2空气动力学基础-2-2流体运动方程

空气动力学基础

第2章 流体动力学和运动学基础

沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室

2014年3月

第 2 章 流体运动学和动力学基础

§2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组 •2.3.1 连续方程 •2.3.2 Euler运动微分方程组 •2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 •2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 •2.4.1 Lagrange型积分方程 •2.4.2 Reynolds输运方程 •2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡

§ 2.3 理想流体运动微分方程组 2.3.1 连续方程 连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达 形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无 关，因此适应于理想流体和粘性流体。

以下针对一个微分六面体推导微 分形式的连续方程。现在流场中 划定一个边长分别为dx，dy，dz 的矩形六面体，这个体的空间位 置相对于坐标系是固定的，不随

时间变化，被流体所通过。

z y

B B’ A’ C C’ D’

A

D

x

§ 2.3.1 连续方程

假设六面体: 中心点坐标为：x，y，z 中心点三个分速：u，v，w 中心点密度：ρ (x,y,z,t) t 瞬时通过垂直于x 轴单位面积的流 体流量为ρu ,称密流;

y

B B’ A’ C C’ D’

A

D

x z

将密流当一个标量看，则各面中点的密流可由中心点Taylor 级数展开表达。在 dt 时段内，从ABCD面进入的流体质量为

 ( u ) dx   m1   u  dydzdt x 2  

§ 2.3.1 连续方程

在dt 时段内，从A’B’C’D’面流出的流体质量为：

 ( u ) dx   m2   u  dydzdt x 2  

在 dt 时段内，x方向净流入微分六面体的流体质量为：

mx  m1  m2  ( u ) dx   ( u ) dx      u  dydzdt   u  dydzdt x 2  x 2     ( u )  dxdydzdt x

§ 2.3.1 连续方程

同理可得，在 dt 时段内，由 y, z方向净流入微分六面体的 流体质量为：  ( v)

m y  

y  ( w) mz   dxdydzdt z

dxdydzdt

由此可得，在 dt 时段内由所有侧面流入到微分六面体的净 流体总质量为：

m  mx  m y  mz   ( u )  ( v)  ( w)      dxdydzdt  y z   x

§ 2.3.1 连续方程

由于ρ是空间位置和时间的函数，在 dt 时段内，由于密度 变化引起微分六面体质量的增加量为：

    mt     dt  dxdydz  dxdydz  dxdydzdt t  t 

根据质量守恒定律，在 dt 时段内从侧面净流入微分六面 体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化 的引起增量：

m  mt

即：    ( u )   ( v)   ( w)  dxdydzdt   dxdydzdt  x

  y  z t  

§ 2.3.1 连续方程

上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，即：

 ( u ) ( v) ( w)    0 t x y z

     ( V )  0 t  u v w       u v w     0   t x y z  x y z      V      V  0 t  D    V  0 Dt

连续方程的物理意义

     ( V )  0 t

 D   V  0 Dt

r D  0 ,  V  0, Dt u v w   0 x y z

流体微元控制体密度的局 部增长率与微元控制体单 位体积流出的质量流量 之 和等于零

流体微元的相对密度增加率 与相对体积膨胀率之和为零

不可压缩流动流体微元的相 对体积膨胀率保持为零，或 从微元控制体流出的单位体 积流量为零。

§ 2.3.1 连续方程 连续方程是流动首先应该满足的基本关系

例如，速度场：

u  x  y, v  x  y,

w0

满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。 而速度场：

u  x, v   y, w  z

则不能够代表一个三维不可压缩流动。

此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出 其他方向的速度分布。

§ 2.3.1 连续方程

例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速度沿 x 轴方向 的分量 u=Ax (A 为常数)，求速度在 y 轴方向的分量 v。 D  0 由微分 解：对于不可压缩流动，密度的随体导数 Dt 形式连续方程：

u v  0 x y

v u Ax    A y x x

§ 2.3.1 连续方程

v    Ady  f ( x)   Ay  f ( x)

如果流动非定常，上式中函数 f(x) 则应为 f(x，t)。而 函数 f( ) 的形式可任取。因此 v 有无穷多个解。如 果设 v 在 x 轴上的分布为0 即 f(x) ＝0 ，则：

v   Ay

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组  Euler运动微分方程组是在不计流体粘性前提下 推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为 dx，dy，dz的微元矩形六面体的 流体来看，不计粘性力，表面力 · P

dx z y dy

就没有切向力，仅只法向力（压

dz

x

力）一种，而彻体力是可以有的 。

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组 假设： y 六面体体积：dτ=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z p dx dy p  p dx p x 2 x 2 · P 中心点速度：u ,v, w dz x dx Dw Du Dv 中心点加速度： Dt , Dt , Dt z 中心点压强：p 中心点密度：ρ 中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx, fy, fz 微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶

Taylor展开表示, 如图为 x 方向彻体力，其他方向同

理可得。

§ 2.3.2 Euler运动微分方

程组

由于没有剪应力，并且其他面上的压力在 x 方 向均无投影，从而x方向的表面力为：

p dx  p dx  p    p dydz   p  dydz   dxdydz x 2  x 2  x  

x 方向的彻体力为：

f x dxdydz

根据Newton定律：x 方向合外力等于质量乘以x方 向加速度，得

p Du  dxdydz  f x dxdydz  ( dxdydz ) x Dt

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组

两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代 入加速度的表达，得

1 p u u u u fx   u v  w  x t x y z

同理可以写出 y 1 p v v v v f    u  v  w 和 z方向的表达： y  y t x y z

fz  1 p w w w w  u v w  z t x y z

这就是笛卡尔坐标系下理想流体的Euler方程。

 § 2.3.2 Euler运动微分方程组  1 DV f  p   Dt Euler方程的向量形式为：

Euler方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之 间的关系。 压强变化的原因：速度的变化和彻体力的存在 彼此独立 分开计算

对于如图的一维理想流动，利用Newton定律很容易证 明Euler方程为： s

1 p V V fs   V  s t s

V

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组 理想流Euler方程还可以有另一种表达形式。把 加速度的迁移部分改写一下，把角速度配成显式：

u u u u u v w v u u w v w  (u  v  w )  v(  )  w(  ) x y z x x x x y z x  V 2      2(v z  w y )   x  2 

式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似 的式子：

v v v   V 2   u v w    2( w x  u z )   x y z y  2 

w w w   V 2   u v w    2(u y  v x )   x y z z  2 

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组

得到如下形式的理想流Euler方程称为： “格罗米柯 -兰姆方程” 1 p u  V 2 

fx 



1

fy  fz 



1



)  2(v z  w y ) x t x 2   p v  V 2    ( )  2( w x  u z )  y t y 2   p w  V 2   ( )  2(u y  v x )   z t z 2    (

这个方程本质上仍是理想流体运动方程。其好处是 在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。

该方程的向量形式为

中微团旋转角速度的2倍 2 也称为涡度 。

  1   V V2 f  p   ( )  2V    t 2



，其

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

对于理想不可压流体，在质量力有势条件下，假 设为定常流动，有：

 p



,

 

1



p;

 f  ;

 V 0 t

这样格罗米柯方程变为：

  V  (    )  2V   2

2

现在流场中，任取一条光滑曲线 dS，并将上式投    影到曲线上，有：   V2 

   ds  2V    ds   s  2 

     dx  dy  dz  注：  dS  dx  dy  dz  (   )dS  dS x y z x dS y dS z dS S

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

如果上式右边项为零，有:    V    ds  0 这样在曲线上，下式成立:

 V2  V2        0,   C ( s)   s  2  2

这就是Bernoulli积分（1738年），或Bernoulli方程。 对于理想不可压流体的定常流动，在质量力有势条 件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、 压能和动能之和不变，即总机械能不变。

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

Bernoulli积分成立的条件是:

   V    ds  0

   V   V    V    ds  0

  ds // V   ds // 

（1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立

（2）沿着任意一条涡线，Bernoulli积分成立

   V   

   V    ds  0

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

（3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关， 在整个流场中积分常数不变，等于同一个常数。  (a) 静止流场: V  0  (b) 无旋流场，有势流动:   0   (c) 流线与涡线重合，即Beltrami flow: V //  V2 可得： (    )＝0 2 即括号中标量在全流场保持为常数。

V  C 2

2

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

对于不可压缩流体: 如果质量力只有重力: Bernoulli积分变为:



p



  gy

p V gy   C  2

2

2

在不计质量力情况下，Bernoulli积分变为:

p V  C  2

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

Bernoulli积分:

p V gy   C  2

2

Bernoulli方程各项具有能量的量纲  

V2 2

代表单位质量流体的动能， 代表单位质量流体的势能，

gy

 p 代表单位质量流体的压力势能或流动功。



§ 2.3.3

Bernoulli积分方程及其物理意义

如果将一维流的Bernoulli方程写成高度的量纲，

并且应用于重力不能忽略的液体，可用下图表示 一维流Bernoulli方程的几何意义： p V2 y   H s g 2 g

y：代表所论流体质点的高度称为高度水头

p/γ: 代表所论流体沿真空管上升的高度称为压力水头，上2项

合称静力水头

V2/2g : 代表所论流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头 H : 代表沿一维流管每单位重量流体具有的总能量，称总水头。

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

从1→2有： y1  p1  V1  y2  p2  V2 , g 2 g g 2 g

y 总水头线

2

2

或：H1  H 2  H

2

V1 2g

p1

2

静力水头线

V2 2g

p2



H1 y1

1



H2

2

y2

x

表明：理想、定常、不可压、重力场中，沿一维流管 的高度水头、压力水头和速度水头可以互相转化，总 水头保持不变（注意静力学中静力水头线为水平线）

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

例. 求如图光滑容器中小孔的出流速度 V，假设 pa 小孔中心距自由面深为 h。

解. 由于是小孔出流，流动可以假 设是定常的。假设不计粘性损失。

h V pa

沿小孔中心点处一根流线列Bernoulli方程，由于是 小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度。

V2 gh  0  0    2 pa pa

从而：

V  2 gh

（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值 V  cv 2 gh ， 其中 cv 叫做速度系数，实验表明 cv＝0.97）

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

测量低速气流的速度用的风速管就是根据上述原理设计并由上 式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图：

p

p0

p

V 2

2

 p0

风速管的结构

总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0 ，而 静压空处感受到的是静压，测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在 一根U形测压计的两支上，看二者的差（p0- p）就行了。速度V用Bernoulli方 程计算：

V  2( p0  p) / 

（在实际流动中由于有损失故左式还要乘上一个修正系数）

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方

直匀流的静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100 米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0， VB =150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的 ρ=1.255千克/米3 。 假设流动无旋，求A、B、 C三点的压强。

直匀流对机翼的绕流

解: 流动是无旋的，Bernoulli常数全流场通用。根 据远前方的条件得：

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

1.225 p0  101200   (100) 2  107325牛 / 米 2 2

这就是通用于全流场的常数。 于是：

p A  p0  pB  p0  pC  p0 

 

2 2

VA2  107325牛 / 米 2 VB2  107325  0.6125  22500  93825牛 / 米 2 VC2  107325  1531  105794牛 / 米 2



2

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

例: 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，

其Vθ 正比于半径 r，即Vθ=kr，如图。试证 Bernoulli常数 C 是 r 的函数。

P P dr r

证:

先沿着流线写出Bernoulli方程

C  p

对半径取导数：



2

V2

一种旋转流动

V C p   V  r r r

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用 由于法向压力差必须平衡微团的离心力，故有

p 1 p ( p  dr )(r  dr )d  ( p  p 

dr )(r  dr  r )d  prd r 2 r V2 r  r  dr  ( )ddr r 2

P dr r

P

左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在 r向的投影。略去微量的高次项，得

V2 p  r r

一种旋转流动

代入 C r 的式子，并将 V  kr 代入，得： C  2 k 2r r

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

Vθ=kr 的速度分布就像刚体转动一样，可以证明 这个流动是有旋流（ω=k） ，这个结果说明在有 旋流场上，Bernoulli常数跨流线是要变的。

§ 2.4 流体运动的积分方程 § 2.4.1 基本概念 流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我 们必须解决三个方面的问题：

（1）流体的运动学问题； （2）作用于流体上各种力的特征； （ 3 ）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、动量守恒、动 量矩守恒、能量守恒等）

流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律， 应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体 运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是流体 动力学的基本方程。

§ 2.4.1 基本概念

如果关系式是以微分形式给出称为微分方程（如前 所述）。如果是以积分形式给出，称为流体动力学 积分方程，在流体动力学积分方程中，具体包括：

（1）质量方程 （2）动量方程 （3）动量矩方程------不讲 （4）能量方程------这里不展开，后面会提到

§ 2.4.1 基本概念

控制体（ Control Volume ） ： 被流体所流过，相对 于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制 体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的， 但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体 的形状可根据需要而定。

y

y

n

s2

x z z

s1

x

§ 2.4.1 基本概念

控制体的基本特点:

（1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的； （2）在控制面上可以发生质量交换，即流体可以流进、 流出控制面； （3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力； （4）在控制面上存在能量的交换。

例如，F=ma，F指作用于控制体边界面上所有作 用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点， 研究控制体内流体各物理量的关系。

§ 2.4.2 Reynolds输运方程 所谓控制体分析方法，就是要把上述适用于流体 系统的各物理定律用关于控制体的描述方法表达 出来，而连系着系统分析方法和控制体方法之间 的桥梁就是Reynolds输运方程。 下面我们考察如何将系统中的物理量 N （可以是 质量、动量、动量矩、能量等等物理量）随时间 dN 的变化率 ，用关于控制体的描述方法表达出 dt 来。

§ 2.4.2 Reynolds输运方程

对于系统τ 中的物理量N，假设每单位质量中含 有物理量为σ ： dN dN   dm d 则系统τ 中的物

理量N可以用下述体积分（三重 积分）表示，其中τ是系统占据的空间：

N    d



显然，当  =1 时，N=m代表系统的质量；  当   V 时， N  K 代表系统的动量；

§ 2.4.2 Reynolds输运方程

r r dN  ＝   d    (V  n )dS dt t  S

Reynolds输运方程:流体系统物理量 N 随时间的增加 率，等于控制体τ 内的物理量随时间的变化率加上 净流出控制面 S 的物理量流量。

§ 2.4.2 Reynolds输运方程

Reynolds输运方程将针对系统的表达转化为针对 控制体的表达，这在研究流动问题时带来了极大 方便。后者的表达往往容易写出，尤其是在定常 情况下，只需写出流过控制面上的物理量流量：

    (V  n)dS

S

当  =1 时，代表质量流量；  当   V 时，代表动量流量；

§ 2.4.3 Euler型积分方程 Euler型积分方程是对控制体建立的积分方程。利 用Reynolds输运方程，可很容易获得。

（1）质量方程

由Reynolds输运方程，取σ＝1，有

  dm  ＝  d    (V  n )dS dt t  S

y t τ

n

s2 s1

z x

由质量守恒：

   d    (V  n )dS  0  t  S

这就是积分形式的质量方程。其意义为：控制体中 质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。

§ 2.4.3 Euler型积分方程

 由Reynolds输运方程，取  V

   dK  ＝  Vd   VVn dS dt t  S

（2）动量方程

，有：

由动量守恒原理得：

     F＝ t  Vd   VVn dS  S

－积分形式动量方程

意义为：控制体所受合外力等于控制体中动量的

增加率加上净流出控制面的动量流量。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用 积分形式质量方程的应用 值得指出：

• 质量方程描述流体的质量守恒条件，与流体是

否受力无关，与流体属性是否有粘性也无关。 • 积分形式质量方程不描述单独点的细节，它用 在控制体上，甚至允许控制体包含流动不连续 的地方，例如以后要介绍的激波等处。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

例：一段输气管道直径150mm，在相距8m的两个截 面上同时量取数据，流入、流出的重量流量分别为 2N/s和1.8N/s，问这段管道内气体的平均密度随时 间的变化率有多大？ 解：这是一个非定常问题，流入与流出流量不相等 必然造成控制体内质量增加。取这段管道内空间为 控制体，由积分形式质量方程：

 d   Vn dS  0  t  S

  t

  gVn ds

s

g



2－1.8 3 ＝ 0 . 144 （ kg / m s） 2 0.15 9.8  3.14  4  8

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

例：一容积固定为 τ 的容器

装满盐水，初始时刻密 度为 ρi，纯水（设水密度为ρw ）流入容器并与其 中盐水充分混合，设流动定常，容器内液位恒定， 流入与流出的体积流量不变Q1＝Q2＝Q。求（1） 容器内液体混合物的密度变化率；（2）密度变为 ρ时（ρi>ρ>ρw）所需的时间。 解（1）：划容器内部为控制区。由积分形式质

   量方程： d    (V  n )dS  0  t  S

d    m 2  m1  0 dt

ρ τ=常数 ρw

 m 2

 m 1

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

  d m 1  m2  dt 

 wQ1  Q2 Q   (w   )  

解（2）：由上式：

d Q Q   dt  t    i (  w   ) 0

t



 w  i t  ln Q w   

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

关于积分形式质量方程   步讨论：

 d   Vn dS  0 t S

的进一

（1） 当密度等于常数时，ρ＝c (必然为不可压)， 由上式得： Q V dS  0



S

n

2

上述积分可用流入与流出的体积流 量Q表为：

Q1 S1

S2

 Q1  Q2  0 或 Q1  Q2 , Q  C

说明：当密度等于常数时，流入控制体的体积流量 与流出的体积流量相等

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

（2） 当流动为定常可压时，有：

 V dS  0

n S

 表示，得到 设质量流量用 m

  m 1  m2

或

 C m

说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流 出的质量流量相等。 注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

（3）对于一维流动，控制体如图

ρ2 ρ1 A2 A1

s V2

• 一维流动中，当密度等于常 数时，流入的体积流量等于流 出的体积流量，可表为

V1

V1 A1  V2 A2 ,

VA  c

说明：在密度不变的一维流动中，流管的粗细将 反映流速小大。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

• 一维流动中，当定常可压时，流入的质量 流量等于流出的质量流量，可表为：

1V1 A1  2V2 A2 ,

VA  c'

说明：在定常一维可压流动中，密度ρ、速度 V 与截面积 A 的乘积为常数。 • 对 VA  c 式取微分，可以得到定常一维流动质 量方程的微分形式：

d dV dA   0  V A

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

积分形式动量方程的应用

积分形式动量方程中的合外力指流体受到的所有形式的外

力之和，可以包含彻体力、法向表面力和切向表面力，控 制体中的物体对于流体的作用力也可以单独考虑。

一般来说有两类控制体可供选择： 控制体将流过的物体也包括在内，例如绕机翼 的流动。

物体不包括在所取控制体之内，而物体的部分

壁面构成控制面的一部分，例如管道中的流动；

§ 2.4.4 Euler

型积分方程的应用

对于物体不包括在所取控制体之内的情况，例如管 道，应用积分形式动量方程的目的主要是通过求流 体受力来确定管道受到流体的反作用力。 积分形式的动量方程用于定常、一 维管流控制体时（如图），可得：

y

A1 θ

Ry

Rx

1

A2 θ

2

 Fx   uVn dS  Q(u2  u1 )

S

p2、ρ2、V2

 Fy   vVn dS  Q(v2  v1 )

S

p1、ρ1、V1

x

方程左端是控制体内流体所受合力在相应坐标系的 投影。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

设两端的压强分别为p1、p2，管壁对流体的作用力

为投影分别为Rx、 Ry ，不计彻体力，从而动量方程 可写为（x方向）：

p1 A1 cos 1  p2 A2 cos  2  Rx  2 A2V22 cos  2  1 A1V12 cos 1

2 2 即： Rx  ( p2  2V2 ) A2 cos 2  ( p1  1V1 ) A1 cos 1

y 方向同理得： Ry  ( p2  2V22 ) A2 sin  2  ( p1  1V12 ) A1 sin 1 管壁受力大小相等方向相反。当求管壁所受纯由流动 引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力时，由于大 气压无合力可不考虑，上式中压强用表压。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用 对于如图的控制体（机翼被包含在控制体之内），主要目 的是求物体（机翼）受力。我们将动量方程作些变换和说 明，得到更常用的形式。设机翼受力在三个方向的分量为 Fx、Fy和Fz 则控制体受力的三个分量为－ Fx、－Fy和－Fz 将控制体外部取得离机翼足够远，这样 即使翼面附近有粘性力，到了S面上也 没有粘性力了，只有压力的作用，从而

x方向表面力为：

  p cos(n, x)dS

S

n p (n,x)

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

控制体内的 x 方向彻体力为：

f d  

x

从而控制体内x 方向所受的合外力为：

  p cos(n, x)dS   f x d  Fx

注：连接S和S1双层面上的面积分为0。 控制体内x 方向的动量随时间变化率及净流出控制

S



面的动量流量为：

 ud   uVn dS  t  S

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

由动量守恒，得：

  p cos(n, x)dS  

S



 f x d  Fx   ud   uVn dS t  S  f y d  Fy   vd   vVn dS t  S  f z d  Fz   wd   wVn dS t  S

同理：

  p cos(n, y)dS  

S



  p cos(n, z )dS  

S



上述方程常常用于定常流动的气体，此时式中的当 地变化率一项等于零，且彻体力可以忽略。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

例．有一种尾迹详测法可以用来测量一个二维物

体的型阻（型阻是由粘性直接和间接造成的物体

阻力，例如摩擦阻力和压差

阻力）。我

们来看一看要测

哪些量，并怎样使用积分形

式的动量方程 。

p1 、u1

动量法测型阻

p2 、u2

解：取控制面S 如图。在上游足够远处气体流基本 上还没有受到物体的影响还是直匀流。在下游一定 距离处气流的静压已经和来流的静压没有什么区别 了，但尾迹区速度分布仍然受到影响如图。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

上下两根流线取在远离物体的地方，那里流速和静 压都和原来的来流值一样。在这个S 面上作用的静 压既然都是同一个值，那末压力做面积分的结果必 是零。上下两根流线处没有摩擦力。 设定常，不计彻体力 ，则计算翼型受到的阻力Fx 只需计算越过控制面的动量流量：

Fx    uVn dS  u1 u1dy1  u2 u2 dy2

S

y1



y2



考虑到连续方程：u1dy1  u2 dy2

则: Fx   u2 (u1  u2 )dy



测出尾迹区σ 中速度分布即可求出阻力。

空气动力学基础

第2章 流体动力学和运动学基础

沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设计教研室

2014年3月

第 2 章 流体运动学和动力学基础

§2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组 •2.3.1 连续方程 •2.3.2 Euler运动微分方程组 •2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 •2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 •2.4.1 Lagrange型积分方程 •2.4.2 Reynolds输运方程 •2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡

§ 2.3 理想流体运动微分方程组 2.3.1 连续方程 连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达 形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无 关，因此适应于理想流体和粘性流体。

以下针对一个微分六面体推导微 分形式的连续方程。现在流场中 划定一个边长分别为dx，dy，dz 的矩形六面体，这个体的空间位 置相对于坐标系是固定的，不随

时间变化，被流体所通过。

z y

B B’ A’ C C’ D’

A

D

x

§ 2.3.1 连续方程

假设六面体: 中心点坐标为：x，y，z 中心点三个分速：u，v，w 中心点密度：ρ (x,y,z,t) t 瞬时通过垂直于x 轴单位面积的流 体流量为ρu ,称密流;

y

B B’ A’ C C’ D’

A

D

x z

将密流当一个标量看，则各面中点的密流可由中心点Taylor 级数展开表达。在 dt 时段内，从ABCD面进入的流体质量为

 ( u ) dx   m1   u  dydzdt x 2  

§ 2.3.1 连续方程

在dt 时段内，从A’B’C’D’面流出的流体质量为：

 ( u ) dx   m2   u  dydzdt x 2  

在 dt 时段内，x方向净流入微分六面体的流体质量为：

mx  m1  m2  ( u ) dx   ( u ) dx      u  dydzdt   u  dydzdt x 2  x 2     ( u )  dxdydzdt x

§ 2.3.1 连续方程

同理可得，在 dt 时段内，由 y, z方向净流入微分六面体的 流体质量为：  ( v)

m y  

y  ( w) mz   dxdydzdt z

dxdydzdt

由此可得，在 dt 时段内由所有侧面流入到微分六面体的净 流体总质量为：

m  mx  m y  mz   ( u )  ( v)  ( w)      dxdydzdt  y z   x

§ 2.3.1 连续方程

由于ρ是空间位置和时间的函数，在 dt 时段内，由于密度 变化引起微分六面体质量的增加量为：

    mt     dt  dxdydz  dxdydz  dxdydzdt t  t 

根据质量守恒定律，在 dt 时段内从侧面净流入微分六面 体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化 的引起增量：

m  mt

即：    ( u )   ( v)   ( w)  dxdydzdt   dxdydzdt  x

  y  z t  

§ 2.3.1 连续方程

上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，即：

 ( u ) ( v) ( w)    0 t x y z

     ( V )  0 t  u v w       u v w     0   t x y z  x y z      V      V  0 t  D    V  0 Dt

连续方程的物理意义

     ( V )  0 t

 D   V  0 Dt

r D  0 ,  V  0, Dt u v w   0 x y z

流体微元控制体密度的局 部增长率与微元控制体单 位体积流出的质量流量 之 和等于零

流体微元的相对密度增加率 与相对体积膨胀率之和为零

不可压缩流动流体微元的相 对体积膨胀率保持为零，或 从微元控制体流出的单位体 积流量为零。

§ 2.3.1 连续方程 连续方程是流动首先应该满足的基本关系

例如，速度场：

u  x  y, v  x  y,

w0

满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。 而速度场：

u  x, v   y, w  z

则不能够代表一个三维不可压缩流动。

此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出 其他方向的速度分布。

§ 2.3.1 连续方程

例：设不可压缩流体在 xoy 平面内流动，速度沿 x 轴方向 的分量 u=Ax (A 为常数)，求速度在 y 轴方向的分量 v。 D  0 由微分 解：对于不可压缩流动，密度的随体导数 Dt 形式连续方程：

u v  0 x y

v u Ax    A y x x

§ 2.3.1 连续方程

v    Ady  f ( x)   Ay  f ( x)

如果流动非定常，上式中函数 f(x) 则应为 f(x，t)。而 函数 f( ) 的形式可任取。因此 v 有无穷多个解。如 果设 v 在 x 轴上的分布为0 即 f(x) ＝0 ，则：

v   Ay

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组  Euler运动微分方程组是在不计流体粘性前提下 推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为 dx，dy，dz的微元矩形六面体的 流体来看，不计粘性力，表面力 · P

dx z y dy

就没有切向力，仅只法向力（压

dz

x

力）一种，而彻体力是可以有的 。

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组 假设： y 六面体体积：dτ=dxdydz 中心点坐标： x ,y ,z p dx dy p  p dx p x 2 x 2 · P 中心点速度：u ,v, w dz x dx Dw Du Dv 中心点加速度： Dt , Dt , Dt z 中心点压强：p 中心点密度：ρ 中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx, fy, fz 微元六面体的表面力可以用中心点处压强的一阶

Taylor展开表示, 如图为 x 方向彻体力，其他方向同

理可得。

§ 2.3.2 Euler运动微分方

程组

由于没有剪应力，并且其他面上的压力在 x 方 向均无投影，从而x方向的表面力为：

p dx  p dx  p    p dydz   p  dydz   dxdydz x 2  x 2  x  

x 方向的彻体力为：

f x dxdydz

根据Newton定律：x 方向合外力等于质量乘以x方 向加速度，得

p Du  dxdydz  f x dxdydz  ( dxdydz ) x Dt

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组

两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代 入加速度的表达，得

1 p u u u u fx   u v  w  x t x y z

同理可以写出 y 1 p v v v v f    u  v  w 和 z方向的表达： y  y t x y z

fz  1 p w w w w  u v w  z t x y z

这就是笛卡尔坐标系下理想流体的Euler方程。

 § 2.3.2 Euler运动微分方程组  1 DV f  p   Dt Euler方程的向量形式为：

Euler方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之 间的关系。 压强变化的原因：速度的变化和彻体力的存在 彼此独立 分开计算

对于如图的一维理想流动，利用Newton定律很容易证 明Euler方程为： s

1 p V V fs   V  s t s

V

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组 理想流Euler方程还可以有另一种表达形式。把 加速度的迁移部分改写一下，把角速度配成显式：

u u u u u v w v u u w v w  (u  v  w )  v(  )  w(  ) x y z x x x x y z x  V 2      2(v z  w y )   x  2 

式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似 的式子：

v v v   V 2   u v w    2( w x  u z )   x y z y  2 

w w w   V 2   u v w    2(u y  v x )   x y z z  2 

§ 2.3.2 Euler运动微分方程组

得到如下形式的理想流Euler方程称为： “格罗米柯 -兰姆方程” 1 p u  V 2 

fx 



1

fy  fz 



1



)  2(v z  w y ) x t x 2   p v  V 2    ( )  2( w x  u z )  y t y 2   p w  V 2   ( )  2(u y  v x )   z t z 2    (

这个方程本质上仍是理想流体运动方程。其好处是 在方程中显示了旋转角速度。便于分析无旋流动。

该方程的向量形式为

中微团旋转角速度的2倍 2 也称为涡度 。

  1   V V2 f  p   ( )  2V    t 2



，其

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

对于理想不可压流体，在质量力有势条件下，假 设为定常流动，有：

 p



,

 

1



p;

 f  ;

 V 0 t

这样格罗米柯方程变为：

  V  (    )  2V   2

2

现在流场中，任取一条光滑曲线 dS，并将上式投    影到曲线上，有：   V2 

   ds  2V    ds   s  2 

     dx  dy  dz  注：  dS  dx  dy  dz  (   )dS  dS x y z x dS y dS z dS S

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

如果上式右边项为零，有:    V    ds  0 这样在曲线上，下式成立:

 V2  V2        0,   C ( s)   s  2  2

这就是Bernoulli积分（1738年），或Bernoulli方程。 对于理想不可压流体的定常流动，在质量力有势条 件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、 压能和动能之和不变，即总机械能不变。

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

Bernoulli积分成立的条件是:

   V    ds  0

   V   V    V    ds  0

  ds // V   ds // 

（1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立

（2）沿着任意一条涡线，Bernoulli积分成立

   V   

   V    ds  0

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

（3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关， 在整个流场中积分常数不变，等于同一个常数。  (a) 静止流场: V  0  (b) 无旋流场，有势流动:   0   (c) 流线与涡线重合，即Beltrami flow: V //  V2 可得： (    )＝0 2 即括号中标量在全流场保持为常数。

V  C 2

2

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

对于不可压缩流体: 如果质量力只有重力: Bernoulli积分变为:



p



  gy

p V gy   C  2

2

2

在不计质量力情况下，Bernoulli积分变为:

p V  C  2

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

Bernoulli积分:

p V gy   C  2

2

Bernoulli方程各项具有能量的量纲  

V2 2

代表单位质量流体的动能， 代表单位质量流体的势能，

gy

 p 代表单位质量流体的压力势能或流动功。



§ 2.3.3

Bernoulli积分方程及其物理意义

如果将一维流的Bernoulli方程写成高度的量纲，

并且应用于重力不能忽略的液体，可用下图表示 一维流Bernoulli方程的几何意义： p V2 y   H s g 2 g

y：代表所论流体质点的高度称为高度水头

p/γ: 代表所论流体沿真空管上升的高度称为压力水头，上2项

合称静力水头

V2/2g : 代表所论流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头 H : 代表沿一维流管每单位重量流体具有的总能量，称总水头。

§ 2.3.3 Bernoulli积分方程及其物理意义

从1→2有： y1  p1  V1  y2  p2  V2 , g 2 g g 2 g

y 总水头线

2

2

或：H1  H 2  H

2

V1 2g

p1

2

静力水头线

V2 2g

p2



H1 y1

1



H2

2

y2

x

表明：理想、定常、不可压、重力场中，沿一维流管 的高度水头、压力水头和速度水头可以互相转化，总 水头保持不变（注意静力学中静力水头线为水平线）

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

例. 求如图光滑容器中小孔的出流速度 V，假设 pa 小孔中心距自由面深为 h。

解. 由于是小孔出流，流动可以假 设是定常的。假设不计粘性损失。

h V pa

沿小孔中心点处一根流线列Bernoulli方程，由于是 小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度。

V2 gh  0  0    2 pa pa

从而：

V  2 gh

（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值 V  cv 2 gh ， 其中 cv 叫做速度系数，实验表明 cv＝0.97）

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

测量低速气流的速度用的风速管就是根据上述原理设计并由上 式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图：

p

p0

p

V 2

2

 p0

风速管的结构

总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0 ，而 静压空处感受到的是静压，测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在 一根U形测压计的两支上，看二者的差（p0- p）就行了。速度V用Bernoulli方 程计算：

V  2( p0  p) / 

（在实际流动中由于有损失故左式还要乘上一个修正系数）

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方

直匀流的静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100 米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0， VB =150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的 ρ=1.255千克/米3 。 假设流动无旋，求A、B、 C三点的压强。

直匀流对机翼的绕流

解: 流动是无旋的，Bernoulli常数全流场通用。根 据远前方的条件得：

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

1.225 p0  101200   (100) 2  107325牛 / 米 2 2

这就是通用于全流场的常数。 于是：

p A  p0  pB  p0  pC  p0 

 

2 2

VA2  107325牛 / 米 2 VB2  107325  0.6125  22500  93825牛 / 米 2 VC2  107325  1531  105794牛 / 米 2



2

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

例: 有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，

其Vθ 正比于半径 r，即Vθ=kr，如图。试证 Bernoulli常数 C 是 r 的函数。

P P dr r

证:

先沿着流线写出Bernoulli方程

C  p

对半径取导数：



2

V2

一种旋转流动

V C p   V  r r r

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用 由于法向压力差必须平衡微团的离心力，故有

p 1 p ( p  dr )(r  dr )d  ( p  p 

dr )(r  dr  r )d  prd r 2 r V2 r  r  dr  ( )ddr r 2

P dr r

P

左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在 r向的投影。略去微量的高次项，得

V2 p  r r

一种旋转流动

代入 C r 的式子，并将 V  kr 代入，得： C  2 k 2r r

§ 2.3.4 Bernoulli方程应用

Vθ=kr 的速度分布就像刚体转动一样，可以证明 这个流动是有旋流（ω=k） ，这个结果说明在有 旋流场上，Bernoulli常数跨流线是要变的。

§ 2.4 流体运动的积分方程 § 2.4.1 基本概念 流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我 们必须解决三个方面的问题：

（1）流体的运动学问题； （2）作用于流体上各种力的特征； （ 3 ）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、动量守恒、动 量矩守恒、能量守恒等）

流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律， 应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体 运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是流体 动力学的基本方程。

§ 2.4.1 基本概念

如果关系式是以微分形式给出称为微分方程（如前 所述）。如果是以积分形式给出，称为流体动力学 积分方程，在流体动力学积分方程中，具体包括：

（1）质量方程 （2）动量方程 （3）动量矩方程------不讲 （4）能量方程------这里不展开，后面会提到

§ 2.4.1 基本概念

控制体（ Control Volume ） ： 被流体所流过，相对 于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制 体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的， 但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体 的形状可根据需要而定。

y

y

n

s2

x z z

s1

x

§ 2.4.1 基本概念

控制体的基本特点:

（1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的； （2）在控制面上可以发生质量交换，即流体可以流进、 流出控制面； （3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力； （4）在控制面上存在能量的交换。

例如，F=ma，F指作用于控制体边界面上所有作 用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点， 研究控制体内流体各物理量的关系。

§ 2.4.2 Reynolds输运方程 所谓控制体分析方法，就是要把上述适用于流体 系统的各物理定律用关于控制体的描述方法表达 出来，而连系着系统分析方法和控制体方法之间 的桥梁就是Reynolds输运方程。 下面我们考察如何将系统中的物理量 N （可以是 质量、动量、动量矩、能量等等物理量）随时间 dN 的变化率 ，用关于控制体的描述方法表达出 dt 来。

§ 2.4.2 Reynolds输运方程

对于系统τ 中的物理量N，假设每单位质量中含 有物理量为σ ： dN dN   dm d 则系统τ 中的物

理量N可以用下述体积分（三重 积分）表示，其中τ是系统占据的空间：

N    d



显然，当  =1 时，N=m代表系统的质量；  当   V 时， N  K 代表系统的动量；

§ 2.4.2 Reynolds输运方程

r r dN  ＝   d    (V  n )dS dt t  S

Reynolds输运方程:流体系统物理量 N 随时间的增加 率，等于控制体τ 内的物理量随时间的变化率加上 净流出控制面 S 的物理量流量。

§ 2.4.2 Reynolds输运方程

Reynolds输运方程将针对系统的表达转化为针对 控制体的表达，这在研究流动问题时带来了极大 方便。后者的表达往往容易写出，尤其是在定常 情况下，只需写出流过控制面上的物理量流量：

    (V  n)dS

S

当  =1 时，代表质量流量；  当   V 时，代表动量流量；

§ 2.4.3 Euler型积分方程 Euler型积分方程是对控制体建立的积分方程。利 用Reynolds输运方程，可很容易获得。

（1）质量方程

由Reynolds输运方程，取σ＝1，有

  dm  ＝  d    (V  n )dS dt t  S

y t τ

n

s2 s1

z x

由质量守恒：

   d    (V  n )dS  0  t  S

这就是积分形式的质量方程。其意义为：控制体中 质量的增加率等于净流入控制面的质量流量。

§ 2.4.3 Euler型积分方程

 由Reynolds输运方程，取  V

   dK  ＝  Vd   VVn dS dt t  S

（2）动量方程

，有：

由动量守恒原理得：

     F＝ t  Vd   VVn dS  S

－积分形式动量方程

意义为：控制体所受合外力等于控制体中动量的

增加率加上净流出控制面的动量流量。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用 积分形式质量方程的应用 值得指出：

• 质量方程描述流体的质量守恒条件，与流体是

否受力无关，与流体属性是否有粘性也无关。 • 积分形式质量方程不描述单独点的细节，它用 在控制体上，甚至允许控制体包含流动不连续 的地方，例如以后要介绍的激波等处。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

例：一段输气管道直径150mm，在相距8m的两个截 面上同时量取数据，流入、流出的重量流量分别为 2N/s和1.8N/s，问这段管道内气体的平均密度随时 间的变化率有多大？ 解：这是一个非定常问题，流入与流出流量不相等 必然造成控制体内质量增加。取这段管道内空间为 控制体，由积分形式质量方程：

 d   Vn dS  0  t  S

  t

  gVn ds

s

g



2－1.8 3 ＝ 0 . 144 （ kg / m s） 2 0.15 9.8  3.14  4  8

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

例：一容积固定为 τ 的容器

装满盐水，初始时刻密 度为 ρi，纯水（设水密度为ρw ）流入容器并与其 中盐水充分混合，设流动定常，容器内液位恒定， 流入与流出的体积流量不变Q1＝Q2＝Q。求（1） 容器内液体混合物的密度变化率；（2）密度变为 ρ时（ρi>ρ>ρw）所需的时间。 解（1）：划容器内部为控制区。由积分形式质

   量方程： d    (V  n )dS  0  t  S

d    m 2  m1  0 dt

ρ τ=常数 ρw

 m 2

 m 1

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

  d m 1  m2  dt 

 wQ1  Q2 Q   (w   )  

解（2）：由上式：

d Q Q   dt  t    i (  w   ) 0

t



 w  i t  ln Q w   

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

关于积分形式质量方程   步讨论：

 d   Vn dS  0 t S

的进一

（1） 当密度等于常数时，ρ＝c (必然为不可压)， 由上式得： Q V dS  0



S

n

2

上述积分可用流入与流出的体积流 量Q表为：

Q1 S1

S2

 Q1  Q2  0 或 Q1  Q2 , Q  C

说明：当密度等于常数时，流入控制体的体积流量 与流出的体积流量相等

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

（2） 当流动为定常可压时，有：

 V dS  0

n S

 表示，得到 设质量流量用 m

  m 1  m2

或

 C m

说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流 出的质量流量相等。 注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

（3）对于一维流动，控制体如图

ρ2 ρ1 A2 A1

s V2

• 一维流动中，当密度等于常 数时，流入的体积流量等于流 出的体积流量，可表为

V1

V1 A1  V2 A2 ,

VA  c

说明：在密度不变的一维流动中，流管的粗细将 反映流速小大。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

• 一维流动中，当定常可压时，流入的质量 流量等于流出的质量流量，可表为：

1V1 A1  2V2 A2 ,

VA  c'

说明：在定常一维可压流动中，密度ρ、速度 V 与截面积 A 的乘积为常数。 • 对 VA  c 式取微分，可以得到定常一维流动质 量方程的微分形式：

d dV dA   0  V A

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

积分形式动量方程的应用

积分形式动量方程中的合外力指流体受到的所有形式的外

力之和，可以包含彻体力、法向表面力和切向表面力，控 制体中的物体对于流体的作用力也可以单独考虑。

一般来说有两类控制体可供选择： 控制体将流过的物体也包括在内，例如绕机翼 的流动。

物体不包括在所取控制体之内，而物体的部分

壁面构成控制面的一部分，例如管道中的流动；

§ 2.4.4 Euler

型积分方程的应用

对于物体不包括在所取控制体之内的情况，例如管 道，应用积分形式动量方程的目的主要是通过求流 体受力来确定管道受到流体的反作用力。 积分形式的动量方程用于定常、一 维管流控制体时（如图），可得：

y

A1 θ

Ry

Rx

1

A2 θ

2

 Fx   uVn dS  Q(u2  u1 )

S

p2、ρ2、V2

 Fy   vVn dS  Q(v2  v1 )

S

p1、ρ1、V1

x

方程左端是控制体内流体所受合力在相应坐标系的 投影。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

设两端的压强分别为p1、p2，管壁对流体的作用力

为投影分别为Rx、 Ry ，不计彻体力，从而动量方程 可写为（x方向）：

p1 A1 cos 1  p2 A2 cos  2  Rx  2 A2V22 cos  2  1 A1V12 cos 1

2 2 即： Rx  ( p2  2V2 ) A2 cos 2  ( p1  1V1 ) A1 cos 1

y 方向同理得： Ry  ( p2  2V22 ) A2 sin  2  ( p1  1V12 ) A1 sin 1 管壁受力大小相等方向相反。当求管壁所受纯由流动 引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力时，由于大 气压无合力可不考虑，上式中压强用表压。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用 对于如图的控制体（机翼被包含在控制体之内），主要目 的是求物体（机翼）受力。我们将动量方程作些变换和说 明，得到更常用的形式。设机翼受力在三个方向的分量为 Fx、Fy和Fz 则控制体受力的三个分量为－ Fx、－Fy和－Fz 将控制体外部取得离机翼足够远，这样 即使翼面附近有粘性力，到了S面上也 没有粘性力了，只有压力的作用，从而

x方向表面力为：

  p cos(n, x)dS

S

n p (n,x)

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

控制体内的 x 方向彻体力为：

f d  

x

从而控制体内x 方向所受的合外力为：

  p cos(n, x)dS   f x d  Fx

注：连接S和S1双层面上的面积分为0。 控制体内x 方向的动量随时间变化率及净流出控制

S



面的动量流量为：

 ud   uVn dS  t  S

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

由动量守恒，得：

  p cos(n, x)dS  

S



 f x d  Fx   ud   uVn dS t  S  f y d  Fy   vd   vVn dS t  S  f z d  Fz   wd   wVn dS t  S

同理：

  p cos(n, y)dS  

S



  p cos(n, z )dS  

S



上述方程常常用于定常流动的气体，此时式中的当 地变化率一项等于零，且彻体力可以忽略。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

例．有一种尾迹详测法可以用来测量一个二维物

体的型阻（型阻是由粘性直接和间接造成的物体

阻力，例如摩擦阻力和压差

阻力）。我

们来看一看要测

哪些量，并怎样使用积分形

式的动量方程 。

p1 、u1

动量法测型阻

p2 、u2

解：取控制面S 如图。在上游足够远处气体流基本 上还没有受到物体的影响还是直匀流。在下游一定 距离处气流的静压已经和来流的静压没有什么区别 了，但尾迹区速度分布仍然受到影响如图。

§ 2.4.4 Euler型积分方程的应用

上下两根流线取在远离物体的地方，那里流速和静 压都和原来的来流值一样。在这个S 面上作用的静 压既然都是同一个值，那末压力做面积分的结果必 是零。上下两根流线处没有摩擦力。 设定常，不计彻体力 ，则计算翼型受到的阻力Fx 只需计算越过控制面的动量流量：

Fx    uVn dS  u1 u1dy1  u2 u2 dy2

S

y1



y2



考虑到连续方程：u1dy1  u2 dy2

则: Fx   u2 (u1  u2 )dy



测出尾迹区σ 中速度分布即可求出阻力。