微积分初步形成性考核作业（一）解答
————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数f (x ) =
1
的定义域是．
ln(x -2)
， {
解：{
ln(x -2) ≠0x -2>0
x ≠3x >2
所以函数f (x ) =
1
的定义域是(2, 3) ⋃(3, +∞)
ln(x -2)
2．函数f (x ) =
1-x
的定义域是
解：5-x >0，x
所以函数f (x ) =
15-x
的定义域是(-∞, 5)
3．函数f (x ) =
1
+4-x 2的定义域是 ．
ln(x +2)
⎧ln(x +2) ≠0⎧x ≠-1
1⎪⎪
x +2>0x >-2f (x ) =+4-x 2的定义域是(-2, -1) ⋃(-1, 2] 解： ， 所以函数⎨⎨
ln(x +2) ⎪-2≤x ≤2⎪4-x 2≥0
⎩⎩
4．函数f (x -1) =x 2-2x +7，则f (x ) =2
2
2
．
2
解：f (x -1) =x -2x +7=x -2x +1+6=(x -1) +6 所以f (x ) =x +6
2
⎧x 2+2
5．函数f (x ) =⎨x
⎩e
x ≤0
，则f (0) = ． x >0
解：f (0) =0+2=2
2
6．函数f (x -1) =x -2x ，则f (x ) =
222
解：f (x -1) =x -2x =x -2x +1-1=(x -1) +1，f (x ) =x +1
2
x 2-2x -3
7．函数y =的间断点是．
x +1
解：因为当x +1=0，即x =-1时函数无意义
x 2-2x -3
所以函数y =的间断点是x =-1
x +1
1
=lim x x →∞1
x
8．lim x sin
x →∞
1
= x
sin
解：lim x sin
x →∞
1=1
9．若
lim
sin 4x
=2，则k = ．
x →0sin kx
1
sin 4x
sin 4x 44
解： 因为lim =lim 4x ==2
x →0sin kx k x →0sin kx k
kx
sin 3x
=2，则k = ． 10．若lim
x →0kx
sim 3x 3sim 3x 3
=lim ==2 解：因为lim
x →0kx k x →03x k
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
所以k =2
所以k =
3
2
e -x +e x
1．设函数y =，则该函数是（ ）．
2
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数
e -(-x ) +e -x e x +e -x
==y 解：因为y (-x ) =
22
2．设函数y =x 2sin x ，则该函数是（ ）．
e -x +e x
所以函数y =是偶函数。故应选B
2
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y (-x ) =(-x ) 2sin(-x ) =-x 2sin x =-y
所以函数y =x 2sin x 是奇函数。故应选A
2x +2-x
3．函数f (x ) =x 的图形是关于（ ）对称．
2
A ．y =x B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点
2-x +2-(-x ) 2-x +2x 2x +2-x
=-x =-f (x ) 所以函数f (x ) =x 解：因为f (-x ) =(-x ) ⋅是奇函数
2222x +2-x
从而函数f (x ) =x 的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D
2
4．下列函数中为奇函数是（
）．
2
A ．x sin x B ．ln x C ．ln(x ++x 2) D ．x +x 解：应选C
1
+ln(x +5) 的定义域为（ ）． x +4
A ．x >-5 B ．x ≠-4 C ．x >-5且x ≠0 D ．x >-5且x ≠-4
5．函数y =解：⎨
⎧x +4≠0⎧x ≠-4
，⎨，所以应选D
⎩x +5>0⎩x >-5
1
的定义域是（ ）．
ln(x -1)
C ．(0, 2) ⋃(2, +∞) D ．(1, 2) ⋃(2, +∞)
2
6．函数f (x ) =
A ． (1, +∞) B ．(0, 1) ⋃(1, +∞)
解：⎨
⎧ln(x -1) ≠0⎧x -1>0，⎨x ≠2
，
⎩⎩x >1
函数f (x ) =
1
ln(x -1)
的定义域是(1, 2) ⋃(2, +∞) ，故应选D
7．设f (x +1) =x 2-1，则f (x ) =（ ）
A ．x (x +1) B ．x 2
C ．x (x -2) D ．(x +2)(x -1) 解：f (x +1) =x 2-1=(x +1)(x -1) =(x +1)[(x +1) -2] f (x ) =x (x -2) ，故应选C
8．下列各函数对中，（
）中的两个函数相等．
A ．f (x ) =(x ) 2，g (x ) =x B ．f (x ) =x 2，g (x ) =x
C ．f (x ) =ln x 2，g (x ) =2ln x D ．f (x ) =ln x 3，g (x ) =3ln x 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D
9．当x →0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．
1sin x x
x B ．x C ．ln(1+x ) D ．x
2 解：因为lim x →0
ln(1+x ) =0，所以当x →0时，ln(1+x ) 为无穷小量，所以应选C
10．当k =（ ）时，函数f (x ) =⎧⎨x 2+1, x ≠0⎩k ,
x =0，在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1 解：因为lim f (x ) =lim (x 2
x →0
x →0
+1) =1，f (0) =k
若函数f (x ) =⎧⎨x 2+1, x ≠0
, ，在x =0处连续，则f (0) =lim f (x ) ，因此k =⎩k x =0x →0
1。故应选B
11．当k =（ ）时，函数f (x ) =⎧⎨e x +2, x ≠0
⎩k ,
x =0在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：k =f (0) =lim f (x ) =lim (e x
x →0
x →0
+2) =3，所以应选D
12．函数f (x ) =
x -3
x 2
-3x +2
的间断点是（ ） A ．x =1, x =2
B ．x =3
C ．x =1, x =2, x =3
D ．无间断点
解：当x =1, x =2时分母为零，因此x =1, x =2是间断点，故应选A 三、解答题（每小题7分，共56分）
⒈计算极限lim x 2-3x +2
x →2x 2-4
．
3
解：lim x 2-3x +2(x -1)(x -2) x -x →2x 2-4=lim x →2(x +2)(x -2) =lim 1x →2x +2=1
4
2．计算极限lim x 2+5x -6x →1x 2-1
解：lim
x 2+5x -6(x -1)(x +6) x +x →1x 2-1=lim x →1(x +1)(x -1) =lim 6x →1x +1=7
2 3．lim x 2-9x →3x 2-2x -3
解：lim x 2-9(x +3)(x -3) x +36x →3x 2
-2x -3=lim x →3(x +1)(x -3) =lim x →3x +1=4=3
2 4．计算极限lim x 2-6x +8
x →4x 2-5x +4
解：lim x 2-6x +8x →4x 2
-5x +4=lim (x -2)(x -4) x →4(x -1)(x -4) =lim x -2x →4x -1=2
3
5．计算极限lim x 2-6x +8x →2x 2-5x +6
．
解：lim x 2-6x +8x →2x 2
-5x +6=lim (x -2)(x -4) x -4
x →2(x -2)(x -3) =lim x →2x -3
=2 6．计算极限lim
-x -1
x →0
x
． 解：lim
-x -1(-x -1)(-x +x →0
x =lim 1) x →0x (-x +1) =lim
-x
x →0x (-x +1)
=-lim
11
x →0
-x +1
=-
2
7．计算极限lim
-x -1
x →0
sin 4x
解：lim
-x -1
sin 4x =lim (-x -1)(-x +1) x →0
x →0sin 4x (-x +1)
=lim
-x
x →0sin 4x (-x +1) =-111
4lim x →0sin 4x =-84x
(-x +1)
4
8．计算极限lim
x →0
sin 4x x +4-2
．
解：lim
x →0
sin 4x x +4-2
=lim
x →0
sin 4x (x +4+2) (x +4-2)(x +4+2)
=lim
sin 4x (x +4+2) sin 4x
=4lim (x +4+2) =16
x →0x →0x 4x
微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）
————导数、微分及应用
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线f (x ) =解：f '(x ) =
x +1在(1, 2) 点的斜率是
，斜率k =f '(1) =
12x
1 2
2．曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是 ． 解：f '(x ) =e x ，斜率k =f '(0) =e 0=1
所以曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是：y =x +1 3．曲线y =x
-12
在点(1, 1) 处的切线方程是3
3
．
1-1-
解：y '=-x 2，斜率k =y 'x =1=-x 2
22
所以曲线y =x
-1
2
=-
x =1
1 2
1
(x -1) ，即：x +2y -3=0 2
在点(1, 1) 处的切线方程是：y -1=-
4．(2
x
) '= 解：(2) '=2
x ⋅
12x
ln 2=
2
x
ln 2
2x
5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = 6．已知
．解：y '(0) =(-1)(-2)(-3) =-6
f (x ) =x 3+3x ，则f '(3) =
2x
．解：f '(x ) =3x +3ln 3，f '(3) =27+27ln 3
7．已知f (x ) =ln x ，则f ''(x ) =f '(x ) =
-x
8．若f (x ) =x e ，则f ''(0) =11，f ''(x ) =-2 x x
．
解：f '(x ) =e
-x
-xe -x ，f ''(x ) =-e -x -(e -x -xe -x ) =-2e -x +xe -x ， f ''(0) =-2
5
9．函数y =3(x -1) 2的单调增加区间是．
解：y '=6(x -1) ≥0，x ≥1，所以函数y =3(x -1) 2的单调增加区间是[1, +∞) 10．函数f (x ) =ax 2+1在区间(0, +∞) 内单调增加，则a 应满足解：f '(x ) =2ax ≥0，而x >0，所以a ≥0 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数y =(x +1) 2在区间(-2, 2) 是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少
C ．先增后减 D ．先减后增
2．满足方程f '(x ) =0的点一定是函数y =f (x ) 的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若f (x ) =e -x cos x ，则f '(0) =（ C ）．
A . 2 B . 1 C . -1 D . -2 4．设y =lg2x ，则d y =（ B ）． A ．
11ln101
d x B ．d x C ．d x D ．d x 2x x ln10x x
5．．设y =f (x ) 是可微函数，则d f (cos2x ) =（ D ）．
A ．2f '(cos2x ) d x B ．f '(cos2x ) sin 2x d2x C ．2f '(cos2x ) sin 2x d x D ．-f '(cos2x ) sin 2x d2x 6．曲线y =e
4
2x
． +1在x =2处切线的斜率是（ C ）
2
4
A ．e B ．e C ．2e D ．2 7．若f (x ) =x cos x ，则f ''(x ) =（ C ）．
A ．cos x +x sin x B ．cos x -x sin x C ．-2sin x -x cos x D ．2sin x +x cos x 8．若f (x ) =sin x +a 3，其中a 是常数，则f ''(x ) =（ C ）．
A ．cos x +3a B ．sin x +6a C ．-sin x D ．cos x
9．下列结论中（ B ）不正确． A ．f (x ) 在x =x 0处连续，则一定在x 0处可微. B ．f (x ) 在x =x 0处不连续，则一定在x 0处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．若f (x ) 在[a ，b ]内恒有f '(x )
6
2
A ．函数f (x ) 在点x 0处有定义 B ．lim f (x ) =A ，但A ≠f (x 0)
x →x 0
C ．函数f (x ) 在点x 0处连续 D ．函数f (x ) 在点x 0处可微
11．下列函数在指定区间(-∞, +∞) 上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12. 下列结论正确的有（ A ）．
A ．x 0是f (x ) 的极值点，且f '(x 0) 存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x ) 的极值点，则x 0必是f (x ) 的驻点 C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x ) 的极值点 D ．使f '(x ) 不存在的点x 0，一定是f (x ) 的极值点
三、解答题（每小题7分，共56分） 1
⒈设y =x 2e x
，求y '．
11111
解：y '=2xe x +x 2
e x
(-1
x
2) =2xe x -e x =(2x -1) e x
2．设y =sin 4x +cos 3x ，求y '. 解：y '=4cos 4x -3cos 2x sin x 3．设y =e +
1
x
，求y '. 解：y '=
12x +1
e
-
1x 2
4．设y =x x +ln cos x ，求y '. 解：y '=
32x +-sin x cos x =32
x -tan x 5．设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2
-xy =4确定的隐函数，求d y .
解：两边微分：2xdx +2ydy -(ydx +xdy ) =0
2y d y -x d y =y d x -2x d x
dy =
y -2x
2y -x
dx
6．设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2
+2xy =1确定的隐函数，求d y .
解：两边对x 2+y 2
+2xy =1求导，得：2x +2y y '+2(y +x y ') =0 x +y y '+y +x y '=0，(x +y ) y '=-(x +y ) ，y '=-1 dy =y 'dx =-dx
7
7．设y =y (x ) 是由方程e x +x e y +x 2
=4确定的隐函数，求d y . 解：两边微分，得：e x dx +e y dx +xe y dy +2xdx =0
xe y
dy =-(e x
+e y
+2x ) dx ，dy =-e x +e y +2x
xe
y
dx 8．设cos(x +y ) +e y =1，求d y ． 解：两边对cos(x +y ) +e y =1求导，得： -(1+y ') s i n x (+y ) +y 'e y =0 -s i n x (+y ) -y 's i n x (+y ) +y 'e y =0 [e y -sin(x +y )]y '=s i n x (+y ) y '=
s i n x (+y )
e y
-s i n x (+y )
dy =y 'dx =sin(x +y )
e y
-sin(x +y )
dx 微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）———不定积分，极值应用问题
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．若f (x ) 的一个原函数为ln x 2
，则f (x ) = x ln x 2
-2x +c 。 2．若f (x ) 的一个原函数为x -e -2x ，则f '(x ) = -4e
-2x
。
3．若⎰f (x ) d x =x e
x
+c ，则f (x ) =(1+x )e x
4．若⎰f (x ) d x =sin 2x +c ，则f (x ) 2c o x
s 2 ． 5．若⎰
f (x ) d x =x ln x +c ，则f '(x ) =1
x
． 6．若
⎰f (x ) d x =cos 2x +c ，则f '(x ) =-4c o x
s 7．d ⎰
e
-x 2
d x =e -x 2
dx
8．⎰
(sinx ) 'd x =sin x +c
9．若
⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰f (2x -3) d x =
1
2F (2x -3)+c ． 10．若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰xf (1-x 2
) d x = -122
F (1-x )+． 8
二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．下列等式成立的是（ ）．
A ．
d
f (x ) d x =f (x ) B ．⎰f '(x ) d x =f (x ) C ．d ⎰f (x ) d x =f (x ) D ．⎰d f (x ) =f (x ) ⎰d x
2
解：应选A 2．若
⎰f (x ) d x =x
e 2x +c ，则f (x ) =（ ）.
2
2x
2x
A. 2x e 2x (1+x ) B. 2x e C. 2x e
D. x e
2x
解：两边同时求导，得：f (x ) =2xe 2x +2x 2e 2x =2x e 2x (1+x ) ，所以应选A 3．若f (x ) =x +
x (x >0) ，则⎰f '(x ) d x =（ ）.
3
3
2
1223
A. x +x +c B. x +x +c C. x +x 2+c D. x +x 2+c 解：应选A
232
2
4．以下计算正确的是（ ）
d x d 3x
=d (1+x 2) A ．3d x = B ．2
1+x ln 3
x
C ．
d x
1
=d x D ．ln x d x =d()
x x
解：应选A
5．x f ''(x ) d x =（ ）
A. x f '(x ) -f (x ) +c B. x f '(x ) +c C. 解：x f ''(x ) d x =6．d a A ．a
⎰
12
x f '(x ) +c D. (x +1) f '(x ) +c 2
⎰⎰xd f '(x ) =x f '(x ) -⎰f '(x ) dx =x f '(x ) -f (x ) +c ，所以应选A
）．
-2x
⎰⎰
-2x
d x =（
-2x
B ．-2a
ln a d x C ．a -2x d x
D ．a
-2x
d x +c
解：应选C
7．d a
-2x
d x =（
）．
-2x
A ．a 解：a
-2x
-2x
B ．-2a
ln a d x C ．a -2x d x
D ．a
-2x
d x +c
先积分，再微分，导致a
-2x
不变，后面再添上d x 即可，故应选C
8．如果等式A. -
⎰f (x ) e
-
1x
d x =-e
-
1x
+C ，则f (x ) =（ ）
1111 B. -2 C. D. 2
x x x x
-1
x
解：两边求导，得：f (x ) e =-e
-
1x
⋅
11
f (x ) =-，所以，故应选B 22
x x
三、计算题（每小题7分，共35分）
3-x 3+x sin x
1．⎰d x
x
9
13-x 3+x sin x
解：⎰d x =3⎰dx -⎰x dx +⎰sin xdx
x x
2
=3ln x -x 2-c o s x +c
3
10
2．(2x -1) d x
3
⎰
10
解：(2x -1) d x =
⎰
1111010+1
(2x -1) d (2x -1) =⋅(2x -1) +c ⎰2210+1
1
(2x -1) 11+c 221sin
3．⎰2x
x 1sin
111
解：⎰2x =-⎰sin () =cos +c
x x x x
=4．x sin 2x d x
⎰
11xd cos 2x =-(x cos 2x -⎰cos 2xdx ) ⎰2⎰2
11
2x +s i n 2x +c =-x c o s 24
解：x sin 2x d x =-
-x
5．xe d x
⎰
-x -x -x -x -x -x
解：xe d x =-xde =-(xe -e dx ) =-xe -e +c
⎰⎰⎰
四、极值应用题（每小题12分，共24分）
设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为60-x 厘米，以60-x 厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则
体积V 为：
1．
V =πx 2(60-x ) ，即：V =60πx 2-πx 3
dV dV
=120πx -3πx 2，令=0，得： dx dx x =0 （不合题意，舍去），x =40，这时60-x =20
由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体
的体积最大。
2．
欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为
216
米，从而所用建筑材料为： x
216648
L =2x +3⋅，即：L =2x +
x x
10
dL 648dL 216=2-2，令=0得：x =18（取正值）=12 ，这时dx dx x x
由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省
五、证明题（本题5分）
函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的．
证明：因为f '(x ) =1-e x ，当x ∈（-∞, 0) 时，f '(x ) =1-e x >0 所以函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的． 微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外）
———定积分及应用、微分方程
一、填空题（每小题2分，共20分） 1． ⎰
1
-1(sinx cos 2x -x 2) d x =______.
解：
⎰1
-1(sinx cos 2x -x 2) d x =⎰112122-1sin x cos 2xdx -⎰-1x dx =-2⎰0
x dx =-3
π
2．
⎰π2-(x 5-4x +cos x ) d x =______. 2
ππ
π
ππ
解：
⎰5
2
5
22
-π2(x
-4x +cos x ) d x =-
-
cos xdx =2sin x 02=2
2
⎰π(x -4x ) dx +2
⎰πcos xdx =2⎰2
3．已知曲线y =f (x ) 在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过(4, 5) ，则该曲线的方程是 。33
解：由
⎰
x dx =2x 22
3+c 得所求的曲线方程由y =3
x 2+c 确定
3
因为曲线过(4, 5) ，所以5=2
3
⋅42+c ，解得：c =-13
3
因此所求的曲线方程为y =2x 21
3-3
4．若⎰
1
-1
(5x 3-3x +2) dx = ．
解：
⎰
1
1
5x 3-3x ) dx +⎰1
2dx =4⎰1
-1
(5x 3-3x +2) dx =⎰-1
(-1
dx =4
5．由定积分的几何意义知，
⎰
a
a 2-x 2d x 。
解：由定积分的几何意义知，⎰
a
20
a -x 2d x 就等于圆x 2+y 2=a 2在第Ⅰ象限的面积，即
圆x 2
+y 2
=a 2
面积的14，因此⎰a 0a 2-x 2d x =14
πa 2
6．
d e d x ⎰1
ln(x 2
+1) d x = . 11
d e
ln(x 2+1) d x =0 解：⎰d x 1
7．
⎰e
-∞0
2x
d x =
2x
011112b
解：⎰e d x lim ⎰e dx =lim ⎰e 2x d (2x ) =lim e 2x =lim (1-e ) =
-∞b →-∞b b →-∞22b →-∞22b →-∞b b
2x
8．微分方程y '=y , y (0) =1的特解为. 解：由y '=y 得
dy dy
=y ，=dx ，两边同时积分，得ln y =x +c dx y
因为y (0) =1，所以ln 1=0+c ，所以c =0
从而ln y =x ，因此微分方程y '=y , y (0) =1的特解为y =e x 9．微分方程y '+3y =0的通解为. 解：y '+3y =0，
dy dy
+3y =0，+3dx =0，ln y +3x =c 1 dx y
c -3x
ln y =c 1-3x ，y =e 1
，即y =e 1⋅e -3x
c
所以微分方程y '+3y =0的通解为y =ce -3x 10．微分方程(y '') +4xy
33
(4)
=y 7sin x 的阶数为 =y 7sin x 的阶数为4阶
解：微分方程(y '') +4xy
(4)
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）．
A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．y =x +2 D ．y =x +1 2．若
． ⎰(2x +k ) d x = 2，则k =（ A ）
01
2
2
A ．1 B ．-1 C ．0 D ．3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．
1
2
π
e x -e -x
x A ．⎰-12
1
πe x +e -x
x C ．⎰(x 3+cos x ) d x B ．⎰-1-π2
1
D ．
⎰π
-
(x 2+sin x ) d x
4．设f (x ) 是连续的奇函数，则定积分A ．2
⎰
a
-a
f (x ) d x =（ D ）
a 0
⎰
-a
f (x ) d x B ．⎰f (x ) d x C ．⎰f (x ) d x D ． 0
-a
12
π
5．
． ⎰πsin x x =（ D ）
2-2
A ．0 B ．π C ．6．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ．
π
D ．2 2
⎰
+∞
e x d x B ．⎰e -x d x
+∞
C ．
⎰
+∞
1
+∞11
d x D ．⎰d x
1x x
7．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ．
⎰
+∞
s in x d x B ．⎰
+∞
e
-2x
d x
C ．
⎰
+∞
1
+∞11
d x D ．⎰d x
1x x
8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程．
C ．y ''+x y '=e y D ．y ''sin x -y 'e x =y ln x
A ．yx 2+ln y =y ' B ．y 'y +xy 2=e x 9．微分方程y '=0的通解为（ C ）．
A ．y =Cx B ．y =x +C C ．y =C D ．y =0 10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）
A.
d y
=x +y ； d x
ln 2
B.
d y d y d y =xy +y ； C. =xy +sin x ； D. =x (y +x ) d x d x d x
三、计算题（每小题7分，共56分） 1．
⎰
e x (1+e x ) 2d x e x (1+e x ) 2d x =⎰
ln 2
解：
⎰
e
ln 2
00
1
(1+e x ) 2d (1+e x ) =(1+e x ) 3
3
ln 2
=9-
819= 33
1+5ln x
⎰1x x e 1+5ln x e 1e
x =⎰(1+5ln x ) d ln x =⎰(1+5ln x ) d (1+5ln x ) 解：⎰11x 51
2．
1111
=⋅(1+5ln x ) 2=(6-1) =
521021
3．
e
⎰
10
xe x d x
10
解：4．
⎰xe d x =⎰xde =xe
x
1
x
x 10
-⎰e x dx =e -e x
110
=e -(e -1) =1
x x sin ⎰02d x πππx x x x 解：⎰x sin d x =2⎰x sin () =-2⎰xd cos
0002222
π
13
π
=-2(x cos x 2-⎰πcos x 2) =2πx
00⎰0cos 2
=4⎰π
x x x
π
0cos 2(2) =4sin 2=4
π
5．
⎰
20
x sin x d x
πππ
π
解：
⎰
220
x sin x d x =-⎰0
xd cos x =-(x cos x 02-⎰20
cos xdx )
π
=s i n x 0
2=1 6．求微分方程y '+
y x =x 2+1满足初始条件y (1) =7
4
的特解． 解：微分方程的通解为y =e -⎰p (x ) dx [⎰
q (x ) e ⎰p (x ) dx
dx +c ]
这里 p (x ) =
1x
，q (x ) =x 2
+1 代入得微分方程的通解为y =1x (14x 4+12
x 2
+c )
将初始条件y (1) =7
4
代入上式，解得c =1
所以微分方程的特解为y =1x (14x 4+12
2
x +1)
7．求微分方程y '-y
x
=2x sin 2x 的通解。
解：微分方程的通解为y =e -⎰p (x ) dx [⎰
q (x ) e ⎰p (x ) dx
dx +c ]
这里p (x ) =-
1
x
，q (x ) =2x sin 2x 代入得微分方程的通解为y =x (-cos 2x +c ) 四、证明题（本题4分） 证明等式⎰
a
a
-a
f (x ) d x =⎰0[f (-x ) +f (x )]d x 。
证明：
⎰
a
a
-a
f (x ) dx =⎰-a
f (x ) dx +⎰0
f (x ) dx
考虑积分⎰
-a
f (x ) dx ，令x =-t ，则dx =-dt ，从而
⎰
) dx =⎰0
f (-t )[-dt ]=-⎰0
f (-t ) dt =⎰a
f (-t ) dt =⎰a
-a
f (x a
a
f (-x ) dx 所以
⎰
a
0-a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰a
-a
f (x ) dx
=
⎰
a
a 0
f (-x ) dx +⎰f (x ) dx =⎰a
[f (-x ) +f (x )]dx
14
微积分初步形成性考核作业（一）解答
————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数f (x ) =
1
的定义域是．
ln(x -2)
， {
解：{
ln(x -2) ≠0x -2>0
x ≠3x >2
所以函数f (x ) =
1
的定义域是(2, 3) ⋃(3, +∞)
ln(x -2)
2．函数f (x ) =
1-x
的定义域是
解：5-x >0，x
所以函数f (x ) =
15-x
的定义域是(-∞, 5)
3．函数f (x ) =
1
+4-x 2的定义域是 ．
ln(x +2)
⎧ln(x +2) ≠0⎧x ≠-1
1⎪⎪
x +2>0x >-2f (x ) =+4-x 2的定义域是(-2, -1) ⋃(-1, 2] 解： ， 所以函数⎨⎨
ln(x +2) ⎪-2≤x ≤2⎪4-x 2≥0
⎩⎩
4．函数f (x -1) =x 2-2x +7，则f (x ) =2
2
2
．
2
解：f (x -1) =x -2x +7=x -2x +1+6=(x -1) +6 所以f (x ) =x +6
2
⎧x 2+2
5．函数f (x ) =⎨x
⎩e
x ≤0
，则f (0) = ． x >0
解：f (0) =0+2=2
2
6．函数f (x -1) =x -2x ，则f (x ) =
222
解：f (x -1) =x -2x =x -2x +1-1=(x -1) +1，f (x ) =x +1
2
x 2-2x -3
7．函数y =的间断点是．
x +1
解：因为当x +1=0，即x =-1时函数无意义
x 2-2x -3
所以函数y =的间断点是x =-1
x +1
1
=lim x x →∞1
x
8．lim x sin
x →∞
1
= x
sin
解：lim x sin
x →∞
1=1
9．若
lim
sin 4x
=2，则k = ．
x →0sin kx
1
sin 4x
sin 4x 44
解： 因为lim =lim 4x ==2
x →0sin kx k x →0sin kx k
kx
sin 3x
=2，则k = ． 10．若lim
x →0kx
sim 3x 3sim 3x 3
=lim ==2 解：因为lim
x →0kx k x →03x k
二、单项选择题（每小题2分，共24分）
所以k =2
所以k =
3
2
e -x +e x
1．设函数y =，则该函数是（ ）．
2
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数
e -(-x ) +e -x e x +e -x
==y 解：因为y (-x ) =
22
2．设函数y =x 2sin x ，则该函数是（ ）．
e -x +e x
所以函数y =是偶函数。故应选B
2
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 解：因为y (-x ) =(-x ) 2sin(-x ) =-x 2sin x =-y
所以函数y =x 2sin x 是奇函数。故应选A
2x +2-x
3．函数f (x ) =x 的图形是关于（ ）对称．
2
A ．y =x B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点
2-x +2-(-x ) 2-x +2x 2x +2-x
=-x =-f (x ) 所以函数f (x ) =x 解：因为f (-x ) =(-x ) ⋅是奇函数
2222x +2-x
从而函数f (x ) =x 的图形是关于坐标原点对称的 因此应选D
2
4．下列函数中为奇函数是（
）．
2
A ．x sin x B ．ln x C ．ln(x ++x 2) D ．x +x 解：应选C
1
+ln(x +5) 的定义域为（ ）． x +4
A ．x >-5 B ．x ≠-4 C ．x >-5且x ≠0 D ．x >-5且x ≠-4
5．函数y =解：⎨
⎧x +4≠0⎧x ≠-4
，⎨，所以应选D
⎩x +5>0⎩x >-5
1
的定义域是（ ）．
ln(x -1)
C ．(0, 2) ⋃(2, +∞) D ．(1, 2) ⋃(2, +∞)
2
6．函数f (x ) =
A ． (1, +∞) B ．(0, 1) ⋃(1, +∞)
解：⎨
⎧ln(x -1) ≠0⎧x -1>0，⎨x ≠2
，
⎩⎩x >1
函数f (x ) =
1
ln(x -1)
的定义域是(1, 2) ⋃(2, +∞) ，故应选D
7．设f (x +1) =x 2-1，则f (x ) =（ ）
A ．x (x +1) B ．x 2
C ．x (x -2) D ．(x +2)(x -1) 解：f (x +1) =x 2-1=(x +1)(x -1) =(x +1)[(x +1) -2] f (x ) =x (x -2) ，故应选C
8．下列各函数对中，（
）中的两个函数相等．
A ．f (x ) =(x ) 2，g (x ) =x B ．f (x ) =x 2，g (x ) =x
C ．f (x ) =ln x 2，g (x ) =2ln x D ．f (x ) =ln x 3，g (x ) =3ln x 解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同，所以应选D
9．当x →0时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．
1sin x x
x B ．x C ．ln(1+x ) D ．x
2 解：因为lim x →0
ln(1+x ) =0，所以当x →0时，ln(1+x ) 为无穷小量，所以应选C
10．当k =（ ）时，函数f (x ) =⎧⎨x 2+1, x ≠0⎩k ,
x =0，在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1 解：因为lim f (x ) =lim (x 2
x →0
x →0
+1) =1，f (0) =k
若函数f (x ) =⎧⎨x 2+1, x ≠0
, ，在x =0处连续，则f (0) =lim f (x ) ，因此k =⎩k x =0x →0
1。故应选B
11．当k =（ ）时，函数f (x ) =⎧⎨e x +2, x ≠0
⎩k ,
x =0在x =0处连续.
A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：k =f (0) =lim f (x ) =lim (e x
x →0
x →0
+2) =3，所以应选D
12．函数f (x ) =
x -3
x 2
-3x +2
的间断点是（ ） A ．x =1, x =2
B ．x =3
C ．x =1, x =2, x =3
D ．无间断点
解：当x =1, x =2时分母为零，因此x =1, x =2是间断点，故应选A 三、解答题（每小题7分，共56分）
⒈计算极限lim x 2-3x +2
x →2x 2-4
．
3
解：lim x 2-3x +2(x -1)(x -2) x -x →2x 2-4=lim x →2(x +2)(x -2) =lim 1x →2x +2=1
4
2．计算极限lim x 2+5x -6x →1x 2-1
解：lim
x 2+5x -6(x -1)(x +6) x +x →1x 2-1=lim x →1(x +1)(x -1) =lim 6x →1x +1=7
2 3．lim x 2-9x →3x 2-2x -3
解：lim x 2-9(x +3)(x -3) x +36x →3x 2
-2x -3=lim x →3(x +1)(x -3) =lim x →3x +1=4=3
2 4．计算极限lim x 2-6x +8
x →4x 2-5x +4
解：lim x 2-6x +8x →4x 2
-5x +4=lim (x -2)(x -4) x →4(x -1)(x -4) =lim x -2x →4x -1=2
3
5．计算极限lim x 2-6x +8x →2x 2-5x +6
．
解：lim x 2-6x +8x →2x 2
-5x +6=lim (x -2)(x -4) x -4
x →2(x -2)(x -3) =lim x →2x -3
=2 6．计算极限lim
-x -1
x →0
x
． 解：lim
-x -1(-x -1)(-x +x →0
x =lim 1) x →0x (-x +1) =lim
-x
x →0x (-x +1)
=-lim
11
x →0
-x +1
=-
2
7．计算极限lim
-x -1
x →0
sin 4x
解：lim
-x -1
sin 4x =lim (-x -1)(-x +1) x →0
x →0sin 4x (-x +1)
=lim
-x
x →0sin 4x (-x +1) =-111
4lim x →0sin 4x =-84x
(-x +1)
4
8．计算极限lim
x →0
sin 4x x +4-2
．
解：lim
x →0
sin 4x x +4-2
=lim
x →0
sin 4x (x +4+2) (x +4-2)(x +4+2)
=lim
sin 4x (x +4+2) sin 4x
=4lim (x +4+2) =16
x →0x →0x 4x
微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）
————导数、微分及应用
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线f (x ) =解：f '(x ) =
x +1在(1, 2) 点的斜率是
，斜率k =f '(1) =
12x
1 2
2．曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是 ． 解：f '(x ) =e x ，斜率k =f '(0) =e 0=1
所以曲线f (x ) =e x 在(0, 1) 点的切线方程是：y =x +1 3．曲线y =x
-12
在点(1, 1) 处的切线方程是3
3
．
1-1-
解：y '=-x 2，斜率k =y 'x =1=-x 2
22
所以曲线y =x
-1
2
=-
x =1
1 2
1
(x -1) ，即：x +2y -3=0 2
在点(1, 1) 处的切线方程是：y -1=-
4．(2
x
) '= 解：(2) '=2
x ⋅
12x
ln 2=
2
x
ln 2
2x
5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = 6．已知
．解：y '(0) =(-1)(-2)(-3) =-6
f (x ) =x 3+3x ，则f '(3) =
2x
．解：f '(x ) =3x +3ln 3，f '(3) =27+27ln 3
7．已知f (x ) =ln x ，则f ''(x ) =f '(x ) =
-x
8．若f (x ) =x e ，则f ''(0) =11，f ''(x ) =-2 x x
．
解：f '(x ) =e
-x
-xe -x ，f ''(x ) =-e -x -(e -x -xe -x ) =-2e -x +xe -x ， f ''(0) =-2
5
9．函数y =3(x -1) 2的单调增加区间是．
解：y '=6(x -1) ≥0，x ≥1，所以函数y =3(x -1) 2的单调增加区间是[1, +∞) 10．函数f (x ) =ax 2+1在区间(0, +∞) 内单调增加，则a 应满足解：f '(x ) =2ax ≥0，而x >0，所以a ≥0 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数y =(x +1) 2在区间(-2, 2) 是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少
C ．先增后减 D ．先减后增
2．满足方程f '(x ) =0的点一定是函数y =f (x ) 的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若f (x ) =e -x cos x ，则f '(0) =（ C ）．
A . 2 B . 1 C . -1 D . -2 4．设y =lg2x ，则d y =（ B ）． A ．
11ln101
d x B ．d x C ．d x D ．d x 2x x ln10x x
5．．设y =f (x ) 是可微函数，则d f (cos2x ) =（ D ）．
A ．2f '(cos2x ) d x B ．f '(cos2x ) sin 2x d2x C ．2f '(cos2x ) sin 2x d x D ．-f '(cos2x ) sin 2x d2x 6．曲线y =e
4
2x
． +1在x =2处切线的斜率是（ C ）
2
4
A ．e B ．e C ．2e D ．2 7．若f (x ) =x cos x ，则f ''(x ) =（ C ）．
A ．cos x +x sin x B ．cos x -x sin x C ．-2sin x -x cos x D ．2sin x +x cos x 8．若f (x ) =sin x +a 3，其中a 是常数，则f ''(x ) =（ C ）．
A ．cos x +3a B ．sin x +6a C ．-sin x D ．cos x
9．下列结论中（ B ）不正确． A ．f (x ) 在x =x 0处连续，则一定在x 0处可微. B ．f (x ) 在x =x 0处不连续，则一定在x 0处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.
D ．若f (x ) 在[a ，b ]内恒有f '(x )
6
2
A ．函数f (x ) 在点x 0处有定义 B ．lim f (x ) =A ，但A ≠f (x 0)
x →x 0
C ．函数f (x ) 在点x 0处连续 D ．函数f (x ) 在点x 0处可微
11．下列函数在指定区间(-∞, +∞) 上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12. 下列结论正确的有（ A ）．
A ．x 0是f (x ) 的极值点，且f '(x 0) 存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x ) 的极值点，则x 0必是f (x ) 的驻点 C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x ) 的极值点 D ．使f '(x ) 不存在的点x 0，一定是f (x ) 的极值点
三、解答题（每小题7分，共56分） 1
⒈设y =x 2e x
，求y '．
11111
解：y '=2xe x +x 2
e x
(-1
x
2) =2xe x -e x =(2x -1) e x
2．设y =sin 4x +cos 3x ，求y '. 解：y '=4cos 4x -3cos 2x sin x 3．设y =e +
1
x
，求y '. 解：y '=
12x +1
e
-
1x 2
4．设y =x x +ln cos x ，求y '. 解：y '=
32x +-sin x cos x =32
x -tan x 5．设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2
-xy =4确定的隐函数，求d y .
解：两边微分：2xdx +2ydy -(ydx +xdy ) =0
2y d y -x d y =y d x -2x d x
dy =
y -2x
2y -x
dx
6．设y =y (x ) 是由方程x 2+y 2
+2xy =1确定的隐函数，求d y .
解：两边对x 2+y 2
+2xy =1求导，得：2x +2y y '+2(y +x y ') =0 x +y y '+y +x y '=0，(x +y ) y '=-(x +y ) ，y '=-1 dy =y 'dx =-dx
7
7．设y =y (x ) 是由方程e x +x e y +x 2
=4确定的隐函数，求d y . 解：两边微分，得：e x dx +e y dx +xe y dy +2xdx =0
xe y
dy =-(e x
+e y
+2x ) dx ，dy =-e x +e y +2x
xe
y
dx 8．设cos(x +y ) +e y =1，求d y ． 解：两边对cos(x +y ) +e y =1求导，得： -(1+y ') s i n x (+y ) +y 'e y =0 -s i n x (+y ) -y 's i n x (+y ) +y 'e y =0 [e y -sin(x +y )]y '=s i n x (+y ) y '=
s i n x (+y )
e y
-s i n x (+y )
dy =y 'dx =sin(x +y )
e y
-sin(x +y )
dx 微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）———不定积分，极值应用问题
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．若f (x ) 的一个原函数为ln x 2
，则f (x ) = x ln x 2
-2x +c 。 2．若f (x ) 的一个原函数为x -e -2x ，则f '(x ) = -4e
-2x
。
3．若⎰f (x ) d x =x e
x
+c ，则f (x ) =(1+x )e x
4．若⎰f (x ) d x =sin 2x +c ，则f (x ) 2c o x
s 2 ． 5．若⎰
f (x ) d x =x ln x +c ，则f '(x ) =1
x
． 6．若
⎰f (x ) d x =cos 2x +c ，则f '(x ) =-4c o x
s 7．d ⎰
e
-x 2
d x =e -x 2
dx
8．⎰
(sinx ) 'd x =sin x +c
9．若
⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰f (2x -3) d x =
1
2F (2x -3)+c ． 10．若⎰f (x ) d x =F (x ) +c ，则⎰xf (1-x 2
) d x = -122
F (1-x )+． 8
二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1．下列等式成立的是（ ）．
A ．
d
f (x ) d x =f (x ) B ．⎰f '(x ) d x =f (x ) C ．d ⎰f (x ) d x =f (x ) D ．⎰d f (x ) =f (x ) ⎰d x
2
解：应选A 2．若
⎰f (x ) d x =x
e 2x +c ，则f (x ) =（ ）.
2
2x
2x
A. 2x e 2x (1+x ) B. 2x e C. 2x e
D. x e
2x
解：两边同时求导，得：f (x ) =2xe 2x +2x 2e 2x =2x e 2x (1+x ) ，所以应选A 3．若f (x ) =x +
x (x >0) ，则⎰f '(x ) d x =（ ）.
3
3
2
1223
A. x +x +c B. x +x +c C. x +x 2+c D. x +x 2+c 解：应选A
232
2
4．以下计算正确的是（ ）
d x d 3x
=d (1+x 2) A ．3d x = B ．2
1+x ln 3
x
C ．
d x
1
=d x D ．ln x d x =d()
x x
解：应选A
5．x f ''(x ) d x =（ ）
A. x f '(x ) -f (x ) +c B. x f '(x ) +c C. 解：x f ''(x ) d x =6．d a A ．a
⎰
12
x f '(x ) +c D. (x +1) f '(x ) +c 2
⎰⎰xd f '(x ) =x f '(x ) -⎰f '(x ) dx =x f '(x ) -f (x ) +c ，所以应选A
）．
-2x
⎰⎰
-2x
d x =（
-2x
B ．-2a
ln a d x C ．a -2x d x
D ．a
-2x
d x +c
解：应选C
7．d a
-2x
d x =（
）．
-2x
A ．a 解：a
-2x
-2x
B ．-2a
ln a d x C ．a -2x d x
D ．a
-2x
d x +c
先积分，再微分，导致a
-2x
不变，后面再添上d x 即可，故应选C
8．如果等式A. -
⎰f (x ) e
-
1x
d x =-e
-
1x
+C ，则f (x ) =（ ）
1111 B. -2 C. D. 2
x x x x
-1
x
解：两边求导，得：f (x ) e =-e
-
1x
⋅
11
f (x ) =-，所以，故应选B 22
x x
三、计算题（每小题7分，共35分）
3-x 3+x sin x
1．⎰d x
x
9
13-x 3+x sin x
解：⎰d x =3⎰dx -⎰x dx +⎰sin xdx
x x
2
=3ln x -x 2-c o s x +c
3
10
2．(2x -1) d x
3
⎰
10
解：(2x -1) d x =
⎰
1111010+1
(2x -1) d (2x -1) =⋅(2x -1) +c ⎰2210+1
1
(2x -1) 11+c 221sin
3．⎰2x
x 1sin
111
解：⎰2x =-⎰sin () =cos +c
x x x x
=4．x sin 2x d x
⎰
11xd cos 2x =-(x cos 2x -⎰cos 2xdx ) ⎰2⎰2
11
2x +s i n 2x +c =-x c o s 24
解：x sin 2x d x =-
-x
5．xe d x
⎰
-x -x -x -x -x -x
解：xe d x =-xde =-(xe -e dx ) =-xe -e +c
⎰⎰⎰
四、极值应用题（每小题12分，共24分）
设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：设矩形的一边长为x 厘米，则另一边长为60-x 厘米，以60-x 厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则
体积V 为：
1．
V =πx 2(60-x ) ，即：V =60πx 2-πx 3
dV dV
=120πx -3πx 2，令=0，得： dx dx x =0 （不合题意，舍去），x =40，这时60-x =20
由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，才能使圆柱体
的体积最大。
2．
欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设矩形的长为x 米，则矩形的宽为
216
米，从而所用建筑材料为： x
216648
L =2x +3⋅，即：L =2x +
x x
10
dL 648dL 216=2-2，令=0得：x =18（取正值）=12 ，这时dx dx x x
由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用建筑材料最省
五、证明题（本题5分）
函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的．
证明：因为f '(x ) =1-e x ，当x ∈（-∞, 0) 时，f '(x ) =1-e x >0 所以函数f (x ) =x -e x 在（-∞, 0) 是单调增加的． 微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外）
———定积分及应用、微分方程
一、填空题（每小题2分，共20分） 1． ⎰
1
-1(sinx cos 2x -x 2) d x =______.
解：
⎰1
-1(sinx cos 2x -x 2) d x =⎰112122-1sin x cos 2xdx -⎰-1x dx =-2⎰0
x dx =-3
π
2．
⎰π2-(x 5-4x +cos x ) d x =______. 2
ππ
π
ππ
解：
⎰5
2
5
22
-π2(x
-4x +cos x ) d x =-
-
cos xdx =2sin x 02=2
2
⎰π(x -4x ) dx +2
⎰πcos xdx =2⎰2
3．已知曲线y =f (x ) 在任意点x 处切线的斜率为x ，且曲线过(4, 5) ，则该曲线的方程是 。33
解：由
⎰
x dx =2x 22
3+c 得所求的曲线方程由y =3
x 2+c 确定
3
因为曲线过(4, 5) ，所以5=2
3
⋅42+c ，解得：c =-13
3
因此所求的曲线方程为y =2x 21
3-3
4．若⎰
1
-1
(5x 3-3x +2) dx = ．
解：
⎰
1
1
5x 3-3x ) dx +⎰1
2dx =4⎰1
-1
(5x 3-3x +2) dx =⎰-1
(-1
dx =4
5．由定积分的几何意义知，
⎰
a
a 2-x 2d x 。
解：由定积分的几何意义知，⎰
a
20
a -x 2d x 就等于圆x 2+y 2=a 2在第Ⅰ象限的面积，即
圆x 2
+y 2
=a 2
面积的14，因此⎰a 0a 2-x 2d x =14
πa 2
6．
d e d x ⎰1
ln(x 2
+1) d x = . 11
d e
ln(x 2+1) d x =0 解：⎰d x 1
7．
⎰e
-∞0
2x
d x =
2x
011112b
解：⎰e d x lim ⎰e dx =lim ⎰e 2x d (2x ) =lim e 2x =lim (1-e ) =
-∞b →-∞b b →-∞22b →-∞22b →-∞b b
2x
8．微分方程y '=y , y (0) =1的特解为. 解：由y '=y 得
dy dy
=y ，=dx ，两边同时积分，得ln y =x +c dx y
因为y (0) =1，所以ln 1=0+c ，所以c =0
从而ln y =x ，因此微分方程y '=y , y (0) =1的特解为y =e x 9．微分方程y '+3y =0的通解为. 解：y '+3y =0，
dy dy
+3y =0，+3dx =0，ln y +3x =c 1 dx y
c -3x
ln y =c 1-3x ，y =e 1
，即y =e 1⋅e -3x
c
所以微分方程y '+3y =0的通解为y =ce -3x 10．微分方程(y '') +4xy
33
(4)
=y 7sin x 的阶数为 =y 7sin x 的阶数为4阶
解：微分方程(y '') +4xy
(4)
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）．
A ．y = x 2 + 3 B ．y = x 2 + 4 C ．y =x +2 D ．y =x +1 2．若
． ⎰(2x +k ) d x = 2，则k =（ A ）
01
2
2
A ．1 B ．-1 C ．0 D ．3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．
1
2
π
e x -e -x
x A ．⎰-12
1
πe x +e -x
x C ．⎰(x 3+cos x ) d x B ．⎰-1-π2
1
D ．
⎰π
-
(x 2+sin x ) d x
4．设f (x ) 是连续的奇函数，则定积分A ．2
⎰
a
-a
f (x ) d x =（ D ）
a 0
⎰
-a
f (x ) d x B ．⎰f (x ) d x C ．⎰f (x ) d x D ． 0
-a
12
π
5．
． ⎰πsin x x =（ D ）
2-2
A ．0 B ．π C ．6．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ．
π
D ．2 2
⎰
+∞
e x d x B ．⎰e -x d x
+∞
C ．
⎰
+∞
1
+∞11
d x D ．⎰d x
1x x
7．下列无穷积分收敛的是（ B ）． A ．
⎰
+∞
s in x d x B ．⎰
+∞
e
-2x
d x
C ．
⎰
+∞
1
+∞11
d x D ．⎰d x
1x x
8．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程．
C ．y ''+x y '=e y D ．y ''sin x -y 'e x =y ln x
A ．yx 2+ln y =y ' B ．y 'y +xy 2=e x 9．微分方程y '=0的通解为（ C ）．
A ．y =Cx B ．y =x +C C ．y =C D ．y =0 10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（ B ）
A.
d y
=x +y ； d x
ln 2
B.
d y d y d y =xy +y ； C. =xy +sin x ； D. =x (y +x ) d x d x d x
三、计算题（每小题7分，共56分） 1．
⎰
e x (1+e x ) 2d x e x (1+e x ) 2d x =⎰
ln 2
解：
⎰
e
ln 2
00
1
(1+e x ) 2d (1+e x ) =(1+e x ) 3
3
ln 2
=9-
819= 33
1+5ln x
⎰1x x e 1+5ln x e 1e
x =⎰(1+5ln x ) d ln x =⎰(1+5ln x ) d (1+5ln x ) 解：⎰11x 51
2．
1111
=⋅(1+5ln x ) 2=(6-1) =
521021
3．
e
⎰
10
xe x d x
10
解：4．
⎰xe d x =⎰xde =xe
x
1
x
x 10
-⎰e x dx =e -e x
110
=e -(e -1) =1
x x sin ⎰02d x πππx x x x 解：⎰x sin d x =2⎰x sin () =-2⎰xd cos
0002222
π
13
π
=-2(x cos x 2-⎰πcos x 2) =2πx
00⎰0cos 2
=4⎰π
x x x
π
0cos 2(2) =4sin 2=4
π
5．
⎰
20
x sin x d x
πππ
π
解：
⎰
220
x sin x d x =-⎰0
xd cos x =-(x cos x 02-⎰20
cos xdx )
π
=s i n x 0
2=1 6．求微分方程y '+
y x =x 2+1满足初始条件y (1) =7
4
的特解． 解：微分方程的通解为y =e -⎰p (x ) dx [⎰
q (x ) e ⎰p (x ) dx
dx +c ]
这里 p (x ) =
1x
，q (x ) =x 2
+1 代入得微分方程的通解为y =1x (14x 4+12
x 2
+c )
将初始条件y (1) =7
4
代入上式，解得c =1
所以微分方程的特解为y =1x (14x 4+12
2
x +1)
7．求微分方程y '-y
x
=2x sin 2x 的通解。
解：微分方程的通解为y =e -⎰p (x ) dx [⎰
q (x ) e ⎰p (x ) dx
dx +c ]
这里p (x ) =-
1
x
，q (x ) =2x sin 2x 代入得微分方程的通解为y =x (-cos 2x +c ) 四、证明题（本题4分） 证明等式⎰
a
a
-a
f (x ) d x =⎰0[f (-x ) +f (x )]d x 。
证明：
⎰
a
a
-a
f (x ) dx =⎰-a
f (x ) dx +⎰0
f (x ) dx
考虑积分⎰
-a
f (x ) dx ，令x =-t ，则dx =-dt ，从而
⎰
) dx =⎰0
f (-t )[-dt ]=-⎰0
f (-t ) dt =⎰a
f (-t ) dt =⎰a
-a
f (x a
a
f (-x ) dx 所以
⎰
a
0-a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰a
-a
f (x ) dx
=
⎰
a
a 0
f (-x ) dx +⎰f (x ) dx =⎰a
[f (-x ) +f (x )]dx
14