丽水学院2012届学生毕业论文
目录
1 导数的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1.1 导数的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1.2
导数的几何意义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
2 导数在研究一元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„„„ 2.1 利用导数知识描绘函数图象„„„„„„„„„„„„„„„„ 2.2 利用导数证明不等式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2.3 泰勒公式在研究一元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„ 3 导数在研究二元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„„„ 3.1 二元函数的偏导数在几何上的应用„„„„„„„„„„„„„ 3.2 二元函数的偏导数在函数极值方面的应用„„„„„„„„„„ 3.3 泰勒公式在研究二元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„ 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
2 2 2 3 3 9 10 15 16 17 21 23 25
导数在研究函数中的应用
理学院 数学082 陆民明 指导师：杜鸿
摘 要:导数是依照实际问题为背景提出的概念。利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图象等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式与函数的关系等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。
关键词:导数，一元函数，二元函数，泰勒公式，应用。
引言
微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。而导数作为微积分学中最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的，有着广泛的应用意义。设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义。如果极限
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 存在, 则称函数f (x )在点x 0处可导, 并称此极限值
∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
为函数
f (x )在点x 0处的导数, 记为f '(x 0)， 即
f '(x 0)=lim
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 。导数是对函数图象与性质的总结与拓展，它
∆x →0∆x ∆x →0∆x
是研究函数单调性的重要工具，广泛应用在讨论函数图象的变化趋势及证明不等式等方面。导数也是初等数学与高等数学的重要衔接点。另外，导数在经济学中的应用也越来越得到人们的重视，经济学中很多现象都可以 用导数来分析，归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答。
众所周知，导数的思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小值问题而引入的。但导数作为微积分学中最主要的概念，却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学和几何学过程中建立的，包括在数学领域、物理研究及经济领域的广泛应用，这只是导数应用的一部分内容。然而要想应用导数解决好实际问题，关键是先将实际问题转化为数学问题，再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题，导数在各类题型中的应用已越来越广泛了，已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
导数是依照实际问题为背景提出的概念。利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性([1],[10],[11])、极值点([1],[13])、凹凸性([1],[2],[3])、函数的渐进线([4],[5])、画图象([8],[9],[15])等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式([16],[17],[18],[19])等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。
1导数的定义
1.1 导数的定义
设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义。如果极限
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 存在, 则称函数f (x )在点x 0处可导, 并称此极限值
∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
为函数
f (x )在点x 0处的导数, 记为f '(x 0)， 即
f '(x 0)=lim
'
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 。
∆x →0∆x ∆x →0∆x
左导数：f -(x ) =lim -
∆x →0
f (x ) -f (x 0) ∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim -=lim -
x →x 0∆x ∆x →0∆x x -x 0f (x ) -f (x 0) ∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim +=lim +
∆x →0x →x ∆x ∆x x -x 00
右导数： f +(x ) =lim +
∆x →0
'
∴f ' (x ) =A ⇔f -' (x ) =f +' (x ) =A
可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件 导函数：f (x ) =y =lim
'
∆y f (x +∆x ) -f (x ) =lim 。
∆x →0∆x ∆x →0∆x
1.2导数的几何意义（图1）
曲线y =f (x ) 在点x 0处的导数f ' (x 0) 在几何上表示为：曲线y =f (x ) 在点A (x 0, y 0) 处切线的斜率。即f ' (x 0) =tan α（α是过A 点的切线的倾斜角）（如图1）
'
则，曲线y =f (x ) 在点A (x 0, y 0) 处切线方程为：y -y 0=f (x 0)(x -x 0) 。
2导数在研究一元函数上的应用
2.1利用导数知识描绘函数图象
函数图形的作法
描绘图形的一般步骤如下：
①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等； ②求出f ' (x ) ，f '' (x ) ；
③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点； ④确定曲线的渐近线；
⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标； ⑥用光滑曲线连接，画出y =f (x ) 的图象。
在本节中，我们将利用函数的单调性，凹凸性和拐点，极值，渐近线等来较完善地描绘出函数的图象。
函数的单调性：一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间
从图形直观分析：若在(a , b ) 内，曲线上每一点的导数都大于0，即f (x ) >0，利用导数的几何意义知，在(a , b ) 内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数y =f (x ) 是单调递增的（如图2）。反之，若在(a , b ) 内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的
切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数y =f (x ) 是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x 轴（此点的导数值为0，即。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理： f ' (x ) =0）
定理1： 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，则：
'
①若x ∈(a , b ) 时恒有f (x ) >0，则f (x ) 在(a , b ) 单调增加；
'
②若x ∈(a , b ) 时恒有f ' (x )
曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：
定义1： 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）
那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？
按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二阶导数来确定。即有判定定理。 定理2：设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上具有二阶导数， ①当f ''(x ) ≤0时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数） ②当f ''(x ) ≥0时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数） 通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）
若曲线y =f (x ) 呈现凸状，由图5（1）直观看出：当x 增大时，切线斜率随之变小，说明一阶导数函数f (x ) 在(a , b ) 上为减函数，由函数单调性判别法，必有[f (x )]0。
从另一角度讲，该定理为二阶导数的几何意义。
定义2： 若函数f (x ) 在点x =x 0的左右邻域上凹凸性相反，则点(x 0, f (x 0)) 叫做曲线的拐点（注意拐点不是x 0）
''
''
'
'
''
'
由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二阶导数是否异号，与该点一阶、二阶导数是否存在无关
函数的极值：函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数图形时是十分重要的。
定义3： 设函数f (x ) 在点x =x 0及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点
x （x =x 0）恒有f (x ) f (x 0) 成立，则f (x 0) 为
极小值。
应当注意：极值是一个局部概念，它只限于x 0的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小于极小值。
极值点和导数的关系如何？由图6可知：
定理3： 若x 0是函数f (x ) 的极值点，则f ' (x 0) =0或者f ' (x 0) 不存在。
注意：①f ' (x 0) =0是点x 0为
极值点的必要条件，但不是充分条件。如
y =x 3，y ' =3x 2，y ' |x =0=0但(0,0)点不是函
数极值点；②函数f (x ) 在导数不存在的点也可能有极值。如y =x ，y =
13
'
11
⨯2，y ' |x =0不33
x
存在，但(0,0)点不是函数极值点（如图7）
将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。
下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。 定理4（极值的第一充分条件）： 设f 在x 0连续，在某邻域U o (x 0; δ) 内可导，
①若x ∈(x 0-δ; x 0) （x 0左侧）时f (x ) >0，而x ∈(x 0; x 0+δ) （x 0右侧）f (x )
'
'
则函数f (x ) 在x 0处取极大值f (x 0)
②若x ∈(x 0-δ; x 0) （x 0左侧）时f ' (x ) 0，则函数f (x ) 在x 0处取极小值f (x 0)
③若x 0两侧f ' (x ) 不变号，则f (x ) 在x 0处无极值。
该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。 若函数的二阶导数存在，有如下的判定定理；
定理5（极值的第二充分条件）： 设f ' (x ) =0，f '' (x ) 存在，
''
①若f (x ) >0，则f (x 0) 为f (x ) 的极小值； ''
②若f (x )
③若f '' (x ) =0，本方法无效，需用极值的第一充分条件这个定理来进一步判定。 因为f (x ) >0，则曲线在x 0点的左右两侧呈凹状，因此f (x 0) 为极小值；反之，若
''
f '' (x )
为有助于函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。
定义4： 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。
水平渐近线 若曲线y =f (x ) 的定义域是无限区间，且有：lim f (x ) =b ，或
x →-∞
x →+∞
lim f (x ) =b ，则直线y =b 为曲线y =f (x ) 的水平渐近线。
f (x ) =∞，或lim +f (x ) =∞，则直线x =c 垂直渐近线 若曲线y =f (x ) 有：lim -
x →c
x →c
为曲线y =f (x ) 的垂直渐近线。
斜渐近线 若lim [f (x ) -(ax +b )]=0成立，则y =ax +b 是曲线的一条斜渐近线。
x →±∞
下面介绍求a , b 的公式。 由lim [f (x ) -(ax +b )]=0有：
x →±∞
f (x ) b
-a -]=0
x →±∞x x f (x ) b
-a -]=0 所以 lim [
x →±∞x x
f (x )
即 a =lim
x →±∞x f (x )
将a =lim 求出并代入lim [f (x ) -(ax +b )]=0即可确定b =lim [f (x ) -ax ]
x →±∞x →±∞x →±∞x
lim x [例1 作函数f (x )=x +2e
-1x
图。
-1x
解 f (-∞)=+∞, x
f '(x )=-
e
-
1x
(x
2
+x +2)
2
x
0凹向上。∀x ≠0，有
f (x )≥0=f (-2)，故x =-2取最小值0。
11
-(x +2)e -0x +2)e -0(2
f -'(-2)=lim -=-e ，f +'(-2)=lim +=e 2。
x →-2x →-2x -(-2) x -(-2)
-1
x
-1x
故x =-2处导数不存在。曲线在此点处与x 轴相交，但不相切。
-1x
当x >-2时 f (x )=(x +2)e (x ≠0)，这时f '(x )=-
-1x
e
-
1x
(x
2
+x +2)
x 2
>0，
2e 2
''x >2-3x , x 0()()3x 43
2
f ''(x )
3
f (x )严格递增。f ''(x )=
x =0处，f (-0)=lim (x +2)e
x →0-
-
1x
=+∞。以上表明曲线在⎡（凹向上）⎣-2,0)从零单调上升
-1
x
趋向+∞，以y 轴为垂直渐近线。f (+0)=lim (x +2)e +
x →0
=0, f (+∞)=+∞，
x →+∞
lim
f (x )(x +2)e
=lim x →+∞x x
-
1
x
=1，且
⎛2⎫-x
1+⎪e -1⎤1x ⎭
-x ⎥=lim ⎝，令t =
1x ⎦x →+∞
x
1
1-⎡
lim ⎡f (x )-x ⎤=lim ⎢(x +2)e x
⎣⎦x →+∞x →+∞
⎣
t →0+
1+2t )e -t -1(lim =lim ⎡2e -t -
t
t →0+
⎣
+
0。因此，曲线在内从单调上升=10, +∞(1+2t )e -t ⎤()⎦
（凹向上）至x =
2
拐为凹向下，继续上升趋向+∞，并以y =x +1作为斜渐近线。总之，3
该曲线的图象如图8
图8
例2 作函数y =
4(x +1)
-2的图形 x 2
解：函数的定义域为{x |x ≠0, x ∈R }
y ' =-
'
4(x +2) 8(x +3) ''
y =，
x 3x 4
令y =0，得x =-2；
令y =0，得x =-3。列表如下：
''
又
x →+∞
lim [
-2]=-2, ∴y =-2为曲线的水平渐进线 x 2
lim[
x
→0
4(x +1)
-2]=∞, ∴
x =0为曲线的铅垂渐进线 x 2
曲线经过(1，(1，(-1, 2) ，
2
(1,6)，(2,1)，(3,-) 这几个点
9
通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）
2.2利用导数证明不等式
（一）用求极值的方法证明不等式
要证明f (x )≥g (x )只要求函数F (x )≡f (x )-g (x )的极值，证明min F (x )≥0。
2
⎛t ⎫t -t
例3 设n 为自然数，试证：e - 1-⎪≤e （当t ≤n 时）
n ⎝n ⎭
-t
2
⎛t ⎫t t
证 原式等价于1- 1-⎪e ≤
n ⎝n ⎭
n
t 2⎡⎛t ⎫t ⎤
故只要证明f (t )≡-⎢1- 1-⎪e ⎥≥0 ，（当t ≤n 时）
n ⎢n ⎭⎥⎣⎝⎦n -1n n -1
2t t ⎡⎛t ⎫t ⎫⎤t ⎡t ⎫⎤⎛t ⎛f '(t )=+e ⎢ 1-⎪(-1)+ 1-⎪⎥=⎢2-e 1-⎪⎥ n ⎝n ⎭⎦⎝n ⎭⎦⎢⎝n ⎭⎥n ⎢⎥⎣⎣
n
n
⎛t ⎫
故用ξ表示方程2-e 1-⎪
⎝n ⎭
t
n -1
=0的根。则极值的可疑点为t =0, t =ξ及t =n 。
但
f (0)=0
，
22⎡⎛ξ⎫n ξ⎤ξ2⎡⎛ξ⎫⎤⎛ξ⎫ξ
f (ξ)=-⎢1- 1-⎪e ⎥=-⎢1-2 1-⎪⎥= 1-⎪+2(n -1)≥0
n ⎢n n ⎭⎝n ⎭⎦⎝n ⎭n ⎣⎥⎣⎝⎦
ξ2
f (n )=n -1≥0, f (-∞)=+∞，由此f (t )≥min f (t )=f (0)=0（当t ≤n 时）
t ≤n
命题得证
(二) 利用单调极限证明不等式
若x
⎛t ⎫
例4 证明：x >0, t ≤x 时，e -t - 1-⎪≥0
⎝x ⎭
证明：当t =0或t =x 时，不等式自明。只需证明x >0, t
x
⎛t ⎫-t
明x 递增到+∞时，f (x )≡ 1-⎪递增到e 即可。事实上：
⎝x ⎭
x '⎡⎤t ⎡⎛⎫⎛o 'ln f x =ln 1-=x ln ⎤1当x >0, t ≠0, t
x
t ⎫⎤'
⎪ x ⎭⎥⎦x
=ln (x -t )-ln x +
t
（应用Lagrange 公式） x -t
=
-t
ξ
+
-t t t ⎛当0
x -t ⎝当t
x
-x t
⎡
⎛t ⎫⎛t ⎫2lim 1-⎪=lim ⎢ 1-⎪x →+∞
⎝x ⎭x →+∞⎢⎝x ⎭
⎣
o ⎤
⎥=e -t ， ⎥⎦
x
-t
⎛t ⎫-t
故x 递增到+∞时，f (x )≡ 1-⎪递增到e 。证毕
⎝x ⎭2.3泰勒公式在研究一元函数上的应用
多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数近似计算和理论分析的一个重要内容。我们知道如果函数
f
在点
x 0可导，则有
f (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0)。即在点x 0附近，用一次多项式f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)逼近函数f (x )时，其误差为o (x -x 0)的高阶无穷小量。然而在
很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为o
((x -x 0)
n
)，其中n 为多项式的次数。泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,
它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能, 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
定义1 若函数f 在x 0存在n 阶导数, 则有
f ' (x 0) f '' (x 0)
f (x ) =f (x 0) +(x -x 0) +(x -
x 0) 2+
1! 2!
f (n ) (x 0)
+(x -x 0) n +o ((x -x 0) n ) （1）
n !
这里o ((x -x 0) n ) 为佩亚诺型余项, 称(1)为f 在点x 0的泰勒公式.
f ' (0) f ' ' (0) 2f (n ) (0) n
当x 0=0时, （1）式变成f (x ) =f (0) +x +x + +x +o (x n ) ,
1! 2! n !
称此式为(带有佩亚诺余项的) 麦克劳林公式.
定义2 若函数 f 在x 0某邻域内为存在直至 n +1阶的连续导数, 则
f '' (x 0) f (n ) (x 0) 2
f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) +... +(x -x 0) n +R n (x ) , （2）
2! n !
'
f (n +1) (ξ)
这里R n (x ) 为拉格朗日余项，R n (x ) =(x -x 0) n +1, 其中ξ在x 与x 0之间, 称（2）
(n +1)!
为f 在x 0的泰勒公式.
f '' (0)2f (n ) (0)n
x +... +x +R n (x ) 当x 0=0时, （2）式变成f (x ) =f (0)+f (0)x +2! n !
'
称此式为(带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
x 2x n e θx
e =1+x ++ ++x n +1.
2! n ! (n +1)!
x
2n +1
x 3x 5n x sin x =x -+- +(-1) +o (x 2n +2) . 3! 5! (2n +1)!
x 2x 4x 6
cos x =1-+-+
2! 4! 6! x 2n
+(-1) +o (x 2n ) .
(2n )!
n
n +1
x 2x 3n x ln(1+x ) =x -+- +(-1) +o (x n +1) . 23n +1
1
=1+x +x 2+ +x n +o (x n ) 1-x
(1+x ) m =1+mx +
m (m -1) 2
x + . 2!
（一）利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算, 有时可用某项的泰勒展开式来代替该项, 使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限, 就能简捷地求出.
x 22
例5 求极限lim
cos x -e x →0x 4
-
.
分析：此为
型极限, 若用罗比达法则求解，则很麻烦, 这时可将cos x 和e 0
-
x 22
分别用泰勒展
开式代替, 则可简化此比式.
x -x 2x 44
++o (x ) , e 2解 由cos x =1-
2! 4!
2
x 22(-) x 2+o (x 4) 得 =1-+22
cos x -e
-
x 2
2
=(
111
-2) x 4+o (x 4) =-x 4+O (x 4) , 4! 2⋅2! 12
于是
x 2
2
lim
cos x -e x →0x 4
-
14
x +O (x 4)
1
=lim 4=-. x →0x 12
-
（二）利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物, 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替, 往往使证明方便简捷.
例6 当x ≥0时, 证明sin x ≥x -
13x . 6
13
x , x 0=0, 则 6
证明： 取f (x ) =sin x -x +
f (0)=0, f ' (0)=0, f '' (0)=0, f ''' (x ) =1-cos x , f ''' (0)≥0.
带入泰勒公式, 其中n =3,得
f (x ) =0+0+0+
1-cos θx 3
x ，其中0
故
当x ≥0时, sin x ≥x -
13x . 6
（三） 利用泰勒公式判断函数的极值
(极值的第二充分条件) 设f 在x 0的某邻域U (x 0; δ) 内一阶可导, 在x =x 0处二阶可导, 且
f ' (x 0) =0, f ' ' (x 0) ≠0.
（i ）若f ' ' (x 0)
(ii) 若f ' ' (x 0) >0, 则f 在x 0取得极小值.
证明： 由条件可得f 在x 0处的二阶泰勒公式
f ' (x 0) f ' ' (x 0)
f (x ) =f (x 0) +(x -x 0) +(x -x 0) 2+o ((x -x 0) 2) .
1! 2!
由于f ' (x 0) =0, 因此
f ' ' (x 0)
f (x ) -f (x 0) =[+o (1)](x -x 0) 2.(*)
2
又因f ' ' (x 0) ≠0, 故存在正数δ≤δ, 当x ∈U (x 0; δ' ) 时,
'
1' ' 1
f (x 0) 与f ' ' (x 0) +o (1) 同22
号. 所以, 当f ' ' (x 0)
f (x ) -f (x 0)
即f 在x 0取得极大值. 同样对f ' ' (x 0) >0, 可得f 在x 0取得极小值. （四）利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式, 通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式. 例7 求
1
的幂级数展开式. 2
1+x +x
解 利用泰勒公式
11-x
==
1+x +
x 21-x 3
(1-x )(1+x 3+x 6+x 9+
) =1-x +x 3-x 4+x 6-x 7+x 9-x 10+
)
3467910
x x x +x -x x x +
∞2π(n +1) n =[sinx ]3n =0=
（五）利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算, 利用f (x ) 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
f '' (0)2
f (x ) ≈f (0)+f (0)x +x +
2!
' f n (0)n +x ,
n !
其误差是余项R n (x ) .
例8 计算Ln1.2的值, 使误差不超过0.0001
解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：
x 2x 3
Ln (1+x ) =x -++
23
+(-1)
n -1
x n
+R n (x ) , n
(-1) n x n +1
其中R n (x ) =（ξ在0与x 之间）.
(n +1)(1+ξ) n +1
令x =0. 2, 要使
(0.2)n +1
|R n (x ) |=
(n +1)(1+ξ)
则取n =5即可. 因此
ln1.2≈0.2-0.02+0.00267-0.00040+0.00006=0.1823其误差|R 5|
当要求的算式不能得出它的准确值时, 即只能求出其近似值, 这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.
3导数在研究二元函数上的应用
定义1 设函数z =f (x , y ),(x , y ) ∈D . 若(x 0, y 0) ∈D , 且f (x , y 0) 在x 0的某一领域内有定义，则当极限lim
∆x f (x 0, y 0) f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
=lim 存在时，称这个极限为函
∆x →0∆x →0∆x ∆x
数f 在点(x 0, y 0) 关于x 的偏导数，记作f x (x 0, y 0) 或f x (x 0, y 0)
∂f
。
∂x (x 0, y 0)
二元函数偏导数的几何意义：二元函数z =f (x , y ) 在几何上表示一张曲面，给定其定义域内的点P 0(x 0, y 0)，曲面上的对应点为M 0对x 求偏导，固定y =y 0，这时，二元函数
z =f (x , y ) 就变成了一元函数z =f (x , y 0) ，几何上表示曲面z =f (x , y ) 与平面y =y 0的
交线，也就是平面y =y 0上的一条平面曲线，二元函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0)处对x 的偏导数就是这条平面曲线在点M 0处的切线斜率。
类似的，二元函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0)处对y 的偏导数就是曲面z =f (x , y ) 与平面x =x 0的交线在点P 0(x 0, y 0)处的切线斜率
下面我们再从几何上看一下二元函数偏导数存在与连续的关系。在一元函数中，可导必连续。但在二元函数中，偏导数存在，函数却未必连续，二元函数在点P 0(x 0, y 0)处的两个偏导数存在，仅仅反映了曲面在相应点M 0处沿两个特定方向的两条曲线在点M 0处有各
有一条唯一的不与xoy 面垂直的切线，两条特定方向上的曲线在点M 0处连续并且光滑。而曲面在点M 0处沿其他方向是否都有连续光滑的曲线却不能保证，曲面在M 0处完全可能沿其他方向被撕开，从而使得函数在点P 0(x 0, y 0)处虽然二个偏导数都存在，但是不连续。
3.1二元函数的偏导数在几何上的应用
我们将通过多元函数的偏导数，微分及隐函数的导数间关系，将公式的不同形式加以转换。进而求解空间曲线的切线和法平面方程，以及曲面的切平面和法线方程。接下来我们将从多元函数的微分法入手，将三维空间的相应命题给出二维平面的相应形式。 （一）求曲线的切线和法平面方程
设空间曲线L ：⎨
⎧F (x , y , z ) =0‘
, 过点P (x 0, y 0, z 0) 和P ，（x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ）
⎩G (x , y , z ) =0
' ’‘
由空间解析几何得向量PP ={∆x , ∆y , ∆z }, 当P 点无限接近P 点，向量PP 为过
P 点的切向量S ，此时
=⎨
⎧∂(F , G ) ∂(F , G ) ∂(F , G ) ⎫
, , ⎬
⎩∂(y , z ) ∂(z , x ) ∂(x , y ) ⎭
若改变空间曲线形式，则相应的切向量S 形式也不同，如下 空间曲线形式 切向量形式
⎧x =x (t ) ⎪
⎨y =y (t ) ⎪z =z (t ) ⎩⎧y =y (x ) ⎨
⎩z =z (x )
S =x ' (t ), y ' (t ), z ' (t )
{}
⎧dy dz ⎫S =⎨1, , ⎬
⎩dx dx ⎭
⎧x 2+y 2+z 2=9
例1 求⎨过点P （1，2，-2）的切线与法平面方程
⎩x +y +z =1
解：
∂(F , G ) 2y 2z ∂(F , G ) 2z 2x
==8, ==-6， 1111∂(y , z ) ∂(z , x )
∂（F , G ）2x 2y
==-2, ∴切向量={8，-6，-2}
11∂(x , y )
所以P 点切线方程为
x -1y -2z +2x -1y -2z +2
==，==即 8-6-24-3-1
P 点法平面方程为(x -1) ⋅8+(y -2) ⋅(-6) +(z +2) ⋅(-2) =0, 即4x -3y -z =0
（二）求曲面的切平面和法线方程
设曲面z =f (x , y ) 过点P （x 0, y 0, z 0），由全微分得f x ' ⨯∆x +f y ' ⨯∆y -1⨯∆z =0 其中{∆x , ∆y , ∆z }为过P 点的任一曲线当∆t →0时切向量，∴f x ' , , f y ' , -1为曲面过点P 的法向量。类似的，当曲面为F (x , y , z ) =0时，法向量为n =(F x , F y , F z ) 。 例2 求y 2-z +xy =3过点P （2，1，0）的切平面及法线方程
解：令F (x , y , z ) =y -z +xy -3, F x =y P =1, F y =2y +x P =4, F z =-1
2
{}
∴法向量={1, 4-1}
（x -2）+（y -1）⋅2+z （⋅-1）=0，所以P 点切平面方程为即x +2y -z -4=0
所以P 点法线方程
x -2y -1z
== 14-1
3.2二元函数的偏导数在函数极值方面的应用
多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这仍以二元函数为例进行讨论。 （一）条件极值
定义 设函数f 在点P 0(x 0, y 0)的某领域U (P 0)内有定义。若对于任何点P (x , y )∈U (P 0)，成立不等式f (P )≤f (P （或f (P )≥f (P ，则称函数f 在点P （或极小）值，点P （或0取得极大0称为f 的极大0) 0)）极小）值点。极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点。
定理1（极值必要条件） 若函数f 在点P 0取得极值，0(x 0, y 0)存在偏导数，且在P 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0。反之，若函数f 在点P 则称点P 0满足前二个等式，0为
f 的稳定点。
为了讨论二元函数f 在点P 0(x 0, y 0)取得极值的充分条件，我们假定f 具有二阶连续偏导数，并记H f (P 0)=⎢
⎡f xx (P 0)⎣f yx (P 0)f xy (P 0)⎤⎡f xx
⎥=⎢f yy (P 0)⎦⎣f yx
f xy ⎤
它称为f 在点P ⎥0的黒赛矩阵。f yy ⎦
p 0
定理2（极值充分条件） 设二元函数f 在点P 0(x 0, y 0)的某领域U (P 0)内具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点。则当H f (P 0取得极小值；当0)是正定矩阵时，f 在P
当H f (P H f (P 0取得极大值；0不取极值。0)是负定矩阵时，f 在P 0)是不定矩阵时，f 在P 它也可以写成如下比较实用的形式：
（i ） （ii ） （iii ） （iv ）
当f xx (P 0)>0, f xx -f 当f xx (P 0)
2
当f xx -f xy 2
当f xx -f xy
(
2xy 2xy
)(P )>0时，f 在点P 取得极小值；
()(P )>0时，f 在点P 取得极大值；
((
)(P )
)(P )=0时，不能肯定f 在点P 是否取得极值。
例3 求函数f (x , y ) =x 3+y 3-3xy 的极值. 解 先求偏导数
f x ' (x , y ) =3x 2-3y , f y ' (x , y ) =3y 2-3x f =6x , f =-3, f =6y
'' xx
'' xy
'' yy
⎧3x 2-3y =0
解方程组⎨2, 求得驻点为(0,0),(1,1).
3y -3x =0⎩
'' '' ''
在驻点(0,0)处, A =f xx (0,0)=0, B =f yy (0,0)=-3, C =f yy (0,0)=0, B -AC =
2
9>0, 于是(0,0)不是函数的极值点.
在驻点(1,1)处, A =f xx (1,1) =6, B =f xy (1,1) =-3, C =f yy (1,1) =6, B -AC =-27
''
''
''
2
由极值的定义还知道，极值只是函数f 在某一点的局部性概念。要想获得函数f 在区域D 上的最大值和最小值，与一元函数的问题一样，必须考察函数f 在所有稳定点、无偏导点一级属于区域的界点上的函数值。比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数f 在D 上的最大（小）值。
例4 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器, 问如何设计最省材料?
解 所谓最省材料, 即无盖长方体表面积最小. 该容器的长、宽、高分别为x , y , z ，表面积为S ，则有
xyz =a
S =xy +2xz +2yz
消去z ，得表面积函数
S =xy +
其定义域为x >0, y >0
2a 2a
+
y x
2a ⎧'
S =y -=0x 2⎪x ⎪由⎨，求得驻点为.
2a ' ⎪S y =x -2=0y ⎪⎩
由于D 为开区域, 且该问题必有最小值存在,
于是必为S 的最小值点,
此时
z =
a =,
即长方体长、宽、高分别为
, 容器所需铁皮最少, 其
xy
表面积为S =（二）无条件极值
如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值.
条件极值问题的解法有两种, 一是将条件极值转化为无条件极值, 如例4就是求
S =xy +2xz +2yz 在自变量满足约束条件xyz =a 时的条件极值. 当我们从约束条件中解
出z =
a 2a 2a
+代入S 中, 得S =xy +, 就成了无条件极值, 于是可以求解. 但实际问题中y x xy
的许多条件极值转化为无条件极值时, 时很复杂甚至是不可能的. 下面介绍条件极值的另外一种更一般的方法——拉格朗日乘数法.
设(x , y ) 是函数z =f (x , y ) 在约束条件ϕ(x , y ) =0下的条件极值问题的极值点, 如果
'
函数f (x , y ) , ϕ(x , y ) 在点(x , y ) 的邻域内有连续偏导数(不妨设ϕy (x , y ) ≠0), 则一元函数z =f (x , y (x )) =z (x ) 在点x 的导数
dz
=0. 由复合函数微分法, 有 dx
dy
f x ' (x , y ) +f y ' (x , y ) =0
dx
由于y =y (x ) 是由ϕ(x , y ) =0所确定的, 所以
' ϕx (x , y ) dy
=-'
dx ϕy (x , y )
代入上式, 消去
dy
, 得 dx
' ⎛ϕx (x , y ) ⎫
f (x , y ) +f (x , y ) -' =0
⎪⎪
'
x
' y
⎝ϕy (x , y ) ⎭' 即
f '
(x , y ) +ϕ' x
x
(x , y ) ⎛ f y (x , y ) ⎫
-ϕ' (x , y ) ⎪=0
⎝y ⎪
⎭
' 令-
f y (x , y )
ϕ' y (x , y )
=λ, 则有
⎧ ⎪f ' , y ) +λϕ'
x (x x (x , y ) =0⎨f ' x , y ) +λϕ'
y (y (x , y ) =0 ⎪⎩
ϕ(x , y ) =0称满足方程组(*)的点(x , y ) 为可能的极值点.
我们构造一个函数
L (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y )
则(*)等价于
⎧⎪L ' x , y , λ) =f ' '
x (x (x , y ) +λϕx (x , y ) =0⎨L ' x , y , λ) =f ' '
y (y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0
⎪⎩
L ' λ(x , y , λ) =ϕ(x , y ) =0 于是, 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤:
(1) 构造拉格朗日函数L (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) , λ称为拉格朗日乘数;
(2) 解方程组
⎧⎪L ' (x , y ) +λϕ'
x (x , y , λ) =f ' x x (x , y ) =0⎨L ' , λ) =f ' '
y (x , y y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0
⎪⎩
L ' λ(x , y , λ) =ϕ(x , y ) =0得点(x , y ) , 为可能极值点；
(3) 根据实际问题的性质, 在可能极值点处求极值.
例5 求平面上点(x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离.
(*)
解 设点(x 0, y 0) 到直线上动点(x , y ) 的距离为d , 则问题归结为求距离函数
d 2=(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=f (x , y ) 在约束条件Ax +By +C =0之下的极小值.
构造拉格朗日函数
L (x , y , λ) =(x -x 0) 2+(y -y 0) 2+λ(Ax +By +C )
解方程组
⎧L ' x (x , y , λ) =2(x -x 0) +λA =0⎪'
⎨L y (x , y , λ) =2(y -y 0) +λB =0 ⎪L ' (x , y , λ) =Ax +By +C =0⎩λ
得
x =x 0-
λ
2
A , y =y 0-
λ
2
B
代入Ax +By +C =0, 得
λ=
由于最短距离是存在的, 所以
2(Ax 0+By 0+C )
22
A +B
2
2
⎛λ⎫⎛λ⎫⎛λ⎫
d 2= A ⎪+ B ⎪= ⎪(A 2+B 2)
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
2
(Ax 0+By 0+C ) 22=(A +B ) 222
(A +B )
所以
2
d =
3.3泰勒公式在研究二元函数上的应用
定理1 设z =f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 的某邻域U (p 0)内有直到n +1阶的连续偏导数, 则对
U (p 0)内任一点(x 0+h , y 0+k ) , 存在相应的θ∈(0,1)，使得
⎛∂∂⎫1⎛∂∂⎫
⎪ ⎪f (x 0+h , y 0+h ) =f (x 0, y 0) + h +k f (x , y ) +h +k f (x 0, y 0) 00 ∂x ⎪ ⎪∂y ⎭2! ⎝∂x ∂y ⎭⎝
2
1⎛∂∂⎫1⎛∂∂⎫
⎪ ⎪+ + h +k f (x , y ) +h +k 00 ∂x ⎪⎪(n +1)! ∂y n ! ∂x ∂y ⎝⎭⎝⎭
n n +1
f (x 0+θh , y 0+θk )
这个公式称为二元函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的n 阶泰勒公式.
例6 求f (x , y )=x y 在点（1,4）的泰勒公式（到二阶为止），并用它计算(1.08)3.96。 解 由于x 0=1, y 0=4, n =2，因此有
f (x , y )=x y , f (1,4)=1, f x (x , y )=yx y -1, f x (1,4)=4,
f y (x , y )=x y ln x , f y (1,4)=0, f x 2(x , y )=y (y -1)x
2y -2
, f x 2(1,4)=12,
f xy (x , y )=x y -1+yx y -1ln x , f xy (1,4)=1. f y 2(x , y )=x y (ln x ), f y 2(1,4)=0.
将它们代入泰勒公式，即得
x y =1+4(x -1)+6(x -1)+(x -1)(y -4)+o (ρ2).
2
若略去余项，并让x =1.08, y =3.96, 则有
(1.08)
3.96
≈1+4⨯0.08+6⨯0.082-0.08⨯0.04=1.3552
参考文献
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[4] 彭海燕. 导数证明不等式中构造函数的策略. 中学数学月刊，2006，31-32 [5] 朱家俊. 导数知识在不等式证明中的应用. 镇江高专学报，2008，110-112 [6] 彭春齐. 高考中导数应用的新变化. 中学数学学报，2007，19-20 [7] 欧阳伟华. 关于中值定理与导数的应用的思考. 数学教学，2009,137 [8] 王思俭. 活用导数法 巧解高考题. 中学数学，2003,25-27 [9] 臧永建. 简析新课程标准下的导数应用. 科技信息，2009,635-636 [10] 周学勤. 例说导数的应用. 牡丹江教育学院学报，2009,109-110 [11] 薛爱梅. 浅议导数的应用. 改革与开放，2009,56 [12] 黄安成. 拓宽导数应用的领域. 数学学报，2007，25-27
[13] 祖定利. 导数在研究初等函数上的应用. 民营科技，2008,12:93-95
[14] 周学勤. 例谈微分中值定理与泰勒公式. 濮阳职业技术学院学报，2008,3：18 [15] 魏继成. 浅谈导数与函数性态的关系. 池州师专学报，2007,3：5-6 [16] 刘鹏. 浅谈泰勒公式及其应用. 科技信息，2011,9:521-522 [17] 于祥芬 李莹. 泰勒公式的几点应用. 科技文汇，2011,88-89 [18] 董斌斌. 泰勒公式及其在解题中的应用. 科技信息，2010,31:243
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[20] 汪俭彬 黄瑞芳. 泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究. 焦作师范高等专科学校学报，2011，2:76-80
The applications of derivatives in the function
Lu minming Director: Du hong
Abstract: The derivative is the concept put forward in accordance with the practical problems as the background. Using the derivative of a function can be used to study the function, analytic properties, such as monotonic, extreme points, concave and convex, the function asymptote and painting images of nature. This article focuses on the use of the derivative to study the relationship between a function, dual function, and Taylor formulas and
functions. The purpose is to explore new ideas for solving math problems and simplifying some mathematical problems.
Keywords:derivatives,a function, dual function, Taylor formulas,applications.
致 谢
论文从选题到构架都是在我的导师杜鸿老师的悉心指导下确定的，在写作过程中，杜老师给予我极大的鼓励和支持，大到全文的结构布局，小到段落的安排及遣词造句，他都予以细心的推敲和修改。杜老师勤恳的工作作风和严谨的治学态度，将激励我在今后的日子里更加严格要求自己。在此谨向我的导师杜鸿老师表示衷心的感谢！
最后，向论文评审组的各位老师致以诚挚的谢意，并献上我永远的祝福：祝你们身体健康！工作顺利！合家欢乐！向本文引用内容和参考内容的原文作者致以衷心的感谢！
丽水学院2012届学生毕业论文
目录
1 导数的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1.1 导数的定义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1.2
导数的几何意义„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
2 导数在研究一元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„„„ 2.1 利用导数知识描绘函数图象„„„„„„„„„„„„„„„„ 2.2 利用导数证明不等式„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2.3 泰勒公式在研究一元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„ 3 导数在研究二元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„„„ 3.1 二元函数的偏导数在几何上的应用„„„„„„„„„„„„„ 3.2 二元函数的偏导数在函数极值方面的应用„„„„„„„„„„ 3.3 泰勒公式在研究二元函数上的应用„„„„„„„„„„„„„ 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 致谢„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
2 2 2 3 3 9 10 15 16 17 21 23 25
导数在研究函数中的应用
理学院 数学082 陆民明 指导师：杜鸿
摘 要:导数是依照实际问题为背景提出的概念。利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图象等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式与函数的关系等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。
关键词:导数，一元函数，二元函数，泰勒公式，应用。
引言
微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。而导数作为微积分学中最重要的基本概念之一，它反映了一个变量对另一个变量的变化率。导数的概念是从很多实际的科学问题抽象而产生的，有着广泛的应用意义。设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义。如果极限
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 存在, 则称函数f (x )在点x 0处可导, 并称此极限值
∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
为函数
f (x )在点x 0处的导数, 记为f '(x 0)， 即
f '(x 0)=lim
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 。导数是对函数图象与性质的总结与拓展，它
∆x →0∆x ∆x →0∆x
是研究函数单调性的重要工具，广泛应用在讨论函数图象的变化趋势及证明不等式等方面。导数也是初等数学与高等数学的重要衔接点。另外，导数在经济学中的应用也越来越得到人们的重视，经济学中很多现象都可以 用导数来分析，归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答。
众所周知，导数的思想最初是法国数学家费马为解决极大、极小值问题而引入的。但导数作为微积分学中最主要的概念，却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学和几何学过程中建立的，包括在数学领域、物理研究及经济领域的广泛应用，这只是导数应用的一部分内容。然而要想应用导数解决好实际问题，关键是先将实际问题转化为数学问题，再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题，导数在各类题型中的应用已越来越广泛了，已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
导数是依照实际问题为背景提出的概念。利用函数的导数可以用来研究函数，分析性质，诸如单调性([1],[10],[11])、极值点([1],[13])、凹凸性([1],[2],[3])、函数的渐进线([4],[5])、画图象([8],[9],[15])等许多性质。本文着重阐述运用导数来研究一元函数、二元函数以及泰勒公式([16],[17],[18],[19])等，目的是可以为解决数学问题拓展新的思路，可以使有些数学问题得到简化。
1导数的定义
1.1 导数的定义
设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义。如果极限
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 存在, 则称函数f (x )在点x 0处可导, 并称此极限值
∆x →0∆x ∆x →0∆x lim
为函数
f (x )在点x 0处的导数, 记为f '(x 0)， 即
f '(x 0)=lim
'
f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y
=lim 。
∆x →0∆x ∆x →0∆x
左导数：f -(x ) =lim -
∆x →0
f (x ) -f (x 0) ∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim -=lim -
x →x 0∆x ∆x →0∆x x -x 0f (x ) -f (x 0) ∆y f (x +∆x ) -f (x )
=lim +=lim +
∆x →0x →x ∆x ∆x x -x 00
右导数： f +(x ) =lim +
∆x →0
'
∴f ' (x ) =A ⇔f -' (x ) =f +' (x ) =A
可以证明：可导⇒连续 即：可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件 导函数：f (x ) =y =lim
'
∆y f (x +∆x ) -f (x ) =lim 。
∆x →0∆x ∆x →0∆x
1.2导数的几何意义（图1）
曲线y =f (x ) 在点x 0处的导数f ' (x 0) 在几何上表示为：曲线y =f (x ) 在点A (x 0, y 0) 处切线的斜率。即f ' (x 0) =tan α（α是过A 点的切线的倾斜角）（如图1）
'
则，曲线y =f (x ) 在点A (x 0, y 0) 处切线方程为：y -y 0=f (x 0)(x -x 0) 。
2导数在研究一元函数上的应用
2.1利用导数知识描绘函数图象
函数图形的作法
描绘图形的一般步骤如下：
①确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期性、奇偶性）等； ②求出f ' (x ) ，f '' (x ) ；
③列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点； ④确定曲线的渐近线；
⑤由曲线方程找出一些特殊点的坐标； ⑥用光滑曲线连接，画出y =f (x ) 的图象。
在本节中，我们将利用函数的单调性，凹凸性和拐点，极值，渐近线等来较完善地描绘出函数的图象。
函数的单调性：一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间
从图形直观分析：若在(a , b ) 内，曲线上每一点的导数都大于0，即f (x ) >0，利用导数的几何意义知，在(a , b ) 内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数y =f (x ) 是单调递增的（如图2）。反之，若在(a , b ) 内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的
切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数y =f (x ) 是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于x 轴（此点的导数值为0，即。因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理： f ' (x ) =0）
定理1： 设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，则：
'
①若x ∈(a , b ) 时恒有f (x ) >0，则f (x ) 在(a , b ) 单调增加；
'
②若x ∈(a , b ) 时恒有f ' (x )
曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：
定义1： 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）
那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？
按定义是很难判断凹凸性的，，对于凹凸性可以用二阶导数来确定。即有判定定理。 定理2：设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上具有二阶导数， ①当f ''(x ) ≤0时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数） ②当f ''(x ) ≥0时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数） 通过图形的直观性来说明该定理的正确性（如图5）
若曲线y =f (x ) 呈现凸状，由图5（1）直观看出：当x 增大时，切线斜率随之变小，说明一阶导数函数f (x ) 在(a , b ) 上为减函数，由函数单调性判别法，必有[f (x )]0。
从另一角度讲，该定理为二阶导数的几何意义。
定义2： 若函数f (x ) 在点x =x 0的左右邻域上凹凸性相反，则点(x 0, f (x 0)) 叫做曲线的拐点（注意拐点不是x 0）
''
''
'
'
''
'
由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二阶导数是否异号，与该点一阶、二阶导数是否存在无关
函数的极值：函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数图形时是十分重要的。
定义3： 设函数f (x ) 在点x =x 0及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点
x （x =x 0）恒有f (x ) f (x 0) 成立，则f (x 0) 为
极小值。
应当注意：极值是一个局部概念，它只限于x 0的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来。在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值。可能会有极大值小于极小值。
极值点和导数的关系如何？由图6可知：
定理3： 若x 0是函数f (x ) 的极值点，则f ' (x 0) =0或者f ' (x 0) 不存在。
注意：①f ' (x 0) =0是点x 0为
极值点的必要条件，但不是充分条件。如
y =x 3，y ' =3x 2，y ' |x =0=0但(0,0)点不是函
数极值点；②函数f (x ) 在导数不存在的点也可能有极值。如y =x ，y =
13
'
11
⨯2，y ' |x =0不33
x
存在，但(0,0)点不是函数极值点（如图7）
将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点。因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点。
下面介绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法。 定理4（极值的第一充分条件）： 设f 在x 0连续，在某邻域U o (x 0; δ) 内可导，
①若x ∈(x 0-δ; x 0) （x 0左侧）时f (x ) >0，而x ∈(x 0; x 0+δ) （x 0右侧）f (x )
'
'
则函数f (x ) 在x 0处取极大值f (x 0)
②若x ∈(x 0-δ; x 0) （x 0左侧）时f ' (x ) 0，则函数f (x ) 在x 0处取极小值f (x 0)
③若x 0两侧f ' (x ) 不变号，则f (x ) 在x 0处无极值。
该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）。 若函数的二阶导数存在，有如下的判定定理；
定理5（极值的第二充分条件）： 设f ' (x ) =0，f '' (x ) 存在，
''
①若f (x ) >0，则f (x 0) 为f (x ) 的极小值； ''
②若f (x )
③若f '' (x ) =0，本方法无效，需用极值的第一充分条件这个定理来进一步判定。 因为f (x ) >0，则曲线在x 0点的左右两侧呈凹状，因此f (x 0) 为极小值；反之，若
''
f '' (x )
为有助于函数图形的描绘，下面介绍曲线的渐近线。
定义4： 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。
水平渐近线 若曲线y =f (x ) 的定义域是无限区间，且有：lim f (x ) =b ，或
x →-∞
x →+∞
lim f (x ) =b ，则直线y =b 为曲线y =f (x ) 的水平渐近线。
f (x ) =∞，或lim +f (x ) =∞，则直线x =c 垂直渐近线 若曲线y =f (x ) 有：lim -
x →c
x →c
为曲线y =f (x ) 的垂直渐近线。
斜渐近线 若lim [f (x ) -(ax +b )]=0成立，则y =ax +b 是曲线的一条斜渐近线。
x →±∞
下面介绍求a , b 的公式。 由lim [f (x ) -(ax +b )]=0有：
x →±∞
f (x ) b
-a -]=0
x →±∞x x f (x ) b
-a -]=0 所以 lim [
x →±∞x x
f (x )
即 a =lim
x →±∞x f (x )
将a =lim 求出并代入lim [f (x ) -(ax +b )]=0即可确定b =lim [f (x ) -ax ]
x →±∞x →±∞x →±∞x
lim x [例1 作函数f (x )=x +2e
-1x
图。
-1x
解 f (-∞)=+∞, x
f '(x )=-
e
-
1x
(x
2
+x +2)
2
x
0凹向上。∀x ≠0，有
f (x )≥0=f (-2)，故x =-2取最小值0。
11
-(x +2)e -0x +2)e -0(2
f -'(-2)=lim -=-e ，f +'(-2)=lim +=e 2。
x →-2x →-2x -(-2) x -(-2)
-1
x
-1x
故x =-2处导数不存在。曲线在此点处与x 轴相交，但不相切。
-1x
当x >-2时 f (x )=(x +2)e (x ≠0)，这时f '(x )=-
-1x
e
-
1x
(x
2
+x +2)
x 2
>0，
2e 2
''x >2-3x , x 0()()3x 43
2
f ''(x )
3
f (x )严格递增。f ''(x )=
x =0处，f (-0)=lim (x +2)e
x →0-
-
1x
=+∞。以上表明曲线在⎡（凹向上）⎣-2,0)从零单调上升
-1
x
趋向+∞，以y 轴为垂直渐近线。f (+0)=lim (x +2)e +
x →0
=0, f (+∞)=+∞，
x →+∞
lim
f (x )(x +2)e
=lim x →+∞x x
-
1
x
=1，且
⎛2⎫-x
1+⎪e -1⎤1x ⎭
-x ⎥=lim ⎝，令t =
1x ⎦x →+∞
x
1
1-⎡
lim ⎡f (x )-x ⎤=lim ⎢(x +2)e x
⎣⎦x →+∞x →+∞
⎣
t →0+
1+2t )e -t -1(lim =lim ⎡2e -t -
t
t →0+
⎣
+
0。因此，曲线在内从单调上升=10, +∞(1+2t )e -t ⎤()⎦
（凹向上）至x =
2
拐为凹向下，继续上升趋向+∞，并以y =x +1作为斜渐近线。总之，3
该曲线的图象如图8
图8
例2 作函数y =
4(x +1)
-2的图形 x 2
解：函数的定义域为{x |x ≠0, x ∈R }
y ' =-
'
4(x +2) 8(x +3) ''
y =，
x 3x 4
令y =0，得x =-2；
令y =0，得x =-3。列表如下：
''
又
x →+∞
lim [
-2]=-2, ∴y =-2为曲线的水平渐进线 x 2
lim[
x
→0
4(x +1)
-2]=∞, ∴
x =0为曲线的铅垂渐进线 x 2
曲线经过(1，(1，(-1, 2) ，
2
(1,6)，(2,1)，(3,-) 这几个点
9
通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）
2.2利用导数证明不等式
（一）用求极值的方法证明不等式
要证明f (x )≥g (x )只要求函数F (x )≡f (x )-g (x )的极值，证明min F (x )≥0。
2
⎛t ⎫t -t
例3 设n 为自然数，试证：e - 1-⎪≤e （当t ≤n 时）
n ⎝n ⎭
-t
2
⎛t ⎫t t
证 原式等价于1- 1-⎪e ≤
n ⎝n ⎭
n
t 2⎡⎛t ⎫t ⎤
故只要证明f (t )≡-⎢1- 1-⎪e ⎥≥0 ，（当t ≤n 时）
n ⎢n ⎭⎥⎣⎝⎦n -1n n -1
2t t ⎡⎛t ⎫t ⎫⎤t ⎡t ⎫⎤⎛t ⎛f '(t )=+e ⎢ 1-⎪(-1)+ 1-⎪⎥=⎢2-e 1-⎪⎥ n ⎝n ⎭⎦⎝n ⎭⎦⎢⎝n ⎭⎥n ⎢⎥⎣⎣
n
n
⎛t ⎫
故用ξ表示方程2-e 1-⎪
⎝n ⎭
t
n -1
=0的根。则极值的可疑点为t =0, t =ξ及t =n 。
但
f (0)=0
，
22⎡⎛ξ⎫n ξ⎤ξ2⎡⎛ξ⎫⎤⎛ξ⎫ξ
f (ξ)=-⎢1- 1-⎪e ⎥=-⎢1-2 1-⎪⎥= 1-⎪+2(n -1)≥0
n ⎢n n ⎭⎝n ⎭⎦⎝n ⎭n ⎣⎥⎣⎝⎦
ξ2
f (n )=n -1≥0, f (-∞)=+∞，由此f (t )≥min f (t )=f (0)=0（当t ≤n 时）
t ≤n
命题得证
(二) 利用单调极限证明不等式
若x
⎛t ⎫
例4 证明：x >0, t ≤x 时，e -t - 1-⎪≥0
⎝x ⎭
证明：当t =0或t =x 时，不等式自明。只需证明x >0, t
x
⎛t ⎫-t
明x 递增到+∞时，f (x )≡ 1-⎪递增到e 即可。事实上：
⎝x ⎭
x '⎡⎤t ⎡⎛⎫⎛o 'ln f x =ln 1-=x ln ⎤1当x >0, t ≠0, t
x
t ⎫⎤'
⎪ x ⎭⎥⎦x
=ln (x -t )-ln x +
t
（应用Lagrange 公式） x -t
=
-t
ξ
+
-t t t ⎛当0
x -t ⎝当t
x
-x t
⎡
⎛t ⎫⎛t ⎫2lim 1-⎪=lim ⎢ 1-⎪x →+∞
⎝x ⎭x →+∞⎢⎝x ⎭
⎣
o ⎤
⎥=e -t ， ⎥⎦
x
-t
⎛t ⎫-t
故x 递增到+∞时，f (x )≡ 1-⎪递增到e 。证毕
⎝x ⎭2.3泰勒公式在研究一元函数上的应用
多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数近似计算和理论分析的一个重要内容。我们知道如果函数
f
在点
x 0可导，则有
f (x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+o (x -x 0)。即在点x 0附近，用一次多项式f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)逼近函数f (x )时，其误差为o (x -x 0)的高阶无穷小量。然而在
很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为o
((x -x 0)
n
)，其中n 为多项式的次数。泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,
它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能, 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
定义1 若函数f 在x 0存在n 阶导数, 则有
f ' (x 0) f '' (x 0)
f (x ) =f (x 0) +(x -x 0) +(x -
x 0) 2+
1! 2!
f (n ) (x 0)
+(x -x 0) n +o ((x -x 0) n ) （1）
n !
这里o ((x -x 0) n ) 为佩亚诺型余项, 称(1)为f 在点x 0的泰勒公式.
f ' (0) f ' ' (0) 2f (n ) (0) n
当x 0=0时, （1）式变成f (x ) =f (0) +x +x + +x +o (x n ) ,
1! 2! n !
称此式为(带有佩亚诺余项的) 麦克劳林公式.
定义2 若函数 f 在x 0某邻域内为存在直至 n +1阶的连续导数, 则
f '' (x 0) f (n ) (x 0) 2
f (x ) =f (x 0) +f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) +... +(x -x 0) n +R n (x ) , （2）
2! n !
'
f (n +1) (ξ)
这里R n (x ) 为拉格朗日余项，R n (x ) =(x -x 0) n +1, 其中ξ在x 与x 0之间, 称（2）
(n +1)!
为f 在x 0的泰勒公式.
f '' (0)2f (n ) (0)n
x +... +x +R n (x ) 当x 0=0时, （2）式变成f (x ) =f (0)+f (0)x +2! n !
'
称此式为(带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式.
常见函数的展开式：
x 2x n e θx
e =1+x ++ ++x n +1.
2! n ! (n +1)!
x
2n +1
x 3x 5n x sin x =x -+- +(-1) +o (x 2n +2) . 3! 5! (2n +1)!
x 2x 4x 6
cos x =1-+-+
2! 4! 6! x 2n
+(-1) +o (x 2n ) .
(2n )!
n
n +1
x 2x 3n x ln(1+x ) =x -+- +(-1) +o (x n +1) . 23n +1
1
=1+x +x 2+ +x n +o (x n ) 1-x
(1+x ) m =1+mx +
m (m -1) 2
x + . 2!
（一）利用泰勒公式求极限
为了简化极限运算, 有时可用某项的泰勒展开式来代替该项, 使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限, 就能简捷地求出.
x 22
例5 求极限lim
cos x -e x →0x 4
-
.
分析：此为
型极限, 若用罗比达法则求解，则很麻烦, 这时可将cos x 和e 0
-
x 22
分别用泰勒展
开式代替, 则可简化此比式.
x -x 2x 44
++o (x ) , e 2解 由cos x =1-
2! 4!
2
x 22(-) x 2+o (x 4) 得 =1-+22
cos x -e
-
x 2
2
=(
111
-2) x 4+o (x 4) =-x 4+O (x 4) , 4! 2⋅2! 12
于是
x 2
2
lim
cos x -e x →0x 4
-
14
x +O (x 4)
1
=lim 4=-. x →0x 12
-
（二）利用泰勒公式证明不等式
当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物, 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替, 往往使证明方便简捷.
例6 当x ≥0时, 证明sin x ≥x -
13x . 6
13
x , x 0=0, 则 6
证明： 取f (x ) =sin x -x +
f (0)=0, f ' (0)=0, f '' (0)=0, f ''' (x ) =1-cos x , f ''' (0)≥0.
带入泰勒公式, 其中n =3,得
f (x ) =0+0+0+
1-cos θx 3
x ，其中0
故
当x ≥0时, sin x ≥x -
13x . 6
（三） 利用泰勒公式判断函数的极值
(极值的第二充分条件) 设f 在x 0的某邻域U (x 0; δ) 内一阶可导, 在x =x 0处二阶可导, 且
f ' (x 0) =0, f ' ' (x 0) ≠0.
（i ）若f ' ' (x 0)
(ii) 若f ' ' (x 0) >0, 则f 在x 0取得极小值.
证明： 由条件可得f 在x 0处的二阶泰勒公式
f ' (x 0) f ' ' (x 0)
f (x ) =f (x 0) +(x -x 0) +(x -x 0) 2+o ((x -x 0) 2) .
1! 2!
由于f ' (x 0) =0, 因此
f ' ' (x 0)
f (x ) -f (x 0) =[+o (1)](x -x 0) 2.(*)
2
又因f ' ' (x 0) ≠0, 故存在正数δ≤δ, 当x ∈U (x 0; δ' ) 时,
'
1' ' 1
f (x 0) 与f ' ' (x 0) +o (1) 同22
号. 所以, 当f ' ' (x 0)
f (x ) -f (x 0)
即f 在x 0取得极大值. 同样对f ' ' (x 0) >0, 可得f 在x 0取得极小值. （四）利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式
利用基本初等函数的幂级数展开式, 通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式. 例7 求
1
的幂级数展开式. 2
1+x +x
解 利用泰勒公式
11-x
==
1+x +
x 21-x 3
(1-x )(1+x 3+x 6+x 9+
) =1-x +x 3-x 4+x 6-x 7+x 9-x 10+
)
3467910
x x x +x -x x x +
∞2π(n +1) n =[sinx ]3n =0=
（五）利用泰勒公式进行近似计算
利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算, 利用f (x ) 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为
f '' (0)2
f (x ) ≈f (0)+f (0)x +x +
2!
' f n (0)n +x ,
n !
其误差是余项R n (x ) .
例8 计算Ln1.2的值, 使误差不超过0.0001
解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：
x 2x 3
Ln (1+x ) =x -++
23
+(-1)
n -1
x n
+R n (x ) , n
(-1) n x n +1
其中R n (x ) =（ξ在0与x 之间）.
(n +1)(1+ξ) n +1
令x =0. 2, 要使
(0.2)n +1
|R n (x ) |=
(n +1)(1+ξ)
则取n =5即可. 因此
ln1.2≈0.2-0.02+0.00267-0.00040+0.00006=0.1823其误差|R 5|
当要求的算式不能得出它的准确值时, 即只能求出其近似值, 这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.
3导数在研究二元函数上的应用
定义1 设函数z =f (x , y ),(x , y ) ∈D . 若(x 0, y 0) ∈D , 且f (x , y 0) 在x 0的某一领域内有定义，则当极限lim
∆x f (x 0, y 0) f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
=lim 存在时，称这个极限为函
∆x →0∆x →0∆x ∆x
数f 在点(x 0, y 0) 关于x 的偏导数，记作f x (x 0, y 0) 或f x (x 0, y 0)
∂f
。
∂x (x 0, y 0)
二元函数偏导数的几何意义：二元函数z =f (x , y ) 在几何上表示一张曲面，给定其定义域内的点P 0(x 0, y 0)，曲面上的对应点为M 0对x 求偏导，固定y =y 0，这时，二元函数
z =f (x , y ) 就变成了一元函数z =f (x , y 0) ，几何上表示曲面z =f (x , y ) 与平面y =y 0的
交线，也就是平面y =y 0上的一条平面曲线，二元函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0)处对x 的偏导数就是这条平面曲线在点M 0处的切线斜率。
类似的，二元函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0)处对y 的偏导数就是曲面z =f (x , y ) 与平面x =x 0的交线在点P 0(x 0, y 0)处的切线斜率
下面我们再从几何上看一下二元函数偏导数存在与连续的关系。在一元函数中，可导必连续。但在二元函数中，偏导数存在，函数却未必连续，二元函数在点P 0(x 0, y 0)处的两个偏导数存在，仅仅反映了曲面在相应点M 0处沿两个特定方向的两条曲线在点M 0处有各
有一条唯一的不与xoy 面垂直的切线，两条特定方向上的曲线在点M 0处连续并且光滑。而曲面在点M 0处沿其他方向是否都有连续光滑的曲线却不能保证，曲面在M 0处完全可能沿其他方向被撕开，从而使得函数在点P 0(x 0, y 0)处虽然二个偏导数都存在，但是不连续。
3.1二元函数的偏导数在几何上的应用
我们将通过多元函数的偏导数，微分及隐函数的导数间关系，将公式的不同形式加以转换。进而求解空间曲线的切线和法平面方程，以及曲面的切平面和法线方程。接下来我们将从多元函数的微分法入手，将三维空间的相应命题给出二维平面的相应形式。 （一）求曲线的切线和法平面方程
设空间曲线L ：⎨
⎧F (x , y , z ) =0‘
, 过点P (x 0, y 0, z 0) 和P ，（x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ）
⎩G (x , y , z ) =0
' ’‘
由空间解析几何得向量PP ={∆x , ∆y , ∆z }, 当P 点无限接近P 点，向量PP 为过
P 点的切向量S ，此时
=⎨
⎧∂(F , G ) ∂(F , G ) ∂(F , G ) ⎫
, , ⎬
⎩∂(y , z ) ∂(z , x ) ∂(x , y ) ⎭
若改变空间曲线形式，则相应的切向量S 形式也不同，如下 空间曲线形式 切向量形式
⎧x =x (t ) ⎪
⎨y =y (t ) ⎪z =z (t ) ⎩⎧y =y (x ) ⎨
⎩z =z (x )
S =x ' (t ), y ' (t ), z ' (t )
{}
⎧dy dz ⎫S =⎨1, , ⎬
⎩dx dx ⎭
⎧x 2+y 2+z 2=9
例1 求⎨过点P （1，2，-2）的切线与法平面方程
⎩x +y +z =1
解：
∂(F , G ) 2y 2z ∂(F , G ) 2z 2x
==8, ==-6， 1111∂(y , z ) ∂(z , x )
∂（F , G ）2x 2y
==-2, ∴切向量={8，-6，-2}
11∂(x , y )
所以P 点切线方程为
x -1y -2z +2x -1y -2z +2
==，==即 8-6-24-3-1
P 点法平面方程为(x -1) ⋅8+(y -2) ⋅(-6) +(z +2) ⋅(-2) =0, 即4x -3y -z =0
（二）求曲面的切平面和法线方程
设曲面z =f (x , y ) 过点P （x 0, y 0, z 0），由全微分得f x ' ⨯∆x +f y ' ⨯∆y -1⨯∆z =0 其中{∆x , ∆y , ∆z }为过P 点的任一曲线当∆t →0时切向量，∴f x ' , , f y ' , -1为曲面过点P 的法向量。类似的，当曲面为F (x , y , z ) =0时，法向量为n =(F x , F y , F z ) 。 例2 求y 2-z +xy =3过点P （2，1，0）的切平面及法线方程
解：令F (x , y , z ) =y -z +xy -3, F x =y P =1, F y =2y +x P =4, F z =-1
2
{}
∴法向量={1, 4-1}
（x -2）+（y -1）⋅2+z （⋅-1）=0，所以P 点切平面方程为即x +2y -z -4=0
所以P 点法线方程
x -2y -1z
== 14-1
3.2二元函数的偏导数在函数极值方面的应用
多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，这仍以二元函数为例进行讨论。 （一）条件极值
定义 设函数f 在点P 0(x 0, y 0)的某领域U (P 0)内有定义。若对于任何点P (x , y )∈U (P 0)，成立不等式f (P )≤f (P （或f (P )≥f (P ，则称函数f 在点P （或极小）值，点P （或0取得极大0称为f 的极大0) 0)）极小）值点。极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点。
定理1（极值必要条件） 若函数f 在点P 0取得极值，0(x 0, y 0)存在偏导数，且在P 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0。反之，若函数f 在点P 则称点P 0满足前二个等式，0为
f 的稳定点。
为了讨论二元函数f 在点P 0(x 0, y 0)取得极值的充分条件，我们假定f 具有二阶连续偏导数，并记H f (P 0)=⎢
⎡f xx (P 0)⎣f yx (P 0)f xy (P 0)⎤⎡f xx
⎥=⎢f yy (P 0)⎦⎣f yx
f xy ⎤
它称为f 在点P ⎥0的黒赛矩阵。f yy ⎦
p 0
定理2（极值充分条件） 设二元函数f 在点P 0(x 0, y 0)的某领域U (P 0)内具有二阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点。则当H f (P 0取得极小值；当0)是正定矩阵时，f 在P
当H f (P H f (P 0取得极大值；0不取极值。0)是负定矩阵时，f 在P 0)是不定矩阵时，f 在P 它也可以写成如下比较实用的形式：
（i ） （ii ） （iii ） （iv ）
当f xx (P 0)>0, f xx -f 当f xx (P 0)
2
当f xx -f xy 2
当f xx -f xy
(
2xy 2xy
)(P )>0时，f 在点P 取得极小值；
()(P )>0时，f 在点P 取得极大值；
((
)(P )
)(P )=0时，不能肯定f 在点P 是否取得极值。
例3 求函数f (x , y ) =x 3+y 3-3xy 的极值. 解 先求偏导数
f x ' (x , y ) =3x 2-3y , f y ' (x , y ) =3y 2-3x f =6x , f =-3, f =6y
'' xx
'' xy
'' yy
⎧3x 2-3y =0
解方程组⎨2, 求得驻点为(0,0),(1,1).
3y -3x =0⎩
'' '' ''
在驻点(0,0)处, A =f xx (0,0)=0, B =f yy (0,0)=-3, C =f yy (0,0)=0, B -AC =
2
9>0, 于是(0,0)不是函数的极值点.
在驻点(1,1)处, A =f xx (1,1) =6, B =f xy (1,1) =-3, C =f yy (1,1) =6, B -AC =-27
''
''
''
2
由极值的定义还知道，极值只是函数f 在某一点的局部性概念。要想获得函数f 在区域D 上的最大值和最小值，与一元函数的问题一样，必须考察函数f 在所有稳定点、无偏导点一级属于区域的界点上的函数值。比较这些值，其中最大者（或最小者）即为函数f 在D 上的最大（小）值。
例4 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器, 问如何设计最省材料?
解 所谓最省材料, 即无盖长方体表面积最小. 该容器的长、宽、高分别为x , y , z ，表面积为S ，则有
xyz =a
S =xy +2xz +2yz
消去z ，得表面积函数
S =xy +
其定义域为x >0, y >0
2a 2a
+
y x
2a ⎧'
S =y -=0x 2⎪x ⎪由⎨，求得驻点为.
2a ' ⎪S y =x -2=0y ⎪⎩
由于D 为开区域, 且该问题必有最小值存在,
于是必为S 的最小值点,
此时
z =
a =,
即长方体长、宽、高分别为
, 容器所需铁皮最少, 其
xy
表面积为S =（二）无条件极值
如果函数的自变量除了限制在定义域内以外，再没有其他限制，这种极值问题称为无条件极值。但在实际问题中，自变量经常会受到某些条件的约束，这种对自变量有约束条件的极值问题称为条件极值.
条件极值问题的解法有两种, 一是将条件极值转化为无条件极值, 如例4就是求
S =xy +2xz +2yz 在自变量满足约束条件xyz =a 时的条件极值. 当我们从约束条件中解
出z =
a 2a 2a
+代入S 中, 得S =xy +, 就成了无条件极值, 于是可以求解. 但实际问题中y x xy
的许多条件极值转化为无条件极值时, 时很复杂甚至是不可能的. 下面介绍条件极值的另外一种更一般的方法——拉格朗日乘数法.
设(x , y ) 是函数z =f (x , y ) 在约束条件ϕ(x , y ) =0下的条件极值问题的极值点, 如果
'
函数f (x , y ) , ϕ(x , y ) 在点(x , y ) 的邻域内有连续偏导数(不妨设ϕy (x , y ) ≠0), 则一元函数z =f (x , y (x )) =z (x ) 在点x 的导数
dz
=0. 由复合函数微分法, 有 dx
dy
f x ' (x , y ) +f y ' (x , y ) =0
dx
由于y =y (x ) 是由ϕ(x , y ) =0所确定的, 所以
' ϕx (x , y ) dy
=-'
dx ϕy (x , y )
代入上式, 消去
dy
, 得 dx
' ⎛ϕx (x , y ) ⎫
f (x , y ) +f (x , y ) -' =0
⎪⎪
'
x
' y
⎝ϕy (x , y ) ⎭' 即
f '
(x , y ) +ϕ' x
x
(x , y ) ⎛ f y (x , y ) ⎫
-ϕ' (x , y ) ⎪=0
⎝y ⎪
⎭
' 令-
f y (x , y )
ϕ' y (x , y )
=λ, 则有
⎧ ⎪f ' , y ) +λϕ'
x (x x (x , y ) =0⎨f ' x , y ) +λϕ'
y (y (x , y ) =0 ⎪⎩
ϕ(x , y ) =0称满足方程组(*)的点(x , y ) 为可能的极值点.
我们构造一个函数
L (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y )
则(*)等价于
⎧⎪L ' x , y , λ) =f ' '
x (x (x , y ) +λϕx (x , y ) =0⎨L ' x , y , λ) =f ' '
y (y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0
⎪⎩
L ' λ(x , y , λ) =ϕ(x , y ) =0 于是, 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题可归纳为以下步骤:
(1) 构造拉格朗日函数L (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) , λ称为拉格朗日乘数;
(2) 解方程组
⎧⎪L ' (x , y ) +λϕ'
x (x , y , λ) =f ' x x (x , y ) =0⎨L ' , λ) =f ' '
y (x , y y (x , y ) +λϕy (x , y ) =0
⎪⎩
L ' λ(x , y , λ) =ϕ(x , y ) =0得点(x , y ) , 为可能极值点；
(3) 根据实际问题的性质, 在可能极值点处求极值.
例5 求平面上点(x 0, y 0) 到直线Ax +By +C =0的距离.
(*)
解 设点(x 0, y 0) 到直线上动点(x , y ) 的距离为d , 则问题归结为求距离函数
d 2=(x -x 0) 2+(y -y 0) 2=f (x , y ) 在约束条件Ax +By +C =0之下的极小值.
构造拉格朗日函数
L (x , y , λ) =(x -x 0) 2+(y -y 0) 2+λ(Ax +By +C )
解方程组
⎧L ' x (x , y , λ) =2(x -x 0) +λA =0⎪'
⎨L y (x , y , λ) =2(y -y 0) +λB =0 ⎪L ' (x , y , λ) =Ax +By +C =0⎩λ
得
x =x 0-
λ
2
A , y =y 0-
λ
2
B
代入Ax +By +C =0, 得
λ=
由于最短距离是存在的, 所以
2(Ax 0+By 0+C )
22
A +B
2
2
⎛λ⎫⎛λ⎫⎛λ⎫
d 2= A ⎪+ B ⎪= ⎪(A 2+B 2)
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭
2
(Ax 0+By 0+C ) 22=(A +B ) 222
(A +B )
所以
2
d =
3.3泰勒公式在研究二元函数上的应用
定理1 设z =f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 的某邻域U (p 0)内有直到n +1阶的连续偏导数, 则对
U (p 0)内任一点(x 0+h , y 0+k ) , 存在相应的θ∈(0,1)，使得
⎛∂∂⎫1⎛∂∂⎫
⎪ ⎪f (x 0+h , y 0+h ) =f (x 0, y 0) + h +k f (x , y ) +h +k f (x 0, y 0) 00 ∂x ⎪ ⎪∂y ⎭2! ⎝∂x ∂y ⎭⎝
2
1⎛∂∂⎫1⎛∂∂⎫
⎪ ⎪+ + h +k f (x , y ) +h +k 00 ∂x ⎪⎪(n +1)! ∂y n ! ∂x ∂y ⎝⎭⎝⎭
n n +1
f (x 0+θh , y 0+θk )
这个公式称为二元函数f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的n 阶泰勒公式.
例6 求f (x , y )=x y 在点（1,4）的泰勒公式（到二阶为止），并用它计算(1.08)3.96。 解 由于x 0=1, y 0=4, n =2，因此有
f (x , y )=x y , f (1,4)=1, f x (x , y )=yx y -1, f x (1,4)=4,
f y (x , y )=x y ln x , f y (1,4)=0, f x 2(x , y )=y (y -1)x
2y -2
, f x 2(1,4)=12,
f xy (x , y )=x y -1+yx y -1ln x , f xy (1,4)=1. f y 2(x , y )=x y (ln x ), f y 2(1,4)=0.
将它们代入泰勒公式，即得
x y =1+4(x -1)+6(x -1)+(x -1)(y -4)+o (ρ2).
2
若略去余项，并让x =1.08, y =3.96, 则有
(1.08)
3.96
≈1+4⨯0.08+6⨯0.082-0.08⨯0.04=1.3552
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The applications of derivatives in the function
Lu minming Director: Du hong
Abstract: The derivative is the concept put forward in accordance with the practical problems as the background. Using the derivative of a function can be used to study the function, analytic properties, such as monotonic, extreme points, concave and convex, the function asymptote and painting images of nature. This article focuses on the use of the derivative to study the relationship between a function, dual function, and Taylor formulas and
functions. The purpose is to explore new ideas for solving math problems and simplifying some mathematical problems.
Keywords:derivatives,a function, dual function, Taylor formulas,applications.
致 谢
论文从选题到构架都是在我的导师杜鸿老师的悉心指导下确定的，在写作过程中，杜老师给予我极大的鼓励和支持，大到全文的结构布局，小到段落的安排及遣词造句，他都予以细心的推敲和修改。杜老师勤恳的工作作风和严谨的治学态度，将激励我在今后的日子里更加严格要求自己。在此谨向我的导师杜鸿老师表示衷心的感谢！
最后，向论文评审组的各位老师致以诚挚的谢意，并献上我永远的祝福：祝你们身体健康！工作顺利！合家欢乐！向本文引用内容和参考内容的原文作者致以衷心的感谢！