因动点产生的平行四边形问题
课前导学
我们先思考三个问题:
1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?
2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?
3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?
图1 图2 图3
如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D. 如图2,已知A(0, 3),B(-2, 0),C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?
点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).
如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等. 关系式xA+xC=xB+xD和yA+yC=yB+yD有时候用起来很方便.
我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.
如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点,AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么
点A的坐标可以表示为(x,-x2+2x+3),
点C的坐标可以表示为(x, x-1),
线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为
AB=yA=-x2+2x+3,
线
表示为AC=yA-yC=(-x2+2x+3)-(x-1)=-x2+x+2.
通俗地说,数形结合就是:点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.
段AC的长可以用A、C两点的图4 纵坐标
例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题
如图1,抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C(0,10)三点.设点E(x, y)是抛物线上一动点,3
且在x轴下方,四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点E(x, y)运动时,试求平行四边形OEBF
的面积S与x之间的函数关系式,并求出面积S的最大
值;
(3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF
为正方形?若存在,求点E、F的坐标;若不存在,请
说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14岳阳24”,拖动点E运动,可以体验到,当点E运动到抛物线的顶点时,S最大.当点E运动到OB的垂直平分线上时,四边形OEBF恰好是正方形. 思路点拨
1.平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍.
2.第(3)题探究正方形OEBF,先确定点E在OB的垂直平分线上,再验证EO=EB. 图文解析
(1)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点,设y=a(x-1)(x-5).
10102),得5a.解得a. 333
2210所以抛物线的解析式为y(x1)(x5)x24x. 333代入点C(0,
(2)因为S=S平行四边形OEBF=2S△OBE=OB·(-yE) 210101040=5(x24x)=(x26x5)=(x3)2. 33333
40所以当x=3时,S取得最大值,最大值为.此时点E是抛物线的顶点(如图2). 3
(3)如果平行四边形OEBF是正方形,那么点E在OB的垂直平分线上,且EO=EB. 当x=52235555时,y(x1)(x5)().此时E(,). 23322222
如图3,设EF与OB交于点D,恰好OB=2DE.
所以△OEB是等腰直角三角形.所以平行四边形OEBF是正方形.
5555所以当平行四边形OEBF是正方形时,E(,)、F(,).
2222
图2 图3
考点伸展
既然第(3)题正方形OEBF是存在的,命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢? 如图4,如果平行四边形OEBF为矩形,那么∠OEB=90°.
2根据EH=HO·HB,列方程(x1)(x5)x(5x). 322
15255225或者由DE=OB=,根据DE2=,列方程(x)2(x1)(x5). 224243
这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3-28x2+53x-20=0,这个方程对于初中毕业的水平是不好解的. 2
51事实上,这个方程可以因式分解,(x4)(x)(x)0. 22
51如图3,x=;如图4,x=4;如图5,x=,但此时点E在x轴上方了. 22
这个方程我们也可以用待定系数法解: 设方程的三个根是55、m、n,那么4x3-28x2+53x-20=4(x)(xm)(xn). 22
4m4n1028,m4,根据恒等式对应项的系数相等,得方程组10m10n4mn53,解得1 n.10mn20.
2
图4 图5
例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题
如图1,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x-2)+k经过A、B两点,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求点Q的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.】
2
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14益阳20”,可以体验到,点Q在线段AB的垂直平分线上.还可以体验到,正方形的对角线为AC,有一个顶点恰为抛物线的顶点.
思路点拨
1.第(2)题的等腰三角形只考虑QA=QB的情形.
2.第(3)题的正方形不可能AC为边,只存在AC为对角线的情形.
图文解析
(1)由y=-3x+3,得A(1, 0),B(0, 3).
将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入y=a(x-2)+k,得
解得a=1,k=-1.
(2)如图2,抛物线的对称轴为直线x=2,设点Q的坐标为(2, m).
已知A(1, 0)、B(0, 3),根据QA2=QB2,列方程12+m2=22+(m-3)2.
解得m=2.所以Q(2, 2).
(3)点A(1, 0)关于直线x=2的对称点为C(3, 0),AC=2.
如图3,如果AC为正方形的边,那么点M、N都不在抛物线或对称轴上.
如图4,当AC为正方形的对角线时,M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,-1) . 因为对角线AC=2
2ak0, 4ak3.
图2 图3 图4
考点伸展
如果把第(3)题中的正方形改为平行四边形,那么符合条件的点M有几个?
①如果AC为对角线,上面的正方形AMCN是符合条件的,M(2,-1).
②如图5,如果AC为边,那么MN//AC,MN=AC=2.所以点M的横坐标为4或0. 此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3).
第(2)题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边,那么符合条件的点Q有几个? ①如图2,当QA=QB时,Q(2, 2).
②如图6,当BQ=BA
以B为圆心,BA为半径的圆与直线x=2有两个交点. 根据BQ2=10,列方程22+(m-3)2=10
,得m3
此时
Q(2,3
或(2,3.
③如图7,当AQ=AB时,以A为圆心,AB为半径的圆与直线x=2有两个交点,但是点(2,-3)与A、B三点共线,所以Q(2, 3).
图5 图6 图7
例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题
准备一张矩形纸片(如图1),按如图2操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的点M,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的点N.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14邵阳25”,拖动点D可以改变矩形ABCD的形状,可以体验到,当EM与FN在同一条直线上时,四边形BFDE是菱形,此时矩形的直角被三等分. 思路点拨
1.平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形.
2.如果平行四边形BFDE是菱形,那么对角线平分一组对角,或者对角线互相垂直.用这两个性质都可以解答第(2)题.
图文解析
(1)如图3,因为AB//DC,所以∠ABD=∠CDB.
又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1=∠3.所以BE//FD.
又因为ED//BF,所以四边形BFDE是平行四边形.
图3 图4
(2)如图4,如果四边形BFDE是菱形,那么∠1=∠5.
所以∠1=∠2=∠5.
由于∠ABC=90°,所以∠1=∠2=∠5=30°.
所以BD=2AB=4,AE
=.所以ME
=. 33
所以S菱形BFDE=2S△BDE=BD·ME
=. 3
考点伸展
第(1)题的解法,我们用平行四边形的定义作为判定的依据,两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.还可以这样思考:
证明四边形BFDE的两组对边分别相等;
证明ED与BF平行且相等;
证明四边形BFDE的两组对角分别相等.
这三种证法,都要证明三角形全等,而全等的前提,要证明∠1=∠2=∠3=∠4. 这样其实就走了弯路,因为由∠1=∠3,直接得到BE//FD,根据平行四边形的定义来得快.
能不能根据BD与EF互相平分来证明呢?也是可以的:
如图5,设EF与BD交于点O,根据“角角边”证明△EMO≌△FNO,得到EF与MN互相平分.又因为BM=DN,于是得到EF与BD互相平分.
图5 图6
第(2)题的解法,我们用了菱形的性质:对角线平分每组对角,得到30°的角. 我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题:
如图6,如果四边形BFDE是菱形,那么对角线EF⊥BD,此时垂足M、N重合. 因此BD=2DC.这样就得到了∠5=30°.
事实上,当四边形BFDE是菱形时,矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形. 由AB=2,得AD
=ABCD
的面积为 菱形面积占矩形面积的
2 3
因动点产生的平行四边形问题
课前导学
我们先思考三个问题:
1.已知A、B、C三点,以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画?
2.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等?
3.在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分?
图1 图2 图3
如图1,过△ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D. 如图2,已知A(0, 3),B(-2, 0),C(3, 1),如果四边形ABCD是平行四边形,怎样求点D的坐标呢?
点B先向右平移2个单位,再向上平移3个单位与点A重合,因为BA与CD平行且相等,所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点D(5, 4).
如图3,如果平行四边形ABCD的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直),点A、C到这条直线的距离相等,点B、D到这条直线的距离相等. 关系式xA+xC=xB+xD和yA+yC=yB+yD有时候用起来很方便.
我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合.
如图4,点A是抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的一个动点,AB⊥x轴于点B,线段AB交直线y=x-1于点C,那么
点A的坐标可以表示为(x,-x2+2x+3),
点C的坐标可以表示为(x, x-1),
线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为
AB=yA=-x2+2x+3,
线
表示为AC=yA-yC=(-x2+2x+3)-(x-1)=-x2+x+2.
通俗地说,数形结合就是:点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐标轴的距离.
段AC的长可以用A、C两点的图4 纵坐标
例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题
如图1,抛物线经过A(1, 0)、B(5, 0)、C(0,10)三点.设点E(x, y)是抛物线上一动点,3
且在x轴下方,四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点E(x, y)运动时,试求平行四边形OEBF
的面积S与x之间的函数关系式,并求出面积S的最大
值;
(3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF
为正方形?若存在,求点E、F的坐标;若不存在,请
说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14岳阳24”,拖动点E运动,可以体验到,当点E运动到抛物线的顶点时,S最大.当点E运动到OB的垂直平分线上时,四边形OEBF恰好是正方形. 思路点拨
1.平行四边形OEBF的面积等于△OEB面积的2倍.
2.第(3)题探究正方形OEBF,先确定点E在OB的垂直平分线上,再验证EO=EB. 图文解析
(1)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点,设y=a(x-1)(x-5).
10102),得5a.解得a. 333
2210所以抛物线的解析式为y(x1)(x5)x24x. 333代入点C(0,
(2)因为S=S平行四边形OEBF=2S△OBE=OB·(-yE) 210101040=5(x24x)=(x26x5)=(x3)2. 33333
40所以当x=3时,S取得最大值,最大值为.此时点E是抛物线的顶点(如图2). 3
(3)如果平行四边形OEBF是正方形,那么点E在OB的垂直平分线上,且EO=EB. 当x=52235555时,y(x1)(x5)().此时E(,). 23322222
如图3,设EF与OB交于点D,恰好OB=2DE.
所以△OEB是等腰直角三角形.所以平行四边形OEBF是正方形.
5555所以当平行四边形OEBF是正方形时,E(,)、F(,).
2222
图2 图3
考点伸展
既然第(3)题正方形OEBF是存在的,命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢? 如图4,如果平行四边形OEBF为矩形,那么∠OEB=90°.
2根据EH=HO·HB,列方程(x1)(x5)x(5x). 322
15255225或者由DE=OB=,根据DE2=,列方程(x)2(x1)(x5). 224243
这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3-28x2+53x-20=0,这个方程对于初中毕业的水平是不好解的. 2
51事实上,这个方程可以因式分解,(x4)(x)(x)0. 22
51如图3,x=;如图4,x=4;如图5,x=,但此时点E在x轴上方了. 22
这个方程我们也可以用待定系数法解: 设方程的三个根是55、m、n,那么4x3-28x2+53x-20=4(x)(xm)(xn). 22
4m4n1028,m4,根据恒等式对应项的系数相等,得方程组10m10n4mn53,解得1 n.10mn20.
2
图4 图5
例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题
如图1,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x-2)+k经过A、B两点,并与x轴交于另一点C,其顶点为P.
(1)求a,k的值;
(2)抛物线的对称轴上有一点Q,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形,求点Q的坐标;
(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M、N,使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形,求此正方形的边长.】
2
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14益阳20”,可以体验到,点Q在线段AB的垂直平分线上.还可以体验到,正方形的对角线为AC,有一个顶点恰为抛物线的顶点.
思路点拨
1.第(2)题的等腰三角形只考虑QA=QB的情形.
2.第(3)题的正方形不可能AC为边,只存在AC为对角线的情形.
图文解析
(1)由y=-3x+3,得A(1, 0),B(0, 3).
将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入y=a(x-2)+k,得
解得a=1,k=-1.
(2)如图2,抛物线的对称轴为直线x=2,设点Q的坐标为(2, m).
已知A(1, 0)、B(0, 3),根据QA2=QB2,列方程12+m2=22+(m-3)2.
解得m=2.所以Q(2, 2).
(3)点A(1, 0)关于直线x=2的对称点为C(3, 0),AC=2.
如图3,如果AC为正方形的边,那么点M、N都不在抛物线或对称轴上.
如图4,当AC为正方形的对角线时,M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,-1) . 因为对角线AC=2
2ak0, 4ak3.
图2 图3 图4
考点伸展
如果把第(3)题中的正方形改为平行四边形,那么符合条件的点M有几个?
①如果AC为对角线,上面的正方形AMCN是符合条件的,M(2,-1).
②如图5,如果AC为边,那么MN//AC,MN=AC=2.所以点M的横坐标为4或0. 此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3).
第(2)题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边,那么符合条件的点Q有几个? ①如图2,当QA=QB时,Q(2, 2).
②如图6,当BQ=BA
以B为圆心,BA为半径的圆与直线x=2有两个交点. 根据BQ2=10,列方程22+(m-3)2=10
,得m3
此时
Q(2,3
或(2,3.
③如图7,当AQ=AB时,以A为圆心,AB为半径的圆与直线x=2有两个交点,但是点(2,-3)与A、B三点共线,所以Q(2, 3).
图5 图6 图7
例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题
准备一张矩形纸片(如图1),按如图2操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的点M,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的点N.
(1)求证:四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14邵阳25”,拖动点D可以改变矩形ABCD的形状,可以体验到,当EM与FN在同一条直线上时,四边形BFDE是菱形,此时矩形的直角被三等分. 思路点拨
1.平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE是平行四边形.
2.如果平行四边形BFDE是菱形,那么对角线平分一组对角,或者对角线互相垂直.用这两个性质都可以解答第(2)题.
图文解析
(1)如图3,因为AB//DC,所以∠ABD=∠CDB.
又因为∠1=∠2,∠3=∠4,所以∠1=∠3.所以BE//FD.
又因为ED//BF,所以四边形BFDE是平行四边形.
图3 图4
(2)如图4,如果四边形BFDE是菱形,那么∠1=∠5.
所以∠1=∠2=∠5.
由于∠ABC=90°,所以∠1=∠2=∠5=30°.
所以BD=2AB=4,AE
=.所以ME
=. 33
所以S菱形BFDE=2S△BDE=BD·ME
=. 3
考点伸展
第(1)题的解法,我们用平行四边形的定义作为判定的依据,两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.还可以这样思考:
证明四边形BFDE的两组对边分别相等;
证明ED与BF平行且相等;
证明四边形BFDE的两组对角分别相等.
这三种证法,都要证明三角形全等,而全等的前提,要证明∠1=∠2=∠3=∠4. 这样其实就走了弯路,因为由∠1=∠3,直接得到BE//FD,根据平行四边形的定义来得快.
能不能根据BD与EF互相平分来证明呢?也是可以的:
如图5,设EF与BD交于点O,根据“角角边”证明△EMO≌△FNO,得到EF与MN互相平分.又因为BM=DN,于是得到EF与BD互相平分.
图5 图6
第(2)题的解法,我们用了菱形的性质:对角线平分每组对角,得到30°的角. 我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题:
如图6,如果四边形BFDE是菱形,那么对角线EF⊥BD,此时垂足M、N重合. 因此BD=2DC.这样就得到了∠5=30°.
事实上,当四边形BFDE是菱形时,矩形ABCD被分割为6个全等的直角三角形. 由AB=2,得AD
=ABCD
的面积为 菱形面积占矩形面积的
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