第三讲 因式分解的应用
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．
因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组) 、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．
因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．
例题求解
【例1】若x 2+xy +y =14y 2+xy +x =28，则x +y 的值为．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于x +y 的二次三项式．
注：
在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．
代数式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；
(3)整体代入求值．
【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则a 4+b 4+c 4-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2的值( )
A ．恒正 B ．恒负C ．可正可负D ．非负
(大原市竞赛题)
思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
【例3】计算下列各题：
（1）
（2）(2⨯2+2)(4⨯7+2)(6⨯9+2)(8⨯11+2) (1994⨯1997+2) ； (1⨯4+2)(3⨯6+2)(5⨯8+2)(7⨯10+2) (1993⨯1996+2) 20003-2⨯20002-1998
2000+2000-200132
思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．
( “希望杯’邀请赛试题)
思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看) ，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程6xy +4x -9y -7=0的整数解；
(上海市竞赛题)
(2)设x 、y 为正整数，且x 2+y 2+4y -96=0，求xy 的值．
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．
链接
解题思路的获得，一般要经历三个步骤：
(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；
(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；
(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．
不定方程(组) 的基本解法有：
(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．
运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．
学力训练
1．已知x+y＝3，x 2+y 2-xy =4，那么x 4+y 4+x 3y +xy 3的值为
2．方程x 2-xy -5x +5y -1=0的整数解是 ( “希望杯”邀请赛试题)
3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝
4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n的量大公约数是
(四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A ．41，48 B ．45，47 C ．43，48 D ．4l ，47
6，已知2x 2－3xy+y2＝0(xy≠0) ，则x y +的值是( ) y x
111 A ． 2，2 B ．2 C ．2 D ．－2，-2 222
7．a 、b 、c 是正整数，a>b，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )
A ．一2 B ．一1 C ．0 D ． 2
(江苏省竞赛题)
8．如果3x 3-x =1，那么9x 4+12x 3-3x 2-7x +2001的值等于( )
A ．1999 B ．2001 C ．2003 D ．2005
（武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
11111(24+)(44+)(64+)(84+)(104+) 44444 （3）计算：11111(14+)(34+)(54+)(74+)(94+) 44444
10．若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数? 给出你的证明．
(“五城市”联赛题)
11．已知a 、b 、c 满足a+b＝5，c 2＝ab+b－9，则c ＝ ． (江苏省竞赛题)
12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(北京市竞赛题)
13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知a 5-a 4b -a 4+a -b -1=0，且2a -3b =1，则a 3+b 3的值等于
( “希望杯”邀请赛试题)
15．设a
关系为( )
A ．x
16．若x+y=－1，则x 4+5x 3y +x 2y +8x 2y 2+xy 2+5xy 3+y 4的值等于( )
A ．0 B ．－1 C ．1 D ． 3
( “希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系 ：p 2-2001p +m =0，q 2-2001q +m =0，m 是适当的整数，那么p 2+q 2的数值是( )
A ．4004006 B ．3996005 C ．3996003 D ．4004004
18．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l (陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)
21．已知b 、c 是整数，二次三项式x 2+bx＋c 既是x 4+6x2+25的一个因式，也是x 3+4x2+28x+5的一个因式，求x ＝1时，x 2+bx＋c 的值．
(美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a 、b ，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，„„每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)
第三讲 因式分解的应用
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．
因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组) 、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．
因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．
例题求解
【例1】若x 2+xy +y =14y 2+xy +x =28，则x +y 的值为．
(全国初中数学联赛题)
思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于x +y 的二次三项式．
注：
在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．
代数式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；
(3)整体代入求值．
【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则a 4+b 4+c 4-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2的值( )
A ．恒正 B ．恒负C ．可正可负D ．非负
(大原市竞赛题)
思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．
【例3】计算下列各题：
（1）
（2）(2⨯2+2)(4⨯7+2)(6⨯9+2)(8⨯11+2) (1994⨯1997+2) ； (1⨯4+2)(3⨯6+2)(5⨯8+2)(7⨯10+2) (1993⨯1996+2) 20003-2⨯20002-1998
2000+2000-200132
思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．
【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．
( “希望杯’邀请赛试题)
思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看) ，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程6xy +4x -9y -7=0的整数解；
(上海市竞赛题)
(2)设x 、y 为正整数，且x 2+y 2+4y -96=0，求xy 的值．
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．
链接
解题思路的获得，一般要经历三个步骤：
(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；
(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；
(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．
不定方程(组) 的基本解法有：
(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．
运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．
学力训练
1．已知x+y＝3，x 2+y 2-xy =4，那么x 4+y 4+x 3y +xy 3的值为
2．方程x 2-xy -5x +5y -1=0的整数解是 ( “希望杯”邀请赛试题)
3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d＝
4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n的量大公约数是
(四川省竞赛题)
5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )
A ．41，48 B ．45，47 C ．43，48 D ．4l ，47
6，已知2x 2－3xy+y2＝0(xy≠0) ，则x y +的值是( ) y x
111 A ． 2，2 B ．2 C ．2 D ．－2，-2 222
7．a 、b 、c 是正整数，a>b，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )
A ．一2 B ．一1 C ．0 D ． 2
(江苏省竞赛题)
8．如果3x 3-x =1，那么9x 4+12x 3-3x 2-7x +2001的值等于( )
A ．1999 B ．2001 C ．2003 D ．2005
（武汉市选拔赛试题）
9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；
(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；
11111(24+)(44+)(64+)(84+)(104+) 44444 （3）计算：11111(14+)(34+)(54+)(74+)(94+) 44444
10．若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数? 给出你的证明．
(“五城市”联赛题)
11．已知a 、b 、c 满足a+b＝5，c 2＝ab+b－9，则c ＝ ． (江苏省竞赛题)
12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(北京市竞赛题)
13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则．(“祖冲之杯”邀请赛试题)
14．已知a 5-a 4b -a 4+a -b -1=0，且2a -3b =1，则a 3+b 3的值等于
( “希望杯”邀请赛试题)
15．设a
关系为( )
A ．x
16．若x+y=－1，则x 4+5x 3y +x 2y +8x 2y 2+xy 2+5xy 3+y 4的值等于( )
A ．0 B ．－1 C ．1 D ． 3
( “希望杯”邀请赛试题)
17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系 ：p 2-2001p +m =0，q 2-2001q +m =0，m 是适当的整数，那么p 2+q 2的数值是( )
A ．4004006 B ．3996005 C ．3996003 D ．4004004
18．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )
A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l (陕西省竞赛题)
19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k不是质数．
20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)
21．已知b 、c 是整数，二次三项式x 2+bx＋c 既是x 4+6x2+25的一个因式，也是x 3+4x2+28x+5的一个因式，求x ＝1时，x 2+bx＋c 的值．
(美国中学生数学竞赛题)
22．按下面规则扩充新数：
已有两数a 、b ，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a 、b 、c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，„„每扩充一个新数叫做一次操作．
现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)