概率论答案详解

第一章随机变量习题一

7、设一个工人生产了四个零件，A i 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”(i =1, 2, 3, 4) ，用A 1, A 2, A 3, A 4的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) B 1=A 1A 2A 3A 4

(2)至少有一个产品是次品；(2) B 2=A 1⋃A 2⋃A 3⋃A 4=A 1A 2A 3A 4 (3)只有一个产品是次品；(3) B 3=A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4 (4)至少有三个产品不是次品

4) B 4=A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4

8. 设 E、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式： (1)E (E F )(2) (E F ) F E （3）(E F ) (F G ) 解 :(1) 原式 =(E E ) (E F ) E F F F =E (2) 原式 =(E F ) E F E F =F E F =F E (3) 原式 =(E F ) (E G ) (F F ) (F G )=F (E G )

12. (1)设事件A , B的概率分别为与，且 A 与 B 互斥，则 P (A B ) =

()()()

()()

()()()

. 5

(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只

球，则取到的3 只都是红球的事件的概率等于 ___285____。 (3) 一袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果从每只袋中各摸一只球，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率

等于 ___24___。

(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件，

已知P(A1) = α , P(A2) = β，P(A3) = γ ，则A1 , A2 , A3 至少有一个发生的概率是 1- (1- - β)(1-

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，

则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __57____。

19、(1)已知P (A ) =0. 3, P (B ) =0. 4, P (A B ) =0. 5，求P (B |A B )

(2)已知P (A ) =

111

, P (B |A ) =, P (A |B ) =，求P (A B ) 432

解: (1)P (B |A ⋃B ) =0. 25

(2)P (A ⋃B ) =

28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解:

A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者”

则 P (A )=

351

, P (B A )== 5100202251

= P A =, P B A =

510000400

)

()

P (B )=P (A )P (B A )+P A P B A 312131

=⨯+⨯=

[1**********]

)(

)

29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n 只白球，m 只红球；乙袋中装有N 只白球，M 只红

球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

解：设H 1表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，

H 2表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，

B 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，

所求事件B =BH 1⋃BH 2

由全概率公式：P (B ) =P (H 1) P (B |H 1) +P (H 2) ⋅P (B |H 2)

n m

, P (H 2) = n +m n +m N +1N

P (B |H 1) =, P (B |H 2) =

N +M +1N +M +1n N +1m N

+于是P (B ) =

n +m N +M +1n +m N +M +1

32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂

生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ，现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？

易知：P (H 1) =

解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙，丙，丁厂生产 ”

B ： “ 所取一个元件为不合格品 ”

则 P (A 1)=

5， 18

P (A 2)=

742， P (A 3)=， P (A 4)= 181818

P B A 1=0. 2， P B A 2=0. 3， P B A 3=0. 4， P B A 4=0. 5 由全概率公式 : P (B )=由贝叶斯公式 :

()()()()

∑P (A i )P (B A i ) =

i =1

180

P (A 1B )=

10211610, P (A 2B )=, P (A 3B )=, P (A 4B )= 57575757

故该盒产品由乙厂生产的可能性最大

第2章一维随机变量习题2

一. 填空题：

+arctgx (-∞

P{ 0

2. 设随机变量 ξ 的分布函数为 F (x )=

3. 设 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，

则 P{ ξ = 3 }= ___

27-3

e 或 3.375e -3____。 8

ξ=k }=C 4. 设某离散型随机变量 ξ 的分布律是 P {

λK

k !

, k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅，

常数 λ>0，则 C 的值应是 ___ e_____。

-λ

解：

K =0

∑P {ξ=k }=1⇒∑C

K =0

∞∞

λK

k !

=1⇒C ∑

K =0

∞

λK

k !

=1⇒Ce λ=1⇒C =e -λ

⎛1⎫

5 设随机变量 ξ 的分布律是 P {ξ=k }=A ⎪, k =1, 2, 3, 4

⎝2⎭

则

5⎫⎧1

P ⎨

2⎭⎩2

解：

⎛1111⎫15

()P ξ=k =A A +++⎪=∑2481616⎝⎭k =1

令

1615

A =1 得 A =

1516

16⎡11⎤5⎫⎛1

⎢2⎭15⎣24⎦⎝2

20、设连续型随机变量X 的分布函数为

⎧A +Be -λx , x ≥0

F (x ) =⎨

, x

求(1)常数A , B

(λ>0)

-3λ

(2)P {X ≤2},P {X >3}

-2λ

(3)概率密度f (x )

解: (1)A =1, B =1

(2)1-e , e

⎧λe -λx , x ≥0

(3)f (x ) =⎨

0, x

21、某种型号的电子管寿命X (以小时计) ，具有如下概率密度：

⎧1000

⎪2, x >1000

现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立) ，任取5f (x ) =⎨x

⎪⎩0, 其它

只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求F (x ) .

解：设使用寿命为x 小时

P {x >1500}=1-P {x ≤1500}=1-⎰P {x ≤1500}=

1000-100015002

dx =1-() |1000=

1000x 2x 3

1500

，所求事件的概率：P =C 5[P (x >1500)]2⋅[P (x ≤1500)]3+ 3

345C 5[P (x >1500)]3[P (x ≤1500)]2+C 5[P (x >1500)]4P (x ≤1500) +C 5[P (x >1500)]5

2121212232=10⨯() 2⨯() 3+10⨯() 3⨯() 2+5⨯() 4⨯+() 5=

3333333243

x x 10001000

dx =1-再求F (x ) =⎰f (x ) dx =⎰

-∞1000x 2x

⎧1000

, x ≥1000⎪1-

F (x ) =⎨x

⎪, 其它⎩0

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X (以小时计) 服从指数分布，其概率密度为

x ⎧1-5

⎪e , x >0

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要f (x ) =⎨5

⎪0, 其它⎩

到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.

k -2k

解：P {Y =k }=C 5e (1-e -2) 5-k , k =0, k , 1, 2, 3, 4, 5

P {Y ≥1}=0. 5166

29、设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为W =2I ，求W 的概率密度.

⎧1

⎪, 9

解：由题意I 的概率密度为f (x ) =⎨2

⎪⎩0, 其它

w =2I 2, w =2x 2, x =±

, 当9

对于w >0, F w (w ) =P {w ≤ω}=P {-

≤I ≤

}=⎰

f (x ) dx

由于w ≥0，所以当w

'(w ) =故w 的概率密度f (w ) =F w

； 4w

⎧111⎧1w w

⋅=, 1620⎪⎪

f (w ) =⎨2w =⎨22w 242w 22

⎪0, 其它0, w ≤0⎪⎩⎩

30、设正方体的棱长为随机变量 ξ ，且在区间 ( 0 ， a ) 上均匀分布，求正方体体积的概率密度。 ( 其中 a > 0 )

解:

正方体体积 η = ξ 3

函数 y = x 在 ( 0 ， a ) 上的反函数 x =h (y ) =y

1-2

h (y ) =y 3

ϕ[h (y )]=

1 a

⎧1-2

⎪y 3(0η 的概率密度为 ψ(y )=⎨3a

⎪ ⎩0

2⎧

x >0⎪

31. 设随机变量 ξ 的概率密度为 ϕ(x )=⎨πx 2+1

⎪⎩0, x ≤0

求随机变量 η = l n ξ 的概率密度。

解：函数 y = l n x 的反函数 x = h ( y ) = e y ，

当 x 在 ( 0 ， +∞ )上变化时， y 在 (- ∞ ， + ∞ ) 上变化，

h ' (y ) =e y , ϕ[h (y )]=

πe

2e y

于是 η 的概率密度为 ψ(y ) =-∞

πe 2y +1

第三章多维随机变量及其分布

6、随机变量(X , Y ) 的分布如下，写出其边缘分布.

9、如果随机变量(X , Y ) 的联合概率分布为

则α, β应满足的条件是 α+β=

；若X 与Y 相互独立，则α=1842β=. 1818

10、设X , Y 相互独立，X ~N (0, 1), Y ~N (0. 1) ，则(X , Y ) 的联合概率密度

f (x , y ) =e

2π

x 2+y 22

，Z =X +Y 的概率密度f Z (Z ) e

x 24

12、设 ( ξ 、 η ) 的联合分布函数为

111⎧

A +--x ≥0, y ≥0⎪222

F (x , y )=⎨则 A =__1___。 1+x +y 1+x 1+y ⎪0 ⎩

二、证明和计算题

⎧ke -(3x +4y ) x >0, y >0

6、设随机变量(X , Y ) 的密度函数为f (x , y ) =⎨

其它⎩0

(1)确定常数k 解：(1)

(2)求(X , Y ) 的分布函数

(3)求P {0

⎰

∞0

dy ⎰k e -(3x +4y ) dx =1

∞

∞∞11k ∞∞

k ⎰e -4y dy ⎰e -3x dx =k [-e -4y ]0⋅[-e -3x ]0= 004312

∴k =12

(2)F (x , y ) =

⎰⎰

y x 0

12e -(3u +4v ) dudv =12⋅

(1-e -3x )(1-e -4y ) 12

=(1-e -3x )(1-e -4y )

F (x , y ) =0

x >0, y >0

(3)P {0

=(1-e -3)(1-e -8) +0=0. 95021

⎧1-3-x -3-y +3-x -y , x ≥0, y ≥0

9、随机变量(X , Y ) 的分布函数为F (x , y ) =⎨求：

0, 其它⎩

（1）边缘密度；（2）验证X,Y 是否独立。解：（1）∂F (x , y ) ∂x =ln 3⨯(3 x >0, y >0.

-x

22-x -y

, -3-x -y ) ，∂F (x , y ) x ∂y =ln 3⨯3

⎧ln 23⨯3-x -y x >0, 0

f (x , y ) =⎨

0其它⎩

+∞

2-x -y ⎧dy =ln 3⨯3-x x >0⎪⎰0ln 3⨯3

f X (x ) =⎨,

⎪其它⎩0+∞

2-x -y ⎧dx =ln 3⨯3-y , y >0⎪⎰0ln 3⨯3

f Y (y ) =⎨

⎪其它⎩0

(2) 因为f (x , y ) =f X (x ) ⋅f Y (y ) ，故X 与Y 是相互独立的.

10、一电子器件包含两部分，分别以X , Y 记这两部分的寿命(以小时记) ，设(X , Y ) 的分布函

⎧1-e -0. 01x -e -0. 01y +e -0. 01(x +y )

数为F (x , y ) =⎨

0⎩

x ≥0, y ≥0其它

} (1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)并求P {X >120, Y >120

⎧1-e -0. 01x x ≥0

解：(1)F X (x ) =F (x , +∞) =⎨

F Y (y ) =F (+∞, y ) =⎨

0⎩

y ≥0y

易证F X (x ) F Y (y ) =F (x , y ) ，故X , Y 相互独立. (2)由(1)X , Y 相互独立

P {X >120, Y >120}=P {X >120}⋅P {Y >120}=[1-P {X ≤120}]⋅[1-P {Y ≤120}]

=[1-F X (120)][1-F Y (120)]=e -2⋅4=0. 091

11、设随机变量 (ξ , η) 的分布函数为 F (x , y ) =A (B +)(C +) 求：( 1 ) 系数 A , B及 C 的值， ( 2 ) (ξ , η) 的联合概率密度 ϕ(x , y)。

2y 3

ππ

F (+∞, +∞) =A (B +) (C +) =1

22ππ

F (-∞, +∞) =A (B -) (C +) =0

22ππ

F (+∞, -∞) =A (B +) (C -) =0

221π

由此解得 A =2, B =C =,

π26

( 2 ) ϕ(x , y ) =2 22

π(4+x )(9+y )

解：( 1 )

第4章随机变量的数字特征

一、填空题

3、已知随机变量X 服从二项分布，且

E (X ) =2. 4, D (X ) =1. 44，则二项分布的参数

n , p .

4、已知X 服从ϕ(x ) =, D (X ) 5、设X 的分布律为

1π

e -x

+2x -1

，则. E (X ) =

X -1 0

1 2

则E (2X +1) =9/4 .

6、设X , Y 相互独立，则协方差cov(X , Y ) = 这时，X , Y 之间的相关系数ρXY =8、ρXY 是随机变量(X , Y ) 的相关系数，当ρXY =0时，X 与Y ，当|ρXY |=1时， X 与Y 几乎线性相关 .

9、若D (X ) =8, D (Y ) =4，且X , Y 相互独立，则D (2X -Y ) =. 10、若a , b 为常数，则D (aX +b ) =a 2

D (X ) .

13、若D (X ) =25, D (Y ) =36, ρXY =0. 4，则cov(X , Y ) =，D (X +Y ) =，

D (X -Y ) =二、计算题

⎧

0, x

⎨a +b arcsin x , -1≤x ≤1

⎪⎩

1, x >1 求 a 、b 、E (X ) 、D (X ) . 解: X 为连续型随机变量，

∴ F (x ) 为连续函数.

∴ F (-1-) =F (-1), ⇒ a -πb =0 ∴ F (1+) =F (1), ⇒ a +2b =1

可解得; a =

, b =

X 的概率密度

⎧

1 f (x ) =F '(x ) =⎪

⎨π-x 2, x

⎪⎩0,

其它

E (X ) =

⎰

+∞

-∞

xf (x ) d x =⎰

-1

π-x

d x =0

D (X ) =E (X ) =

⎰

x 2

-1

π-x

1 2

d x =

⎰π

x 2-x

d x

t ，则令 x =s i n

D (X ) =

⎰

sin 2t d t =

8、设随机变量X ~e(2)、Y ~e(4)，求E (X +Y ) 、E (2X -3Y 2) .

111, E (Y ) =, D (Y ) = 2416

113

所以 E (X +Y ) =E (X ) +E (Y ) =+=.

244

解: 显然 E (X ) =

E (2X -3Y 2) =2E (X ) -3D (Y ) +(E (Y )) 2

115

=1-3(+) =

16168

11、设随机变量(X , Y ) 的密度函数为

[]

⎧2

f (x , y ) =⎨

⎩0

解: E (XY ) =

xOy

其它

求E (XY ) .

⎰⎰xyf (x , y ) d x d y =⎰⎰2xy d x d y G ：0

=2x d x

⎰⎰

y d y =⎰xx 2d x =

1. 4

15、设区域G 为x +y ≤1，二维随机变量(X , Y ) 服从G 上的均匀分布，判断X 、Y 的相关性、独立性.

解: 显然，二维随机变量(X , Y ) 的概率密度函数为

⎧1

⎪, (x , y ) ∈G

f (x , y ) =⎨π

⎪⎩0, (x , y ) ∉G

+∞

所以 f X (x ) =

⎰

-∞

⎧1-x 21

⎪d y , x

f (x , y ) d y =⎨⎰-1-x 2π

⎪0, 其它⎩

⎧2

⎪-x 2, x

=⎨π

⎪0, 其它⎩ ⎧2⎪-y 2, y

f Y (y ) =⎨π

⎪其它⎩ 0,

因此 E (X ) =

⎰

+∞

-∞

xf (x ) d x =⎰

-1

x -x 2d x =0

同样可得 E (Y ) =0 又 E (XY ) =

xOy

⎰⎰xyf (x , y ) d x d y =

⎰⎰xy d x d y =0

所以 cov(X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y ) =0 故X 、Y 不相关，但由于

f X (x ) f Y (y ) ≠f (x , y ) 所以X 与Y 不相互独立.

19、设X ~N (μ, σ), Y ~N (μ, σ), X , Y 相互独立

求Z 1=αX +βY , Z 2=αX -βY 的相关系数. (其中α, β是不为0的常数) 解：

c o v Z (α(X +βY , αX -βY ) 1, Z 2) =c o v

= c o v α(X , αX ) +c o v α(X , -βY ) +c o v β(Y , αX ) +c o v β(Y , -βY )

2 = α (DX ) -αβc o v X (, Y ) +αβc o v Y (, X ) -β2D (Y )

= ( α 2-β2) σ2

因为X , Y 相互独立，所以

所以

D (Z 1) =D (αX +βY ) =α2D (X ) +β2D (Y ) =(α2+β2) σ2D (Z 2) =D (αX -βY ) =αD (X ) +βD (Y ) =(α+β) σ

ρZ Z

α2-β2

==2

D (Z 1) D (Z 2) α+β

cov(Z 1, Z 2)

第 5 章大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

3. 设随机变量X 1, X 2, , X 9相互独立且同分布, 而且有EX i =1, DX i =1(i =1,2, ,9) , 令X =

∑X

i =1

, 则对任意给定的ε>0, 由切比雪夫不等式直接可得P X -9

}

2ε

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：E (X ) =μ与D (X ) =σ2都存在, 则对任意给定的ε>0, 有

σ2σ2

P {|X -μ|≥ε}≤2, 或者P {|X -μ|

εε

由于随机变量X 1, X 2, , X 9相互独立且同分布, 而且有 EX i =1, DX i =1(i =1,2, 9), 所以

9⎛9⎫9

μ=E (X ) =E ∑X i ⎪=∑E (X i ) =∑1=9,

i =1⎝i =1⎭i =19

⎛9⎫9

σ=D (X ) =D ∑X i ⎪=∑D (X i ) =∑1=9.

i =1⎝i =1⎭i =12

4. 设随机变量X 满足：E (X ) =μ, D (X ) =σ, 则由切比雪夫不等式, 有P {|X -μ|≥4σ}≤

解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足E (X ) =μ, D (X ) =σ, 则对任意

σ2σ21

的ε>0, 有P {|X -μ|≥ε}≤2. 由此得 P {|X -μ|≥4σ}≤=. 2

ε(4σ) 16

5、设随机变量ξ, E (ξ) =μ, D (ξ) =σ，则P {|ξ-μ|

二．计算题：

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，

又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率) ；(2)上述系统假设有n 个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X 表示正常工作的元件数，则X ~b (100, 0. 9) ，

85-90X -100⨯0. 9100-90

P {X ≥85}=P {100≥X ≥85}=P {≤≤

9⨯0. 1⨯0. 995X -9010

=P {-≤≤}

333

由中心极限定理可知

105105

) -Φ(-) =Φ() -(1-Φ()) 3333

1055

=Φ() +Φ() -1=Φ() =0. 95

333P {X ≥85}=Φ(

(2)设X 表示正常工作的元件数，则X ~b (n , 0. 9)

P (X ≥0. 8n ) =P (0. 8n ≤X ≤n ) =P {

-0. 1n X -0. 9n 0. 2n

≤≤

0. 3n ⨯0. 9⨯0. 10. 3n

=P {-

n X -0. 9n 2X -0. 9n

≤≤n }=P {-≤ 3330. 3n 0. n

n n

) =Φ() =0. 95∴33

n 5

= 33

=1-Φ(-∴n =25

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 ± 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已知：Φ( 0.6 ) = 0.7257；Φ( 0.63 ) = 0.7357。

解：设每个部分的长度为 X i ( i = 1, 2, „, 10 ) E ( Xi ) = 2 = μ, D( Xi ) = σ = ( 0.05 )

2 ,

依题意，得合格品的概率为

1010

⎧⎫⎧⎫1P ⎨-0. 1≤∑X i -20≤0. 1⎬=P ⎨-0. 63≤(∑X i -10⨯2) ≤0. 63⎬

3. 18⨯0. 05i =1i =1⎩⎭⎩⎭

=⎰

0. 63

12π

-0. 63

t 2-

e 2dt

=2⎰

0. 63

12π

t 2-

e 2dt

=2⨯⎰

0. 63

12π

-∞

t 22dt

-1=2⨯0. 7357-1=0. 4714

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互

独立的随机变量，并且都在区间[- 0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知：Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772。

解：设 ξ1 ， ξ2 ，， ξn 表示取整误差, 因它们在 [- 0.5 ，0.5 ] 上服从均匀分布，

故有 E ξi =0,

D ξi =1, i =12, , , n

根据同分布的中心要极限定理，得

1200

⎧⎫

ξ-0∑i ⎪⎧1200⎫10-0⎪⎪-10-0⎪i =1

P ⎨∑ξi

11⎩i =1⎭⎪⨯1⨯⨯⎪

⎪121212⎪⎩⎭

1200⎧⎫

ξ-0∑i ⎪⎪⎪⎪i =1

Φ(- 1 ) = 2 Φ( 1 )- 1 =P ⎨-1

1⎪⎪⨯

⎪⎪12⎩⎭

= 2 ⨯ 0.8413- 1 = 0.6826

13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？

(Φ(x ) =⎰

x -t 2

d t , Φ(1.29)=0.9015, Φ(1.65)=0.9505, Φ(3.09)=0.9990,

Φ(3.72)=0.9999, Φ(4.27)=0.99999)

解：设参保人数为N 人, 则

ξi =⎨

⎧1,

第i 人出事，⎛01⎫

i =1,2, , N , ξi ~ ⎪, E ξi =p , D ξi =pq .

⎝q p ⎭⎩0, 第i 人不出事，

P (20000∑ξi +1000000≤100N -1000000) ≥0.95.

i =1

P (∑

ξi ≤N /200-2000000) ≥0.95.

i =1

100N -2000000⎛N ⎫-Np ξ-Np ∑i ⎪≥0.95. P ≤

⎝⎭

10N 0-2000000

-Np

≥

1. 65,

由

N -20000-200Np ≥p =0.0005, q =

0.9995, 0.9N -20000≥9N -2⋅105≥3 81N 2-(36⋅105+33002pq ) N +4⋅1010≥0, N 2-45068.03N -493827160.49≥

=63296.41, N ≥54182.22.

第六章数理统计的基本概念

一. 填空题

1. 若ξ1, ξ2, , ξn 是取自正态总体N (μ, σ2) 的样本，

σ1n

则ξ=∑ξi 服从分布N (μ, ) .

n i =1n

2(n -1) 2χS n ~ (n -1) ； 2. 样本(X 1, X 2, , X n ) 来自总体X ~N (μ, σ) 则2

1n n 2

(X -X ) 2。 (-μ) ~ _t (n -1) __。其中为样本均值，S n =∑n -1i =1S n

3. 设X 1, X 2, X 3, X 4是来自正态总体N (0. 22) 的简单随机样本，

2211b (3X -4X ) X =a (X -2X ) +3412 ，则当a =a =b =b =

10020

时，统计量X 服从X 分布，其自由度为 2 .

6. 设随机变量X ~N (0,1), 随机变量Y ~χ2(n ) , 且随机变量X 与Y 相互独立,

令T =

则T 2~F (1,n 分布.

X 22

解：由T =, 得T =. 因为随机变量X ~N (0,1), 所以X 2~χ2(1). 再由

n X 2

~F (1,n ). 随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得T =Y n

9. 判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)

(1) 若总体的平均值 μ与总体方差 σ2 都存在，则样本平均值是 μ 的一致估计。 ( 对 )

ˆ) -θ≠0则称 θ(2) 若 E (θ为 θ 的渐近无偏估计量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，x 1, x 2 是X 的一个样本，

则统计量x 1+x 2是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

ˆ)

计 θ 有效。 ( 错 )

ˆ-θ|≥ε}=0 则称 θn (5) 设θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果lim P {|θn

n →∞

是θ 的一致估计量。 ( 对 )

（6）样本方差D n =∑X i -X

n -1i =1

()

是总体X ~N (μ, σ2) 中σ2 的无偏

估计量。D *=

∑(X

i =1

-X 是总体X 中σ2的有偏估计。（对）

)

10. 设X 1, X 2, X 3是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量

ˆ1=X 1+μ

5X 33111131

ˆ2=X 1+X 2+ˆ3=X 1+X 2-X 3X 2+X 3, u , u

[1**********]都

ˆ2 最有效. 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 μ

二、选择题

2、设ξ1, ξ2, ξn 是来自正态总体N (μ, σ) 的简单随机样本S =(ξi -) 2，∑n -1i =1

1n 1n 1n 2222

S =∑(ξi -) ，S 3=(ξi -μ) ，S 4=∑(ξi -μ) 2，则服从自由度为n -1的∑n i =1n -1i =1n i =1

t 分布的随机变量是( B ).

A 、

-μ

S 1/n -1

B 、

-μ

S 2/n -1

C 、

-μ

S 3/n

D 、

-μ

S 4/n

3、设ξ~N (1, 2) ，ξ1, ξ2, ξn 为ξ的样本，则( C ). A 、

-1

~N (0, 1)

B 、

-1

D 、

~N (0. 1)

C 、

-1

2/n

~N (0, 1)

-1

2/n

~N (0, 1)

4、设ξ1, ξ2, ξn 是总体ξ~N (0, 1) 的样本，则有( C ) , S 分别是样本的均值和样本标准差，

A 、n ~N (0, 1) B 、~N (0, 1) C 、

∑ξ

i =1

~x 2(n ) D 、/S ~t (n -1)

131

X 1+X 2+X 3，5102

ˆ1=8. 3、设X 1, X 2, X 3是来自母体X 的容量为3的样本，μˆ2=X 1+X 2+μ

5111

ˆ3=X 1+X 2+X 3，则下列说法正确的是( B ). X 3，μ

12362

ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计且有效性顺序为μˆ1>μˆ2>μˆ3 A 、μ

ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为μˆ2>μˆ1>μˆ3 B 、μ

ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为μˆ3>μˆ2>μˆ1 C 、μ

ˆ1, μˆ2, μˆ3不全是μ=E (X ) 的无偏估计，无法比 D 、μ

三. 计算题

1、在总体X ~N (30, 22) 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在 29到31之间取值的概率.

2212

解：因X ~N (30, 2) ，故X ~N (30, ) ，即X ~N (30, () )

216

∴P (20

X -30

2、设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N (1000, σ2) (单位：小时) ，抽取一容量为9的样本，其均方差S =100，问P (X

, 解：因σ未知，不能用X =N (1000

σ2

) 来解题，

而T =

X -μ

~t (n -1) n

∴T =

X -μ

~t (8) S 3

∴P (X

X -μ940-μ

) =P (T 1. 8)

100

∴P (X

由表查得P (X 1. 8) =0. 056

3、设X 1, X 2, X 7为总体X ~N (0, 0. 5) 的一个样本，求P (∑X i 2>4) .

i =1

解：X ~N (0, 0. 5)

∴2X i ~N (0, 1)

∴

∑(2X )

i =1

=4∑X ~x (7)

i =1

∴P (∑X >4) =P (4∑X i 2>16) ≈0. 025

i =1

4、设总体X ~N (0, 1) ，从此总体中取一个容量为6的样本X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6，设Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，试决定常数C ，使随机变量CY 服从x 2

分布.

解：X 1+X 2+X 3~N (0, 3) ，X 4+X 5+X 6~N (0, 3)

∴

X 1+X 2+X 3

3X 1+X 2+X 3

313

~N (0, 1) ，

X 4+X 5+X 6

~N (0, 1)

∴(

) 2+(

X 4+X 5+X 6

) 2~x 2(2)

即(X 1+X 2+X 3) +

(X 4+X 5+X 6) 2~x 2(2) 3

∴C =

时，CY ~x (2) 3

5、设随机变量T 服从t (n ) 分布，求T 2的分布.

解：因为T =

，其中X ~N (0, 1) ，Y ~x 2(n ) ， /n

X 2X 2/1T ==

Y /n Y /n

X 2~x 2(1) ∴T 2~F (1, n )

6. 利用 t 分布性质计算分位数 t0.975( 50 ) 的近似值。

( 已知 ξ ~ N ( 0， 1 ) ， p ( ξ

解: 当 n 足够大时，t 分布近似 N (0，1),

当 u ~ N (0，1 ) 时，分位数 u 1-α 近似 t 1-α( n ) 。

而 p { u ≥ u0.975 } =0.025 时， u 0.975 = 1.926 ≈ 2 ， t 0.975 ( 50 ) ≈ 2

7. 设 X 1, X 2, , Xn 为来自有均值 μ 和 r 阶中心矩 μr 的总

⎡1n r ⎤ 体 X 的样本，试证明E ⎢∑(X i -μ)⎥=μr 。又此式说明总体的r 阶 ⎣n i =1⎦

矩与样本r 阶矩有什么关系？

⎡1n 1n 1n r ⎤r

证： E ⎢∑(X i -μ)⎥=∑E (X i -μ)=∑μr =μr

n i =1⎣n i =1⎦n i =1

r 阶中心矩是总体 X 的 r 阶中心矩 μr 的无偏估计。

上述结果表明总体的 r 阶矩与样本的 r 阶矩相等 , 说明样本的

8. 设总体X ~N (0,22) , X 1, X 2, , X 10为来自总体X 的样本. 令

⎫⎛⎫⎛10

Y = ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪.

⎝i =1⎭⎝j =6⎭

试确定常数C , 使CY 服从χ2分布, 并指出其自由度.

解：由X ~N (0,22) , 得

X i

~N (0,1),i =1, 2, ,10. 2

又X 1, X 2, , X 10互相独立, 故

15110

X i ~N (0,5),∑X j ~N (0,5), ∑2i =12j =6

∑X

~N (0,1),

且二者独立.

从而有得C =

⎫1⎡⎛5⎫⎛10

⎢ ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪20⎢⎝i =1⎭⎝j =6⎭⎣

⎤

⎥~χ2(2), ⎥⎦

, χ2分布的自由度为2. 20

9. 设X 1, X 2, , X 4与Y 1, Y 2, , Y 5分别是来自正态N (0,1) 的总体X 与Y 的样本, Z =∑(X i -X ) +∑(Y i -Y ) 2, 求EZ .

i =1

∑(X i -) 2

解:方法1:由

i -1

~χ2(n -1), E χ2(n -1) =n -1, σ2=1

可得

∑(X

i =1

-X ) ~χ(3),

∑Y -Y )

i i =1

~χ2(4∴) , EZ =+3=4. 7

⎡1n 2⎤ 方法2: E (S ) =E ⎢(X -X ) ∑i ⎥=DX =1, n -1i =1⎣⎦

∴EZ =E (3S 12+4S 2) =3ES 12+4ES 2=3+4=7.

10. 设是取自母体 N ( μ，σ2 ) ，容量为 n的两个相互独立的样本 X 1 、X 2、、 X n 及 Y 1、 Y 2、、Y n 的均值，

试确定 n ，使这两个样本均值之差超过 σ 的概率大约为 0.01 。 ( 已知 Φ ( 2.58 ) = 0.995 )

⎛σ2 解：由于及均服从 N μ, n ⎝

要

⎫22⎫⎪则 -~N ⎛0, σ⎪ ⎪⎝n ⎭⎭

P ->σ=P -(2n σ) >2≈0. 01

()()

即

P -(n σ)

()

即 2Φ

n 2-1=0. 99 即 Φ

)n 2=0. 995

)

∴ 取 n = 14 n 2=2. 58.

第7章参数估计 ----点估计

⎧λe -λx , x >0

2、设总体X 服从指数分布 f (x ) =⎨ ，X 1, X 2, X n 是来自X 的样本，（1）求

其他⎩0,

未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

解：（1）由于E (X ) =

，令

=X ⇒λ=

-λ

1ˆ=1 ，故λ的矩估计为λ

（2）似然函数L (x 1, x 2, , x n ) =λe

ln L =n ln λ-λ∑x i

i =1n

∑x i

i =1

d ln L n n

=-∑x i =0⇒λ=d λλi =1

故λ的极大似然估计仍为

∑x

i =1

。 22

3、设总体X ~N (0, σ)，X 1, X 2, , X n 为取自X 的一组简单随机样本，求σ的极大似然估

计；

[解] (1)

似然函数L =

i =1

x i 22σ=(2πσ

n 2-2

)

⋅e

∑2σ2

i =1

x i 2

x i 2n n 2

于是ln L =-ln 2π-ln σ-∑ 2

222σi =1

d ln L n 1n 2

=-2+4∑x i ， 2

d σ2σ2σi =1

∧

d ln L 1n 222

=0，得σ的极大似然估计：σ=∑X i . 令2

d σn i =1

4、设总体X 服从泊松分布P (λ) , X 1, X 2, , X n 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

ˆ=，此为λ的矩估计。解：（1）令E (X ) =λ=⇒λ

∑x i

i =1n

（2）似然函数L (x 1, x 2, , x n ) =

λe -n λ

∏x !

i =1

ln L =∑x i ln λ-n λ-∑ln x i !

i =1

n n

x i

d ln L ∑=i =1-n =0⇒λ=d λλ

∑x

i =1

故λ的极大似然估计仍为。

=第七章参数估计 ----区间估计

一、选择题

1、设总体X ~N (μ, σ2) ，σ未知，设总体均值μ的置信度1-α的置信区间长度l ，那么l 与

a 的关系为( A ).

A 、a 增大，l 减小 C 、a 增大，l 不变

B 、a 增大，l 增大 D 、a 与l 关系不确定

2、设总体X ~N (μ, σ) ，且σ已知，现在以置信度1~α估计总体均值μ，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).

A 、提高置信度1-α，增加样本容量 C 、降低置信度1-α，增加样本容量

B 、提高置信度1-α，减少样本容量 D 、降低置信度1-α，减少样本容量

二、计算题

1、设总体X ~N (μ, 0. 9) ，当样本容量n =9时，测得X =5，求未知参数μ的置信度为0.95

的置信区间.

解：μ

的置信区间为(-Z α

+Z α

α=0. 05 n =9 σ=0. 9 =5

Z 0.05=1.96

μ的置信区间为(4. 412, 5. 588) 。

2、设总体~N (μ, σ2), 已知σ=σ0, 要使总体均值μ的置信水平为1-α的置信区间的长度不大

于L ，问需要抽取多大容量的样本。

解：μ

的置信区间为(X

-Z α2

X +Z α

，

2Z α2

224Z ασ0

≤L ⇒n ≥

3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径X ~N (μ, σ2) ，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm) 为：

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度1-α=0. 95(即α=0. 05) (1)若σ=0. 06，求μ的置信区间 (3)求方差σ，均方差σ的置信区间. 解：(1)σ

(2)若σ未知，求μ的置信区间

已知，则μ

的置信区间

为(X -Z α2

X +Z α

，

n =5, α=0.05, Z α=1.96

代入则得μ的置信区间(14. 75, 15. 15) (2)σ未知，则μ

的置信区间为(X -t α

, X +t α，n =5, α=0. 05 2

查表得t 0.05=2.5706，代入得μ的置信区间为(14. 71, 15. 19)

(3)

(n -1) S 2

σ2

~χ2(n -1)

(n -1) S 2(n -1) S 2

σ的置信区间(2, 2)

χα(n -1) χα(n -1)

α=0. 05, n =5 代入得σ2的置信区间为：(0. 0199, 0. 3069) 。

均方差σ

的置信区间为=(0.1411,0.2627)

4、设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 =58. 61及样本方

差 S

=(5. 8) 2, 求总体X 的均值和方差的90%的置信区间

解：1-α=0. 9,

αα

=0. 05, 1-=0. 95, n =31, s =5. 8, t 0.05(30)=1.6973 22

∴μ的 90%的置信区间为 :

(±t α(n -2

=(56.84,60.38) 2χ0.05(30)=43.772

χ0.95(30)=18.49 ，S 2 = 33.64

σ2的（1-a ）%的置信区间为 :

⎛(n -1) s 2

(n -1) s 2⎫

2⎪ , 2

χα(n -1) χ1-α(n -1) ⎪⎝⎭

30⨯33. 6430⨯33. 8

43. 7718. 49即

∴σ的 90%的置信区间为 : (23.1 , 54.6)

5、设某种灯泡的寿命 X 服从正态分布 N(μ , σ2 ) , μ , σ2未知 , 现从中任取 5个灯泡进行寿命测试 (单位 : 1000小时 ), 得 :

10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,

求方差及均方差的 90%的置信区间 .

151522

解：=∑x i =11. 6, S =∑(x i -) =0. 995

5i =14i =1

1-α=0. 9,

=0. 05, 1-

=0. 95, n -1=4

x 0.05(4)=9.488, x 0.95(4)=0.711

4⨯0. 9954⨯0. 995

=0. 419, =5. 598

9. 4880. 711

∴ σ及 σ 的 90%的置信区间为 (0.419 , 5.598)

及 (0. 419, 5. 598) =(0. 647, 2. 366)

6、二正态总体N(μ1 , σ12) , N(μ2 , σ22) 的参数均未知 , 依次取容量为 n 1=10 , n2=11的二独立样

本 , 测得样本均值分别为1=1.2, 2=2.8，样本方差分别为 S 12=0. 34, S 2=0. 29,

(1) 求二总体均值差μ1-μ2的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。

解：1-α=0.9,

=0.05,

n 1-1=9,

n 2-1=10

（1）s w =

9⋅0.34+10⋅0.29

=0.3137，t 0.05(19)=1.729，

μ1-μ2的90%的置信区间为

(1.2-2.8-1.729=(-2.0231, -1.1769)

（2）F 0.05(9,10)=3.02

-2.8+1.729F 0.95(9,10)=S 12

S 2

F 0.05(10,9)3.14

0. 34

=1. 17 0. 29

, 1. 17⨯3. 14) =(0. 39, 3. 67) 3. 02

的 90%的置信区间为 : (1. 17⨯∴σ12/σ2

第一章随机变量习题一

7、设一个工人生产了四个零件，A i 表示事件“他生产的第i 个零件是正品”(i =1, 2, 3, 4) ，用A 1, A 2, A 3, A 4的运算关系表达下列事件.

(1)没有一个产品是次品； (1) B 1=A 1A 2A 3A 4

4) B 4=A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4⋃A 1A 2A 3A 4

12. (1)设事件A , B的概率分别为与，且 A 与 B 互斥，则 P (A B ) =

()()()

()()

()()()

. 5

(2).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只

等于 ___24___。

(4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件，

已知P(A1) = α , P(A2) = β，P(A3) = γ ，则A1 , A2 , A3 至少有一个发生的概率是 1- (1- - β)(1-

(5) ．一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放回地摸3只球，

则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 __57____。

19、(1)已知P (A ) =0. 3, P (B ) =0. 4, P (A B ) =0. 5，求P (B |A B )

(2)已知P (A ) =

111

, P (B |A ) =, P (A |B ) =，求P (A B ) 432

解: (1)P (B |A ⋃B ) =0. 25

(2)P (A ⋃B ) =

28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

解:

A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者”

则 P (A )=

351

, P (B A )== 5100202251

= P A =, P B A =

510000400

)

()

P (B )=P (A )P (B A )+P A P B A 312131

=⨯+⨯=

[1**********]

)(

)

29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n 只白球，m 只红球；乙袋中装有N 只白球，M 只红

球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

解：设H 1表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，

H 2表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，

B 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，

所求事件B =BH 1⋃BH 2

由全概率公式：P (B ) =P (H 1) P (B |H 1) +P (H 2) ⋅P (B |H 2)

n m

, P (H 2) = n +m n +m N +1N

P (B |H 1) =, P (B |H 2) =

N +M +1N +M +1n N +1m N

+于是P (B ) =

n +m N +M +1n +m N +M +1

32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂

易知：P (H 1) =

解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙，丙，丁厂生产 ”

B ： “ 所取一个元件为不合格品 ”

则 P (A 1)=

5， 18

P (A 2)=

742， P (A 3)=， P (A 4)= 181818

P B A 1=0. 2， P B A 2=0. 3， P B A 3=0. 4， P B A 4=0. 5 由全概率公式 : P (B )=由贝叶斯公式 :

()()()()

∑P (A i )P (B A i ) =

i =1

180

P (A 1B )=

10211610, P (A 2B )=, P (A 3B )=, P (A 4B )= 57575757

故该盒产品由乙厂生产的可能性最大

第2章一维随机变量习题2

一. 填空题：

+arctgx (-∞

P{ 0

2. 设随机变量 ξ 的分布函数为 F (x )=

3. 设 ξ 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，

则 P{ ξ = 3 }= ___

27-3

e 或 3.375e -3____。 8

ξ=k }=C 4. 设某离散型随机变量 ξ 的分布律是 P {

λK

k !

, k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅，

常数 λ>0，则 C 的值应是 ___ e_____。

-λ

解：

K =0

∑P {ξ=k }=1⇒∑C

K =0

∞∞

λK

k !

=1⇒C ∑

K =0

∞

λK

k !

=1⇒Ce λ=1⇒C =e -λ

⎛1⎫

5 设随机变量 ξ 的分布律是 P {ξ=k }=A ⎪, k =1, 2, 3, 4

⎝2⎭

则

5⎫⎧1

P ⎨

2⎭⎩2

解：

⎛1111⎫15

()P ξ=k =A A +++⎪=∑2481616⎝⎭k =1

令

1615

A =1 得 A =

1516

16⎡11⎤5⎫⎛1

⎢2⎭15⎣24⎦⎝2

20、设连续型随机变量X 的分布函数为

⎧A +Be -λx , x ≥0

F (x ) =⎨

, x

求(1)常数A , B

(λ>0)

-3λ

(2)P {X ≤2},P {X >3}

-2λ

(3)概率密度f (x )

解: (1)A =1, B =1

(2)1-e , e

⎧λe -λx , x ≥0

(3)f (x ) =⎨

0, x

21、某种型号的电子管寿命X (以小时计) ，具有如下概率密度：

⎧1000

⎪2, x >1000

现有一大批此种电子管(设各电子管损坏与否相互独立) ，任取5f (x ) =⎨x

⎪⎩0, 其它

只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？并求F (x ) .

解：设使用寿命为x 小时

P {x >1500}=1-P {x ≤1500}=1-⎰P {x ≤1500}=

1000-100015002

dx =1-() |1000=

1000x 2x 3

1500

，所求事件的概率：P =C 5[P (x >1500)]2⋅[P (x ≤1500)]3+ 3

345C 5[P (x >1500)]3[P (x ≤1500)]2+C 5[P (x >1500)]4P (x ≤1500) +C 5[P (x >1500)]5

2121212232=10⨯() 2⨯() 3+10⨯() 3⨯() 2+5⨯() 4⨯+() 5=

3333333243

x x 10001000

dx =1-再求F (x ) =⎰f (x ) dx =⎰

-∞1000x 2x

⎧1000

, x ≥1000⎪1-

F (x ) =⎨x

⎪, 其它⎩0

23、设顾客在银行的窗口等待服务的时间X (以小时计) 服从指数分布，其概率密度为

x ⎧1-5

⎪e , x >0

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要f (x ) =⎨5

⎪0, 其它⎩

到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.

k -2k

解：P {Y =k }=C 5e (1-e -2) 5-k , k =0, k , 1, 2, 3, 4, 5

P {Y ≥1}=0. 5166

29、设电流I 是一个随机变量，它均匀分布在9安~11安之间，若此电流通过2欧姆的电阻，在其上消耗的功率为W =2I ，求W 的概率密度.

⎧1

⎪, 9

解：由题意I 的概率密度为f (x ) =⎨2

⎪⎩0, 其它

w =2I 2, w =2x 2, x =±

, 当9

对于w >0, F w (w ) =P {w ≤ω}=P {-

≤I ≤

}=⎰

f (x ) dx

由于w ≥0，所以当w

'(w ) =故w 的概率密度f (w ) =F w

； 4w

⎧111⎧1w w

⋅=, 1620⎪⎪

f (w ) =⎨2w =⎨22w 242w 22

⎪0, 其它0, w ≤0⎪⎩⎩

30、设正方体的棱长为随机变量 ξ ，且在区间 ( 0 ， a ) 上均匀分布，求正方体体积的概率密度。 ( 其中 a > 0 )

解:

正方体体积 η = ξ 3

函数 y = x 在 ( 0 ， a ) 上的反函数 x =h (y ) =y

1-2

h (y ) =y 3

ϕ[h (y )]=

1 a

⎧1-2

⎪y 3(0η 的概率密度为 ψ(y )=⎨3a

⎪ ⎩0

2⎧

x >0⎪

31. 设随机变量 ξ 的概率密度为 ϕ(x )=⎨πx 2+1

⎪⎩0, x ≤0

求随机变量 η = l n ξ 的概率密度。

解：函数 y = l n x 的反函数 x = h ( y ) = e y ，

当 x 在 ( 0 ， +∞ )上变化时， y 在 (- ∞ ， + ∞ ) 上变化，

h ' (y ) =e y , ϕ[h (y )]=

πe

2e y

于是 η 的概率密度为 ψ(y ) =-∞

πe 2y +1

第三章多维随机变量及其分布

6、随机变量(X , Y ) 的分布如下，写出其边缘分布.

9、如果随机变量(X , Y ) 的联合概率分布为

则α, β应满足的条件是 α+β=

；若X 与Y 相互独立，则α=1842β=. 1818

10、设X , Y 相互独立，X ~N (0, 1), Y ~N (0. 1) ，则(X , Y ) 的联合概率密度

f (x , y ) =e

2π

x 2+y 22

，Z =X +Y 的概率密度f Z (Z ) e

x 24

12、设 ( ξ 、 η ) 的联合分布函数为

111⎧

A +--x ≥0, y ≥0⎪222

F (x , y )=⎨则 A =__1___。 1+x +y 1+x 1+y ⎪0 ⎩

二、证明和计算题

⎧ke -(3x +4y ) x >0, y >0

6、设随机变量(X , Y ) 的密度函数为f (x , y ) =⎨

其它⎩0

(1)确定常数k 解：(1)

(2)求(X , Y ) 的分布函数

(3)求P {0

⎰

∞0

dy ⎰k e -(3x +4y ) dx =1

∞

∞∞11k ∞∞

k ⎰e -4y dy ⎰e -3x dx =k [-e -4y ]0⋅[-e -3x ]0= 004312

∴k =12

(2)F (x , y ) =

⎰⎰

y x 0

12e -(3u +4v ) dudv =12⋅

(1-e -3x )(1-e -4y ) 12

=(1-e -3x )(1-e -4y )

F (x , y ) =0

x >0, y >0

(3)P {0

=(1-e -3)(1-e -8) +0=0. 95021

⎧1-3-x -3-y +3-x -y , x ≥0, y ≥0

9、随机变量(X , Y ) 的分布函数为F (x , y ) =⎨求：

0, 其它⎩

（1）边缘密度；（2）验证X,Y 是否独立。解：（1）∂F (x , y ) ∂x =ln 3⨯(3 x >0, y >0.

-x

22-x -y

, -3-x -y ) ，∂F (x , y ) x ∂y =ln 3⨯3

⎧ln 23⨯3-x -y x >0, 0

f (x , y ) =⎨

0其它⎩

+∞

2-x -y ⎧dy =ln 3⨯3-x x >0⎪⎰0ln 3⨯3

f X (x ) =⎨,

⎪其它⎩0+∞

2-x -y ⎧dx =ln 3⨯3-y , y >0⎪⎰0ln 3⨯3

f Y (y ) =⎨

⎪其它⎩0

(2) 因为f (x , y ) =f X (x ) ⋅f Y (y ) ，故X 与Y 是相互独立的.

10、一电子器件包含两部分，分别以X , Y 记这两部分的寿命(以小时记) ，设(X , Y ) 的分布函

⎧1-e -0. 01x -e -0. 01y +e -0. 01(x +y )

数为F (x , y ) =⎨

0⎩

x ≥0, y ≥0其它

} (1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)并求P {X >120, Y >120

⎧1-e -0. 01x x ≥0

解：(1)F X (x ) =F (x , +∞) =⎨

F Y (y ) =F (+∞, y ) =⎨

0⎩

y ≥0y

易证F X (x ) F Y (y ) =F (x , y ) ，故X , Y 相互独立. (2)由(1)X , Y 相互独立

P {X >120, Y >120}=P {X >120}⋅P {Y >120}=[1-P {X ≤120}]⋅[1-P {Y ≤120}]

=[1-F X (120)][1-F Y (120)]=e -2⋅4=0. 091

11、设随机变量 (ξ , η) 的分布函数为 F (x , y ) =A (B +)(C +) 求：( 1 ) 系数 A , B及 C 的值， ( 2 ) (ξ , η) 的联合概率密度 ϕ(x , y)。

2y 3

ππ

F (+∞, +∞) =A (B +) (C +) =1

22ππ

F (-∞, +∞) =A (B -) (C +) =0

22ππ

F (+∞, -∞) =A (B +) (C -) =0

221π

由此解得 A =2, B =C =,

π26

( 2 ) ϕ(x , y ) =2 22

π(4+x )(9+y )

解：( 1 )

第4章随机变量的数字特征

一、填空题

3、已知随机变量X 服从二项分布，且

E (X ) =2. 4, D (X ) =1. 44，则二项分布的参数

n , p .

4、已知X 服从ϕ(x ) =, D (X ) 5、设X 的分布律为

1π

e -x

+2x -1

，则. E (X ) =

X -1 0

1 2

则E (2X +1) =9/4 .

9、若D (X ) =8, D (Y ) =4，且X , Y 相互独立，则D (2X -Y ) =. 10、若a , b 为常数，则D (aX +b ) =a 2

D (X ) .

13、若D (X ) =25, D (Y ) =36, ρXY =0. 4，则cov(X , Y ) =，D (X +Y ) =，

D (X -Y ) =二、计算题

⎧

0, x

⎨a +b arcsin x , -1≤x ≤1

⎪⎩

1, x >1 求 a 、b 、E (X ) 、D (X ) . 解: X 为连续型随机变量，

∴ F (x ) 为连续函数.

∴ F (-1-) =F (-1), ⇒ a -πb =0 ∴ F (1+) =F (1), ⇒ a +2b =1

可解得; a =

, b =

X 的概率密度

⎧

1 f (x ) =F '(x ) =⎪

⎨π-x 2, x

⎪⎩0,

其它

E (X ) =

⎰

+∞

-∞

xf (x ) d x =⎰

-1

π-x

d x =0

D (X ) =E (X ) =

⎰

x 2

-1

π-x

1 2

d x =

⎰π

x 2-x

d x

t ，则令 x =s i n

D (X ) =

⎰

sin 2t d t =

8、设随机变量X ~e(2)、Y ~e(4)，求E (X +Y ) 、E (2X -3Y 2) .

111, E (Y ) =, D (Y ) = 2416

113

所以 E (X +Y ) =E (X ) +E (Y ) =+=.

244

解: 显然 E (X ) =

E (2X -3Y 2) =2E (X ) -3D (Y ) +(E (Y )) 2

115

=1-3(+) =

16168

11、设随机变量(X , Y ) 的密度函数为

[]

⎧2

f (x , y ) =⎨

⎩0

解: E (XY ) =

xOy

其它

求E (XY ) .

⎰⎰xyf (x , y ) d x d y =⎰⎰2xy d x d y G ：0

=2x d x

⎰⎰

y d y =⎰xx 2d x =

1. 4

15、设区域G 为x +y ≤1，二维随机变量(X , Y ) 服从G 上的均匀分布，判断X 、Y 的相关性、独立性.

解: 显然，二维随机变量(X , Y ) 的概率密度函数为

⎧1

⎪, (x , y ) ∈G

f (x , y ) =⎨π

⎪⎩0, (x , y ) ∉G

+∞

所以 f X (x ) =

⎰

-∞

⎧1-x 21

⎪d y , x

f (x , y ) d y =⎨⎰-1-x 2π

⎪0, 其它⎩

⎧2

⎪-x 2, x

=⎨π

⎪0, 其它⎩ ⎧2⎪-y 2, y

f Y (y ) =⎨π

⎪其它⎩ 0,

因此 E (X ) =

⎰

+∞

-∞

xf (x ) d x =⎰

-1

x -x 2d x =0

同样可得 E (Y ) =0 又 E (XY ) =

xOy

⎰⎰xyf (x , y ) d x d y =

⎰⎰xy d x d y =0

所以 cov(X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y ) =0 故X 、Y 不相关，但由于

f X (x ) f Y (y ) ≠f (x , y ) 所以X 与Y 不相互独立.

19、设X ~N (μ, σ), Y ~N (μ, σ), X , Y 相互独立

求Z 1=αX +βY , Z 2=αX -βY 的相关系数. (其中α, β是不为0的常数) 解：

c o v Z (α(X +βY , αX -βY ) 1, Z 2) =c o v

= c o v α(X , αX ) +c o v α(X , -βY ) +c o v β(Y , αX ) +c o v β(Y , -βY )

2 = α (DX ) -αβc o v X (, Y ) +αβc o v Y (, X ) -β2D (Y )

= ( α 2-β2) σ2

因为X , Y 相互独立，所以

所以

D (Z 1) =D (αX +βY ) =α2D (X ) +β2D (Y ) =(α2+β2) σ2D (Z 2) =D (αX -βY ) =αD (X ) +βD (Y ) =(α+β) σ

ρZ Z

α2-β2

==2

D (Z 1) D (Z 2) α+β

cov(Z 1, Z 2)

第 5 章大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

3. 设随机变量X 1, X 2, , X 9相互独立且同分布, 而且有EX i =1, DX i =1(i =1,2, ,9) , 令X =

∑X

i =1

, 则对任意给定的ε>0, 由切比雪夫不等式直接可得P X -9

}

2ε

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：E (X ) =μ与D (X ) =σ2都存在, 则对任意给定的ε>0, 有

σ2σ2

P {|X -μ|≥ε}≤2, 或者P {|X -μ|

εε

由于随机变量X 1, X 2, , X 9相互独立且同分布, 而且有 EX i =1, DX i =1(i =1,2, 9), 所以

9⎛9⎫9

μ=E (X ) =E ∑X i ⎪=∑E (X i ) =∑1=9,

i =1⎝i =1⎭i =19

⎛9⎫9

σ=D (X ) =D ∑X i ⎪=∑D (X i ) =∑1=9.

i =1⎝i =1⎭i =12

4. 设随机变量X 满足：E (X ) =μ, D (X ) =σ, 则由切比雪夫不等式, 有P {|X -μ|≥4σ}≤

解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足E (X ) =μ, D (X ) =σ, 则对任意

σ2σ21

的ε>0, 有P {|X -μ|≥ε}≤2. 由此得 P {|X -μ|≥4σ}≤=. 2

ε(4σ) 16

5、设随机变量ξ, E (ξ) =μ, D (ξ) =σ，则P {|ξ-μ|

二．计算题：

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，

85-90X -100⨯0. 9100-90

P {X ≥85}=P {100≥X ≥85}=P {≤≤

9⨯0. 1⨯0. 995X -9010

=P {-≤≤}

333

由中心极限定理可知

105105

) -Φ(-) =Φ() -(1-Φ()) 3333

1055

=Φ() +Φ() -1=Φ() =0. 95

333P {X ≥85}=Φ(

(2)设X 表示正常工作的元件数，则X ~b (n , 0. 9)

P (X ≥0. 8n ) =P (0. 8n ≤X ≤n ) =P {

-0. 1n X -0. 9n 0. 2n

≤≤

0. 3n ⨯0. 9⨯0. 10. 3n

=P {-

n X -0. 9n 2X -0. 9n

≤≤n }=P {-≤ 3330. 3n 0. n

n n

) =Φ() =0. 95∴33

n 5

= 33

=1-Φ(-∴n =25

解：设每个部分的长度为 X i ( i = 1, 2, „, 10 ) E ( Xi ) = 2 = μ, D( Xi ) = σ = ( 0.05 )

2 ,

依题意，得合格品的概率为

1010

⎧⎫⎧⎫1P ⎨-0. 1≤∑X i -20≤0. 1⎬=P ⎨-0. 63≤(∑X i -10⨯2) ≤0. 63⎬

3. 18⨯0. 05i =1i =1⎩⎭⎩⎭

=⎰

0. 63

12π

-0. 63

t 2-

e 2dt

=2⎰

0. 63

12π

t 2-

e 2dt

=2⨯⎰

0. 63

12π

-∞

t 22dt

-1=2⨯0. 7357-1=0. 4714

10．计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互

独立的随机变量，并且都在区间[- 0.5，0.5 ]上服从均匀分布，求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知：Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772。

解：设 ξ1 ， ξ2 ，， ξn 表示取整误差, 因它们在 [- 0.5 ，0.5 ] 上服从均匀分布，

故有 E ξi =0,

D ξi =1, i =12, , , n

根据同分布的中心要极限定理，得

1200

⎧⎫

ξ-0∑i ⎪⎧1200⎫10-0⎪⎪-10-0⎪i =1

P ⎨∑ξi

11⎩i =1⎭⎪⨯1⨯⨯⎪

⎪121212⎪⎩⎭

1200⎧⎫

ξ-0∑i ⎪⎪⎪⎪i =1

Φ(- 1 ) = 2 Φ( 1 )- 1 =P ⎨-1

1⎪⎪⨯

⎪⎪12⎩⎭

= 2 ⨯ 0.8413- 1 = 0.6826

(Φ(x ) =⎰

x -t 2

d t , Φ(1.29)=0.9015, Φ(1.65)=0.9505, Φ(3.09)=0.9990,

Φ(3.72)=0.9999, Φ(4.27)=0.99999)

解：设参保人数为N 人, 则

ξi =⎨

⎧1,

第i 人出事，⎛01⎫

i =1,2, , N , ξi ~ ⎪, E ξi =p , D ξi =pq .

⎝q p ⎭⎩0, 第i 人不出事，

P (20000∑ξi +1000000≤100N -1000000) ≥0.95.

i =1

P (∑

ξi ≤N /200-2000000) ≥0.95.

i =1

100N -2000000⎛N ⎫-Np ξ-Np ∑i ⎪≥0.95. P ≤

⎝⎭

10N 0-2000000

-Np

≥

1. 65,

由

N -20000-200Np ≥p =0.0005, q =

0.9995, 0.9N -20000≥9N -2⋅105≥3 81N 2-(36⋅105+33002pq ) N +4⋅1010≥0, N 2-45068.03N -493827160.49≥

=63296.41, N ≥54182.22.

第六章数理统计的基本概念

一. 填空题

1. 若ξ1, ξ2, , ξn 是取自正态总体N (μ, σ2) 的样本，

σ1n

则ξ=∑ξi 服从分布N (μ, ) .

n i =1n

2(n -1) 2χS n ~ (n -1) ； 2. 样本(X 1, X 2, , X n ) 来自总体X ~N (μ, σ) 则2

1n n 2

(X -X ) 2。 (-μ) ~ _t (n -1) __。其中为样本均值，S n =∑n -1i =1S n

3. 设X 1, X 2, X 3, X 4是来自正态总体N (0. 22) 的简单随机样本，

2211b (3X -4X ) X =a (X -2X ) +3412 ，则当a =a =b =b =

10020

时，统计量X 服从X 分布，其自由度为 2 .

6. 设随机变量X ~N (0,1), 随机变量Y ~χ2(n ) , 且随机变量X 与Y 相互独立,

令T =

则T 2~F (1,n 分布.

X 22

解：由T =, 得T =. 因为随机变量X ~N (0,1), 所以X 2~χ2(1). 再由

n X 2

~F (1,n ). 随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得T =Y n

9. 判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)

(1) 若总体的平均值 μ与总体方差 σ2 都存在，则样本平均值是 μ 的一致估计。 ( 对 )

ˆ) -θ≠0则称 θ(2) 若 E (θ为 θ 的渐近无偏估计量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，x 1, x 2 是X 的一个样本，

则统计量x 1+x 2是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

ˆ)

计 θ 有效。 ( 错 )

ˆ-θ|≥ε}=0 则称 θn (5) 设θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果lim P {|θn

n →∞

是θ 的一致估计量。 ( 对 )

（6）样本方差D n =∑X i -X

n -1i =1

()

是总体X ~N (μ, σ2) 中σ2 的无偏

估计量。D *=

∑(X

i =1

-X 是总体X 中σ2的有偏估计。（对）

)

10. 设X 1, X 2, X 3是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量

ˆ1=X 1+μ

5X 33111131

ˆ2=X 1+X 2+ˆ3=X 1+X 2-X 3X 2+X 3, u , u

[1**********]都

ˆ2 最有效. 是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则 μ

二、选择题

2、设ξ1, ξ2, ξn 是来自正态总体N (μ, σ) 的简单随机样本S =(ξi -) 2，∑n -1i =1

1n 1n 1n 2222

S =∑(ξi -) ，S 3=(ξi -μ) ，S 4=∑(ξi -μ) 2，则服从自由度为n -1的∑n i =1n -1i =1n i =1

t 分布的随机变量是( B ).

A 、

-μ

S 1/n -1

B 、

-μ

S 2/n -1

C 、

-μ

S 3/n

D 、

-μ

S 4/n

3、设ξ~N (1, 2) ，ξ1, ξ2, ξn 为ξ的样本，则( C ). A 、

-1

~N (0, 1)

B 、

-1

D 、

~N (0. 1)

C 、

-1

2/n

~N (0, 1)

-1

2/n

~N (0, 1)

4、设ξ1, ξ2, ξn 是总体ξ~N (0, 1) 的样本，则有( C ) , S 分别是样本的均值和样本标准差，

A 、n ~N (0, 1) B 、~N (0, 1) C 、

∑ξ

i =1

~x 2(n ) D 、/S ~t (n -1)

131

X 1+X 2+X 3，5102

ˆ1=8. 3、设X 1, X 2, X 3是来自母体X 的容量为3的样本，μˆ2=X 1+X 2+μ

5111

ˆ3=X 1+X 2+X 3，则下列说法正确的是( B ). X 3，μ

12362

ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计且有效性顺序为μˆ1>μˆ2>μˆ3 A 、μ

ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为μˆ2>μˆ1>μˆ3 B 、μ

ˆ1, μˆ2, μˆ3都是μ=E (X ) 的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为μˆ3>μˆ2>μˆ1 C 、μ

ˆ1, μˆ2, μˆ3不全是μ=E (X ) 的无偏估计，无法比 D 、μ

三. 计算题

1、在总体X ~N (30, 22) 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值在 29到31之间取值的概率.

2212

解：因X ~N (30, 2) ，故X ~N (30, ) ，即X ~N (30, () )

216

∴P (20

X -30

2、设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N (1000, σ2) (单位：小时) ，抽取一容量为9的样本，其均方差S =100，问P (X

, 解：因σ未知，不能用X =N (1000

σ2

) 来解题，

而T =

X -μ

~t (n -1) n

∴T =

X -μ

~t (8) S 3

∴P (X

X -μ940-μ

) =P (T 1. 8)

100

∴P (X

由表查得P (X 1. 8) =0. 056

3、设X 1, X 2, X 7为总体X ~N (0, 0. 5) 的一个样本，求P (∑X i 2>4) .

i =1

解：X ~N (0, 0. 5)

∴2X i ~N (0, 1)

∴

∑(2X )

i =1

=4∑X ~x (7)

i =1

∴P (∑X >4) =P (4∑X i 2>16) ≈0. 025

i =1

4、设总体X ~N (0, 1) ，从此总体中取一个容量为6的样本X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6，设Y =(X 1+X 2+X 3) 2+(X 4+X 5+X 6) 2，试决定常数C ，使随机变量CY 服从x 2

分布.

解：X 1+X 2+X 3~N (0, 3) ，X 4+X 5+X 6~N (0, 3)

∴

X 1+X 2+X 3

3X 1+X 2+X 3

313

~N (0, 1) ，

X 4+X 5+X 6

~N (0, 1)

∴(

) 2+(

X 4+X 5+X 6

) 2~x 2(2)

即(X 1+X 2+X 3) +

(X 4+X 5+X 6) 2~x 2(2) 3

∴C =

时，CY ~x (2) 3

5、设随机变量T 服从t (n ) 分布，求T 2的分布.

解：因为T =

，其中X ~N (0, 1) ，Y ~x 2(n ) ， /n

X 2X 2/1T ==

Y /n Y /n

X 2~x 2(1) ∴T 2~F (1, n )

6. 利用 t 分布性质计算分位数 t0.975( 50 ) 的近似值。

( 已知 ξ ~ N ( 0， 1 ) ， p ( ξ

解: 当 n 足够大时，t 分布近似 N (0，1),

当 u ~ N (0，1 ) 时，分位数 u 1-α 近似 t 1-α( n ) 。

而 p { u ≥ u0.975 } =0.025 时， u 0.975 = 1.926 ≈ 2 ， t 0.975 ( 50 ) ≈ 2

7. 设 X 1, X 2, , Xn 为来自有均值 μ 和 r 阶中心矩 μr 的总

⎡1n r ⎤ 体 X 的样本，试证明E ⎢∑(X i -μ)⎥=μr 。又此式说明总体的r 阶 ⎣n i =1⎦

矩与样本r 阶矩有什么关系？

⎡1n 1n 1n r ⎤r

证： E ⎢∑(X i -μ)⎥=∑E (X i -μ)=∑μr =μr

n i =1⎣n i =1⎦n i =1

r 阶中心矩是总体 X 的 r 阶中心矩 μr 的无偏估计。

上述结果表明总体的 r 阶矩与样本的 r 阶矩相等 , 说明样本的

8. 设总体X ~N (0,22) , X 1, X 2, , X 10为来自总体X 的样本. 令

⎫⎛⎫⎛10

Y = ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪.

⎝i =1⎭⎝j =6⎭

试确定常数C , 使CY 服从χ2分布, 并指出其自由度.

解：由X ~N (0,22) , 得

X i

~N (0,1),i =1, 2, ,10. 2

又X 1, X 2, , X 10互相独立, 故

15110

X i ~N (0,5),∑X j ~N (0,5), ∑2i =12j =6

∑X

~N (0,1),

且二者独立.

从而有得C =

⎫1⎡⎛5⎫⎛10

⎢ ∑X i ⎪+ ∑X j ⎪20⎢⎝i =1⎭⎝j =6⎭⎣

⎤

⎥~χ2(2), ⎥⎦

, χ2分布的自由度为2. 20

9. 设X 1, X 2, , X 4与Y 1, Y 2, , Y 5分别是来自正态N (0,1) 的总体X 与Y 的样本, Z =∑(X i -X ) +∑(Y i -Y ) 2, 求EZ .

i =1

∑(X i -) 2

解:方法1:由

i -1

~χ2(n -1), E χ2(n -1) =n -1, σ2=1

可得

∑(X

i =1

-X ) ~χ(3),

∑Y -Y )

i i =1

~χ2(4∴) , EZ =+3=4. 7

⎡1n 2⎤ 方法2: E (S ) =E ⎢(X -X ) ∑i ⎥=DX =1, n -1i =1⎣⎦

∴EZ =E (3S 12+4S 2) =3ES 12+4ES 2=3+4=7.

10. 设是取自母体 N ( μ，σ2 ) ，容量为 n的两个相互独立的样本 X 1 、X 2、、 X n 及 Y 1、 Y 2、、Y n 的均值，

试确定 n ，使这两个样本均值之差超过 σ 的概率大约为 0.01 。 ( 已知 Φ ( 2.58 ) = 0.995 )

⎛σ2 解：由于及均服从 N μ, n ⎝

要

⎫22⎫⎪则 -~N ⎛0, σ⎪ ⎪⎝n ⎭⎭

P ->σ=P -(2n σ) >2≈0. 01

()()

即

P -(n σ)

()

即 2Φ

n 2-1=0. 99 即 Φ

)n 2=0. 995

)

∴ 取 n = 14 n 2=2. 58.

第7章参数估计 ----点估计

⎧λe -λx , x >0

2、设总体X 服从指数分布 f (x ) =⎨ ，X 1, X 2, X n 是来自X 的样本，（1）求

其他⎩0,

未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

解：（1）由于E (X ) =

，令

=X ⇒λ=

-λ

1ˆ=1 ，故λ的矩估计为λ

（2）似然函数L (x 1, x 2, , x n ) =λe

ln L =n ln λ-λ∑x i

i =1n

∑x i

i =1

d ln L n n

=-∑x i =0⇒λ=d λλi =1

故λ的极大似然估计仍为

∑x

i =1

。 22

3、设总体X ~N (0, σ)，X 1, X 2, , X n 为取自X 的一组简单随机样本，求σ的极大似然估

计；

[解] (1)

似然函数L =

i =1

x i 22σ=(2πσ

n 2-2

)

⋅e

∑2σ2

i =1

x i 2

x i 2n n 2

于是ln L =-ln 2π-ln σ-∑ 2

222σi =1

d ln L n 1n 2

=-2+4∑x i ， 2

d σ2σ2σi =1

∧

d ln L 1n 222

=0，得σ的极大似然估计：σ=∑X i . 令2

d σn i =1

4、设总体X 服从泊松分布P (λ) , X 1, X 2, , X n 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.

ˆ=，此为λ的矩估计。解：（1）令E (X ) =λ=⇒λ

∑x i

i =1n

（2）似然函数L (x 1, x 2, , x n ) =

λe -n λ

∏x !

i =1

ln L =∑x i ln λ-n λ-∑ln x i !

i =1

n n

x i

d ln L ∑=i =1-n =0⇒λ=d λλ

∑x

i =1

故λ的极大似然估计仍为。

=第七章参数估计 ----区间估计

一、选择题

1、设总体X ~N (μ, σ2) ，σ未知，设总体均值μ的置信度1-α的置信区间长度l ，那么l 与

a 的关系为( A ).

A 、a 增大，l 减小 C 、a 增大，l 不变

B 、a 增大，l 增大 D 、a 与l 关系不确定

2、设总体X ~N (μ, σ) ，且σ已知，现在以置信度1~α估计总体均值μ，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).

A 、提高置信度1-α，增加样本容量 C 、降低置信度1-α，增加样本容量

B 、提高置信度1-α，减少样本容量 D 、降低置信度1-α，减少样本容量

二、计算题

1、设总体X ~N (μ, 0. 9) ，当样本容量n =9时，测得X =5，求未知参数μ的置信度为0.95

的置信区间.

解：μ

的置信区间为(-Z α

+Z α

α=0. 05 n =9 σ=0. 9 =5

Z 0.05=1.96

μ的置信区间为(4. 412, 5. 588) 。

2、设总体~N (μ, σ2), 已知σ=σ0, 要使总体均值μ的置信水平为1-α的置信区间的长度不大

于L ，问需要抽取多大容量的样本。

解：μ

的置信区间为(X

-Z α2

X +Z α

，

2Z α2

224Z ασ0

≤L ⇒n ≥

3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径X ~N (μ, σ2) ，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm) 为：

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度1-α=0. 95(即α=0. 05) (1)若σ=0. 06，求μ的置信区间 (3)求方差σ，均方差σ的置信区间. 解：(1)σ

(2)若σ未知，求μ的置信区间

已知，则μ

的置信区间

为(X -Z α2

X +Z α

，

n =5, α=0.05, Z α=1.96

代入则得μ的置信区间(14. 75, 15. 15) (2)σ未知，则μ

的置信区间为(X -t α

, X +t α，n =5, α=0. 05 2

查表得t 0.05=2.5706，代入得μ的置信区间为(14. 71, 15. 19)

(3)

(n -1) S 2

σ2

~χ2(n -1)

(n -1) S 2(n -1) S 2

σ的置信区间(2, 2)

χα(n -1) χα(n -1)

α=0. 05, n =5 代入得σ2的置信区间为：(0. 0199, 0. 3069) 。

均方差σ

的置信区间为=(0.1411,0.2627)

4、设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 =58. 61及样本方

差 S

=(5. 8) 2, 求总体X 的均值和方差的90%的置信区间

解：1-α=0. 9,

αα

=0. 05, 1-=0. 95, n =31, s =5. 8, t 0.05(30)=1.6973 22

∴μ的 90%的置信区间为 :

(±t α(n -2

=(56.84,60.38) 2χ0.05(30)=43.772

χ0.95(30)=18.49 ，S 2 = 33.64

σ2的（1-a ）%的置信区间为 :

⎛(n -1) s 2

(n -1) s 2⎫

2⎪ , 2

χα(n -1) χ1-α(n -1) ⎪⎝⎭

30⨯33. 6430⨯33. 8

43. 7718. 49即

∴σ的 90%的置信区间为 : (23.1 , 54.6)

5、设某种灯泡的寿命 X 服从正态分布 N(μ , σ2 ) , μ , σ2未知 , 现从中任取 5个灯泡进行寿命测试 (单位 : 1000小时 ), 得 :

10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,

求方差及均方差的 90%的置信区间 .

151522

解：=∑x i =11. 6, S =∑(x i -) =0. 995

5i =14i =1

1-α=0. 9,

=0. 05, 1-

=0. 95, n -1=4

x 0.05(4)=9.488, x 0.95(4)=0.711

4⨯0. 9954⨯0. 995

=0. 419, =5. 598

9. 4880. 711

∴ σ及 σ 的 90%的置信区间为 (0.419 , 5.598)

及 (0. 419, 5. 598) =(0. 647, 2. 366)

6、二正态总体N(μ1 , σ12) , N(μ2 , σ22) 的参数均未知 , 依次取容量为 n 1=10 , n2=11的二独立样

本 , 测得样本均值分别为1=1.2, 2=2.8，样本方差分别为 S 12=0. 34, S 2=0. 29,

(1) 求二总体均值差μ1-μ2的90%的置信区间。（2）求二总体方差比90%的置信区间。

解：1-α=0.9,

=0.05,

n 1-1=9,

n 2-1=10

（1）s w =

9⋅0.34+10⋅0.29

=0.3137，t 0.05(19)=1.729，

μ1-μ2的90%的置信区间为

(1.2-2.8-1.729=(-2.0231, -1.1769)

（2）F 0.05(9,10)=3.02

-2.8+1.729F 0.95(9,10)=S 12

S 2

F 0.05(10,9)3.14

0. 34

=1. 17 0. 29

, 1. 17⨯3. 14) =(0. 39, 3. 67) 3. 02

的 90%的置信区间为 : (1. 17⨯∴σ12/σ2

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