第25讲图形的相似与位似

一、选择题

1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）

A . 600m B . 500m C . 400m D . 300m

【答案】B 2. （2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2，CD ，

点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为，则点P 的个数为（）[来

源:学§科§网] A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

3. （2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

，得到的图形是（） 2

【答案】Ａ

4. （2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则

S △BCE ：S △BDE 等于（）

A . 2：5 B .14:25 C .16:25 D

. 4:21

【答案】B

5. （2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）

A . 1:2 B . 1:4 C . 1:5 D . 1:16

【答案】A

6. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）23

（B ）33

（C ）4

（D ）6

（第7题）

【答案】B

7. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A . 600m B . 500m C . 400m D . 300m

【答案】B

8. （2011台湾台北，26）图(十) 为一∆ABC ，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD

＝31，DB ＝29，AE ＝30，EC ＝32。若∠A ＝50︒，则图中∠1、∠2、∠3、

∠4的大小关系，下列何者正确？

A ．∠1＞∠3 B ．∠2＝∠4 C ．∠1＞∠4 D ．∠2＝∠3

【答案】D

9. （2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。

其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A

10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原

点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，

且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的

，那么点B ′的坐标是（） 4

A ．（3，2） C ．（2，3）或（－2，－3）【答案】D

B ．（－2，－3） D ．（3，2）或（－3，－2）

11. （2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

，得到的图形是（）

【答案】Ａ

12. （2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（） A ．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B ．对角线相等的四边形是矩形

C ．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等

D ．位似图形一定是相似图形【答案】D

13. （ 2011重庆江津， 8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形, 其边长和角的度数已在图上标注, 图(2)中AB 、CD 交于O 点, 对于各图中的两个的两个三角形而言, 下列说法正确的是( )

A. 都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

(1)

第8题图

8 (2)

【答案】A ·

14. (2011重庆綦江，4，4分) 若相似△ABC 与△DEF 的相似比为1 ：3，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）

A ．1 ：3 B ．1 ：9 C ．3 ：1 D ． 1 ：3

【答案】：B

15. （2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是

．．

ED DF DE EF BC BF BF BC B. C. = D. EA AB BC FB DE BE BE AE

【答案】C

16. （2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结

论：⑴DE=1；⑵△ADE ∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（）

A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D.3个

【答案】D

17. （2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=10，AE=3，则CE 的值为

A.9 B.6 C.3

D.4

【答案】B

18. （2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是 ( ) A ．①和②相似 B ．①和③相似 C ．①和④相似 D ．②和④相似

③

（第7题）

【答案】B

19. （2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝

a b c

A ． 7

B ． 7. 5

C ． 8

D ． 8. 5[来源:学科网]

【答案】B

20．（2011湖南永州，12，3分）下列说法正确的是（）

A ．等腰梯形的对角线互相平分．

B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． C ．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． D ．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．【答案】C

21. （2011山东东营，11，3分）如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0) ．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）

11A ．-a B ．-(a +1)

C ．-(a -1)

D ．-(a +3)

【答案】D

22. （2011重庆市潼南,5,4分）若△ABC ～△DEF ，它们的面积比为4：1，则△ABC 与△DEF 的相似比为

A ．2：1 【答案】A

23. （2011广东中山，3,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

B ．1 ：2 C ．4：1 D ．1：4

，得到的图形是（）

【答案】Ａ

24. （2011湖北荆州，7，3分）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝

∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

第7题图【答案】C

25. 26.

二、填空题

1. （2011广东广州市，14，3分）如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm，OA ′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．

图3

【答案】

2. （2011四川重庆，12，4分）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E

两点，若AD ：AB ＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积比为．

C ′

′

【答案】1：9

3. （2011江苏苏州，17,3分）如图，已知△ABC 的面积是的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）

【答案】4. 5.

3 3

三、解答题

1. （2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）. 现把小棒依次摆放在两射线AB ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： . （填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A1A 2=A2A 3=1. ①θ= 度；

②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a1,A 3A 4=a2, ）, 求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）

活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1θ2，θ3；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围

. ．．

【答案】

【答案】解：（1）能（2）①22.5° ②方法一：

∵AA 1=A1A 2=A2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=1+2.

又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4. 同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A =∠A A 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5，

∴AA 3=A3A 4，AA 5=A5A 6，∴a 2= A3A 4=AA3=1+2,a 3=AA3+A3A 5=a2+A3A 5. ∵A 3A 5=2a 2, ∴a 3=A5A 6=AA5=a2+2a 2=(2+1)2. 方法二：

∵AA 1=A1A 2=A2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=，AA 3=1+2.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4. 同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A =∠A A 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5， ∴a 2=A3A 4=AA3=1+2, 又∵∠A 2A 3A 4=∠A 4A 5A 6=90°，∠A 2A 4A 3=∠A 4A 6A 5，∴△A 2A 3A 4∽△A 4A 5A 6，

a 21a 2

∴=，∴a 3==(2+1)2.

1a 2a 3

a n =(2+1)n-1. (3)θ1=2θ，

θ2=3θ，θ3=4θ

5θ≤90

(4)由题意得6θ 90 ，∴15°＜θ≤18°.

{

2. （2011江苏宿迁,28,12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝

，以点2

C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ．（1）求AE 的长度；

（2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．

（第28题）

【答案】

解：（1）在Rt △ABC 中，由AB ＝1，BC ＝ ∵BC ＝CD ，AE ＝AD

得 AC ＝2+() 2＝ 222

5-1

． 2

（2）∠EAG ＝36°，理由如下：

∴AE ＝AC －AD ＝

∵FA ＝FE ＝AB ＝1，AE ＝

∴

5-1

AE 5-1

＝ FA 2

∴△FAE 是黄金三角形

∴∠F ＝36°，∠AEF ＝72° ∵AE ＝AG ，FA ＝FE

∴∠FAE ＝∠FEA ＝∠AGE ∴△AEG ∽△FEA

∴∠EAG ＝∠F ＝36°．

3. （2011广东汕头，21，9分）如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将△EFD 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止. 不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE 、DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G 、H 点，如图（2）.[来源:学§科§网Z §X §X §K]

（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；[来源:学科网]

（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？

【解】（1）△HGA 及△HAB ；

（2）由（1）可知△AGC ∽△HAB

∴

CG AC x 9

=，即=， AB BH 9y

x 1

（3）当CG ＜BC 时，∠GAC=∠H ＜∠HAC ，∴AC ＜CH

所以，y =

∵AG ＜AC ，∴AG ＜GH 又AH ＞AG ，AH ＞GH

此时，△AGH 不可能是等腰三角形；当CG=

BC 时，G 为BC 的中点，H 与C 重合，△AGH 是等腰三角形； 2

此时，

当CG ＞

1BC 时，由（1）可知△AGC ∽△HGA 2

所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9

AGH 是等腰三角形． 4. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC, 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.

AM HG (1) 求证：=; AD BC

(2) 求这个矩形EFGH 的周长

【答案】

(1) 解：∵四边形EFGH 为矩形

∴EF ∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴ △AHG ∽△ABC ∴

（2）由（1）得

可得AM HG =; AD BC AM HG =; 设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x AD BC 30-x 2x =，解得，x=12 ， 2x=24 3040

所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm.

5. （2011上海，25，14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =12． 13

（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；

（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；[来源:Zxxk.Com]

（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．

图1 图2 备用图

【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC

．

1⋅AC ⋅BC , 2

AC ⋅BC 40⨯30∴CP ===24． 50AB

12在Rt △CPM 中，∵sin ∠EMP =，[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K] 13

CP 12=． CM 13

1313∴CM =CP =⨯24=26． 1212

PE x 3PE AP （2）由△APE ∽△ACB ，得，即，∴PE =x ． ==30404BC AC

12PE 12在Rt △MPE 中，∵sin ∠EMP =，∴=． 13ME 13

1313313∴EM =PE =⨯x =x ．[来源:Zxxk.Com] 1212416∵S =⋅AB ⋅CP =12

5∴PM =PN

x ． 16∵AP +PN +NB =50，∴x +

∴y =-5x +y =50． 1621x +50(0

（3）

第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：

①当点E 在线段AC 上时，

AM ME ．∵EM =EN ，∴EM 2=AM ⋅NB ．设AP =x ，由（2）知=EN NB

1351121EM =x ，AM =x -PM =x -x =x ，NB =-x +50． 16161616△AME ∽△ENB ，

21⎛13⎫11∴ x ⎪=x ⋅(-x +50) 16⎝16⎭16

解得x 1=22，x 2=0（舍去）．

即AP =22．

② 当点E 在线段BC 上时，

AC EP 12550==．∴CE =AC =．设AP =x ，CE MP 5123

55550易得BE =(50-x ) ，∴CE =30-(50-x ) ．∴30-(50-x ) =．解得x =42．即AP =42． 3333根据外角定理，△ACE ∽△EPM ，∴

∴AP 的长为22或42．

6. （2011四川绵阳25，14）

已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E , 如图1.

BD (1)若BD 是AC 的中线，如图2，求 CE

BD (2)若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求 CE

BD BD (3)结合（1) 、（2) ，请你推断（直接写出结论，不必证明），并探究的CE CE

4D 点的位置；若不能，请说明理由.

B C

【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得5x, ∵△ABD ∽△CDE,

可得CE=2BD 5所以=CE 25BD AB =, CE CD

（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x ，2x+x,由

勾股定理可知BD=（4+22）x ² △ABD ∽△CDE

，AB EC , ∴

==AD DE BD CE

(3)由前面两步的结论可以看出，BD ≥1, 所以这样的点是存在的，D 在AC 边的五等分点和CE

点A 之间

7. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）

（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE

DP PE =于点P ．求证：． BQ QC

（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．[来源:学科网ZXXK]

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；

②如图3

，求证

2=DM·EN ．

【答案】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ，

∴△ADP ∽△ABQ ，

∴DP/BQ＝AP/AQ．

同理在△ACQ 中，EP/CQ＝AP/AQ．

∴DP/BQ＝E P/CQ．

（2） 2． 9

（3）证明：∵∠B ＋∠C =90°，∠CEF ＋∠C =90°．

∴∠B =∠CEF ，

又∵∠BGD =∠EFC ，

∴△BGD ∽△EFC ．

∴DG/CF＝BG/EF，

∴DG·EF ＝CF·BG

又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

∴MN 2＝DM·EN

8. （2011河北，20，8分）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点.

（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2；

（2）连接（1）中的AA ′, 求四边形AA ′C ′C 的周长. （结果保留根号）

【答案】（1）如下图.[来源:学. 科. 网]

（2）四边形AA ′C ′C 的周长=4+62

10．

11.

12.

第25讲图形的相似与位似

一、选择题

A . 600m B . 500m C . 400m D . 300m

【答案】B 2. （2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2，CD ，

点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为，则点P 的个数为（）[来

源:学§科§网] A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

3. （2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

，得到的图形是（） 2

【答案】Ａ

4. （2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则

S △BCE ：S △BDE 等于（）

A . 2：5 B .14:25 C .16:25 D

. 4:21

【答案】B

5. （2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）

A . 1:2 B . 1:4 C . 1:5 D . 1:16

【答案】A

6. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）23

（B ）33

（C ）4

（D ）6

（第7题）

【答案】B

8. （2011台湾台北，26）图(十) 为一∆ABC ，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD

＝31，DB ＝29，AE ＝30，EC ＝32。若∠A ＝50︒，则图中∠1、∠2、∠3、

∠4的大小关系，下列何者正确？

A ．∠1＞∠3 B ．∠2＝∠4 C ．∠1＞∠4 D ．∠2＝∠3

【答案】D

其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A

10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原

点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，

且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的

，那么点B ′的坐标是（） 4

A ．（3，2） C ．（2，3）或（－2，－3）【答案】D

B ．（－2，－3） D ．（3，2）或（－3，－2）

11. （2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

，得到的图形是（）

【答案】Ａ

12. （2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（） A ．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B ．对角线相等的四边形是矩形

C ．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等

D ．位似图形一定是相似图形【答案】D

A. 都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

(1)

第8题图

8 (2)

【答案】A ·

14. (2011重庆綦江，4，4分) 若相似△ABC 与△DEF 的相似比为1 ：3，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）

A ．1 ：3 B ．1 ：9 C ．3 ：1 D ． 1 ：3

【答案】：B

15. （2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是

．．

ED DF DE EF BC BF BF BC B. C. = D. EA AB BC FB DE BE BE AE

【答案】C

16. （2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC 中，BC = 2，DE 是它的中位线，下面三个结

论：⑴DE=1；⑵△ADE ∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（）

A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D.3个

【答案】D

17. （2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=10，AE=3，则CE 的值为

A.9 B.6 C.3

D.4

【答案】B

③

（第7题）

【答案】B

19. （2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝

a b c

A ． 7

B ． 7. 5

C ． 8

D ． 8. 5[来源:学科网]

【答案】B

20．（2011湖南永州，12，3分）下列说法正确的是（）

A ．等腰梯形的对角线互相平分．

11A ．-a B ．-(a +1)

C ．-(a -1)

D ．-(a +3)

【答案】D

22. （2011重庆市潼南,5,4分）若△ABC ～△DEF ，它们的面积比为4：1，则△ABC 与△DEF 的相似比为

A ．2：1 【答案】A

23. （2011广东中山，3,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

B ．1 ：2 C ．4：1 D ．1：4

，得到的图形是（）

【答案】Ａ

24. （2011湖北荆州，7，3分）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ，∠CPD ＝

∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

第7题图【答案】C

25. 26.

二、填空题

图3

【答案】

2. （2011四川重庆，12，4分）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E

两点，若AD ：AB ＝1：3，则△ADE 与△ABC 的面积比为．

C ′

′

【答案】1：9

【答案】4. 5.

3 3

三、解答题

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： . （填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A1A 2=A2A 3=1. ①θ= 度；

②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a1,A 3A 4=a2, ）, 求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）

活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1.

数学思考：

（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1θ2，θ3；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围

. ．．

【答案】

【答案】解：（1）能（2）①22.5° ②方法一：

∵AA 1=A1A 2=A2A 3=1， A 1A 2⊥A 2A 3，∴A 1A 3=2，AA 3=1+2.

又∵A 2A 3⊥A 3A 4，∴A 1A 2∥A 3A 4. 同理：A 3A 4∥A 5A 6，∴∠A =∠A A 2A 1=∠AA 4A 3=∠AA 6A 5，

∴AA 3=A3A 4，AA 5=A5A 6，∴a 2= A3A 4=AA3=1+2,a 3=AA3+A3A 5=a2+A3A 5. ∵A 3A 5=2a 2, ∴a 3=A5A 6=AA5=a2+2a 2=(2+1)2. 方法二：

a 21a 2

∴=，∴a 3==(2+1)2.

1a 2a 3

a n =(2+1)n-1. (3)θ1=2θ，

θ2=3θ，θ3=4θ

5θ≤90

(4)由题意得6θ 90 ，∴15°＜θ≤18°.

{

2. （2011江苏宿迁,28,12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝

，以点2

C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ．（1）求AE 的长度；

（第28题）

【答案】

解：（1）在Rt △ABC 中，由AB ＝1，BC ＝ ∵BC ＝CD ，AE ＝AD

得 AC ＝2+() 2＝ 222

5-1

． 2

（2）∠EAG ＝36°，理由如下：

∴AE ＝AC －AD ＝

∵FA ＝FE ＝AB ＝1，AE ＝

∴

5-1

AE 5-1

＝ FA 2

∴△FAE 是黄金三角形

∴∠F ＝36°，∠AEF ＝72° ∵AE ＝AG ，FA ＝FE

∴∠FAE ＝∠FEA ＝∠AGE ∴△AEG ∽△FEA

∴∠EAG ＝∠F ＝36°．

（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；[来源:学科网]

（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？

【解】（1）△HGA 及△HAB ；

（2）由（1）可知△AGC ∽△HAB

∴

CG AC x 9

=，即=， AB BH 9y

x 1

（3）当CG ＜BC 时，∠GAC=∠H ＜∠HAC ，∴AC ＜CH

所以，y =

∵AG ＜AC ，∴AG ＜GH 又AH ＞AG ，AH ＞GH

此时，△AGH 不可能是等腰三角形；当CG=

BC 时，G 为BC 的中点，H 与C 重合，△AGH 是等腰三角形； 2

此时，

当CG ＞

1BC 时，由（1）可知△AGC ∽△HGA 2

所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9

AM HG (1) 求证：=; AD BC

(2) 求这个矩形EFGH 的周长

【答案】

(1) 解：∵四边形EFGH 为矩形

∴EF ∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴ △AHG ∽△ABC ∴

（2）由（1）得

可得AM HG =; AD BC AM HG =; 设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x AD BC 30-x 2x =，解得，x=12 ， 2x=24 3040

所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm.

（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；

（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；[来源:Zxxk.Com]

（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．

图1 图2 备用图

【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC

．

1⋅AC ⋅BC , 2

AC ⋅BC 40⨯30∴CP ===24． 50AB

12在Rt △CPM 中，∵sin ∠EMP =，[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K] 13

CP 12=． CM 13

1313∴CM =CP =⨯24=26． 1212

PE x 3PE AP （2）由△APE ∽△ACB ，得，即，∴PE =x ． ==30404BC AC

12PE 12在Rt △MPE 中，∵sin ∠EMP =，∴=． 13ME 13

1313313∴EM =PE =⨯x =x ．[来源:Zxxk.Com] 1212416∵S =⋅AB ⋅CP =12

5∴PM =PN

x ． 16∵AP +PN +NB =50，∴x +

∴y =-5x +y =50． 1621x +50(0

（3）

①当点E 在线段AC 上时，

AM ME ．∵EM =EN ，∴EM 2=AM ⋅NB ．设AP =x ，由（2）知=EN NB

1351121EM =x ，AM =x -PM =x -x =x ，NB =-x +50． 16161616△AME ∽△ENB ，

21⎛13⎫11∴ x ⎪=x ⋅(-x +50) 16⎝16⎭16

解得x 1=22，x 2=0（舍去）．

即AP =22．

② 当点E 在线段BC 上时，

AC EP 12550==．∴CE =AC =．设AP =x ，CE MP 5123

55550易得BE =(50-x ) ，∴CE =30-(50-x ) ．∴30-(50-x ) =．解得x =42．即AP =42． 3333根据外角定理，△ACE ∽△EPM ，∴

∴AP 的长为22或42．

6. （2011四川绵阳25，14）

已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E , 如图1.

BD (1)若BD 是AC 的中线，如图2，求 CE

BD (2)若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求 CE

BD BD (3)结合（1) 、（2) ，请你推断（直接写出结论，不必证明），并探究的CE CE

4D 点的位置；若不能，请说明理由.

B C

【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得5x, ∵△ABD ∽△CDE,

可得CE=2BD 5所以=CE 25BD AB =, CE CD

（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x ，2x+x,由

勾股定理可知BD=（4+22）x ² △ABD ∽△CDE

，AB EC , ∴

==AD DE BD CE

(3)由前面两步的结论可以看出，BD ≥1, 所以这样的点是存在的，D 在AC 边的五等分点和CE

点A 之间

7. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分）

（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE

DP PE =于点P ．求证：． BQ QC

（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．[来源:学科网ZXXK]

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；

②如图3

，求证

2=DM·EN ．

【答案】（1）证明：在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ，

∴△ADP ∽△ABQ ，

∴DP/BQ＝AP/AQ．

同理在△ACQ 中，EP/CQ＝AP/AQ．

∴DP/BQ＝E P/CQ．

（2） 2． 9

（3）证明：∵∠B ＋∠C =90°，∠CEF ＋∠C =90°．

∴∠B =∠CEF ，

又∵∠BGD =∠EFC ，

∴△BGD ∽△EFC ．

∴DG/CF＝BG/EF，

∴DG·EF ＝CF·BG

又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF·BG

由（1）得DM/BG＝MN/GF＝EN/CF∴（MN/GF）2＝(DM/BG)·(EN/CF)

∴MN 2＝DM·EN

8. （2011河北，20，8分）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点.

（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2；

（2）连接（1）中的AA ′, 求四边形AA ′C ′C 的周长. （结果保留根号）

【答案】（1）如下图.[来源:学. 科. 网]

（2）四边形AA ′C ′C 的周长=4+62

10．

11.

12.

第25讲 图形的相似与位似

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