课题1.1 集合1—集合概念
一、引入：
观察实例：（1）1, 3, 5, 7．
（2） 与一个角的两边距离相等的所有的点． （3） 满足3x -2>x +3的全体实数． （4） 所有的直角三角形．
（5） 上海市复旦附中高一（1）班全体同学． （6） 绝对值等于6的数．
（7） x 2, 3x +2, 5y 3-x , x 2+y 2． （8） 某农场所有的拖拉机．
（9） 参加2016年巴西里约奥运会的中国代表团成员． （10） 参与中国加入WTO 谈判的中方成员．
二、基本概念： 1. 集合的概念: 2. 集合中元素的特性: 3. 元素与集合的关系: 4. 介绍常见数集的专用符号:
5. 集合的表示方法：（1）列举法；（2）描述法 6. 集合的分类：有限集、无限集、空集∅. 三、例题分析：
例1. 下列条件能形成集合的是 （ ）
A ．充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人 C ．某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
例2. 若x ∈R ，则A={3, x , x 2
-2x }中的元素x 应满足什么条件？若0∈A ，则x =__
例3. 集合A 的元素是由x =a +b 2(a ∈Z , b ∈Z ) 组成，(1)用描述法表示集合A （2）判断下列元素x 与集合A 之间的关系：0, 8112-1
,
3-
2
.
课堂练习1：用符号∈或∉填空：
(1)若A ={x |x 2=x }, 则-1____A ； (2)若B ={x |x 2+x -6=0}，则3______B ； (3)若C ={x |1≤x ≤10, x ∈Z }，则8____C ；(4)若D ={x |-2
例4. 请用列举法分别表示下列集合： （1） 小于5的正奇数；
（2） 能被3整除且大于4小于15的自然数； （3） 方程x 2-9=0的解的集合； （4） ｛15以内的质数｝； （5） {x 6
3-x
∈Z , x ∈Z }. （6）{x
5x -1
x +1
∈Z , x ∈N }
课堂练习2：. 用列举法写出集合B ：
（1）已知集合B ={(x , y ) y =x 2-1x ≤2, x ∈Z }
； （2）已知集合A ={-3, -2, -1, 0, 1, 2}，B ={x |x =a 2, x ∈A }
.
例5. 用描述法分别表示下列集合： （1） 抛物线x 2=y 上的点； （2） 抛物线x 2=y 上的横坐标； （3） 抛物线x 2=y 上的纵坐标；
（4） 数轴上离开原点的距离大于6的点的集合；
（5） 平面直角坐标系中，与原点距离不大于6的点的集合 （6）平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合. （7）平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合.
课堂练习3：把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）{1, 5} （2）{x |x 2+x -1=0} （3）{2, 4, 6, 8} （4）{x |3
1
例6. 已知集合A =x ax 2+2x +1=0, a ∈R , x ∈R . (1)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素； (2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.
课堂练习4：集合A 的元素由kx 2-3x +2=0的实数解构成，其中k ∈R ，若A 中的元素至多有一个，
{}
四、巩固训练：
1、下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A ．大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
1
C ．被3除余2的所有整数 D.函数y =图象上所有的点
x
2、M ={a , b , c }中三个元素可构成某一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3、在“（1）难解的题目，（2）方程x 2-3=0在实数集内的解，（3）直角坐标平面内第四象限的一些点，（4）很多多项式”中, 能够组成集合的是 （ ） 求k 值的范围.
例7、集合A 满足条件：①1∈A ; ②若a ∈A ，则
1
1-a
∈A ，（1）A 能否为单元集 (2)若2∈A , 求集合A ；（3）试用列举法表示A 。
课堂练习5、已知x ∈N *, 当x ∈P , 8-x ∈P , 试写出所有含有3个元素的集合P 。
例8、（1）方程ax 2+5x +c =0的解集是{11
{2, 3
，则a =______________，c =______________.
（2）A =x x 2+px +q =0, x ∈R }={2}，则p +q =_______
例9、设a , b 为整数，把形如a +b 5的一切数构成的集合记为M ，设x ∈M , y ∈M ，试判断
x +y , x -y , xy 是否属于M ，说明理由.
课堂练习6、设集合A ={a |a =x 2-y 2, x , y ∈Z }
. （1）试证明；一切奇数属于A ；（2）关于集合A ，你还能得出什么结论.
A. （2） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（1）（2）（4）
4、方程组⎧⎨x +y =1
-1
的解集是（ ）
⎩x -y =A. {x =0, y =1} B.{0, 1} C. {(0, 1) } D.{(x , y ) x =0或y =1}
5、下列集合中，表示同一个集合的是 （ ）
A. M ={(3, 2) }，N ={(2, 3) } B.M ={3, 2}，N ={2, 3}
C. M ={(x , y ) x +y =11, 2}，N ={(1, 2) } {}，N =}
{y x +y =1} D.M ={
6、设集合A =x x =(-1) n , n ∈N *， B ={2, 4, 6, 8}，C ={(x , y ) 3x +2y =16, x ∈N *, y ∈N *}
，D ={x
}. 其中有限集的个数是（ ） A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7、M ={m m =2k , k ∈Z }, X ={x x =2k +1, k ∈Z }，Y ={y y =4k +1, k ∈Z }，若a ∈X b ∈Y ， 则（ ） A.a +b ∈M B.a +b ∈X C.a +b ∈Y D.a +b ∉M
8、设a 、b ∈R ，集合{1, a +b , a }={0,b
a
, b }，则b -a =（ ）
A . 1 B . -1 C . 2 D . -2
9、设含有三个实数的集合既可以表示为{a , b
a
, 1}，也可以表示为{a 2, a +b , 0}，则a 2016+b 2015 的值等
于_______.
10、 若-3∈{a -3, 2a -1, a 2+1}
，求实数a 的值.
11、abc ≠0, 则a a +b b +c c +
abc
所有值组成的集合为。(用列举法表示) 12、若{x ax 2
-2x +1=0}
是单元集，则实数a =____________。
13、求方程4x 2+9y 2-4x +12y +5=0的实数解集.
14、定义集合运算：A ⊗B ={z z =xy (x +y ), x ∈A , y ∈B }
, 设A ={0, 1}, B ={2, 3}, 则集合 A ⊗B 中所有元素之和为 。
2
课题1.1 集合1—集合概念
一、引入：
观察实例：（1）1, 3, 5, 7．
（2） 与一个角的两边距离相等的所有的点． （3） 满足3x -2>x +3的全体实数． （4） 所有的直角三角形．
（5） 上海市复旦附中高一（1）班全体同学． （6） 绝对值等于6的数．
（7） x 2, 3x +2, 5y 3-x , x 2+y 2． （8） 某农场所有的拖拉机．
（9） 参加2016年巴西里约奥运会的中国代表团成员． （10） 参与中国加入WTO 谈判的中方成员．
二、基本概念： 1. 集合的概念: 2. 集合中元素的特性: 3. 元素与集合的关系: 4. 介绍常见数集的专用符号:
5. 集合的表示方法：（1）列举法；（2）描述法 6. 集合的分类：有限集、无限集、空集∅. 三、例题分析：
例1. 下列条件能形成集合的是 （ ）
A ．充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人 C ．某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
例2. 若x ∈R ，则A={3, x , x 2
-2x }中的元素x 应满足什么条件？若0∈A ，则x =__
例3. 集合A 的元素是由x =a +b 2(a ∈Z , b ∈Z ) 组成，(1)用描述法表示集合A （2）判断下列元素x 与集合A 之间的关系：0, 8112-1
,
3-
2
.
课堂练习1：用符号∈或∉填空：
(1)若A ={x |x 2=x }, 则-1____A ； (2)若B ={x |x 2+x -6=0}，则3______B ； (3)若C ={x |1≤x ≤10, x ∈Z }，则8____C ；(4)若D ={x |-2
例4. 请用列举法分别表示下列集合： （1） 小于5的正奇数；
（2） 能被3整除且大于4小于15的自然数； （3） 方程x 2-9=0的解的集合； （4） ｛15以内的质数｝； （5） {x 6
3-x
∈Z , x ∈Z }. （6）{x
5x -1
x +1
∈Z , x ∈N }
课堂练习2：. 用列举法写出集合B ：
（1）已知集合B ={(x , y ) y =x 2-1x ≤2, x ∈Z }
； （2）已知集合A ={-3, -2, -1, 0, 1, 2}，B ={x |x =a 2, x ∈A }
.
例5. 用描述法分别表示下列集合： （1） 抛物线x 2=y 上的点； （2） 抛物线x 2=y 上的横坐标； （3） 抛物线x 2=y 上的纵坐标；
（4） 数轴上离开原点的距离大于6的点的集合；
（5） 平面直角坐标系中，与原点距离不大于6的点的集合 （6）平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合. （7）平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合.
课堂练习3：把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）{1, 5} （2）{x |x 2+x -1=0} （3）{2, 4, 6, 8} （4）{x |3
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例6. 已知集合A =x ax 2+2x +1=0, a ∈R , x ∈R . (1)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素； (2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.
课堂练习4：集合A 的元素由kx 2-3x +2=0的实数解构成，其中k ∈R ，若A 中的元素至多有一个，
{}
四、巩固训练：
1、下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A ．大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
1
C ．被3除余2的所有整数 D.函数y =图象上所有的点
x
2、M ={a , b , c }中三个元素可构成某一个三角形的三边长，那么此三角形一定不是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3、在“（1）难解的题目，（2）方程x 2-3=0在实数集内的解，（3）直角坐标平面内第四象限的一些点，（4）很多多项式”中, 能够组成集合的是 （ ） 求k 值的范围.
例7、集合A 满足条件：①1∈A ; ②若a ∈A ，则
1
1-a
∈A ，（1）A 能否为单元集 (2)若2∈A , 求集合A ；（3）试用列举法表示A 。
课堂练习5、已知x ∈N *, 当x ∈P , 8-x ∈P , 试写出所有含有3个元素的集合P 。
例8、（1）方程ax 2+5x +c =0的解集是{11
{2, 3
，则a =______________，c =______________.
（2）A =x x 2+px +q =0, x ∈R }={2}，则p +q =_______
例9、设a , b 为整数，把形如a +b 5的一切数构成的集合记为M ，设x ∈M , y ∈M ，试判断
x +y , x -y , xy 是否属于M ，说明理由.
课堂练习6、设集合A ={a |a =x 2-y 2, x , y ∈Z }
. （1）试证明；一切奇数属于A ；（2）关于集合A ，你还能得出什么结论.
A. （2） B.（1）（3） C.（2）（4） D.（1）（2）（4）
4、方程组⎧⎨x +y =1
-1
的解集是（ ）
⎩x -y =A. {x =0, y =1} B.{0, 1} C. {(0, 1) } D.{(x , y ) x =0或y =1}
5、下列集合中，表示同一个集合的是 （ ）
A. M ={(3, 2) }，N ={(2, 3) } B.M ={3, 2}，N ={2, 3}
C. M ={(x , y ) x +y =11, 2}，N ={(1, 2) } {}，N =}
{y x +y =1} D.M ={
6、设集合A =x x =(-1) n , n ∈N *， B ={2, 4, 6, 8}，C ={(x , y ) 3x +2y =16, x ∈N *, y ∈N *}
，D ={x
}. 其中有限集的个数是（ ） A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7、M ={m m =2k , k ∈Z }, X ={x x =2k +1, k ∈Z }，Y ={y y =4k +1, k ∈Z }，若a ∈X b ∈Y ， 则（ ） A.a +b ∈M B.a +b ∈X C.a +b ∈Y D.a +b ∉M
8、设a 、b ∈R ，集合{1, a +b , a }={0,b
a
, b }，则b -a =（ ）
A . 1 B . -1 C . 2 D . -2
9、设含有三个实数的集合既可以表示为{a , b
a
, 1}，也可以表示为{a 2, a +b , 0}，则a 2016+b 2015 的值等
于_______.
10、 若-3∈{a -3, 2a -1, a 2+1}
，求实数a 的值.
11、abc ≠0, 则a a +b b +c c +
abc
所有值组成的集合为。(用列举法表示) 12、若{x ax 2
-2x +1=0}
是单元集，则实数a =____________。
13、求方程4x 2+9y 2-4x +12y +5=0的实数解集.
14、定义集合运算：A ⊗B ={z z =xy (x +y ), x ∈A , y ∈B }
, 设A ={0, 1}, B ={2, 3}, 则集合 A ⊗B 中所有元素之和为 。
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