贝塞尔函数
1. 贝塞尔方程及解:
令u (, ϕ, τ)=R(, )Φ(ϕ)Z(τ)为分离变量的解，则R (, )满足本征值问题的方程，
∂2R 1dy dR ⎛2m 2⎫ 2++ ω-2⎪R =0 （17.1.1） ∂dx d ⎝⎭
其中ω2是分量的本征值问题的本征值。 R() =R() =y(x);m=ν 则上面方程可以变换：若作变换x =ω(或x =λ) ；x
ω
x 2y //+x 2y /+(x-ν2) y =0 （17.1.1a ）
当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为：
y (x)=AJ ν(x)+BJ -ν(x)
当ν=整数时，由于J -m =(-1) m J m (x)，因此通解为
y (x)=AJ m (x)+BY m (x)
式中A 与B 为任意常数，J m (x)与Y m (x)分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。
2. 贝塞尔方程的的级数解
二阶线性齐次常微分方程x 2y '' +xy ' +(x2-υ2) y =0,0≤x ≤b 为贝塞尔方程
现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解
2.1级数解的形式
由1p(x)=x ν2,q(x)=1-2可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)x
的二阶极点。因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式;
y =x ∑C k x =∑C k x k +p 2.1.1 k =0k =0n ∞k ∞
2.2指标方程
将2.1.1代入贝塞尔方程可得：
22k +p k +ρ+3⎤∑⎡(k+ρ) -νC x +∑C x =0 2.1.2 k k ⎣⎦k =0k =0∞∞
由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得：
x ρ(ρ2-ν2)C 0=0
因C 0≠0，即得指标方程ρ2-ν2=0。由此得指标
ρ1=ν, ρ2=-ν
2.3．系数递推公式
为确定起见，令ν>0，并将ρ=ρ1=ν代入2.1.2中得到
22k +νk +ν+2⎤∑⎡(k+ν) -νC x +∑C x =0 k k ⎣⎦k =0k =0∞∞
改变第二项的求和指标，可得
k =0∑k(k+2ν) C k x k +ν+∑C k -2x k +ν=0 k =2∞∞
由x 的同次幂数之和为0，(1+2ν) C 1=0 k(k+2ν) k C k +C k -2=0
由此得
C 1=0
2.4. 推公式求系数得特解
………
将系数代入1.1中的贝塞尔方程的一个特解为 (-1) C k =C k -2 k(k+2ν)
(-1) n Γ(-ν+1)C 02n +νy 1(x)=∑2n x n =02n ! Γ(ν+n +1) ∞
2.5. 另一个特解
同理，令ρ=ρ2=-ν可得另一个特解为
(-1) n Γ(-ν+1)C 02n -νy 2(x)=∑2n x n =02n ! Γ(-ν+n +1) ∞
3. 第一类贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数J ν(x)的级数形式为
dy x ν+2k J ν(x)=∑(-1) () k ! Γ(ν+κ+1) 2k =1∞k
m 经过证明可得：J -m (x)=(-1) J , m (x)
同理可得：J -m (x)=J , m (x)
m J (x)=(-1) J -m (x) 因此：, m
4. 第二类贝塞尔函数：
第二类贝塞尔函数是Weber 和Schlafli ,通常把它定义为
Y ν(x)
Y m (x)的级数形式为
Y m (x)=cos νπJ (x)-J -ν(x) sin νπ
2⎡x ⎤1m -1(m-k -1)! x -m +2k 1∞(-1) k x m +2κγ+ln J (x)-() -ϕ(k)+ϕ(m+κ) () {}∑∑m k ⎥π⎢2πk ! 2πk !(m+k) 2⎣⎦k =0k =0
式中γ=0.577216,而
ϕ(k)=∑1
n =1κn
当x 很小时，可得
Y 0≈
当x 很大时，
Y ν(x)≈
5. 第三类贝塞尔函数
通常定义为
(1) H ν=J ν(x)+iY ν(x)
(2) H ν=J ν(x)-iY ν(x) 2πlnx （ν=0） πνx (x--) （17.1.12） 42
则方程（17.1.1 a）的通解可以写成为
(1)(2)+B H ν(x) y(x)=AH ν
当x →∞时其渐进展开式为
H ν(1)3-i (x-ν2x ) =+o (x2) （17.1.14a ）
3) --i (x-ν
2x -π
4=+o (x2) （17.1.14b ） H ν(2)
当x →0时其渐进展开式为
H ν(x)≈-i (ν-1)! 2() πx
2(2)H ν(x)≈-i ln x （ν>0） π
总结上述，ν阶贝塞尔方程
x 2y +xy /+(x2-ν2) y =0 的通解有三种形式：
(1)y(x)=AJ(x)+BJ (x) (ν≠0)
(2)y(x)=AJ(x)+BY ν(x) (ν可取任意整数)
(1) (3)y(x)=AH ν(x)+BH ν(2)(x) (ν可取任意整数)
其中A,B 为常数。
6贝塞尔函数的基本性质
6.1生成函数
如果一个函数的级数展开式系数是贝塞尔函数，则该函数为贝赛尔函数的生成函数，即如果有
n J (x)r f(x,r)=∑n n
则称f(x,r)为J n (x)的生成函数，其中r 为参数。生成函数有非常广泛的应用。
整数阶贝塞尔函数J n (x)的生成函数为
∞⎡x ⎛1⎫⎤n exp r -=J x r ⎪⎥∑n () ⎢2 r ⎭⎦n =-∞⎣⎝
6.2递推公式
阶数邻近的贝塞尔函数之间存在一定的关系式，称为递推公式。基本的递推公式是
d νν⎡⎤x J X =x J ν-1(X ) ()ν ⎣⎦dx
d -ν-ν⎡⎤x J X =-x J ν+1(X ) ()ν⎣⎦dx
贝塞尔函数还有如下两个常用的递推公式
1J ν(x)=⎡J ν-1(x )-J ν+1(x )⎤⎣⎦ 2'
2νJ ν-1(x )+J ν+1(x )=J ν(x ) x
N 阶贝塞尔函数的积分表示为：
当n=0时 J n (x )=π⎰1ππ⎰1π0cos (x sin θ-n θ)d θ
0c o (s x s θi )n θd
这是零阶贝塞尔函数积分表示
可以看出，贝塞尔函数的积分表示其实是用正弦和余弦函数积分形式表示贝塞尔函数。
6.3渐近公式
余弦函数是J 0(x )的渐近公式
J 0(
x )≈π-) 4
一般情况下，你n 阶贝塞尔函数J 0(x )有渐近公式
J n (
x )≈
πn π--) （n=0,1,2…. ） 42
贝塞尔函数
1. 贝塞尔方程及解:
令u (, ϕ, τ)=R(, )Φ(ϕ)Z(τ)为分离变量的解，则R (, )满足本征值问题的方程，
∂2R 1dy dR ⎛2m 2⎫ 2++ ω-2⎪R =0 （17.1.1） ∂dx d ⎝⎭
其中ω2是分量的本征值问题的本征值。 R() =R() =y(x);m=ν 则上面方程可以变换：若作变换x =ω(或x =λ) ；x
ω
x 2y //+x 2y /+(x-ν2) y =0 （17.1.1a ）
当ν≠整数时，贝塞尔方程的通解为：
y (x)=AJ ν(x)+BJ -ν(x)
当ν=整数时，由于J -m =(-1) m J m (x)，因此通解为
y (x)=AJ m (x)+BY m (x)
式中A 与B 为任意常数，J m (x)与Y m (x)分别定义为 m 阶第一类与m 阶第二类贝塞尔函数。
2. 贝塞尔方程的的级数解
二阶线性齐次常微分方程x 2y '' +xy ' +(x2-υ2) y =0,0≤x ≤b 为贝塞尔方程
现在x=0的领域求解贝塞尔方程的解
2.1级数解的形式
由1p(x)=x ν2,q(x)=1-2可见，x=0是p=（x ）的一阶极点，是q(x)x
的二阶极点。因此，x=0是方程的正则奇点，方程的第一解具有形式;
y =x ∑C k x =∑C k x k +p 2.1.1 k =0k =0n ∞k ∞
2.2指标方程
将2.1.1代入贝塞尔方程可得：
22k +p k +ρ+3⎤∑⎡(k+ρ) -νC x +∑C x =0 2.1.2 k k ⎣⎦k =0k =0∞∞
由x 的最低次幂x ρ的系数为0，即得：
x ρ(ρ2-ν2)C 0=0
因C 0≠0，即得指标方程ρ2-ν2=0。由此得指标
ρ1=ν, ρ2=-ν
2.3．系数递推公式
为确定起见，令ν>0，并将ρ=ρ1=ν代入2.1.2中得到
22k +νk +ν+2⎤∑⎡(k+ν) -νC x +∑C x =0 k k ⎣⎦k =0k =0∞∞
改变第二项的求和指标，可得
k =0∑k(k+2ν) C k x k +ν+∑C k -2x k +ν=0 k =2∞∞
由x 的同次幂数之和为0，(1+2ν) C 1=0 k(k+2ν) k C k +C k -2=0
由此得
C 1=0
2.4. 推公式求系数得特解
………
将系数代入1.1中的贝塞尔方程的一个特解为 (-1) C k =C k -2 k(k+2ν)
(-1) n Γ(-ν+1)C 02n +νy 1(x)=∑2n x n =02n ! Γ(ν+n +1) ∞
2.5. 另一个特解
同理，令ρ=ρ2=-ν可得另一个特解为
(-1) n Γ(-ν+1)C 02n -νy 2(x)=∑2n x n =02n ! Γ(-ν+n +1) ∞
3. 第一类贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数J ν(x)的级数形式为
dy x ν+2k J ν(x)=∑(-1) () k ! Γ(ν+κ+1) 2k =1∞k
m 经过证明可得：J -m (x)=(-1) J , m (x)
同理可得：J -m (x)=J , m (x)
m J (x)=(-1) J -m (x) 因此：, m
4. 第二类贝塞尔函数：
第二类贝塞尔函数是Weber 和Schlafli ,通常把它定义为
Y ν(x)
Y m (x)的级数形式为
Y m (x)=cos νπJ (x)-J -ν(x) sin νπ
2⎡x ⎤1m -1(m-k -1)! x -m +2k 1∞(-1) k x m +2κγ+ln J (x)-() -ϕ(k)+ϕ(m+κ) () {}∑∑m k ⎥π⎢2πk ! 2πk !(m+k) 2⎣⎦k =0k =0
式中γ=0.577216,而
ϕ(k)=∑1
n =1κn
当x 很小时，可得
Y 0≈
当x 很大时，
Y ν(x)≈
5. 第三类贝塞尔函数
通常定义为
(1) H ν=J ν(x)+iY ν(x)
(2) H ν=J ν(x)-iY ν(x) 2πlnx （ν=0） πνx (x--) （17.1.12） 42
则方程（17.1.1 a）的通解可以写成为
(1)(2)+B H ν(x) y(x)=AH ν
当x →∞时其渐进展开式为
H ν(1)3-i (x-ν2x ) =+o (x2) （17.1.14a ）
3) --i (x-ν
2x -π
4=+o (x2) （17.1.14b ） H ν(2)
当x →0时其渐进展开式为
H ν(x)≈-i (ν-1)! 2() πx
2(2)H ν(x)≈-i ln x （ν>0） π
总结上述，ν阶贝塞尔方程
x 2y +xy /+(x2-ν2) y =0 的通解有三种形式：
(1)y(x)=AJ(x)+BJ (x) (ν≠0)
(2)y(x)=AJ(x)+BY ν(x) (ν可取任意整数)
(1) (3)y(x)=AH ν(x)+BH ν(2)(x) (ν可取任意整数)
其中A,B 为常数。
6贝塞尔函数的基本性质
6.1生成函数
如果一个函数的级数展开式系数是贝塞尔函数，则该函数为贝赛尔函数的生成函数，即如果有
n J (x)r f(x,r)=∑n n
则称f(x,r)为J n (x)的生成函数，其中r 为参数。生成函数有非常广泛的应用。
整数阶贝塞尔函数J n (x)的生成函数为
∞⎡x ⎛1⎫⎤n exp r -=J x r ⎪⎥∑n () ⎢2 r ⎭⎦n =-∞⎣⎝
6.2递推公式
阶数邻近的贝塞尔函数之间存在一定的关系式，称为递推公式。基本的递推公式是
d νν⎡⎤x J X =x J ν-1(X ) ()ν ⎣⎦dx
d -ν-ν⎡⎤x J X =-x J ν+1(X ) ()ν⎣⎦dx
贝塞尔函数还有如下两个常用的递推公式
1J ν(x)=⎡J ν-1(x )-J ν+1(x )⎤⎣⎦ 2'
2νJ ν-1(x )+J ν+1(x )=J ν(x ) x
N 阶贝塞尔函数的积分表示为：
当n=0时 J n (x )=π⎰1ππ⎰1π0cos (x sin θ-n θ)d θ
0c o (s x s θi )n θd
这是零阶贝塞尔函数积分表示
可以看出，贝塞尔函数的积分表示其实是用正弦和余弦函数积分形式表示贝塞尔函数。
6.3渐近公式
余弦函数是J 0(x )的渐近公式
J 0(
x )≈π-) 4
一般情况下，你n 阶贝塞尔函数J 0(x )有渐近公式
J n (
x )≈
πn π--) （n=0,1,2…. ） 42