正弦定理和余弦定理
1.正弦定理和余弦定理
2. 三角形常用面积公式
1
(1)S=a ²h a (ha 表示边a 上的高) ;
2
1
(2)S=absin C=___________=___________.
21
(3)S=r(a+b +c)(r为内切圆半径) .
2
1.在△ABC 中,“A >B ”是“sin A>sin B”的什么条件?“A >B ”是“cos A<cos B”的什么条件?
a b
【提示】 在△ABC 中,A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ,∴A
2R 2R
>B 是sin A >sin B 的充要条件, 易知A >B 是cos A <cos B 的充要条件.
2.如何利用余弦定理来判定三角形中角A 为锐角、直角、钝角? 【提示】 应判断b2+c2-a2与0的关系;当b2+c2-a2>0时,A 为锐角;当b2+c2-a2=0时,A 为直角;当b2+c2-a2<0时,A 为钝角.
1.已知△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 若a =c =62,且A =75°,则b =( )
A .2 B .4+23 C .4-3 6-2
2.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B=( )
622622
A. B..- D.-3333
3.在△ABC 中,若∠A =60°,∠B =45°,BC =32,则AC =( )
3A .43 B.23 C.3 D.2
4.△ABC 中,B =120°,AC =7,AB =5,
则△ABC
的面积为________
.
△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin
B +b cos 2A =2a .
b
(1)求
a
(2)若c 2=b 23a 2,求B .
【思路点拨】 (1)在已知等式中,利用正弦定理消去sin B,再化简求值;(2)由条件结构特征,联想到余弦定理,求cos B,进而求出角B.
1.运用正弦定理和余弦定理求解三角形时,要分清条件和目标.若已知两边与夹角,则用余弦定理;若已知两角和一边,则用正弦定理. 2.在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.
在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且bsin A=3acos B. (1)求角B 的大小;
(2)若b =3,sin C=2sin A,求a ,c 的值.
已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向
A 7
量m =(4,-1) ,n =(coscos 2A),且m ²n =.
22
2
(1)求角A 的大小;
(2)若b +c =2a =23,试判断△ABC 的形状.
【审题视点】 (1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关于cos A 的方程求解;
(2)利用余弦定理建立关于b 、c 的方程,结合b +c =3求解.
判定三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行转化.无论使用哪种方法,不要随意约掉公因式;要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.
在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求A 的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.
2asin A =(2b
已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,acos C
3asin C-b -c =0. (1)求A ;
(2)若a =2,△ABC 的面积为3,求b ,c.
【思路点拨】 (1)根据正弦定理边化角,把B 用A 、C 表示,借助三角变换求A 的值;
(2)根据三角形面积和余弦定理列关于b 、c 的方程组求解.
1.本例(1)中,利用sin B=sin(A+C) 进行转化是解题的关键.本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口.
2.选择使用余弦定理和面积公式时,一般选择角确定的一组.
在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,sin B 5cos C .
(1)求tan C 的值;
(2)若a =2,求△ABC 的面积.
. 已知cos A =2
3,
c
已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其它边或角.可能有一解、两解、无解.
判定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦) 定理实施边、角转换.
从近两年的高考试题看,正弦定理、余弦定理是高考的热点,常与三角函数,三角恒等变换等交汇命题,题型多样,属中、低档题目.
规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的应用
设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,
且有2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角A 的大小;
(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长.
易错提示:(1)逆用公式意识不强,无法求得cos A.
(2)应用余弦定理时,不会选择公式无法得到a ,b ,c 之间的关系. 防范措施:(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数题的基础,平时应加强训练,增强逆用公式的意识.
(2)应用余弦定理时,一般选择角度已知的那一组公式.
1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c. 已知8b =5c ,C =2B ,则cos C=( )
77724A. B .- C .± D. 25252525
12.在△ABC 中,若a =2,b +c =7,cos B,则b =________. 4
正弦定理和余弦定理
1.正弦定理和余弦定理
2. 三角形常用面积公式
1
(1)S=a ²h a (ha 表示边a 上的高) ;
2
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(2)S=absin C=___________=___________.
21
(3)S=r(a+b +c)(r为内切圆半径) .
2
1.在△ABC 中,“A >B ”是“sin A>sin B”的什么条件?“A >B ”是“cos A<cos B”的什么条件?
a b
【提示】 在△ABC 中,A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ,∴A
2R 2R
>B 是sin A >sin B 的充要条件, 易知A >B 是cos A <cos B 的充要条件.
2.如何利用余弦定理来判定三角形中角A 为锐角、直角、钝角? 【提示】 应判断b2+c2-a2与0的关系;当b2+c2-a2>0时,A 为锐角;当b2+c2-a2=0时,A 为直角;当b2+c2-a2<0时,A 为钝角.
1.已知△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. 若a =c =62,且A =75°,则b =( )
A .2 B .4+23 C .4-3 6-2
2.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B=( )
622622
A. B..- D.-3333
3.在△ABC 中,若∠A =60°,∠B =45°,BC =32,则AC =( )
3A .43 B.23 C.3 D.2
4.△ABC 中,B =120°,AC =7,AB =5,
则△ABC
的面积为________
.
△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin
B +b cos 2A =2a .
b
(1)求
a
(2)若c 2=b 23a 2,求B .
【思路点拨】 (1)在已知等式中,利用正弦定理消去sin B,再化简求值;(2)由条件结构特征,联想到余弦定理,求cos B,进而求出角B.
1.运用正弦定理和余弦定理求解三角形时,要分清条件和目标.若已知两边与夹角,则用余弦定理;若已知两角和一边,则用正弦定理. 2.在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.
在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , 且bsin A=3acos B. (1)求角B 的大小;
(2)若b =3,sin C=2sin A,求a ,c 的值.
已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向
A 7
量m =(4,-1) ,n =(coscos 2A),且m ²n =.
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(1)求角A 的大小;
(2)若b +c =2a =23,试判断△ABC 的形状.
【审题视点】 (1)利用数量积的坐标表示及二倍角公式建立关于cos A 的方程求解;
(2)利用余弦定理建立关于b 、c 的方程,结合b +c =3求解.
判定三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行转化.无论使用哪种方法,不要随意约掉公因式;要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.
在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求A 的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.
2asin A =(2b
已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,acos C
3asin C-b -c =0. (1)求A ;
(2)若a =2,△ABC 的面积为3,求b ,c.
【思路点拨】 (1)根据正弦定理边化角,把B 用A 、C 表示,借助三角变换求A 的值;
(2)根据三角形面积和余弦定理列关于b 、c 的方程组求解.
1.本例(1)中,利用sin B=sin(A+C) 进行转化是解题的关键.本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口.
2.选择使用余弦定理和面积公式时,一般选择角确定的一组.
在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,sin B 5cos C .
(1)求tan C 的值;
(2)若a =2,求△ABC 的面积.
. 已知cos A =2
3,
c
已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其它边或角.可能有一解、两解、无解.
判定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦) 定理实施边、角转换.
从近两年的高考试题看,正弦定理、余弦定理是高考的热点,常与三角函数,三角恒等变换等交汇命题,题型多样,属中、低档题目.
规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的应用
设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,
且有2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角A 的大小;
(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长.
易错提示:(1)逆用公式意识不强,无法求得cos A.
(2)应用余弦定理时,不会选择公式无法得到a ,b ,c 之间的关系. 防范措施:(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函数题的基础,平时应加强训练,增强逆用公式的意识.
(2)应用余弦定理时,一般选择角度已知的那一组公式.
1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c. 已知8b =5c ,C =2B ,则cos C=( )
77724A. B .- C .± D. 25252525
12.在△ABC 中,若a =2,b +c =7,cos B,则b =________. 4