三角恒等变换和解三角形测试题

三角恒等变换和解三角形测试题

一、选择题

1. 已知x(A.



2

,0)，cosx

4

，则tan2x（ ）5

724724 B.  C. D. 

247247

2. 函数y3sinx4cosx5的最小正周期是（ ）

A.



B. C.  D. 252

3. 在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC为（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定4. 设asin14cos14，bsin16

cos16，c

则a,b,c大小关系（ ）

，A. abc B. bac C. cba D. acb

5.

函数yx)cos[2(x)]是（ ）

A. 周期为



的奇函数 B. 周期为的偶函数44

C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数

22

6.

已知cos2

A.

44

，则sincos的值为（ ）3

13117 B. C. D. 118189

7. 在△ABC中，若C90,a6,B30，则cb等于（ ）A. 1 B. 1 C. 23 D. 23

8. 若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）

A. sinA B. cosA

C. tanA D.

1tanA

9. 在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,

则△ABC的形状是（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

10. 等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（ ）A. 2 B.

3

C. 3 D. 22

11. 在△ABC中，若b2asinB，则A等于（ ）

A. 30或60 B. 45或60 C. 120或60 D. 30或150 12. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A. 90 B. 120 C. 135 D. 150

00

二、填空题

1.

求值：tan20tan4020tan40_____________.

0000

2. 若

1tan1

2008,则tan2 .

1tancos2

3. 函数f(x)cos2x2sinxcosx的最小正周期是___________.

4.

已知sin



2

cos



2



那么sin的值为cos2的值为. BC

取得最大2

5. ABC的三个内角为A、B、C，当A为时，cosA2cos值，且这个最大值为 .

6. 在Rt△ABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_______________.

7. 在△ABC中，若a2b2bcc2,则A_________. 8. 在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________.

9. 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________. 10. 在△ABC中，AB

62,C300，则ACBC的最大值是________.

三、解答题

1. 已知sinsinsin0,coscoscos0,求cos()的值.

2. 若sinsin

2

,求coscos的取值范围. 2

1cos200

sin100(tan150tan50) 3. 求值：0

2sin20

4. 已知函数ysin

xx

cos,xR. 22

（1）求y取最大值时相应的x的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到ysinx(xR)的图象.

5. 在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

6. 在△ABC中，求证：

abcosBcosAc() baba

7. 在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.

8. 在△ABC中，设ac2b,AC



3

,求sinB的值.

参考答案

一、选择题

4332tanx24

,0)，cosx,sinx,tanx,tan2x 25541tan2x7

2

2 2. D y5sin(x)5,T1

1. D x(

3. C cosAcosBsinAsinBcos(AB)0,cosC0,cosC0,C为钝角



4. D

a

0，b

610，c600

2 4x，为奇函数，T422

2

2

2

5. C

y2xcos2x4

4

2

6. B sincos(sincos)2sincos1 17.

C

12

sin2 2

1112

(1cos2 218

b

tan300,batan300c2bcba

8. A 0A,sinA0 9. C cosAsin(10. D 作出图形

11. D b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA



2

A)sinB,



2

A,B都是锐角，则



2

AB,AB



2

,C



2

1

,A300或1500 2

5282721

,600,18006001200为所求 12. B 设中间角为，则cos

2582

二、填空题 1.

tan200tan400



tan60tan(2040)

1tan200tan400

200tan400tan200tan400

1

tan2cos2

1sin21sin2

 cos2cos2cos2

2. 2008

(cossin)2cossin1tan2008 

cos2sin2cossin1tan

22cx(，2T

32

1724172

4. , (sincos)1sin,sin,cos212sin

2233939

BCAAA032

A2ccAossin12sin 2sin5. 60 cos

22222

AA132A2sin12(sin)2 2sin

22222A1BC30

)max 当sin，即A60时，得(cosA2cos

2222

1116. sinAsinBsinAcosAsin2A

222

3.

2

f(x)cosx3sixn2

b2c2a21AA,102 07. 120 cos

2bc2

8.

6

2 A150,

abbsinA2

,a4sinA4sin1504

sinAsinBsinB4

9. 120 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21

,C1200 令a7k,b8k,c13k cosC

2ab2

10. 4

ACBCABACBCAB

,,AC

BC sinBsinAsinCsinBsinAsinC

ABAB

AsinB)cos

22

AB

4cos4,(ACBC)max4

2

三、解答题

1. 解：sinsinsin,coscoscos,

(sinsin)2(coscos)21,

1

22cos()1,cos().

2

2cos2100sin500cos5sin10() 2. 解： 解：原式00004sin10cos10sin5cos5

cos100cos1002sin20002cos10 

2sin1002sin100

cos1002sin(300100)cos1002sin300cos1002cos300sin100

  00

2sin102sin10

cos303.

解：ysin （1）当

2

xxx2sin( 2223

x

2k，即x4k,kZ时，y取得最大值 2323



x|x4k,kZ为所求



3







右移个单位xx横坐标缩小到原来的2倍

3

y2siny2sinx （2）y2sin()

232

纵坐标缩小到原来的2倍

ysinx

4. 解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0 cosA0或cosB0，得A



2

或B



2

所以△ABC是直角三角形.

5. 解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sin

ACA2sC2in∴sin

B1ACB22cos2

，而02

2,∴cosB2，

∴sinB2sinBcosB239

228

课时作业 简单的三角恒等变换

一、选择题

1．(理用)(2011辽宁高考)设sin(π1

4＋θ)3sin 2θ＝( )

A．－7

9

B1

9

C．1

9

D．79

解析：由sin(π4＋θ)131

2sin θ＋2θ＝3，

即sin θ＋cos θ23，两边平方，得1＋sin 2θ＝2

9

所以sin 2θ＝－7

9答案：A

cB

B

22

，

1．(文用)(2011课标全国高考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )

4A．－

53C．

5

3B

54D．

5

cos2θ－sin2θ1－tan2θ

解析：由题意知tan θ＝2，且θ为第一或第三象限角，故cos 2θ＝

cosθ＋sinθ1＋tanθ1－223＝51＋2

答案：B

α

2．已知π＜α＜2π，则cos 等于( )

2A．－ C．－

1－cos α

21＋cos α

2

B. D.

1－cos α

21＋cos α

2

πα

解析：∵π＜α＜2π，∴＜π，

22αα∴cos0，∴cos ＝－

22答案：C

2cos2α－13( )

π2π2tan－αsin＋α44A．1 C．cos α

cos 2α

解析：原式＝

π2sinα

4π

·sin2απ4cos－α

4＝

cos 2α1.

πππ

2sin－αcosαsin－2α

442

cos 2α

B．－1 D．－sin α

1＋cos α

2

答案：A

sin180°＋2αcos2α4．( )

1＋cos 2αcos90°＋αA．－sin α C．sin α

B．－cos α D．cos α

－sin 2α·cos2α

解析：原式＝

1＋cos 2α·－sin α2sin α·cos α·cos2α

＝cos α.

2cosα·sin α答案：D

1＋cos 2x＋8sin2xπ

5．当0＜x＜f(x)＝的最小值为( )

2sin 2xA．2 C．4

B．3 D．3

＝4，当且sin xcos x

1＋cos 2x＋8sin2x2cos2x＋8sin2xcosx4sin x

解析：f(x)＝＝＝≥sin 2x2sinx cos xsin xcos xcos x4sin x1π

tan x＝0＜x＜，

sin xcos x22

1

∴存在x使tan x＝f(x)min＝4.

2答案：C

1－tan240°31′2

6．设a＝－cos 56°)，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°，c＝21＋tan40°30′1

d－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为( ) 2

A．a＞b＞d＞c C．d＞a＞b＞c

解析：a＝sin(56°－45°)＝sin 11°.

b＝－sin 40°cos 52°＋cos 40°sin 52°＝sin(52°－40°)＝sin12°. 1－tan240°30′c＝＝cos 81°＝sin 9°. 1＋tan40°30′1

d＝(2cos240°－2sin240°)＝cos 80°＝sin 10°. 2∴b＞a＞d＞c. 答案：B 二、填空题

7．若锐角α、β满足(13tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， tan α＋tan β可得3，即tan(α＋β)＝3.

1－tan αtan βπ

又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π答案：

3

B．b＞a＞d＞c D．c＞a＞d＞b

1

8．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是

2

________________________________________________________________________． 解析：解法一：设x＝cos αsin β，

1

则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋x，

21

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－x.

2∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，

∴1

－1≤2－x≤1，

1

－1≤＋x≤1，

2

∴13

－x≤2231－x≤22

11

∴－≤x22

1

解法二：设x＝cos αsin β，sin αcos βcos αsin β＝.

2即sin 2αsin 2β＝2x.由|sin 2αsin 2β|≤1，得|2x|≤1， 11∴－≤x≤2211答案：[，22三、解答题

→→

9．(金榜预测)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM＝(sin B＋cos B，cos C)，ON＝1→→

(sin C，sin B－cos B)，OM·ON＝－.

5

(1)求tan 2A的值；

A

2cos23sin A－1

2

(2)求的值．

π

2sinA＋

4

→→

解：(1)∵OM·ON＝(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B) 1＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，

51

∴sin A＋cos A＝－，①

5

24

两边平方整理得：2sin Acos A＝－

2524π

∵－＜0，∴A∈π)，

252

7∴sin A－cos A＝1－2sin Acos A②

5

34

联立①②得：sin A，cos A＝－

55

3

232tan A24

∴tan A＝－tan 2A. 4971－tanA

1－16

－

3

(2)∵tan A＝－

4

A

2cos23sin A－1

2cos A－3sin A1－3tan A

∴πcos A＋sin A1＋tan A

A＋

43

1－3×－

4

＝＝13.

31＋－

4

10．(理用)(四川高考)(1)①证明：两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－ sin αsin β；

②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsinβ. 1→→3

(2)已知△ABC的面积SAB·AC＝3，且cos B＝cos C

.

25

解：(1)证明：①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为Ox，终边交⊙O于点P4，

则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P4(cos(－β)，sin(－β))．

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)

＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，

展开整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.

ππ

②由①易得，cos(α)＝sin α，sin(α)＝cos α.

22

ππ

sin(α＋β)＝cos[(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22ππ

＝α)cos(－β)－sin(α)sin(－β)

22

＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c， 11

则S＝bcsin A＝，即bcsin A＝1.

22

π→→又AB·AC＝bccos A＝3＞0，∴A∈(0，)，cos A＝3sin A.

2又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A34

由题知cos B＝，得sin B＝.

55∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝

10

. 10

10. 10

10310，cos A＝1010

∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)10．(文用)(四川高考)(1)①证明：两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 431π

(2)已知cos α＝－，α∈(π，π)，tan β＝－，β∈(π)，求cos(α＋β)．

5232

解：(1)证明：①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β， 使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为Ox，终边交⊙O于点P4，则P1(1，0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，

sin(－β))．

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2 ＋[sin(－β)－sin α]2，

展开并整理，得2－2cos (α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．

∴cos(α＋β)

＝cos αcos β－sin αsin β.

ππ

②由①易得，cos(α)＝sin α，sin(α)＝cos α.

22ππ

sin(α＋β)＝cos[(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22ππ

＝α)cos(－β)－sin(α)sin(－β)

22＝sin αcos β＋cos αsin β.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 34(2)∵α∈(ππ)，cos α＝－.

253π1

∴sin α＝－.∵β∈(，π)，tan β＝－52331010

∴cos β＝－sin β＝1010cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 4310310310

＝(－)×(－)－(－)×＝.

51051010

课时作业 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．(理用)(2011辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin b

B＋bcos2A2a( )

a

A．3 C.3

解析：∵asin Asin B＋bcos2A2a，

由正弦定理可得sin2Asin B＋sin Bcos2A2sin A， b

∴sin B＝A＝a答案：D

1．(文用)(2011浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝( )

1A．－

2C．－1

1B．

2D．1 B．2 D.2

解析：根据正弦定理

ab＝2R得， sin Asin B

a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

∴acos A＝bsin B可化为sin Acos A＝sin2B. ∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1. 答案：D

→→

2．在△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为( ) A．－19 C．－38

→→→→解析：AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)

72＋52－62→→

＝－|AB||BC|cos B＝－7×519.

2×7×5答案：A

3．(金榜预测)△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( ) A.C.3

23

或3 2

133

，∴sin C＝sin 30°sin C2

B.D.3

433或24B．19 D．38

解析：

∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.

(1)当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝(2)当C＝120°时，A＝30°， 1S△ABC＝×3×1×sin 30°＝.

24答案：D

Ba＋c

4．在△ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状

22c为( )

A．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

3

2

cos B＋1a＋cBa＋ca

解析：∵cos2，∴，∴cos B

22c22cca2＋c2－b2a

∴，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，

2acc∴△ABC为直角三角形．

答案：B

5. (2011天津高考)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB3BD，BC＝2BD，则sin C的值为(

)

A.C.3 36 3

B.D.3 66 6

解析：设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝在△ABD中，由余弦定理，得

3a. 2

323

＋a2－a222AB＋AD－BD1

cos A＝.

2AB·AD333

2×aa

22

2

2

2



2又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝3在△ABC中，由正弦定理得，

BCAB

sin Asin C

3a22AB6

∴sin C＝·sin A＝.

BC2a36答案：D

b

6．(理用)在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠B、∠C的对边长分别是b、c，则的取

b＋c值范围是( )

11A.43 12C.2，3 解析：

11B.32 23D.3，4

bsin Bsin Bsin B

＝ b＋csin B＋sin Csin B＋sin 3B2sin 2Bcos B

11＝因为△ABC为锐角三角形， 2cos 2B＋1ππ

所以0

∴B

111b

.故选B. ∴0

a

6．(文用)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是( )

bA．(1,2) C．(2，2)

B．(13) D．(2，3)

解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，

∴π

0＜π－3B＜2

答案：D 二、填空题

π0＜2B2

ππ∴＜B＜ 64

asin A

∴sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2cos B∈2，3)．

bsin B

7．(课标全国高考)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD2，∠ADB＝135°.若AC2AB，则BD＝

______.

12

解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝a，CD＝a，所以根据余

332211

弦定理可得b2＝(2)2＋)2－2×2×cos 45°，c2＝(2)2＋(a)2－22acos 135°，

3333

由题意知b＝2 c，可解得a＝6＋35， 1

所以BDa＝2＋5.

3答案：25

a＋b＋c

8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC3，则________.

sin A＋sin B＋sin C11

解析：S·sin A＝×1·c·sin 60°＝3，∴c＝4，

22∴a2＝b2＋c2－2bc·cos A ＝1＋42－2×1×4×cos 60° 1

＝1＋16－2×413，∴a＝13.

2

∴

a＋b＋ca1339

＝.

sin A＋sin B＋sin Csin Asin 60°3

39答案：

3三、解答题

9．(2011陕西高考)叙述并证明余弦定理．

解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2

abcos C. 证法一：如图，

a2＝BC·BC

＝(AC－AB)·(AC－AB) ＝AC2－2AC·AB＋AB2 ＝AC2－2|AC|·|AB|cos A＋AB2 ＝b2－2bccos A＋c2， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2

－2abcos C.

→→

→→→→

→→

→→→

→

→→

证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，

∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2 ＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.

10．(2012广州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝

2cos Asin A，

22

AA

cos 2sin ，m·n＝n＝－1. 22(1)求cos A的值；

(2)若a＝23，b＝2，求c的值． AA

2cos sin ， 解：(1)∵m＝22AA

cos 2sin ，m·n＝n＝－1， 22AA

∴2cos2－2sin2＝－1.

221

∴cos A＝－.

2

1

(2)由(1)知cos A＝－，且0

22π

∴A∵a＝3，b＝2，

3ab

由正弦定理得＝，

sin Asin B即

2

， 2πsin Bsin

3

1π

∴sin B＝.∵0

26π

∴C＝π－A－B＝.∴c＝b＝2.

6

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

13

1．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点－，，且2α

22

∈[0,2π)，则tan α等于( )

A．－3 3

33C. D．－33

13

解析： 因2α的终边经过点－，，且2α∈[0,2π)，

222

∴2α＝，

3π∴α＝

3

∴tan α答案： B

2．函数中周期为2的函数是( )

πππx的周期为T＝＝2. 解析： 因为y＝tan x的周期为π，所以y＝tan23π

2

答案： C

π

α，则sin α·3．已知sin(π－α)＝－2sincos α＝( ) 2

22A. B．－55221C.或－ D．－ 555

π222α⇒sin α＝－2cos α，解析： 由于sin(π－α)＝－2sin又sinα＋cosα＝1，所以cosα2

12

＝，则sin αcos α＝－2cos2α＝－，故选B. 55答案： B

ππ→→→－的部分图象如图所示，则(OB－OA)·4．函数y＝tanOB＝(

) 42

A．y＝2cos2πx－1 ππC．y＝tan2x＋3

B．y＝sin2π x＋cos 2πx D．y＝sin πxcos πx

B．2

D．4

→→→

解析： 由题意知A(2,0)，B(3,1)，所以(OB－OA)·OB＝(1,1)·(3,1)＝4，故选D. 答案： D

1

sin235°－

2

5．化简＝( )

cos 10°cos 80°

1

A．－2 B．－2

C．－1 D．1

1－cos 70°111

sin235°－－－cos 70°

2222

解析： ＝＝－1.故选C.

cos 10°cos 80°cos 10°·sin 10°1

2

答案： C

6．若把函数y＝3cos x－sin x的图象向右平移m(m＞0)个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )

ππA. B. 632π5πC. D.36

解析： 目标意识下，逆用三角公式化为一个角的三角函数，选择值验证，y＝3cos x

ππ

x＋，向右移个单位后得到y＝2cos x，故选A. －sin x＝2cos66

答案： A

7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝3a，B＝30°，则C＝

A．－4 C．－2

( )

A．120° C．90°

B．105°

D．75°

33

cos C＋sin 22

解析： 由正弦定理得，sin C＝3sin A，sin C＝3sin(150°－C)，sin C13

C，－sin Ccos C，tan C＝－3，又0°＜C＜180°，∴C＝120°，故选A.

22答案： A

8．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一座灯塔M原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为( )

A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里

解析：

如图，由题知AB＝10， BM＝53，∠MAB＝60°. 设AM＝x， 在△ABM中，

BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos 60°，

2

即75＝100＋x－20xcos 60°， 解得x＝5.故选D. 答案： D

2

－，θ上的最大值为1，则θ的值是( ) 9．函数f(x)＝sin2x＋2cos x在区间3A．0

π

B. 3

ππC. D．－22

22

解析： 因为f(x)＝sinx＋2cos x＝－cosx＋2cos x＋1＝－(cos x－1)2＋2，又其在区间－2π，θ上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－πD. 32

答案： D

10．关于函数f(x)＝sin x＋cos x，下列命题正确的是( ) A．函数f(x)的最大值为2

π

B．函数f(x)的一条对称轴为x＝

4π

C．函数f(x)的图象向左平移

4

D．函数y＝|f(x)|的周期为2π

ππx＋2；一条对称轴为x解析： f(x)＝sin x＋cos x＝2sin44

π

右平移f(x)的周期为2π，函数y＝|f(x)|的周期为π.故选B.

4

答案： B

π

x＋＝a有两个不同的实数解，则实数a的取11．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin3

值范围为( )

A．[3，2]

C．(3，2] B．[3，2] D．3，2)

πx＋，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图解析： 令y1＝2sin3所示：

πx＋＝a在(0，若2sinπ]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两3个不同的交点，所以3＜a＜2，故选D.

答案： D

312．已知tan α＝－tan(sin α)＞tan(cos α)，则sin α的值为( ) 4

33A．－ B. 55

34C． D．－ 55

解析： ∵sin α，cos α∈[－1,1]，且y＝tan x在[－1,1]上递增，

3∴sin α＞cos α.而tan α＝－0， 4

3∴sin α＞0，且cos α＜0.∴sin α＝，选B. 5

答案： B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

413．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________. 3

442tan α解析： ∵tan(π＋2α)＝－tan 2α， 331－tanα

1∴tan α＝－或tan α＝2. 2

1又α在第二象限，∴tan α2

1答案： －2

AC14．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则________. cos A

ACBCAC1AC解析： 由正弦定理得：2. sin Bsin Asin 2Asin Acos A

答案： 2

π15．若是函数f(x)＝sin 2x＋acos2x(a∈R，为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是4

________．

ππ2π解析： 由题意得f＝sin＋acos 0， 424

1∴1＋a＝0，∴a＝－2. 2

∴f(x)＝sin 2x－2cos2 x π2x－－1， ＝sin 2x－cos2x－12sin4

∴f(x)的最小正周期为

π.

答案： π

16．给出下列命题：

11①半径为2，圆心角的弧度数为； 22

11π②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝，tan β＝α＋2β 234

③若A、B是△ABC的两个内角，且sin A

④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2

1211解析： ①中，S扇形＝α·R××22＝1， 222

∴①不正确．

②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]

1132tanα＋β＋tan β＝＝1. 111－tanα＋βtanβ1－×32

1又α、β为锐角，tan(α＋β)＝， 2

π∴0

1π又由tan β＝

3π∴0

BCAC③中，由sin A

⇒BC

④中，由a2＋b2－c2

∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，∴④正确．

答案： ②③④

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)在△ABC中，BC5，AC＝3，sin C＝2sin A.

(1)求AB的值；

π2A－的值． (2)求sin4

ABBC解析： (1)在△ABC中，根据正弦定理，＝sin Csin A

sin C于是AB＝BC＝2BC＝25. sin A

(2)在△ABC中，根据余弦定理，

AB2＋AC2－BC225得cos A. 2AB·AC5

5于是sin A1－cosA. 5

4从而sin 2A＝2sin A·cos A＝， 5

3cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝. 5

πππ22A－＝sin 2Acos－cos 2A所以sin44410

18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|

(1)求ω、φ的值；

πx－，求函数g(x)的单调递增区间.(2)设g(x)＝f(x)f【解析方法代码108001047】 4

ππ2π＝π，ω＝＝2， 解析： (1)由图可知T＝424T

π又由f2＝1得，sin(π＋φ)＝1，sin φ＝－1.

π∴|φ|

π2x－＝－cos 2x. (2)由(1)知f(x)＝sin2

2xπ＝cos 2xsin 2x 因为g(x)＝(－cos 2x)－cos2

1＝x， 2

ππ所以2kπ4x≤2kπ 22

kππkππ即≤x≤k∈Z)． 2828

kππkππ故函数g(x)的单调增区间为2828(k∈Z)．

19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C2sin A3cos A.

(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；

(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值.【解析方法代码108001048】

解析： (1)2sin A3cos A两边平方，得2sin2A＝3cos A，

即(2cos A－1)(cosA＋2)＝0.

1ππ解得cos A＝>0，∵0

2b＋c2－a2m222而a－c＝b－mbc可以变形为＝ 2bc2

m1即cos A＝m＝1. 22

13(2)由(1)知cos A＝，则sin A＝22

222b＋c－a1又，∴bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2. 2bc2

bca233故S△ABC＝sin A≤， 2224

33∴△ABC面积的最大值为4

ππφ为常数且－φ

函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.

(1)求实数a的值； π(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移y＝2sin2x的图象，求函数y＝f(x)12

的解析式及其单调增区间．

解析： (1)f(x)＝1＋cos(2x＋φ)＋a3sin(2x＋φ)

π2x＋φ＋a＋1. ＝2sin6

因为函数f(x)在R上的最大值为2，

所以3＋a＝2，即a＝－1.

π2x＋φ. (2)由(1)知：f(x)＝2sin6

ππ2x＋φ＋的图象向右平移y＝2sin(2x＋φ)＝2sin 2x，把函数f(x)＝2sin 612

∴φ＝2kπ，k∈Z.

ππ又∵－

π2x. ∴f(x)＝2sin6

πππ因为2kπ2x＋≤2kπ＋262

ππ⇒kπ－≤x≤kπ＋k∈Z， 36

ππkπ－kπ，k∈Z. 所以，y＝f(x)的单调增区间为36

21．(12分)如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在

弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP

＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.【解析方法代码108001049】

解析： 因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，

∴∠OCP＝120°.

在△POC中，由正弦定理得

OPCP2CP＝， sin 120°sin θsin∠PCOsin θ

4所以CP＝sin θ. 3

OC2又＝， sin60°－θsin 120°

4∴OC＝－θ)． 3

因此△POC的面积为

1S(θ)＝·OCsin 120° 2

1443＝θsin(60°－θ)× 2324431sin θsin(60°－θ)sin θθθ 2233

21＝[cos(2θ－60°)－，θ∈(0°，60°)． 2＝

3. 3

22．(14分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(－1,1)，n

3＝cos Bcos C，sin Bsin C－，且m

⊥n. 2

(1)求A的大小；

(2)现给出下列四个条件：

①a＝1；②b＝2sin B；③2c－(3＋1)b＝0；④B＝45°. 所以当θ＝30°时，S(θ)

试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积．

3解析： (1)∵m⊥n，∴－cos Bcos C＋sin Bsin C－＝0. 2

3即cos Bcos C－sin Bsin C＝－， 2

3∴cos(B＋C)＝－2

∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝－cos A，

3∴cos A，A＝30°. 2

(2)方案一：选择①③可确定△ABC.

∵A＝30°，a＝1,2c－(3＋1)b＝0.

3＋12－2b3＋1b3 由余弦定理12＝b2＋222b

6＋2整理得b2＝2，b，c. 2

6＋213＋111∴S△ABC＝bcsin A×. 22224

方案二：选择①④可确定△ABC.

∵A＝30°，a＝1，B＝45°，∴C＝105°. 又sin 105°＝sin(60°＋45°)

＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° 6＋2＝4

abasin Bsin 45°∵，∴b＝＝， sin Asin Bsin Asin 30°

∴b＝2.

6211∴S△ABC＝absin C＝×12 224

3＋1＝ 4

三角恒等变换和解三角形测试题

一、选择题

1. 已知x(A.



2

,0)，cosx

4

，则tan2x（ ）5

724724 B.  C. D. 

247247

2. 函数y3sinx4cosx5的最小正周期是（ ）

A.



B. C.  D. 252

3. 在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC为（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定4. 设asin14cos14，bsin16

cos16，c

则a,b,c大小关系（ ）

，A. abc B. bac C. cba D. acb

5.

函数yx)cos[2(x)]是（ ）

A. 周期为



的奇函数 B. 周期为的偶函数44

C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数

22

6.

已知cos2

A.

44

，则sincos的值为（ ）3

13117 B. C. D. 118189

7. 在△ABC中，若C90,a6,B30，则cb等于（ ）A. 1 B. 1 C. 23 D. 23

8. 若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）

A. sinA B. cosA

C. tanA D.

1tanA

9. 在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,

则△ABC的形状是（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

10. 等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为60，则底边长为（ ）A. 2 B.

3

C. 3 D. 22

11. 在△ABC中，若b2asinB，则A等于（ ）

A. 30或60 B. 45或60 C. 120或60 D. 30或150 12. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A. 90 B. 120 C. 135 D. 150

00

二、填空题

1.

求值：tan20tan4020tan40_____________.

0000

2. 若

1tan1

2008,则tan2 .

1tancos2

3. 函数f(x)cos2x2sinxcosx的最小正周期是___________.

4.

已知sin



2

cos



2



那么sin的值为cos2的值为. BC

取得最大2

5. ABC的三个内角为A、B、C，当A为时，cosA2cos值，且这个最大值为 .

6. 在Rt△ABC中，C90，则sinAsinB的最大值是_______________.

7. 在△ABC中，若a2b2bcc2,则A_________. 8. 在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________.

9. 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________. 10. 在△ABC中，AB

62,C300，则ACBC的最大值是________.

三、解答题

1. 已知sinsinsin0,coscoscos0,求cos()的值.

2. 若sinsin

2

,求coscos的取值范围. 2

1cos200

sin100(tan150tan50) 3. 求值：0

2sin20

4. 已知函数ysin

xx

cos,xR. 22

（1）求y取最大值时相应的x的集合；

（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到ysinx(xR)的图象.

5. 在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

6. 在△ABC中，求证：

abcosBcosAc() baba

7. 在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.

8. 在△ABC中，设ac2b,AC



3

,求sinB的值.

参考答案

一、选择题

4332tanx24

,0)，cosx,sinx,tanx,tan2x 25541tan2x7

2

2 2. D y5sin(x)5,T1

1. D x(

3. C cosAcosBsinAsinBcos(AB)0,cosC0,cosC0,C为钝角



4. D

a

0，b

610，c600

2 4x，为奇函数，T422

2

2

2

5. C

y2xcos2x4

4

2

6. B sincos(sincos)2sincos1 17.

C

12

sin2 2

1112

(1cos2 218

b

tan300,batan300c2bcba

8. A 0A,sinA0 9. C cosAsin(10. D 作出图形

11. D b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA



2

A)sinB,



2

A,B都是锐角，则



2

AB,AB



2

,C



2

1

,A300或1500 2

5282721

,600,18006001200为所求 12. B 设中间角为，则cos

2582

二、填空题 1.

tan200tan400



tan60tan(2040)

1tan200tan400

200tan400tan200tan400

1

tan2cos2

1sin21sin2

 cos2cos2cos2

2. 2008

(cossin)2cossin1tan2008 

cos2sin2cossin1tan

22cx(，2T

32

1724172

4. , (sincos)1sin,sin,cos212sin

2233939

BCAAA032

A2ccAossin12sin 2sin5. 60 cos

22222

AA132A2sin12(sin)2 2sin

22222A1BC30

)max 当sin，即A60时，得(cosA2cos

2222

1116. sinAsinBsinAcosAsin2A

222

3.

2

f(x)cosx3sixn2

b2c2a21AA,102 07. 120 cos

2bc2

8.

6

2 A150,

abbsinA2

,a4sinA4sin1504

sinAsinBsinB4

9. 120 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21

,C1200 令a7k,b8k,c13k cosC

2ab2

10. 4

ACBCABACBCAB

,,AC

BC sinBsinAsinCsinBsinAsinC

ABAB

AsinB)cos

22

AB

4cos4,(ACBC)max4

2

三、解答题

1. 解：sinsinsin,coscoscos,

(sinsin)2(coscos)21,

1

22cos()1,cos().

2

2cos2100sin500cos5sin10() 2. 解： 解：原式00004sin10cos10sin5cos5

cos100cos1002sin20002cos10 

2sin1002sin100

cos1002sin(300100)cos1002sin300cos1002cos300sin100

  00

2sin102sin10

cos303.

解：ysin （1）当

2

xxx2sin( 2223

x

2k，即x4k,kZ时，y取得最大值 2323



x|x4k,kZ为所求



3







右移个单位xx横坐标缩小到原来的2倍

3

y2siny2sinx （2）y2sin()

232

纵坐标缩小到原来的2倍

ysinx

4. 解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0 cosA0或cosB0，得A



2

或B



2

所以△ABC是直角三角形.

5. 解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sin

ACA2sC2in∴sin

B1ACB22cos2

，而02

2,∴cosB2，

∴sinB2sinBcosB239

228

课时作业 简单的三角恒等变换

一、选择题

1．(理用)(2011辽宁高考)设sin(π1

4＋θ)3sin 2θ＝( )

A．－7

9

B1

9

C．1

9

D．79

解析：由sin(π4＋θ)131

2sin θ＋2θ＝3，

即sin θ＋cos θ23，两边平方，得1＋sin 2θ＝2

9

所以sin 2θ＝－7

9答案：A

cB

B

22

，

1．(文用)(2011课标全国高考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )

4A．－

53C．

5

3B

54D．

5

cos2θ－sin2θ1－tan2θ

解析：由题意知tan θ＝2，且θ为第一或第三象限角，故cos 2θ＝

cosθ＋sinθ1＋tanθ1－223＝51＋2

答案：B

α

2．已知π＜α＜2π，则cos 等于( )

2A．－ C．－

1－cos α

21＋cos α

2

B. D.

1－cos α

21＋cos α

2

πα

解析：∵π＜α＜2π，∴＜π，

22αα∴cos0，∴cos ＝－

22答案：C

2cos2α－13( )

π2π2tan－αsin＋α44A．1 C．cos α

cos 2α

解析：原式＝

π2sinα

4π

·sin2απ4cos－α

4＝

cos 2α1.

πππ

2sin－αcosαsin－2α

442

cos 2α

B．－1 D．－sin α

1＋cos α

2

答案：A

sin180°＋2αcos2α4．( )

1＋cos 2αcos90°＋αA．－sin α C．sin α

B．－cos α D．cos α

－sin 2α·cos2α

解析：原式＝

1＋cos 2α·－sin α2sin α·cos α·cos2α

＝cos α.

2cosα·sin α答案：D

1＋cos 2x＋8sin2xπ

5．当0＜x＜f(x)＝的最小值为( )

2sin 2xA．2 C．4

B．3 D．3

＝4，当且sin xcos x

1＋cos 2x＋8sin2x2cos2x＋8sin2xcosx4sin x

解析：f(x)＝＝＝≥sin 2x2sinx cos xsin xcos xcos x4sin x1π

tan x＝0＜x＜，

sin xcos x22

1

∴存在x使tan x＝f(x)min＝4.

2答案：C

1－tan240°31′2

6．设a＝－cos 56°)，b＝cos 50°cos 128°＋cos 40°cos 38°，c＝21＋tan40°30′1

d－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为( ) 2

A．a＞b＞d＞c C．d＞a＞b＞c

解析：a＝sin(56°－45°)＝sin 11°.

b＝－sin 40°cos 52°＋cos 40°sin 52°＝sin(52°－40°)＝sin12°. 1－tan240°30′c＝＝cos 81°＝sin 9°. 1＋tan40°30′1

d＝(2cos240°－2sin240°)＝cos 80°＝sin 10°. 2∴b＞a＞d＞c. 答案：B 二、填空题

7．若锐角α、β满足(13tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， tan α＋tan β可得3，即tan(α＋β)＝3.

1－tan αtan βπ

又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π答案：

3

B．b＞a＞d＞c D．c＞a＞d＞b

1

8．已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是

2

________________________________________________________________________． 解析：解法一：设x＝cos αsin β，

1

则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋x，

21

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－x.

2∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，

∴1

－1≤2－x≤1，

1

－1≤＋x≤1，

2

∴13

－x≤2231－x≤22

11

∴－≤x22

1

解法二：设x＝cos αsin β，sin αcos βcos αsin β＝.

2即sin 2αsin 2β＝2x.由|sin 2αsin 2β|≤1，得|2x|≤1， 11∴－≤x≤2211答案：[，22三、解答题

→→

9．(金榜预测)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM＝(sin B＋cos B，cos C)，ON＝1→→

(sin C，sin B－cos B)，OM·ON＝－.

5

(1)求tan 2A的值；

A

2cos23sin A－1

2

(2)求的值．

π

2sinA＋

4

→→

解：(1)∵OM·ON＝(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B) 1＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，

51

∴sin A＋cos A＝－，①

5

24

两边平方整理得：2sin Acos A＝－

2524π

∵－＜0，∴A∈π)，

252

7∴sin A－cos A＝1－2sin Acos A②

5

34

联立①②得：sin A，cos A＝－

55

3

232tan A24

∴tan A＝－tan 2A. 4971－tanA

1－16

－

3

(2)∵tan A＝－

4

A

2cos23sin A－1

2cos A－3sin A1－3tan A

∴πcos A＋sin A1＋tan A

A＋

43

1－3×－

4

＝＝13.

31＋－

4

10．(理用)(四川高考)(1)①证明：两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－ sin αsin β；

②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsinβ. 1→→3

(2)已知△ABC的面积SAB·AC＝3，且cos B＝cos C

.

25

解：(1)证明：①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为Ox，终边交⊙O于点P4，

则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)， P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))， P4(cos(－β)，sin(－β))．

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)

＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，

展开整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.

ππ

②由①易得，cos(α)＝sin α，sin(α)＝cos α.

22

ππ

sin(α＋β)＝cos[(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22ππ

＝α)cos(－β)－sin(α)sin(－β)

22

＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c， 11

则S＝bcsin A＝，即bcsin A＝1.

22

π→→又AB·AC＝bccos A＝3＞0，∴A∈(0，)，cos A＝3sin A.

2又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A34

由题知cos B＝，得sin B＝.

55∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝

10

. 10

10. 10

10310，cos A＝1010

∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)10．(文用)(四川高考)(1)①证明：两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 431π

(2)已知cos α＝－，α∈(π，π)，tan β＝－，β∈(π)，求cos(α＋β)．

5232

解：(1)证明：①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β， 使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为Ox，终边交⊙O于点P4，则P1(1，0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，

sin(－β))．

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β) ＝[cos(－β)－cos α]2 ＋[sin(－β)－sin α]2，

展开并整理，得2－2cos (α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．

∴cos(α＋β)

＝cos αcos β－sin αsin β.

ππ

②由①易得，cos(α)＝sin α，sin(α)＝cos α.

22ππ

sin(α＋β)＝cos[(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

22ππ

＝α)cos(－β)－sin(α)sin(－β)

22＝sin αcos β＋cos αsin β.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 34(2)∵α∈(ππ)，cos α＝－.

253π1

∴sin α＝－.∵β∈(，π)，tan β＝－52331010

∴cos β＝－sin β＝1010cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 4310310310

＝(－)×(－)－(－)×＝.

51051010

课时作业 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．(理用)(2011辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin b

B＋bcos2A2a( )

a

A．3 C.3

解析：∵asin Asin B＋bcos2A2a，

由正弦定理可得sin2Asin B＋sin Bcos2A2sin A， b

∴sin B＝A＝a答案：D

1．(文用)(2011浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝( )

1A．－

2C．－1

1B．

2D．1 B．2 D.2

解析：根据正弦定理

ab＝2R得， sin Asin B

a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

∴acos A＝bsin B可化为sin Acos A＝sin2B. ∴sin Acos A＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1. 答案：D

→→

2．在△ABC中，AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为( ) A．－19 C．－38

→→→→解析：AB·BC＝|AB||BC|cos(π－B)

72＋52－62→→

＝－|AB||BC|cos B＝－7×519.

2×7×5答案：A

3．(金榜预测)△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于( ) A.C.3

23

或3 2

133

，∴sin C＝sin 30°sin C2

B.D.3

433或24B．19 D．38

解析：

∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°.

(1)当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝(2)当C＝120°时，A＝30°， 1S△ABC＝×3×1×sin 30°＝.

24答案：D

Ba＋c

4．在△ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状

22c为( )

A．正三角形

C．等腰三角形或直角三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

3

2

cos B＋1a＋cBa＋ca

解析：∵cos2，∴，∴cos B

22c22cca2＋c2－b2a

∴，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，

2acc∴△ABC为直角三角形．

答案：B

5. (2011天津高考)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB3BD，BC＝2BD，则sin C的值为(

)

A.C.3 36 3

B.D.3 66 6

解析：设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝在△ABD中，由余弦定理，得

3a. 2

323

＋a2－a222AB＋AD－BD1

cos A＝.

2AB·AD333

2×aa

22

2

2

2



2又∵A为△ABC的内角，∴sin A＝3在△ABC中，由正弦定理得，

BCAB

sin Asin C

3a22AB6

∴sin C＝·sin A＝.

BC2a36答案：D

b

6．(理用)在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠B、∠C的对边长分别是b、c，则的取

b＋c值范围是( )

11A.43 12C.2，3 解析：

11B.32 23D.3，4

bsin Bsin Bsin B

＝ b＋csin B＋sin Csin B＋sin 3B2sin 2Bcos B

11＝因为△ABC为锐角三角形， 2cos 2B＋1ππ

所以0

∴B

111b

.故选B. ∴0

a

6．(文用)锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是( )

bA．(1,2) C．(2，2)

B．(13) D．(2，3)

解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B，

∴π

0＜π－3B＜2

答案：D 二、填空题

π0＜2B2

ππ∴＜B＜ 64

asin A

∴sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2cos B∈2，3)．

bsin B

7．(课标全国高考)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD2，∠ADB＝135°.若AC2AB，则BD＝

______.

12

解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝a，CD＝a，所以根据余

332211

弦定理可得b2＝(2)2＋)2－2×2×cos 45°，c2＝(2)2＋(a)2－22acos 135°，

3333

由题意知b＝2 c，可解得a＝6＋35， 1

所以BDa＝2＋5.

3答案：25

a＋b＋c

8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC3，则________.

sin A＋sin B＋sin C11

解析：S·sin A＝×1·c·sin 60°＝3，∴c＝4，

22∴a2＝b2＋c2－2bc·cos A ＝1＋42－2×1×4×cos 60° 1

＝1＋16－2×413，∴a＝13.

2

∴

a＋b＋ca1339

＝.

sin A＋sin B＋sin Csin Asin 60°3

39答案：

3三、解答题

9．(2011陕西高考)叙述并证明余弦定理．

解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2

abcos C. 证法一：如图，

a2＝BC·BC

＝(AC－AB)·(AC－AB) ＝AC2－2AC·AB＋AB2 ＝AC2－2|AC|·|AB|cos A＋AB2 ＝b2－2bccos A＋c2， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2

－2abcos C.

→→

→→→→

→→

→→→

→

→→

证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，

∴a2＝|BC|2＝(bcos A－c)2＋(bsin A)2 ＝b2cos2A－2bccos A＋c2＋b2sin2A ＝b2＋c2－2bccos A.

同理可证b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.

10．(2012广州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝

2cos Asin A，

22

AA

cos 2sin ，m·n＝n＝－1. 22(1)求cos A的值；

(2)若a＝23，b＝2，求c的值． AA

2cos sin ， 解：(1)∵m＝22AA

cos 2sin ，m·n＝n＝－1， 22AA

∴2cos2－2sin2＝－1.

221

∴cos A＝－.

2

1

(2)由(1)知cos A＝－，且0

22π

∴A∵a＝3，b＝2，

3ab

由正弦定理得＝，

sin Asin B即

2

， 2πsin Bsin

3

1π

∴sin B＝.∵0

26π

∴C＝π－A－B＝.∴c＝b＝2.

6

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

13

1．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点－，，且2α

22

∈[0,2π)，则tan α等于( )

A．－3 3

33C. D．－33

13

解析： 因2α的终边经过点－，，且2α∈[0,2π)，

222

∴2α＝，

3π∴α＝

3

∴tan α答案： B

2．函数中周期为2的函数是( )

πππx的周期为T＝＝2. 解析： 因为y＝tan x的周期为π，所以y＝tan23π

2

答案： C

π

α，则sin α·3．已知sin(π－α)＝－2sincos α＝( ) 2

22A. B．－55221C.或－ D．－ 555

π222α⇒sin α＝－2cos α，解析： 由于sin(π－α)＝－2sin又sinα＋cosα＝1，所以cosα2

12

＝，则sin αcos α＝－2cos2α＝－，故选B. 55答案： B

ππ→→→－的部分图象如图所示，则(OB－OA)·4．函数y＝tanOB＝(

) 42

A．y＝2cos2πx－1 ππC．y＝tan2x＋3

B．y＝sin2π x＋cos 2πx D．y＝sin πxcos πx

B．2

D．4

→→→

解析： 由题意知A(2,0)，B(3,1)，所以(OB－OA)·OB＝(1,1)·(3,1)＝4，故选D. 答案： D

1

sin235°－

2

5．化简＝( )

cos 10°cos 80°

1

A．－2 B．－2

C．－1 D．1

1－cos 70°111

sin235°－－－cos 70°

2222

解析： ＝＝－1.故选C.

cos 10°cos 80°cos 10°·sin 10°1

2

答案： C

6．若把函数y＝3cos x－sin x的图象向右平移m(m＞0)个单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )

ππA. B. 632π5πC. D.36

解析： 目标意识下，逆用三角公式化为一个角的三角函数，选择值验证，y＝3cos x

ππ

x＋，向右移个单位后得到y＝2cos x，故选A. －sin x＝2cos66

答案： A

7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝3a，B＝30°，则C＝

A．－4 C．－2

( )

A．120° C．90°

B．105°

D．75°

33

cos C＋sin 22

解析： 由正弦定理得，sin C＝3sin A，sin C＝3sin(150°－C)，sin C13

C，－sin Ccos C，tan C＝－3，又0°＜C＜180°，∴C＝120°，故选A.

22答案： A

8．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一座灯塔M原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是53海里，则灯塔和轮船原来的距离为( )

A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里

解析：

如图，由题知AB＝10， BM＝53，∠MAB＝60°. 设AM＝x， 在△ABM中，

BM2＝AM2＋AB2－2AM·ABcos 60°，

2

即75＝100＋x－20xcos 60°， 解得x＝5.故选D. 答案： D

2

－，θ上的最大值为1，则θ的值是( ) 9．函数f(x)＝sin2x＋2cos x在区间3A．0

π

B. 3

ππC. D．－22

22

解析： 因为f(x)＝sinx＋2cos x＝－cosx＋2cos x＋1＝－(cos x－1)2＋2，又其在区间－2π，θ上的最大值为1，结合选项可知θ只能取－πD. 32

答案： D

10．关于函数f(x)＝sin x＋cos x，下列命题正确的是( ) A．函数f(x)的最大值为2

π

B．函数f(x)的一条对称轴为x＝

4π

C．函数f(x)的图象向左平移

4

D．函数y＝|f(x)|的周期为2π

ππx＋2；一条对称轴为x解析： f(x)＝sin x＋cos x＝2sin44

π

右平移f(x)的周期为2π，函数y＝|f(x)|的周期为π.故选B.

4

答案： B

π

x＋＝a有两个不同的实数解，则实数a的取11．已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin3

值范围为( )

A．[3，2]

C．(3，2] B．[3，2] D．3，2)

πx＋，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图解析： 令y1＝2sin3所示：

πx＋＝a在(0，若2sinπ]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两3个不同的交点，所以3＜a＜2，故选D.

答案： D

312．已知tan α＝－tan(sin α)＞tan(cos α)，则sin α的值为( ) 4

33A．－ B. 55

34C． D．－ 55

解析： ∵sin α，cos α∈[－1,1]，且y＝tan x在[－1,1]上递增，

3∴sin α＞cos α.而tan α＝－0， 4

3∴sin α＞0，且cos α＜0.∴sin α＝，选B. 5

答案： B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)

413．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________. 3

442tan α解析： ∵tan(π＋2α)＝－tan 2α， 331－tanα

1∴tan α＝－或tan α＝2. 2

1又α在第二象限，∴tan α2

1答案： －2

AC14．在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则________. cos A

ACBCAC1AC解析： 由正弦定理得：2. sin Bsin Asin 2Asin Acos A

答案： 2

π15．若是函数f(x)＝sin 2x＋acos2x(a∈R，为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是4

________．

ππ2π解析： 由题意得f＝sin＋acos 0， 424

1∴1＋a＝0，∴a＝－2. 2

∴f(x)＝sin 2x－2cos2 x π2x－－1， ＝sin 2x－cos2x－12sin4

∴f(x)的最小正周期为

π.

答案： π

16．给出下列命题：

11①半径为2，圆心角的弧度数为； 22

11π②若α、β为锐角，tan(α＋β)＝，tan β＝α＋2β 234

③若A、B是△ABC的两个内角，且sin A

④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2

1211解析： ①中，S扇形＝α·R××22＝1， 222

∴①不正确．

②中，由已知可得tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]

1132tanα＋β＋tan β＝＝1. 111－tanα＋βtanβ1－×32

1又α、β为锐角，tan(α＋β)＝， 2

π∴0

1π又由tan β＝

3π∴0

BCAC③中，由sin A

⇒BC

④中，由a2＋b2－c2

∴C为钝角，∴△ABC为钝角三角形，∴④正确．

答案： ②③④

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)在△ABC中，BC5，AC＝3，sin C＝2sin A.

(1)求AB的值；

π2A－的值． (2)求sin4

ABBC解析： (1)在△ABC中，根据正弦定理，＝sin Csin A

sin C于是AB＝BC＝2BC＝25. sin A

(2)在△ABC中，根据余弦定理，

AB2＋AC2－BC225得cos A. 2AB·AC5

5于是sin A1－cosA. 5

4从而sin 2A＝2sin A·cos A＝， 5

3cos 2A＝cos2 A－sin2 A＝. 5

πππ22A－＝sin 2Acos－cos 2A所以sin44410

18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|

(1)求ω、φ的值；

πx－，求函数g(x)的单调递增区间.(2)设g(x)＝f(x)f【解析方法代码108001047】 4

ππ2π＝π，ω＝＝2， 解析： (1)由图可知T＝424T

π又由f2＝1得，sin(π＋φ)＝1，sin φ＝－1.

π∴|φ|

π2x－＝－cos 2x. (2)由(1)知f(x)＝sin2

2xπ＝cos 2xsin 2x 因为g(x)＝(－cos 2x)－cos2

1＝x， 2

ππ所以2kπ4x≤2kπ 22

kππkππ即≤x≤k∈Z)． 2828

kππkππ故函数g(x)的单调增区间为2828(k∈Z)．

19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C2sin A3cos A.

(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；

(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值.【解析方法代码108001048】

解析： (1)2sin A3cos A两边平方，得2sin2A＝3cos A，

即(2cos A－1)(cosA＋2)＝0.

1ππ解得cos A＝>0，∵0

2b＋c2－a2m222而a－c＝b－mbc可以变形为＝ 2bc2

m1即cos A＝m＝1. 22

13(2)由(1)知cos A＝，则sin A＝22

222b＋c－a1又，∴bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2. 2bc2

bca233故S△ABC＝sin A≤， 2224

33∴△ABC面积的最大值为4

ππφ为常数且－φ

函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.

(1)求实数a的值； π(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移y＝2sin2x的图象，求函数y＝f(x)12

的解析式及其单调增区间．

解析： (1)f(x)＝1＋cos(2x＋φ)＋a3sin(2x＋φ)

π2x＋φ＋a＋1. ＝2sin6

因为函数f(x)在R上的最大值为2，

所以3＋a＝2，即a＝－1.

π2x＋φ. (2)由(1)知：f(x)＝2sin6

ππ2x＋φ＋的图象向右平移y＝2sin(2x＋φ)＝2sin 2x，把函数f(x)＝2sin 612

∴φ＝2kπ，k∈Z.

ππ又∵－

π2x. ∴f(x)＝2sin6

πππ因为2kπ2x＋≤2kπ＋262

ππ⇒kπ－≤x≤kπ＋k∈Z， 36

ππkπ－kπ，k∈Z. 所以，y＝f(x)的单调增区间为36

21．(12分)如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在

弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP

＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.【解析方法代码108001049】

解析： 因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，

∴∠OCP＝120°.

在△POC中，由正弦定理得

OPCP2CP＝， sin 120°sin θsin∠PCOsin θ

4所以CP＝sin θ. 3

OC2又＝， sin60°－θsin 120°

4∴OC＝－θ)． 3

因此△POC的面积为

1S(θ)＝·OCsin 120° 2

1443＝θsin(60°－θ)× 2324431sin θsin(60°－θ)sin θθθ 2233

21＝[cos(2θ－60°)－，θ∈(0°，60°)． 2＝

3. 3

22．(14分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(－1,1)，n

3＝cos Bcos C，sin Bsin C－，且m

⊥n. 2

(1)求A的大小；

(2)现给出下列四个条件：

①a＝1；②b＝2sin B；③2c－(3＋1)b＝0；④B＝45°. 所以当θ＝30°时，S(θ)

试从中再选择两个条件以确定△ABC，求出你所确定的△ABC的面积．

3解析： (1)∵m⊥n，∴－cos Bcos C＋sin Bsin C－＝0. 2

3即cos Bcos C－sin Bsin C＝－， 2

3∴cos(B＋C)＝－2

∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝－cos A，

3∴cos A，A＝30°. 2

(2)方案一：选择①③可确定△ABC.

∵A＝30°，a＝1,2c－(3＋1)b＝0.

3＋12－2b3＋1b3 由余弦定理12＝b2＋222b

6＋2整理得b2＝2，b，c. 2

6＋213＋111∴S△ABC＝bcsin A×. 22224

方案二：选择①④可确定△ABC.

∵A＝30°，a＝1，B＝45°，∴C＝105°. 又sin 105°＝sin(60°＋45°)

＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° 6＋2＝4

abasin Bsin 45°∵，∴b＝＝， sin Asin Bsin Asin 30°

∴b＝2.

6211∴S△ABC＝absin C＝×12 224

3＋1＝ 4