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力；
⑤引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式．
三、教学过程设计
本节课分为八个教学环节：
第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：反馈练习；第四环节：深入探究；第五环节：反馈练习；第六环节：探究升级；第七环节：课堂小结；第八环节：布置作业． 第一环节 复习引入
内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？
在一次函数y =kx +b 中
当k >0时，y 随x 的增大而增大，
当b >0时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当b
当k
当b >0时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当b
目的：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k 、b 的正负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫. 第二环节 初步探究
内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V (万米
3) 与干旱持续时间t (天) 的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(3)蓄水量小于400万米时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干3
涸？
（根据图象回答问题，有困难的可以互相交流．）
答案：（1）当x =0，y =1200，水库干旱前的蓄水
量是1200万米.
(2)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t 等
3于10时所对应的V 的值．当t =10时，V 约为1000万米．同理可知当t 为23天时，V 约为7503
万米．
(3)当蓄水量小于400万米时，将发出严重干旱警报，也就是当V 等于400万米时，求所对应的t 的值．当V 等于400万米时，所对应的t 的值约为40天． 3333
（4）水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V 为0时，所对应的t 的值约为60天．
目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力．
第三环节 反馈练习：
内容：当得知周边地区的干旱情况后，育才学
校的小明意识到节约用水的重要性．当天在班上倡
议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响
应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭
数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并
且参加该活动的家庭数S （户）与宣传时间t （天）
的函数关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？
（2）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？
（3）你知道平均每天增加了多少户？
（4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到800户？
（5）写出参加活动的家庭数S 与活动时间t 之间的函数关系式
答案：（1）200户；
（2）全校师生共有1000户，该活动持续了20天；
（3）平均每天增加了40户；
（4）第15天时，参加该活动的家庭数达到800户；
（5）S =40t +200 ．
目的：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水．同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握．
第四环节 深入探究
内容：1．看图填空
(1)当y =0时，x =______;
(2)直线对应的函数表达式是________________．
答案：(1)观察图象可知当y =0时，x =-2；
(2)直线过(－2，0) 和(0，1)
设表达式为y =kx +b ，得
-2k +b =0
b =1 ① ②
把②代入①得 k =0.5
∴直线对应的函数表达式是y =0.5x +1
2．议一议：一元一次方程0.5x +1=0与一次函数y =0.5x +1有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答．）
答案： 一元一次方程0.5x +1=0的解为x =-2，一次函数y =0.5x +
1包括许多点．因此
0.5x +1=0是y =0.5x +1的特殊情况．
当一次函数y =0.5x +1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x +1=0的解． 函数y =0.5x +1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x +1=0的解．
目的：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数y =0.5x +1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x +1=0的解；从“形”的角度看，函数y =0.5x +1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x +1=0的解．
第五环节 反馈练习
内容：全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造
沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，
某地区现有土地面积100万千米，沙漠面积200万千
米，土地沙漠化的变化情况如下图所示．
(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙
漠面积将增加多少万千米？
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从
现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米．
解：(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米．
(2)从图象可知，每年的土地面积减少2万千米，现有土地面积100万千米，100÷2=50，22222222
故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源．
(3)如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米沙漠，每年沙化2万千米，实际每年改造面积2万千米，由于(200-176) ÷2=12，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米．
目的：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题。
2222
第六环节 探究升级
内容：(续前一问题) 当得知周边地区的干旱情况
后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天
在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的
积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的
家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加
该活动的家庭数S （户）与宣传时间t （天）的函数
关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（6）若每户每天节约用水0.1吨，那么活动第20天可节约多少吨水？
（7）写出活动开展的第t 天节约的水量Y 与天数t 的函数关系．
答案：（6）第20天可节约100吨水；
（7）Y =4t +20．
目的：通过问题的层层深入，引导学生的思维向纵深发展，进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题．
第七环节 课堂小结
内容：本节课主要应掌握以下内容：
1．能通过函数图象获取信息．
2．能利用函数图象解决简单的实际问题．
3．初步体会方程与函数的关系．
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.
第八环节 布置作业
内容：1． 课外探究
在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流．
2．课外作业 习题4.6
4. 一次函数的应用（第3课时）
一、学生起点分析
在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．
教学目标
1. 进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
2. 在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；
3. 在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．
4. 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．
教学重点
一次函数图象的应用
教学难点
从函数图象中正确读取信息
三、教法学法
1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”
2．课前准备：
教具：教材，课件，电脑
学具：教材，练习本，铅笔，直尺
四、教学过程：
本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．
第一环节：情境引入
内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售, 为了方便,
他带了一些零钱备用, 按市场价售出一些后, 又降价出售, 售
出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱) 的关系,
如图所示, 结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前 y 与 x 之间的关系
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完, 这时他手中
的钱(含备用零钱) 是26元, 试问他一共带了多少千克土豆?
活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。
第二环节：问题解决
内容1：例1：小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞
瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，
沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧也于
上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路
去“飞瀑”，车速为26km /h ．
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多
少千米？
分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量
是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？
你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？
解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S 1、S 2，
由题意得：S 1=36t ，S 2=26t +10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得
⑴两条直线S 1=36t ，S 2=26t +10的交点坐标为（1，36）
这说明当小聪追上小慧时，S 1=S 2=36km ，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸”
⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S 1=45km ，此时S 2=42.5km ．
所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km ）
思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S 1=36t ，小慧的解析式为S 2=26t +10) ？
活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．
内容2：深入探究
例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只海 A
A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 B B 公 岸
海 追赶（如图），下图中l 1， l 2分别表示两船相对
于海岸的距离s （海里）与追赶时间t （分）之
间的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ 解：观察图象，得当t =0时，B 距海岸0 n mile，即S =0，故l 1表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
（2）A ，B 哪个速度快？
解：从0增加到10时，l 2的纵坐标增加了2，而l 1的纵坐标增加了5，即10 min 内，A 行驶了2海里，B 行5 n mile，所以B 的速度快． （3）15 min内B 能否追上A ？
解：可以看出，当t =15时，l 1上对应点在l 2 上对应点的下方，
（4）如果一直追下去，那么B 能否追上A ？ 解：如图l 1 ，l 2相交于点P ．因此，如果一直追下去，
那么驶了
B 一定能追上A ．
（5）当A 逃到离海岸l 2海里的公海时，B 将无法对其检查．照此速度，B 能否在A 逃到公海前将其拦截？ 解：从图中可以看出，l 1与l 2交点P 的纵坐标小于l 2，明在A 逃入公海前，我边防快艇B 能够追上A ．
活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与关系，建立良好的知识联系．
说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力．
第三环节：反馈练习
进行
这说
形的
内容：观察甲、乙两图，解答下列问题
1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．
3．根据1中所填答案的图象求：
（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）； （2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？
4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：
（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；
（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．
意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。
说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心。
5. 如图，l A 与 l B 分别表示A 步行与B 骑车同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系． （1）B 出发时与A 相距多少千米？
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是时？ （3）B 出发后经过多少小时与A 相遇？
（4）若B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
那么经过多少时间与A 相遇？相遇点离B 的出发点多远？ 你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C ．
多少小
A
6. 甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为
y 甲（棵）y ，乙班植树的总量为乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时
y 甲．y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示．
y 甲．y 乙与x 之间的函数关系式．
计时）为x （时），
（1）当0≤x ≤6时，分别求
（2）如果甲．乙两班均保持前6 h 的工作效率，通过计算说明，当x =8时，甲．乙两班植树的总量之和能否超过260棵．
（3）如果6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当x =8时，两班之间植树的总量相
y 差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵． 第四环节：课时小结 内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函
数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式) 完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首
先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果． 意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。
说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。 第五环节：作业布置 作业：习题6.7
回顾与思考
一、学生起点分析
学生在七年级下册已经学过了第四章《变量之间的关系》，对用表格、关系式及图象表示变量间关系有所了解并初步掌握。通过本章的学习，学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题． 二、教学任务分析
教科书上通过六个问题的形式要求教师引导学生回顾本章内容，梳理知识结构。本节课的教学重点一次函数图象的特征及一次函数图象的应用，教学中，教师应通过学生举例建立函数模型，关注学生对一次函数的性质与图像的理解水平与应用一次函数解决实际问题的主动意识和能力． 为此，本节课的教学目标是：
1. 熟练掌握本章的知识网络结构
2. 经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力．
3. 经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力． 4. 经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．
5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
第一环节：课前准备——本章重点内容的归纳与知识结构图的建立 第二环节：合作交流 第三环节：典型例题讲解 第四环节：练习巩固 第五环节：课堂小结 第六环节：布置作业 第一环节 课前准备
活动内容：本章重点内容的归纳与知识结构图的建立（提前一天布置） 以6人合作小组为单位，开展自我归纳与总结活动：
（1）各尽所能从课本、笔记本、教辅资料进行本章重点内容的归纳与知识结构图的建立； （2）根据课本97页回顾与思考提出的五个问题，每一小组准备一个同学就一个问题进行成果汇报．（在必要的情况下，教师可以对学生选择的问题方面给予一定的规定与指导，使合作交流更有实效性）．
活动目的：通过第1个活动，希望学生能自主复习，学会归纳重点内容，通过知识结构图的建立理清本章内容的逻辑关系。培养学生善于总结、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；而在第2个活动中，学生通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神．在课堂中用源于学生真实总结归纳展开教学，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性．
活动实际效果：学生通过小组合作方法建立了初步的知识结构图，通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，进一步感悟了函数模型．这些都充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情和小组团结合作的精神． 第二环节 合作交流
内容：各小组派代表展示自己课前所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的五个问题中的一个问题进行成果汇报．（教师选1—3个小组进行点评并形成完整的知识要点知识与结构图）
目的：经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力．
效果：学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的问题进行深入研究成果，感受到自己的劳动成果被认可的喜悦。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈, 使知识获取更加全面． 第三环节 典型例题讲解
内容：例1．已知y 是x 的一次函数 （1）根据下表写出函数表达式； （2）补全下表
（3）作出函数的图象，并回答下列问题． ①随着x 值的增加，y 值的变化情况是________；
②图象与图象与y 的交点坐标有_______，与x 轴的交点坐标是__________； ③当x__________时，y ≥0．
例2： 甲、乙两人同时从相距90 km的A 地前往B 地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B 地停留半个小时后返回A 地，如图是他们离A 地的距离ｙ（km ）与x （h ）之间的函数关系图像． （1）求甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若乙出发后2 h和甲相遇，求乙从A 地到B 地用了多长时间？
解析：（1）由图象可知y 与x 之间是一次函数关系式，选择图象上两点代入y =kx +b 即可； （2）将x=2代人到甲返回时距离和时间的关系中求出离开A 地的距离，计算出乙的速度，从而算出时间.
解（1）设y =kx +b ，根据题意得⎨
⎧3k +b =0
，
⎩1. 5k +b =90
解得⎨
⎧k =-60
b =180⎩
y =-60x +180(1.5≤x ≤3). （2）当x =2时，y =-60⨯2+180=60 ∴骑摩托车的速度为60÷2=30（km/h） ∴乙从A 地到B 地用时为90÷30=3（h ）
目的：能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
效果：学生理会三种表示方法的内在联系较好
第四环节 练习巩固
1．直线y =x -1的图象经过的象限是（ ）
A 、第一、二、三象限 C 、第二、三、四象限
B 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限
2．时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．在运行过程中，时针与分针的夹角会随时间的变化而变化．设时针与分针的夹角为y （度），运行时间为t （分），当时间
从12：00开始到12：30止，y 与t 之间的函数图象是 （ ）
【答案】A ．
3．如图，一次函数y =k x +b 的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①y 随x 的增大而减小； ②b ＞0；
③关于x 的方程k x +b =0的解为x =2．
其中说法正确的有 （把你认为说法正确的序号都填上） 4．如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象
A.
)
B.
)
C.
)
D.
)
y(度度度度平行且经过点A （1，﹣2），求k 与b 的值．
第五环节 课堂小结 （1）函数的概念． （2）一次函数的概念 一次函数与正比例函数的关系. （3）一次函数的不同表示方式.
（4）一次函数，正比例函数的图象各有什么特征.
①一次函数y =kx +b 的图象是一条直线，经过点（0，b ）和(-
图象是经过原点的一条直线. ②在一次函数y =kx +b 中，
b
，0) ， 正比例函数y =kx 的k
当k >0时，y 的值随着x 值的增大而增大； 当k
当k >0时经过一、三象限，当k 0时经过一、二象限，当b
（7）两直线平行则K 相等；两直线垂直则K 互为负倒数； 第六环节 布置作业 课本99页6、7、8、9、14
第四章 一次函数
１. 函 数
一、学生起点分析
在七年级上期学习了用字母表示数，体会了字母表示数的意义，学会了探索具体事物之间的关系和变化的规律，并用符号进行了表示；在七年级下期又学习了“变量之间的关系”，使学生在具体的情境中，体会了变量之间的相依关系的普遍性，感受了学习变量之间的关系的必要性和重要性，并且积累了一定的研究变量之间关系的一些方法和初步经验，为学习本章的函数知识奠定了一定的基础。
二、教学任务分析
《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第四章《一次函数》第一节的内容。教材中的函数是从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系，进而抽象出函数的概念。与原传统教材相比，新教材更注重感性材料，让学生分析了大量的问题，感受到在实际问题中存在两个变量，而且这两个变量之间存在一定的关系，它们的表示方式是多样地，如可以通过列表的方法表示，可以通过画图像的方法表示，还可以通过列解析式的方法表示，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。
本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。一次本节课教学目标定位为：
1．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数；
2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值；
3．了解函数的三种表示方法。
4．通过函数概念的学习，初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力；
5. 在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神 对学生来讲本节课的难点在于对函数概念的理解；
教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境、导入新课；第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材；第三环节：概念的抽象；第四环节：概念辨析与巩固；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业
第一环节：创设情境、导入新课
内容：展示一些与学生实际生活有关的图片，如心电图片，天气随时间的变化图片，抛掷铅球球形成的轨迹，k 线图等，提请学生思考问题。
意图：承接上一学期变量关系的学习，让学生感受到变量之间关系的是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性。
第二环节：展现背景，提供概念抽象的素材
内容：问题1. 你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？
你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？
当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，
那么变化有规律吗？
摩天轮上一点的高度h 与旋转时间t 之间有一
定的关系，右图就反映了时间t(
分）与摩天轮上一
点的高度h （米) 之间的关系. 你能从上图观察出，有几个变化的量吗？当t 分别取3，6，10时，相应的h 是多少？给定一个t 值，你都能找到相应的h 值吗？
问题2. 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图这样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
问题3。一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度. 热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃) 之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
（1）当t 分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T 是多少？
（2）给定一个大于-273 ℃的t 值，你能求出相应的T 值吗？
意图：通过上面三个问题的展示，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量的变量间的关系，并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的（图象、列表和解析式等）.
第三环节：概念的抽象
内容：1．引导学生思考以上三个问题的共同点，进而揭示出函数的概念：
在上面的问题中，都有两个变量，给定其中一个变量（自变量）的值，相应的就确定了另一个变量（因变量）的值.
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.
2．点明函数概念中的两个关键词：两个变量, 一个x 值确定一个y 值，它们是判断函数关系的关键。
3．再通过对上面3个情境的比较，引导学生思考三个情境呈现形式的不同（依次以图像、代数表达式、表格的形式反映两个变量之间的关系），得出函数常用的三种表示方法：
（1） 图象法 ； （2）列表法 ； （3）解析法。
意图：通过比较异同点，揭示函数的本质概念和不同的表示方法。
第四环节：概念辨析与巩固
内容：1．介绍常量与变量的概念
常量：在某一变化过程中, 始终保持不变的量；
变量：在某一变化过程中, 可以取不同数值的量．
指出下列关系式中的变量与常量：
22（1）球的表面积S （cm ）与球半径R （cm) 的关系式是Ｓ＝４ R
（2）以固定的速度V 0（米／秒）向上抛一个球，小球的高度ｈ（米）与小球运动的时间ｔ（秒）
2 之间的关系式是ｈ＝V 0t-4.9t .
2．概念应用举例
1. 小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s 与时间t 之间的变化关系吗？S 是t 的函数吗？路程s 随时间t 的变化的图像是什么？
略解：S=15t,是函数，图像略.
2. 如果A 、B 路程为200千米，一辆汽车从A 地到B 地行驶的速度v 与行驶时间t 是怎样的变化关系？V 是t 的函数吗？速度v 随时间t 的变化的图像是什么？
200v =略解：，是函数，图像略. t
3. 若正方形的边长为x, 则面积y 与边长x 之间的关系是什么？y 是x 的函数吗？面积y 随边长x 的变化的图像是什么？
2略解：s=x, 是函数，图像通过课件展示给同学们
意图：通过常量与变量的区别阐述，进一步理解函数的关键；通过三个例题，对函数概念进行更深入的探讨，再次揭示函数概念的本质特征.
第五环节：课时小结
内容：请同学们针对本节的内容进行自我小结，学生之间相互补充后；最后教师总结。
意图：引导学生自己总结本节课的知识要点和数学学习方法，使学生从感性上升到理性，形成系统的知识。
第六环节：布置作业 习题4.1
２．一次函数
一、学生起点分析
在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数. 由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成x +y =1, x -y =-1等，培养学生良好的书写习惯.
二、教学任务分析
《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节. 本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.
本节课教学目标分析是：
(1)理解一次函数和正比例函数的概念；
(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.
(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
本节课教学重点是：
理解一次函数和正比例函数的概念.
本节课教学难点是：
能根据所给条件写出简单的一次函数表达式, 发展学生的抽象思维能力.
三、教学过程设计
本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业. 第一环节：复习引入
内容：复习上节课学习的函数, 教师提出问题:
a) 什么是函数?
b) 函数有哪些表示方式?
c) 在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题, 大家能不能举一些例子呢?
意图：为了激发学生的求知欲望, 吸引同学们的注意力, 这里采用了“复习旧知识, 诱导新内容”的引入方法. 问题(1)(2)复习上节课的内容, 问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活, 提高学生的运用意识.
第二环节：新课讲述
内容：
例1 某弹簧的自然长度为3cm, 在弹簧限度内, 所挂物体的质量x 每增加1kg, 弹簧长度y 增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg 、2kg 、3kg 、4kg 、5kg 时的弹簧长度, 并填入下表:
(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?
答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) y =3+0.5x .
例2 某辆汽车油箱有汽油100L, 汽车每行驶50km 耗油9L.
(1)完成下表:
(2)你能写出x 与y 之间的关系式吗?
(3)汽车行驶的路程x 可以无限增大吗? 有没有一个取值范围? 剩余油量y 呢?
答案 (1) 100、91、82、73、64、46；
(2) x与y 之间的关系式为 y =100-0.18x ；
(3) 汽车行驶路程x 不可能无限增大, 因为汽油只有100L, 每行驶50km 耗油9L, 行驶
560km 后, 油箱就没有油了, 所以x 不会超过560km.y 代表油箱剩余油量, 所以y 应该小于100但不能小于零.
通过观察、探索、总结, 归纳出一次函数与正比例函数的概念:
一般地, 若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y =kx +b (k , b 为常数, k ≠0) 的形式, 则称y 是x 的一次函数(x 是自变量, y 为因变量). 特别地, 当b =0时, 则y 是x 的正比例函数.
意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量) 出发, 通过对一般规律的探索过程, 从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
第三环节：巩固练习
内容:
1. 在函数(1)y =
(5)y =3,(2)y =x -5,(3)y =-4x ,(4)y =2x 2-3x ,
x 1中是一次函数的是 , 是正比例函数的 (6)y =x -2
是 .
2. 若函数y =(6+3m ) x +4n -4是一次函数, 则m , n 应满足的条件是 ；若是正比例函数, 则m , n 应满足的条件是 .
3. 当k = 时, 函数y =(k +3) x k
意图：对本节知识进行巩固练习.
第四环节：知识提高
内容：例3 写出下列各题中x 与y 之间的关系式, 并判断:y 是否为x 的一次函数? 是否为正比例函数?
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶, 行驶路程y (千米) 与行驶时间x (时) 之间的关系；
(2)圆的面积y (厘米) 与它的半径x (厘米) 之间的关系； 22-8-5是关于x 的一次函数.
(3)一棵树现在高50厘米, 每个月长高2厘米, x 个月后这棵树的高度为y (厘米), 则y 与x 的关系.
答案: (1)由路程=速度×时间, 得y =60x , y 是x 的一次函数, 也是x 的正比例函数；
(2)由圆的面积公式, 得y =p x , y 不是x 的一次函数, 也不是x 的正比例函数；
(3)这棵树每月长高2厘米, x 个月长高了2x 厘米, 因而y =50+20x , y 是x 的一
2
次函数, 但不是x 的正比例函数.
例4 某地区电话的月租费为25元, 在此基础上, 可免费打50次市话(每次3分钟), 超过50次后, 每次0.2元.
(1)写出每月电话费y (元) 与通话次数x (x ＞50) 的函数关系式；
(2)求出月通话150次的电话费；
(3)如果某月通话费为53.6元, 求该月通话的次数.
分析:解决此类问题首先要理解题意, 然后找出相等关系. 此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.
答案: (1)根据题意得: y =25+(x -50) ×0.2, 即y =0.2x +15；
(2)当x =150时, y =0.2×150+15=45；
(3)因为53. 6＞25, 可知通话次数大于50次, 即当y =53. 6时, 求x 的值. 53.6=0.2x +15, 解得x =193.
意图：通过丰富的现实背景的例题, 进一步理解一次函数和正比例函数的概念, 根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式, 让学生体会数学的广泛应用, 发展学生的抽象思维能力.
充分加强数学与现实的联系, 促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
第五环节：反馈练习
内容:
1. 下列语句中, 具有正比例函数关系的是( )
(A) 长方形花坛的面积不变, 长y 与宽x 之间的关系；
(B) 正方形的周长不变, 边长x 与面积S 之间的关系；
(C) 三角形的一条边不变, 这条边上的高h 与面积S 之间的关系；
(D) 圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税；月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税„„如果某人月收入1960元. 他应缴纳个人工资、薪金所得税为（1960-1600）×5%=18（元）.
（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴纳所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式.
（2）某人月收入为1760元，他应该缴纳所得税多少元？
（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？
意图：对本节知识进行巩固练习.
第六环节: 课堂小结
内容: 这节课我们学习了一类很有用的函数—— 一次函数，只要解析式可以表示成
的形式的函数则称为一次函数. 正比例函数是一次函数当b =0y =kx +b （k , b 为常数，k ≠0）
时的特殊情形. （方式：师生互相交流总结. ）
目的：鼓励学生结合本节课的学习内容, 谈谈自己的收获和感想, 进一步巩固本节课的知识. 第七环节：布置作业
1．根据下表写出x , y 之间的一个关系式.
2. 某电信公司手机的A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元.
（1）写出每月应缴费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系式；
（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？
3．某电信公司手机的B 类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元. 按照此类收费标准，分别完成第2题中的各小题.
4．根据上面第2，3题中的条件，完成下列各题：
（1）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？
（2）每月通话多长时间时，按A ，B 两类收费标准缴费，所交话费相等？
3. 一次函数的图象（第1课时）
一、学生起点分析
八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系．
二、教学任务分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识．
为此本节课的教学目标是:
1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象．
2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．
4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．
教学重点是:
初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
教学难点是:
理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．
三、教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境 引入课题；第二环节：画一次函数的图象；第三环节：动手操作，深化探索；第四环节：巩固练习，深化理解；第五环节：课时小结；第六环节：拓展探究；第七环节：作业布置．
第一环节：创设情境 引入课题
内容： 一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S （米）与小明出发的时间t （分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t ≥0）
下面的图象能表示上面问题中的S 与t 的关系吗？
我们说，上面的图象是函数S=80t（t ≥0）的图象, 这 就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。
目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．
第二环节：画正比例函数的图象
内容：首先我们来学习什么是函数的图象？
把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph ）．
例1 请作出正比例函数y=2x的图象．
解：列表:
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内
描出相应的点．
连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．
由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：
列表，描点，连线．
目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．
第三环节：动手操作，深化探索
内容：做一做
（1）作出正比例函数y=-3x 的图象．
（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=3x ．
请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．
（1）满足关系式y=-3x 的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在正比例函数y=-3x 的图象上吗？
（2）正比例函数y=-3x 的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y=-3x 吗？
（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？
明晰：由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点（x ，y ）都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx．
议一议：既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？
因为“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因
-
为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线, 所以只需再确定一个点就可以了, 通常过(0,0),(1,k)作直线.
例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-
解：列表
1x,y=-4x的图象． 2过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象．
过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象．
过点（0，0）和（1，-11）作直线，则这条直线就是y=-x 的图象． 22
过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象．
目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在
让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求
学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,
以及k 的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.
议一议：上述四个函数中, 随着x 的增大,y 的值分别如何
变化?
在正比例函数y=kx中,
当k ＞0时, 图象在第一、三象限，y 的值随着x 值的增大而
增大(即从左向右观察图象时, 直线是向上倾斜的); 当k ＜0时,
图象在第二、四象限， y的值随着x 值的增大而减小 (即从左
向右观察图象时, 直线是向下倾斜的).
请你进一步思考:
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x 值的增大y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你
能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=-
你是如何判断的？ 我们发现：k 越大，直线越靠近y 轴。
第四环节：巩固练习，深化理解
内容：
练习1：在同一直角坐标系中分别作出y=1x 和y=-4x中，随着x 值的增大y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？211x 与y=-x 的图象． 23
练习2：当x >0时，y 与x 的函数解析式为y =2x ，当x ≤0时，y 与x 的函数解析式为y =-2x ，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )
(A) (B) (C ) ( D)
练习3：对于函数y =-3x 的两个确定的值x 1、x 2来说，当x 1
对应的函数值y 1与y 2 的关系是( )
A. y 1y 2 D. 无法确定
目的：这里的三个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。
第五环节：课时小结
内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容：
（1）函数与图象之间是一一对应的关系；
（2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线．
（3）作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出．
x x x x
目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识．
第六环节：拓展探究
内容：如图所示，你认为下列结论中正确的是
（ ）
A. k 1
C. k 3
目的：对学有余力的学生，能进一步提高，让
他们的学习活动深入下去，同时为以后学习正比例
函数图象的应用奠定基础．
第七环节：作业布置
习题4.3 1、2、3、4题，5题选做。
３. 一次函数的图象（第2课时）
一、 学生起点分析
八年级学生已初步认识了变量之间的相依关系，积累了研究变量之间关系以及图象的一些方法和初步经验. 在此基础上，学生能在“引导——探究——发现”式的课堂教学中积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法. 但由于初中学生的年龄特点，他们借助直观、具体的图象更容易理解抽象的一次函数图象的变化规律及其性质.
二、 教学任务分析
《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节。本节内容安排了2个课时完成. 第1课时让学生了解了作正比例函数图象的方法，并通过作图的操作过程，明确正比例函数的图象性质. 本节课为第2课时，主要是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质. 与原传统教材相比，新教材更注重借助感性材料，让学生在具体操作中获得有关一次函数图象的变化规律以及在具体图象中函数值的
增减性和增减速度、具体直线之间的平行、相交等位置关系，实际上，这一过程，也是培养学生
数形结合的意识和能力的好机会，并为今后继续学习一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程的关系打下基础.
为此，本节课的教学目标是：
1. 了解一次函数两个变量之间的变化规律. 在认识一次函数图象的基础上，掌握一次函数图象及其简单性质；
2. 经历对一次函数图象变化规律的探究过程，学会解决一次函数问题的一些基本方法和策略；
3. 在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想；
4. 通过对一次函数图象及性质的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
三、 教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节： 图片展示；第二环节：复习引入；第三环节：活动探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置. 第一环节：创设情境
内容：展示一些与实际生活息息相关的图片. 说明在我们生活中，有许许多多这样的图案，这些图象当中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地作出决策或预测.
目的：通过富有现实意义的图片展示，引入生活中熟悉的图片，使学生感受到图象里蕴含的某些规律可以使人们作出合理、科学的决策，激发学生的求知欲望，感受图象的实用价值.
说明：通过欣赏这些生活中的图象，学生感受到图象中所蕴含的规律，激发了学生的好奇心和求知欲.
第二环节：复习引入
内容：在前面，我们已经学会了绘制正比例函数图象，明确了正比例函数图像的有关性质，那么一次函数图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数图象的性质. 首先，我们来复习一下上节课所学习的知识
.
复习提问：（1）作函数图象有几个主要步骤？
（2）上节课中我们探究得到正比例函数图象有什么特征？
目的：学生回顾上节课学习的内容，为进一步研究一次函数的图象和性质做好铺垫. 在上节课的探究中我们得到正比例函数图象是过原点的一条直线. 本节课主要内容是对一次函数y =kx +b 中常数k 、b 对图象的影响进行探究.
本节课也可从第二环节复习引入开始，直接进入本课题的学习.
说明：学生通过知识回顾，再次明确正比例函数图象的一些特征，为学习本节课在知识上作好准备.
第三环节： 活动探究
1、合作探究，发现规律
内容：观察在同一直角坐标系内的下列一次函数的图象.
（1）y =2x +6, y =5x , y =x -2；
1(2) y =-x +6, y =-2x , y =-x -3. 2
得出结论：一次函数图像是一条直线. 因此作一次函数图像时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了. 一次函数y =kx +b 的图像也称为直线y =kx +b .
议一议：
（1）观察图象，它们分别分布在哪些象限.
（2）观察每组三个函数的图象，随着x 值的变化，y 的值在怎样变化？
（3）从以上观察中，你发现了什么规律？
归纳出一次函数图象的特点：
在一次函数y =kx +b 中
当k >0时，y 随x 的增大而增大，当b >0时，直线必过一、二、三象限；
当b
当k 0时，直线必过一、二、四象限；
当b
目的：归纳出一次函数图象中系数k ，b 对函数图象的影响。
说明：本节课主要是结合一次函数的图象，探究一次函数的简单性质，教学内容较多，为更好地突出教学重点，提高课堂教学效率，建议在上一节课的家庭作业中，要求学生绘制上述两组函数图象在作业本上.
本节课首先请学生展示作出的函数图象, 师生、生生互评，再让学生结合自己绘制的函数图象来探究一次函数的性质. 通过问题串的精心设计，引导学生对k ，b 两个常数进行分类讨论，探索出k 、b 值的变化对图象的影响和变化规律. 在此过程中渗透分类讨论的思想方法, 培养学生数形结合的意识.
学生拿出课前已经做好的函数图象. 通过师生互动、生生互动进行批改, 互评. 让学生再次巩固了已学知识，调动了学生学习的自主意识. 在此基础上学生进行观察并分小组对一次函数y =kx +b 中k ，b 的几何意义作了初步的探索. 本环节通过独立思考和小组讨论，培养学生的识图能力、探究能力和合作能力. 初步感受到了一次函数的图象及函数的性质由常数k 、b 决定.
2观察思考，深入探究
内容1：右图是某次110米栏比赛中两名选手所跑的路程s
（米）和所用时间t （秒）的函数图象. 观察图象, 你能看出谁
跑得更快吗?
目的：学生通过对熟悉的实际问题的讨论，体会不同函数
图象的倾斜程度不同，函数值的增减速度也不同，为下面进一步探究一次函数图象的性质作了铺垫.
说明：通过具体的实例，学生在观察讨论中发现可以从图象的倾斜程度看出谁跑得更快，那么一次函数图象的倾斜程度又由什么决定呢？再次激发学生的求知欲望，为课堂注入新的活力.
内容2： )
1x ，y =2x 和y =5x 的图象，观察图象，x 从0开始逐渐增大，2
1哪个函数的值先到达6？ 直线y =x ，y =2x 和y =5x 哪个与x 轴正方向所成的锐角最大？ 2（1）作出一次函数y =
从中你能发现与x 轴正方向所成的锐角的大小是由什么决定的？
（2）直线y =-x -2与y =-x +6的位置关系如何？
（3）直线y =2x +6与y =-x -2的位置关系如何？
引导学生结合函数图象，回答以上的问题.
结合上面几个例子，你认为平面内不重合的两条直线的位置关系由什么决定？请和同桌交流，看看对你有没有启发.
从而希望学生总结出一次函数图象的特点：
当k >0时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大.
同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1=k 1x +b 1与l 2：y 2=k 2x +b 2
当k 1=k 2时，l 1 l 2；
当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交.
目的：问题（1）在教材中是放在一次函数图象的第一节课，根据教学安排，我们把这个内容调整到了本节课. 经过自主探究、合作交流，力图让学生对两直线的位置关系及k ，b 的几何意义作进一步的探讨，感受在具体图象中平行、相交等位置关系以及函数图象中函数值的增减速度与k 值之间的联系.
说明：学生通过讨论，得出所观察到的图象的规律，在教师的引导下，逐步加深对一次函数图象及性质的认识.
内容3：比一比，看谁画得快
一次函数y =x 的图象如图所示，你能画出函数y =x +4. . . 和y =x -5的图象吗？
目的：学生作图（学生可能按常规过两点作直线，也可能利用两直线的位置关系，过直线外一点作已知直线的平行线）. 利用所学的知识反过来解决了作图问题，再次强调了数形结合的思想.
说明：通过探究，学生已经了解了一次函数图象的特点. 根据一次函数图象的特点，学生能较容易的完成此题.
3归纳总结，认识规律
内容：归纳总结一次函数图象的特点：
1. 在一次函数y =kx +b 中
当k >0时，y 随x 的增大而增大，当b >0时，直线必过一、二、三象限；
当b
当k 0时，直线必过一、二、四象限；
当b
2. 当k >0时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大.
3. 同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1=k 1x +b 1与l 2：y 2=k 2x +b 2
当k 1=k 2时，l 1 l 2；
当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交.
目的：通过师生、生生互动，共同总结，使学生再次明确一次函数图象的特点，为下个环节的知识运用作好准备.
说明：通过教师的引导，学生之间的相互补充，完善，很容易归纳出一次函数图象的特点. 第四环节：反馈练习
内容：1. 你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由：
（1）y =-2x +1； （2
）y =-1；
（3）y =x ； （4）y =-
2. （1）判断下列各组直线的位置关系：
（A ）y =x 与y =x -1； 2x . 311与y =-x -. 22
2（2）已知直线y =x +5与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系式3（B ）y =3x -为 .
3. （1）一次函数y =x -1的图象经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限 D.第一、三、四象限
（2）一次函数y =mx +n -2的图象如图所示，则
m 、n 的取值范围是（ ）
A. m >0，n 0，n >2
C. m 2 4.
行时间的图象是下图中的 ；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中的 .
(A ) (分）(B ) 分）
答案：
1. 四个图象对应的函数关系式分别为：
（3）、（1）、（2）、（4）.
2. （1）平行，相交；
（2）y =2x . 3
3. （1）D ；（2）D
4. B ，A .
目的：四组练习，旨在检测学生对一次函数的图象和性质的掌握情况. 可根据学生情况和上课情况适当调整. 若学生在回答第1题时有困难，可先引导学生完成分层教学中基础训练1、2题，若学生完成上述练习比较顺利，可根据上课时间适当选择分层教学中提高训练或知识拓展完成.
说明：四组练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步加深学生对一次函数图象及性质的认识. 对同学的回答, 教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学, 教师应帮助他们树立信心. 第五环节 课时小结
内容：本节课我们结合一次函数的图象对一次函数的一些简单性质进行了探讨，通过这节课，我们学习了以下内容：
1．一次函数y =kx +b 中，
当k >0时，y 的值随x 的增大而增大，图象经过一、三象限；
当k
2．同一平面内，不重合的两条直线l 1：y 1=k 1x +b 1与l 2：y 2=k 2x +b 2
当k 1=k 2时，l 1 l 2；当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交.
用到了以下的数学思想和基本方法：
1．本节课中用到的数学思想：数形结合、分类讨论.
2．本节课中用到的基本方法：通过观察、操作、猜想、推理、类比、归纳等过程获取数学知识.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学思想、方法，教师再补充完善，使知识系统化.
说明：学生畅所欲言，相互进行补充, 能用自己的话进行归纳总结.
第六环节 作业布置
习题4.4
课外探究
当x ＞0时，y 与x 的关系式y =5x ；当x
≤0时，y =-5x ，则它们在同一直角坐标系
中大致图象是（ ）
４. 一次函数的应用（第1课时）
一、学生起点分析
本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；
并且让学生更加明确确定一次函数的表达
式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k 、b 的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．
本节课的教学目标是：
①了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法
确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．
②经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进
一步发展数形结合的思想方法；
③经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习与知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置． 第一环节 复习引入
内容：提问：（1）什么是一次函数？
（2）一次函数的图象是什么？
（3）一次函数具有什么性质？
目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节 初步探究
内容1：
展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用．
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v (米/秒) 与其下滑
时间t (秒 )的关系如图所示．
(1) 写出v 与t 之间的关系式；
(2) 下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v 与t 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y 与时间x
的关系如图所示．
（1）这是一次多少米的赛跑？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人y 与x 的函数关系式．
目的：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．
教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．
内容2：想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k 、b ，所以需要两个条件来确定．
第三环节 深入探究
内容1：例1 在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米) 是所挂物体的质量x (千克) 的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长16cm 。写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度．
解：设y =kx +b ，根据题意，得
14.5=b ， ①
16=3k +b ，②
将b =14. 5代入②，得k =0. 5．
所以在弹性限度内，y =0. 5x +14. 5．
当x =4时，y =0. 5⨯4+14. 5=16. 5（厘米）．
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16. 5厘米．
目的：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．
教学注意事项：学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．
内容2：想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k ，b 值代回到表达式中即可．
目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．
第四环节 反馈练习
内容：1．如图，直线l 是一次函数y =kx +b 的图象，求它的表达
式．
2．若一次函数y =2x +b 的图象经过A （－1，1），则
b = ，该函数图象经过点B （1， ）和点C （ 0）．
３．如图，直线l 是一次函数y =kx +b 的图象，填空：
（1）b = ，k = ；
（2）当x =30时，y = ；
（3）当y =30时，x = ．
４．已知直线l 与直线y =-2x 平行，且与y 轴交于点（0，2），求直线l 的表达式．
目的：四个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程． 第五环节 课时小结
内容：总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出k ，b 的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k ，b 的方程；
（3）解方程，求k ，b ；4．把k ，b 代回表达式中，写出表达式．
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第六环节 作业布置
习题４．５：１，２，３，４
目的：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．
4. 一次函数的应用（第2课时）
一、学生起点分析
学生已学习了一次函数及其图象，认识了一次函数的性质．在现实生活中也见识过大量的函数图象，所以具备了从函数图象中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础．但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例来培养他们这方面的能力．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上册第四章第四节的第2课时，主要是利用一次函数图象解决有关现实问题，与原传统教材相比，新教材更注重借助材料让学生在具体操作中获取一次函数图象的有关信息，从而回答和解决现实生活中的具体问题，也就是说，新教材注重在图象信息的识别与分析中，提高学生的识图能力，进一步培养学生的数形结合能力和数学应用能力，发展形象思维．
为此，本节课的教学目标是：
①能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
②在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系；
③通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；
④通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力；
⑤引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式．
三、教学过程设计
本节课分为八个教学环节：
第一环节：复习引入；第二环节：初步探究；第三环节：反馈练习；第四环节：深入探究；第五环节：反馈练习；第六环节：探究升级；第七环节：课堂小结；第八环节：布置作业． 第一环节 复习引入
内容：在前几节课里，我们通过从生活中的实际问题情景出发，分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的性质，从中对一次函数在现实生活中的广泛应用有了一定的了解．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？
在一次函数y =kx +b 中
当k >0时，y 随x 的增大而增大，
当b >0时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限；
当b
当k
当b >0时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、四象限；
当b
目的：在前面的学习中我们已得到一次函数的图象是一条直线，并且讨论了k 、b 的正负对图象的影响．通过对上节课学习内容的回顾，为进一步研究一次函数图象和性质的应用做好铺垫. 第二环节 初步探究
内容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V (万米
3) 与干旱持续时间t (天) 的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(3)蓄水量小于400万米时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干3
涸？
（根据图象回答问题，有困难的可以互相交流．）
答案：（1）当x =0，y =1200，水库干旱前的蓄水
量是1200万米.
(2)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t 等
3于10时所对应的V 的值．当t =10时，V 约为1000万米．同理可知当t 为23天时，V 约为7503
万米．
(3)当蓄水量小于400万米时，将发出严重干旱警报，也就是当V 等于400万米时，求所对应的t 的值．当V 等于400万米时，所对应的t 的值约为40天． 3333
（4）水库干涸也就是V 为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V 为0时，所对应的t 的值约为60天．
目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力．
第三环节 反馈练习：
内容：当得知周边地区的干旱情况后，育才学
校的小明意识到节约用水的重要性．当天在班上倡
议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的积极响
应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭
数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并
且参加该活动的家庭数S （户）与宣传时间t （天）
的函数关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）活动开始当天，全校有多少户家庭参加了该活动？
（2）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？
（3）你知道平均每天增加了多少户？
（4）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到800户？
（5）写出参加活动的家庭数S 与活动时间t 之间的函数关系式
答案：（1）200户；
（2）全校师生共有1000户，该活动持续了20天；
（3）平均每天增加了40户；
（4）第15天时，参加该活动的家庭数达到800户；
（5）S =40t +200 ．
目的：通过创设情境，让学生进一步认识到一次函数图象的应用，倡导节约用水．同时，通过练习以检验学生对已学内容是否掌握．
第四环节 深入探究
内容：1．看图填空
(1)当y =0时，x =______;
(2)直线对应的函数表达式是________________．
答案：(1)观察图象可知当y =0时，x =-2；
(2)直线过(－2，0) 和(0，1)
设表达式为y =kx +b ，得
-2k +b =0
b =1 ① ②
把②代入①得 k =0.5
∴直线对应的函数表达式是y =0.5x +1
2．议一议：一元一次方程0.5x +1=0与一次函数y =0.5x +1有什么联系？（请大家根据刚做的练习来进行解答．）
答案： 一元一次方程0.5x +1=0的解为x =-2，一次函数y =0.5x +
1包括许多点．因此
0.5x +1=0是y =0.5x +1的特殊情况．
当一次函数y =0.5x +1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x +1=0的解． 函数y =0.5x +1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x +1=0的解．
目的：通过本题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系，从“数”的角度看，当一次函数y =0.5x +1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x +1=0的解；从“形”的角度看，函数y =0.5x +1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x +1=0的解．
第五环节 反馈练习
内容：全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造
沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，
某地区现有土地面积100万千米，沙漠面积200万千
米，土地沙漠化的变化情况如下图所示．
(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙
漠面积将增加多少万千米？
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从
现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米．
解：(1)如果不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将新增加10万千米．
(2)从图象可知，每年的土地面积减少2万千米，现有土地面积100万千米，100÷2=50，22222222
故从现在开始，第50年底后，该地区将丧失土地资源．
(3)如果从现在开始采取植树造林等措施，每年改造4万千米沙漠，每年沙化2万千米，实际每年改造面积2万千米，由于(200-176) ÷2=12，故到第12年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米．
目的：通过土地沙漠化的问题进一步培养学生的识图能力，让学生能从图象中获取信息，建立相关的代数式，从而求解较复杂的问题。
2222
第六环节 探究升级
内容：(续前一问题) 当得知周边地区的干旱情况
后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天
在班上倡议节约用水，得到全班同学乃至全校师生的
积极响应．从宣传活动开始，假设每天参加该活动的
家庭数增加数量相同，最后都参加了活动，并且参加
该活动的家庭数S （户）与宣传时间t （天）的函数
关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（6）若每户每天节约用水0.1吨，那么活动第20天可节约多少吨水？
（7）写出活动开展的第t 天节约的水量Y 与天数t 的函数关系．
答案：（6）第20天可节约100吨水；
（7）Y =4t +20．
目的：通过问题的层层深入，引导学生的思维向纵深发展，进一步巩固用函数的思想解决生活中的问题．
第七环节 课堂小结
内容：本节课主要应掌握以下内容：
1．能通过函数图象获取信息．
2．能利用函数图象解决简单的实际问题．
3．初步体会方程与函数的关系．
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.
第八环节 布置作业
内容：1． 课外探究
在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流．
2．课外作业 习题4.6
4. 一次函数的应用（第3课时）
一、学生起点分析
在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．
教学目标
1. 进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；
2. 在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；
3. 在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．
4. 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣．
教学重点
一次函数图象的应用
教学难点
从函数图象中正确读取信息
三、教法学法
1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展”
2．课前准备：
教具：教材，课件，电脑
学具：教材，练习本，铅笔，直尺
四、教学过程：
本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．
第一环节：情境引入
内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售, 为了方便,
他带了一些零钱备用, 按市场价售出一些后, 又降价出售, 售
出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱) 的关系,
如图所示, 结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前 y 与 x 之间的关系
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完, 这时他手中
的钱(含备用零钱) 是26元, 试问他一共带了多少千克土豆?
活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。
第二环节：问题解决
内容1：例1：小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞
瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，
沿景区公路去“飞瀑”，车速为 36km /h ，小慧也于
上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路
去“飞瀑”，车速为26km /h ．
（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？
（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多
少千米？
分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量
是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？
你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？
解：设经过t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S 1、S 2，
由题意得：S 1=36t ，S 2=26t +10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得
⑴两条直线S 1=36t ，S 2=26t +10的交点坐标为（1，36）
这说明当小聪追上小慧时，S 1=S 2=36km ，即离“古刹”36km ，已超过35km ，也就是说，他们已经过了“草甸”
⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S 1=45km ，此时S 2=42.5km ．
所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km ）
思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S 1=36t ，小慧的解析式为S 2=26t +10) ？
活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．
内容2：深入探究
例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只海 A
A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 B B 公 岸
海 追赶（如图），下图中l 1， l 2分别表示两船相对
于海岸的距离s （海里）与追赶时间t （分）之
间的关系．
根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ 解：观察图象，得当t =0时，B 距海岸0 n mile，即S =0，故l 1表示B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
（2）A ，B 哪个速度快？
解：从0增加到10时，l 2的纵坐标增加了2，而l 1的纵坐标增加了5，即10 min 内，A 行驶了2海里，B 行5 n mile，所以B 的速度快． （3）15 min内B 能否追上A ？
解：可以看出，当t =15时，l 1上对应点在l 2 上对应点的下方，
（4）如果一直追下去，那么B 能否追上A ？ 解：如图l 1 ，l 2相交于点P ．因此，如果一直追下去，
那么驶了
B 一定能追上A ．
（5）当A 逃到离海岸l 2海里的公海时，B 将无法对其检查．照此速度，B 能否在A 逃到公海前将其拦截？ 解：从图中可以看出，l 1与l 2交点P 的纵坐标小于l 2，明在A 逃入公海前，我边防快艇B 能够追上A ．
活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与关系，建立良好的知识联系．
说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力．
第三环节：反馈练习
进行
这说
形的
内容：观察甲、乙两图，解答下列问题
1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描述的情节．
3．根据1中所填答案的图象求：
（1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）； （2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？
4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓言故事，要求如下：
（1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过200字；
（2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于3个，且要分别涉及时间、路和速度这三个量．
意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。
说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心。
5. 如图，l A 与 l B 分别表示A 步行与B 骑车同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系． （1）B 出发时与A 相距多少千米？
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是时？ （3）B 出发后经过多少小时与A 相遇？
（4）若B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
那么经过多少时间与A 相遇？相遇点离B 的出发点多远？ 你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C ．
多少小
A
6. 甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为
y 甲（棵）y ，乙班植树的总量为乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时
y 甲．y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示．
y 甲．y 乙与x 之间的函数关系式．
计时）为x （时），
（1）当0≤x ≤6时，分别求
（2）如果甲．乙两班均保持前6 h 的工作效率，通过计算说明，当x =8时，甲．乙两班植树的总量之和能否超过260棵．
（3）如果6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当x =8时，两班之间植树的总量相
y 差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵． 第四环节：课时小结 内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函
数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式) 完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首
先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果． 意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。
说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。 第五环节：作业布置 作业：习题6.7
回顾与思考
一、学生起点分析
学生在七年级下册已经学过了第四章《变量之间的关系》，对用表格、关系式及图象表示变量间关系有所了解并初步掌握。通过本章的学习，学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去认识一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活运用一次函数及其图象解决实际问题． 二、教学任务分析
教科书上通过六个问题的形式要求教师引导学生回顾本章内容，梳理知识结构。本节课的教学重点一次函数图象的特征及一次函数图象的应用，教学中，教师应通过学生举例建立函数模型，关注学生对一次函数的性质与图像的理解水平与应用一次函数解决实际问题的主动意识和能力． 为此，本节课的教学目标是：
1. 熟练掌握本章的知识网络结构
2. 经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力．
3. 经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力． 4. 经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．
5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
第一环节：课前准备——本章重点内容的归纳与知识结构图的建立 第二环节：合作交流 第三环节：典型例题讲解 第四环节：练习巩固 第五环节：课堂小结 第六环节：布置作业 第一环节 课前准备
活动内容：本章重点内容的归纳与知识结构图的建立（提前一天布置） 以6人合作小组为单位，开展自我归纳与总结活动：
（1）各尽所能从课本、笔记本、教辅资料进行本章重点内容的归纳与知识结构图的建立； （2）根据课本97页回顾与思考提出的五个问题，每一小组准备一个同学就一个问题进行成果汇报．（在必要的情况下，教师可以对学生选择的问题方面给予一定的规定与指导，使合作交流更有实效性）．
活动目的：通过第1个活动，希望学生能自主复习，学会归纳重点内容，通过知识结构图的建立理清本章内容的逻辑关系。培养学生善于总结、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；而在第2个活动中，学生通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神．在课堂中用源于学生真实总结归纳展开教学，必将极大地激发了学生学习的积极性与主动性．
活动实际效果：学生通过小组合作方法建立了初步的知识结构图，通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，进一步感悟了函数模型．这些都充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情和小组团结合作的精神． 第二环节 合作交流
内容：各小组派代表展示自己课前所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的五个问题中的一个问题进行成果汇报．（教师选1—3个小组进行点评并形成完整的知识要点知识与结构图）
目的：经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力．
效果：学生在一个开放的环境下展示、讲解亲自所归纳的本章重点内容与建立的知识结构图。并针对课本97页回顾与思考提出的问题进行深入研究成果，感受到自己的劳动成果被认可的喜悦。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈, 使知识获取更加全面． 第三环节 典型例题讲解
内容：例1．已知y 是x 的一次函数 （1）根据下表写出函数表达式； （2）补全下表
（3）作出函数的图象，并回答下列问题． ①随着x 值的增加，y 值的变化情况是________；
②图象与图象与y 的交点坐标有_______，与x 轴的交点坐标是__________； ③当x__________时，y ≥0．
例2： 甲、乙两人同时从相距90 km的A 地前往B 地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B 地停留半个小时后返回A 地，如图是他们离A 地的距离ｙ（km ）与x （h ）之间的函数关系图像． （1）求甲从B 地返回A 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若乙出发后2 h和甲相遇，求乙从A 地到B 地用了多长时间？
解析：（1）由图象可知y 与x 之间是一次函数关系式，选择图象上两点代入y =kx +b 即可； （2）将x=2代人到甲返回时距离和时间的关系中求出离开A 地的距离，计算出乙的速度，从而算出时间.
解（1）设y =kx +b ，根据题意得⎨
⎧3k +b =0
，
⎩1. 5k +b =90
解得⎨
⎧k =-60
b =180⎩
y =-60x +180(1.5≤x ≤3). （2）当x =2时，y =-60⨯2+180=60 ∴骑摩托车的速度为60÷2=30（km/h） ∴乙从A 地到B 地用时为90÷30=3（h ）
目的：能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
效果：学生理会三种表示方法的内在联系较好
第四环节 练习巩固
1．直线y =x -1的图象经过的象限是（ ）
A 、第一、二、三象限 C 、第二、三、四象限
B 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限
2．时钟在正常运行时，分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°．在运行过程中，时针与分针的夹角会随时间的变化而变化．设时针与分针的夹角为y （度），运行时间为t （分），当时间
从12：00开始到12：30止，y 与t 之间的函数图象是 （ ）
【答案】A ．
3．如图，一次函数y =k x +b 的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①y 随x 的增大而减小； ②b ＞0；
③关于x 的方程k x +b =0的解为x =2．
其中说法正确的有 （把你认为说法正确的序号都填上） 4．如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象
A.
)
B.
)
C.
)
D.
)
y(度度度度平行且经过点A （1，﹣2），求k 与b 的值．
第五环节 课堂小结 （1）函数的概念． （2）一次函数的概念 一次函数与正比例函数的关系. （3）一次函数的不同表示方式.
（4）一次函数，正比例函数的图象各有什么特征.
①一次函数y =kx +b 的图象是一条直线，经过点（0，b ）和(-
图象是经过原点的一条直线. ②在一次函数y =kx +b 中，
b
，0) ， 正比例函数y =kx 的k
当k >0时，y 的值随着x 值的增大而增大； 当k
当k >0时经过一、三象限，当k 0时经过一、二象限，当b
（7）两直线平行则K 相等；两直线垂直则K 互为负倒数； 第六环节 布置作业 课本99页6、7、8、9、14