分式方程（1）
一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义． 2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 3．了解解分式方程解的检验方法． 4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 二、教学重点和难点
1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
2．教学难点：检验分式方程解的原因
3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段
演示法和同学练习相结合，以练习为主． 五、教学过程
(一)复习及引入新课
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
解：(1)当x=0时，
右边=0， ∴左边=右边，
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程． (二)新课
板书课题：
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程．
先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．
解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得 2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3．
如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．
检验：把x=3代入原方程
左边=右边
∴x=3是原方程的解． (三)应用
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流航行的速度为（20－v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为
100
20＋v
小时，逆流航行60千米所用的时间为
6060100
小时。可列方程＝ 20－v20－v20＋v
解方程得：v＝5
检验：v＝5为方程的解。 所以水流速度为5千米/时。 (四)总结
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程． 2．解这个方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．
(五)练习 补充练习：
解1：方程两边同乘x(x-2)， 5(x-2)=7x 5x-10=7x 2x=10 x=5．
检验：把x=-5代入最简公分母x(x-2)≠0，
∴x=-5是原方程的解．
方程两边同乘最简公分母(x-2)，
1=x-1-3(x-2)． (-3这项不要忘乘)
1=x-1-3x+6 2x=4 x=2．
检验：把x=2代入最简公分母(x-2)=0， ∴原方程无解． 六、作业 七、板书设计
16.3 分式方程（2）
教学目标：
1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 教学重点和难点：
1. 了解分式方程必须验根的原因；
2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。 教学过程： 一．复习引入 解方程：
x51
（1）1 4xx4x51
解： 1 方程两边同乘以 ， x4x4得 ． ∴ 检验：把x=5代入 x-5，得x-5≠0 所以，x=5是原方程的解. x216x2
2（2） x2x4x2
解：方程两边同乘以
，得 ， ∴
．
检验：把x=2代入 x2—4，得x2—4=0。 所以，原方程无解。.
思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？ 学生活动：小组讨论后总结 二．总结
（1）为什么要检验根？
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方
程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
（2）验根的方法
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。 三．应用
23
例1 解方程
x－3x
解：方程两边同乘x（x－3），得 2x＝3x－9 解得 x＝9
检验：x＝9时 x（x－3）≠0，9是原分式方程的解。 例2 解方程
x3－1 x－1(x1)(x2)
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得
x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3 化简，得
x＋2＝3 解得
x＝1 检验：x＝1时（x－1）（x＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
四．随堂练习 课本P35 五．课时小结
解分式方程的一般步骤如下：
16.3 分式方程（3）
一、教学过程 (一)复习提问
1．解分式方程的步骤
(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
2．列方程应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？
在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． (二)新课
例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
1
分析：甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工
3
111程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队
x62x
11
半个月完成总工程的＋。
62x
等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量
111则有＋＋＝1
362x
（教师板书解答、检验过程） 例4：
从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则
s
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为（x
x
＋v）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用 的时间为
s＋50
小时。 x＋v
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：
ss＋50＝ xx＋v
（教师板书解答、检验过程）
(三)课堂练习 课本P37 1.2 补充练习： 1．、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．
根据题意，得
解得 x=4.5．
经检验，x=4.5是这方程的解．
答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时． (四)小结
对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系．对于我们常见的几种类型题我们要熟悉它们的基本关系式．
二、作业 板书设计
分式方程（1）
一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义． 2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 3．了解解分式方程解的检验方法． 4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 二、教学重点和难点
1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．
2．教学难点：检验分式方程解的原因
3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学方法
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．
四、教学手段
演示法和同学练习相结合，以练习为主． 五、教学过程
(一)复习及引入新课
1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
解：(1)当x=0时，
右边=0， ∴左边=右边，
这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程． (二)新课
板书课题：
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．
在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程．
先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．
解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得 2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3．
如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．
检验：把x=3代入原方程
左边=右边
∴x=3是原方程的解． (三)应用
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流航行的速度为（20－v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为
100
20＋v
小时，逆流航行60千米所用的时间为
6060100
小时。可列方程＝ 20－v20－v20＋v
解方程得：v＝5
检验：v＝5为方程的解。 所以水流速度为5千米/时。 (四)总结
解分式方程的一般步骤：
1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程． 2．解这个方程．
3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零；使最简公分母为零的根不是原方程的解，必须舍去．
(五)练习 补充练习：
解1：方程两边同乘x(x-2)， 5(x-2)=7x 5x-10=7x 2x=10 x=5．
检验：把x=-5代入最简公分母x(x-2)≠0，
∴x=-5是原方程的解．
方程两边同乘最简公分母(x-2)，
1=x-1-3(x-2)． (-3这项不要忘乘)
1=x-1-3x+6 2x=4 x=2．
检验：把x=2代入最简公分母(x-2)=0， ∴原方程无解． 六、作业 七、板书设计
16.3 分式方程（2）
教学目标：
1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 教学重点和难点：
1. 了解分式方程必须验根的原因；
2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。 教学过程： 一．复习引入 解方程：
x51
（1）1 4xx4x51
解： 1 方程两边同乘以 ， x4x4得 ． ∴ 检验：把x=5代入 x-5，得x-5≠0 所以，x=5是原方程的解. x216x2
2（2） x2x4x2
解：方程两边同乘以
，得 ， ∴
．
检验：把x=2代入 x2—4，得x2—4=0。 所以，原方程无解。.
思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？ 学生活动：小组讨论后总结 二．总结
（1）为什么要检验根？
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方
程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
（2）验根的方法
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。 三．应用
23
例1 解方程
x－3x
解：方程两边同乘x（x－3），得 2x＝3x－9 解得 x＝9
检验：x＝9时 x（x－3）≠0，9是原分式方程的解。 例2 解方程
x3－1 x－1(x1)(x2)
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得
x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3 化简，得
x＋2＝3 解得
x＝1 检验：x＝1时（x－1）（x＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
四．随堂练习 课本P35 五．课时小结
解分式方程的一般步骤如下：
16.3 分式方程（3）
一、教学过程 (一)复习提问
1．解分式方程的步骤
(1)能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
2．列方程应用题的步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．
3．由学生讨论，我们现在所学过的应用题有几种类型？每种类型题的基本公式是什么？
在学生讨论的基础上，教师归纳总结基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题
基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． (二)新课
例3．两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？
1
分析：甲队一个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工
3
111程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队
x62x
11
半个月完成总工程的＋。
62x
等量关系为：甲、乙两个工程总量＝总工程量
111则有＋＋＝1
362x
（教师板书解答、检验过程） 例4：
从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时。用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前的平均速度为x千米/时，则
s
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为（x
x
＋v）千米/时，提速后列车行驶（s＋50）千米所用 的时间为
s＋50
小时。 x＋v
等量关系：提速前行驶50千米所用的时间＝提速后行驶（s＋50）千米所用的时间
列方程得：
ss＋50＝ xx＋v
（教师板书解答、检验过程）
(三)课堂练习 课本P37 1.2 补充练习： 1．、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．
根据题意，得
解得 x=4.5．
经检验，x=4.5是这方程的解．
答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时． (四)小结
对于列方程解应用题，一定要善于把生活语言转化为数学语言，从中找出等量关系．对于我们常见的几种类型题我们要熟悉它们的基本关系式．
二、作业 板书设计