16.3 梯形的性质
教学目标
知识与技能：探索并掌握梯形的有关概念、性质，了解几种常见的特殊梯形． 过程与方法：经历探索梯形性质的过程，发展说理意识，主动探索的精神．
情感态度与价值观：体会平移、对称有关知识在研究梯形性质中的作用，应用“化归”思想．
重点、难点
重点：理解梯形性质，发展合情推理能力． 难点：学会几何语言表达． 教具准备 挂图或投影． 教学设计 教学过程 一、回顾
1．哪些四边形是平行四边形？ 2．哪些平行四边形是菱形？ 3．哪些平行四边形是矩形？ 4．哪些四边形是正方形？ 二、创设情境，导入新知
展示如下图投影．
学生观察后，提出问题：
上面几幅是日常生活中常见的梯子、跳箱、堤坝的横断面，这些图中有你熟悉的图形吗？
学生说出图形的名称，它们中都含有梯形．
教师：今天我们就要研究梯形的有关概念和它的性质及识别条件． 揭示课题：梯形（板书）． 三、结果概念，探索规律
1．教师问：从上面图形中，你发现梯形与平行四边形有何异同点？
学生回答：相同是都有一组对边平行，不同的是：梯形只有一组对边平行． 教师问：你能给梯形下定义吗？
在学生回答后，老师板书：只有一组对边平行的四边形叫做梯形． 2．梯形的元素：
平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高．如图所示．
3．梯形的分类：
梯形可分为一般梯形、等腰梯形和直角梯形． 两腰相等的矩形叫做等腰梯形．
一腰与底边垂直的梯形叫做直角梯形． 四、动手操作，感悟知识
根据要求操作：让学生拿出一张半透明的方格纸，如图所示．
步骤1：画一个等腰梯形ABCD ，（AD ∥BC ）
步骤2：取AD ，BC 的中点E ，F ，过E ，F 作直线．
步骤3：将等腰梯形沿着直线EF 对折，你发现了什么？ 学生回答：四边形AEFB 与四边形DEFC 完全重合． 由此你可得到什么结论． 学生回答：
1．等腰梯形是轴对称图形．
2．等腰梯形同一底上两个内角相等．
教师问：如果连结AC 和BD ，AC 交BD 于O ，对折后你还发现什么？（如图所示）
E B
F
学生回答：
3．等腰梯形的两条对角线相等． 五、结合范例，分析理解
例1 延长等腰梯形ABCD 的两腰BA 与CD 相交于E ，试说明△EBC 和△EAD•都是等腰三角形．
学生根据条件对照图形思考．
教师问：要说明一个三角形是等腰三角形，要几条途径？ 学生回答：
（1）两个内角相等． （2）两条边相等．
教师：你准备从何入手？
学生思考后回答：从等角入手．（为什么？）
由于等腰梯形同一底上的两个内角相等，可以用． 这样△EBC 是等腰三角形就可获得．
那么△EAD 是等腰三角形，说明时从何入手呢？ 学生回答也可以从等角入手．
由于AD ∥BC ，即可获得∠EAD=∠B=∠C=∠EDA ． 有的同学认为也可以从等边入手．
由于△EBC 是等腰三角形，得EB=EC，而AB=DC 即可获得EA=ED
解法一：由于ABCD 的AD ∥BC ，AB=DC， 所以∠B=∠2，∠B=∠1，∠C=∠2． 即EB=EC，∠1=∠2， 那么EA=∠ED ．
因此△EBC 和△EAD 都是等腰三角形． 解法二：由等腰梯形得∠B=∠C ， 推得△EBC 为等腰三角形． 即EB=EC，又AB=CD， 得EA=ED．
故△EAD 也是等腰三角形．
例2 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，CE ∥DA ：已知AB=8，DC=5，DA=6，求△CEB 的周长．
学生审题后． 教师问：欲求△CEB 的周长，就要知道什么？ 学生答：要求CE+EB+CB的值．
教师问：这三条线段与已知线段的关系如何？ 学生答：由条件知道ABCD 是等腰梯形，CB=AD=6，
A
E 由于DC ∥AB ，AD ∥EC ，
所以AECD 是平行四边形．
即可获得CE=AD=6． 又AE=DC=5， 故EB=8-5=3．
这样△CEB 的周长即可获得． 解：因为AD ∥EC ，DC ∥AB ． 所以AECD 是平行四边形． 即CE=AD=6，AE=DC=3． 由于ABCD 是等腰梯形． 故CB=AD=6．
那么EB=AB-AE=3．
于是△CEB 的周长为CE+EB+BC=6+3+6=15． 六、随堂练习
课本P111练习 第1，2题．
练习第2题参考答案：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC•延长线上一点，BE=BC，试说明∠A 和∠E 的关系．
分析：要说明∠A 与∠E 的关系应先找∠A 与哪些角有关系？ 由于ABCD 是等腰梯形， 所以∠A=∠1．
又AB ∥CD ，即∠1=∠2． 那么∠A=∠2，而BC=CE， 所以∠2=∠E ， 故∠A=∠E ．
解：因为ABCD 的DC ∥AB ，AD=BC． 所以∠A=∠1=∠2． 又CB=BE． 所以∠2=∠E 即∠A=∠E 七、作业布置
1．课本P111习题16．3第1，2题． 2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、判断题
1．有一组对边平行的四边形是梯形．（ ）
2．已知梯形ABCD 中，DA>BC，DC∠C ，则AD>BC．（ ）
3．梯形的四个内角平分线，•如果能围成一个四边形则可围成一个一组对角相等，另一组对角互补的四边形．（ ）
4．对角互补的梯形是等腰梯形．（ ）
5．有一组邻角相等的梯形是等腰梯形．（ ）
6．一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形．（ ） 7．等腰梯形的两腰延长线与过两底边中点的直线交于一点．（ ） 8．等腰梯形是轴对称图形又是中心对称图形．（ ） 二、填空题
9．梯形上底长为5cm ，过上底的一端引一腰的平行线与下底相交，•若所得三角形的周长为20cm ，则梯形的周长为_______．
10．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底的一个底角为_____． 11．若等腰梯形ABCD 的周长为30cm ，AD ∥BC ，BC=2AD，BD 平分∠ABC ，则AB=______，AD=______，∠A=______，∠B=_______．
12．已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠A ：∠B ：∠C=4：1：2，则∠D=______． 13．等腰梯形的高等于它的腰的一半时，那么这个等腰梯形的较大角为____． 14．同一底上两个内角相等的梯形，上底长为9cm ，下底长为17cm ，•一个底角为60°，则一腰长为_______．
15．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=2∠D ，AD=a，CD=b，则AB=_______．
16．等腰梯形的腰长与上底相等，下底是上底的2倍，则这个梯形的各内角度数分别为______．
17．梯形ABCD 的AD ∥BC （AD
19．四边形四个内角的度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ）． A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形
20．直角梯形一腰是另一腰的2倍，则此梯形的最大角与最小角之比为（ ）． A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
21．在周长为40cm 的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC 交BC 于E ，AD=5cm，则△ABE•的周长为（ ）．
A．40cm B．30cm C．20cm D．15cm 22．以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边画梯形，其中a 、c 为两底，这样的梯形（ ）． A．可画一个 B．能画二个 C．能画无数个 D．不能画
23．梯形上底长为6cm ，•过上底一个顶点引一腰的平行线交下底所得三角形周长为195cm ，那么这个梯形周长为（ ）．
A．151cm B．201cm C．207cm D．263cm
24．在梯形ABCD 中，AB>DC，AD>BC，那么下列关系成立的是（ ）． A．∠A>∠B B．∠A=∠B C．∠A
C．梯形有两个内角是锐角，其余两个内角为钝角 D．梯形的对角互补
26．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是（ ）． A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．平行四边形或等腰梯形 27．有如下四个命题，其中不正确的命题有（ ）． ①有两个角相等的梯形是等腰梯形． ②有两条对角线相等的梯形是等腰梯形． ③有两条边相等的梯形是等腰梯形． ④有两个直角的梯形是直角梯形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）．
A．线段 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 四、解答题
29．如图所示，已知梯形ABCD 的AD ∥BC ，AB=AD=BC，BD=BC，求∠C ．
30．如图所示，等腰梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC 的平分线恰为BD ，•已知梯形的周长为50cm ，AD=
1
BC ，求梯形的各边长．
2
2
31．如图所示，已知一等腰梯形上、下底长分别为20cm ，•40cm，•其面积为300cm ，求它的各内角度数．
32．如图所示，已知直角梯形的一腰长为10cm ，这腰与底所成的角为30°，上底长为3cm ，求直角腰的长．
33．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=∠B ，E 为AB•中点，•试说明ED=EC．
34．如图所示，已知梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=BC，DE ⊥AB 于E ，试说明AE=AB-CD ）．
1
2
35．如图所示，在梯形ABCD 中AB ∥CD ，M 、N 是CD 和AB 的中点，MN ⊥AB ，试说明：AD=BC．
36．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，两对角线交于M ，若AD=BD，AC=AB，•∠ADB=90°，试说明：（1）∠CAB=30°；（2）BM=BC．
答案:
一、1．× 2．× 3．× 4．∨ 5．× 6．∨ 7．∨ 8．×
二、9．30cm 10．45° 11．6cm 6cm 120° 60° 12．108° 13．•150•° •14．8 15．b-a 16．60° 120° 60° 120° 17．n-m 18．
a 2
三、19．D 20．C 21．B 22．D 23．C 24．C 25．A 26．D 27．B 28．C
四、29．72° 30．10cm 10cm 10cm 20cm 31．45° 135° 45° 135•° 32．5cm 33．延长AD ，BC 交于M ，由于∠A=∠B ，
所以AM=BM，由于E 为AB 中点，所以ME•⊥AB ，
又DC ∥AB ，即DC ⊥ME ，∠MDC=∠A ，∠MCD=∠B ，即∠MDC=∠MCD ， 所以ME 是DC•的垂直平分线，那么DE=EC 34．作DB ′∥CB 交AB 于B ′，
由于DC ∥AB ，即四边形DB ′BC 是平行四边形，B ′B=DC，DB ′=CB=AD， 又DE ⊥AB ，即AE=EB′， 所以AE=
1
（AB-CD ） 2
35～36．略.
16.3 梯形的性质
教学目标
知识与技能：探索并掌握梯形的有关概念、性质，了解几种常见的特殊梯形． 过程与方法：经历探索梯形性质的过程，发展说理意识，主动探索的精神．
情感态度与价值观：体会平移、对称有关知识在研究梯形性质中的作用，应用“化归”思想．
重点、难点
重点：理解梯形性质，发展合情推理能力． 难点：学会几何语言表达． 教具准备 挂图或投影． 教学设计 教学过程 一、回顾
1．哪些四边形是平行四边形？ 2．哪些平行四边形是菱形？ 3．哪些平行四边形是矩形？ 4．哪些四边形是正方形？ 二、创设情境，导入新知
展示如下图投影．
学生观察后，提出问题：
上面几幅是日常生活中常见的梯子、跳箱、堤坝的横断面，这些图中有你熟悉的图形吗？
学生说出图形的名称，它们中都含有梯形．
教师：今天我们就要研究梯形的有关概念和它的性质及识别条件． 揭示课题：梯形（板书）． 三、结果概念，探索规律
1．教师问：从上面图形中，你发现梯形与平行四边形有何异同点？
学生回答：相同是都有一组对边平行，不同的是：梯形只有一组对边平行． 教师问：你能给梯形下定义吗？
在学生回答后，老师板书：只有一组对边平行的四边形叫做梯形． 2．梯形的元素：
平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高．如图所示．
3．梯形的分类：
梯形可分为一般梯形、等腰梯形和直角梯形． 两腰相等的矩形叫做等腰梯形．
一腰与底边垂直的梯形叫做直角梯形． 四、动手操作，感悟知识
根据要求操作：让学生拿出一张半透明的方格纸，如图所示．
步骤1：画一个等腰梯形ABCD ，（AD ∥BC ）
步骤2：取AD ，BC 的中点E ，F ，过E ，F 作直线．
步骤3：将等腰梯形沿着直线EF 对折，你发现了什么？ 学生回答：四边形AEFB 与四边形DEFC 完全重合． 由此你可得到什么结论． 学生回答：
1．等腰梯形是轴对称图形．
2．等腰梯形同一底上两个内角相等．
教师问：如果连结AC 和BD ，AC 交BD 于O ，对折后你还发现什么？（如图所示）
E B
F
学生回答：
3．等腰梯形的两条对角线相等． 五、结合范例，分析理解
例1 延长等腰梯形ABCD 的两腰BA 与CD 相交于E ，试说明△EBC 和△EAD•都是等腰三角形．
学生根据条件对照图形思考．
教师问：要说明一个三角形是等腰三角形，要几条途径？ 学生回答：
（1）两个内角相等． （2）两条边相等．
教师：你准备从何入手？
学生思考后回答：从等角入手．（为什么？）
由于等腰梯形同一底上的两个内角相等，可以用． 这样△EBC 是等腰三角形就可获得．
那么△EAD 是等腰三角形，说明时从何入手呢？ 学生回答也可以从等角入手．
由于AD ∥BC ，即可获得∠EAD=∠B=∠C=∠EDA ． 有的同学认为也可以从等边入手．
由于△EBC 是等腰三角形，得EB=EC，而AB=DC 即可获得EA=ED
解法一：由于ABCD 的AD ∥BC ，AB=DC， 所以∠B=∠2，∠B=∠1，∠C=∠2． 即EB=EC，∠1=∠2， 那么EA=∠ED ．
因此△EBC 和△EAD 都是等腰三角形． 解法二：由等腰梯形得∠B=∠C ， 推得△EBC 为等腰三角形． 即EB=EC，又AB=CD， 得EA=ED．
故△EAD 也是等腰三角形．
例2 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，CE ∥DA ：已知AB=8，DC=5，DA=6，求△CEB 的周长．
学生审题后． 教师问：欲求△CEB 的周长，就要知道什么？ 学生答：要求CE+EB+CB的值．
教师问：这三条线段与已知线段的关系如何？ 学生答：由条件知道ABCD 是等腰梯形，CB=AD=6，
A
E 由于DC ∥AB ，AD ∥EC ，
所以AECD 是平行四边形．
即可获得CE=AD=6． 又AE=DC=5， 故EB=8-5=3．
这样△CEB 的周长即可获得． 解：因为AD ∥EC ，DC ∥AB ． 所以AECD 是平行四边形． 即CE=AD=6，AE=DC=3． 由于ABCD 是等腰梯形． 故CB=AD=6．
那么EB=AB-AE=3．
于是△CEB 的周长为CE+EB+BC=6+3+6=15． 六、随堂练习
课本P111练习 第1，2题．
练习第2题参考答案：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为DC•延长线上一点，BE=BC，试说明∠A 和∠E 的关系．
分析：要说明∠A 与∠E 的关系应先找∠A 与哪些角有关系？ 由于ABCD 是等腰梯形， 所以∠A=∠1．
又AB ∥CD ，即∠1=∠2． 那么∠A=∠2，而BC=CE， 所以∠2=∠E ， 故∠A=∠E ．
解：因为ABCD 的DC ∥AB ，AD=BC． 所以∠A=∠1=∠2． 又CB=BE． 所以∠2=∠E 即∠A=∠E 七、作业布置
1．课本P111习题16．3第1，2题． 2．选用课时作业设计．
课时作业设计
一、判断题
1．有一组对边平行的四边形是梯形．（ ）
2．已知梯形ABCD 中，DA>BC，DC∠C ，则AD>BC．（ ）
3．梯形的四个内角平分线，•如果能围成一个四边形则可围成一个一组对角相等，另一组对角互补的四边形．（ ）
4．对角互补的梯形是等腰梯形．（ ）
5．有一组邻角相等的梯形是等腰梯形．（ ）
6．一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形．（ ） 7．等腰梯形的两腰延长线与过两底边中点的直线交于一点．（ ） 8．等腰梯形是轴对称图形又是中心对称图形．（ ） 二、填空题
9．梯形上底长为5cm ，过上底的一端引一腰的平行线与下底相交，•若所得三角形的周长为20cm ，则梯形的周长为_______．
10．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底的一个底角为_____． 11．若等腰梯形ABCD 的周长为30cm ，AD ∥BC ，BC=2AD，BD 平分∠ABC ，则AB=______，AD=______，∠A=______，∠B=_______．
12．已知梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠A ：∠B ：∠C=4：1：2，则∠D=______． 13．等腰梯形的高等于它的腰的一半时，那么这个等腰梯形的较大角为____． 14．同一底上两个内角相等的梯形，上底长为9cm ，下底长为17cm ，•一个底角为60°，则一腰长为_______．
15．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=2∠D ，AD=a，CD=b，则AB=_______．
16．等腰梯形的腰长与上底相等，下底是上底的2倍，则这个梯形的各内角度数分别为______．
17．梯形ABCD 的AD ∥BC （AD
19．四边形四个内角的度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ）． A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形
20．直角梯形一腰是另一腰的2倍，则此梯形的最大角与最小角之比为（ ）． A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
21．在周长为40cm 的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥DC 交BC 于E ，AD=5cm，则△ABE•的周长为（ ）．
A．40cm B．30cm C．20cm D．15cm 22．以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边画梯形，其中a 、c 为两底，这样的梯形（ ）． A．可画一个 B．能画二个 C．能画无数个 D．不能画
23．梯形上底长为6cm ，•过上底一个顶点引一腰的平行线交下底所得三角形周长为195cm ，那么这个梯形周长为（ ）．
A．151cm B．201cm C．207cm D．263cm
24．在梯形ABCD 中，AB>DC，AD>BC，那么下列关系成立的是（ ）． A．∠A>∠B B．∠A=∠B C．∠A
C．梯形有两个内角是锐角，其余两个内角为钝角 D．梯形的对角互补
26．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是（ ）． A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．平行四边形或等腰梯形 27．有如下四个命题，其中不正确的命题有（ ）． ①有两个角相等的梯形是等腰梯形． ②有两条对角线相等的梯形是等腰梯形． ③有两条边相等的梯形是等腰梯形． ④有两个直角的梯形是直角梯形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）．
A．线段 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 四、解答题
29．如图所示，已知梯形ABCD 的AD ∥BC ，AB=AD=BC，BD=BC，求∠C ．
30．如图所示，等腰梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC 的平分线恰为BD ，•已知梯形的周长为50cm ，AD=
1
BC ，求梯形的各边长．
2
2
31．如图所示，已知一等腰梯形上、下底长分别为20cm ，•40cm，•其面积为300cm ，求它的各内角度数．
32．如图所示，已知直角梯形的一腰长为10cm ，这腰与底所成的角为30°，上底长为3cm ，求直角腰的长．
33．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=∠B ，E 为AB•中点，•试说明ED=EC．
34．如图所示，已知梯形ABCD 中，CD ∥AB ，AD=BC，DE ⊥AB 于E ，试说明AE=AB-CD ）．
1
2
35．如图所示，在梯形ABCD 中AB ∥CD ，M 、N 是CD 和AB 的中点，MN ⊥AB ，试说明：AD=BC．
36．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，两对角线交于M ，若AD=BD，AC=AB，•∠ADB=90°，试说明：（1）∠CAB=30°；（2）BM=BC．
答案:
一、1．× 2．× 3．× 4．∨ 5．× 6．∨ 7．∨ 8．×
二、9．30cm 10．45° 11．6cm 6cm 120° 60° 12．108° 13．•150•° •14．8 15．b-a 16．60° 120° 60° 120° 17．n-m 18．
a 2
三、19．D 20．C 21．B 22．D 23．C 24．C 25．A 26．D 27．B 28．C
四、29．72° 30．10cm 10cm 10cm 20cm 31．45° 135° 45° 135•° 32．5cm 33．延长AD ，BC 交于M ，由于∠A=∠B ，
所以AM=BM，由于E 为AB 中点，所以ME•⊥AB ，
又DC ∥AB ，即DC ⊥ME ，∠MDC=∠A ，∠MCD=∠B ，即∠MDC=∠MCD ， 所以ME 是DC•的垂直平分线，那么DE=EC 34．作DB ′∥CB 交AB 于B ′，
由于DC ∥AB ，即四边形DB ′BC 是平行四边形，B ′B=DC，DB ′=CB=AD， 又DE ⊥AB ，即AE=EB′， 所以AE=
1
（AB-CD ） 2
35～36．略.