关于有限元单元节点力平衡论证
基本问题：1. 为什么有限元单元在节点发生位移时，单元节点力是平衡的？
2. 如何处理单元作加速运动时，加速度a 所对应的力F=m*a的来源？作
怎样的近似处理能够解决这个问题？
解决思路：
问题1.
理论依据
弹性体虚位移原理：弹性体处于平衡状态的充要条件是：对于任意微小的虚位移，作用于弹性体上的（体力和面力）外力在任意虚位移过程中所做的虚功等于弹性体的虚应变能。
有限元推导定义节点力的步骤如下：
如果在虚位移发生之前弹性体处于平衡状态，那么虚位移发生时，外力所做虚功等于弹性体虚应变能。(充分条件)
δu =N δa e
δε=B δa e
δa e F e =⎰δεT σd Ω=δa eT
Ωe Ω⎰B T σd Ω=δa eT e Ωe ⎰B T DBa e d Ω
由于δa e 任意，得到
F e =
K e =Ωe ⎰B T DBa e d Ω=K e a e B T DBd Ω
Ωe ⎰
利用这样的方式定义的节点力和刚度矩阵。
虚位移的定义是：质点或者质点系在给定时刻满足约束方程而为约束所容许的假想的任何无限小的唯一，称为质点或质点系在该时刻的虚位移。问题中当发生位移时，这个位移一定是满足位移协调条件和几何边界的位移，那么不妨当作大量虚位移的和。对于任意一个虚位移由
F e =
K e =Ωe ⎰B T DBa e d Ω=K e a e B T DBd Ω
Ωe ⎰
可得出
δa eT F e =δa eT K e δa e =δa eT
Ωe ⎰B T DB δa e d Ω
即对于任意的虚位移，作用于弹性体上的（体力和面力）外力在任意虚位移
过程中所做的虚功等于弹性体的虚应变能。
所以弹性体处于平衡状态。这里的外力全部已经等效到节点力上面。所以节点力平衡。
问题2.
i
将加速度对应的惯性力等效作用到节点两端。对于相邻的1、2两个单元，在公共节点上，实际结构在该点受力应该是如图b 所示，但在有限元中，由于要平衡向下的等效节点力，所以单元给节点的力都是向上的，这和实际情况不符合。但同样满足节点处受力平衡。要使得此模型和实际尽量相符合，必须要求单元尺寸尽量小，方便近似求解此问题。
j j 图a j b
关于有限元单元节点力平衡论证
基本问题：1. 为什么有限元单元在节点发生位移时，单元节点力是平衡的？
2. 如何处理单元作加速运动时，加速度a 所对应的力F=m*a的来源？作
怎样的近似处理能够解决这个问题？
解决思路：
问题1.
理论依据
弹性体虚位移原理：弹性体处于平衡状态的充要条件是：对于任意微小的虚位移，作用于弹性体上的（体力和面力）外力在任意虚位移过程中所做的虚功等于弹性体的虚应变能。
有限元推导定义节点力的步骤如下：
如果在虚位移发生之前弹性体处于平衡状态，那么虚位移发生时，外力所做虚功等于弹性体虚应变能。(充分条件)
δu =N δa e
δε=B δa e
δa e F e =⎰δεT σd Ω=δa eT
Ωe Ω⎰B T σd Ω=δa eT e Ωe ⎰B T DBa e d Ω
由于δa e 任意，得到
F e =
K e =Ωe ⎰B T DBa e d Ω=K e a e B T DBd Ω
Ωe ⎰
利用这样的方式定义的节点力和刚度矩阵。
虚位移的定义是：质点或者质点系在给定时刻满足约束方程而为约束所容许的假想的任何无限小的唯一，称为质点或质点系在该时刻的虚位移。问题中当发生位移时，这个位移一定是满足位移协调条件和几何边界的位移，那么不妨当作大量虚位移的和。对于任意一个虚位移由
F e =
K e =Ωe ⎰B T DBa e d Ω=K e a e B T DBd Ω
Ωe ⎰
可得出
δa eT F e =δa eT K e δa e =δa eT
Ωe ⎰B T DB δa e d Ω
即对于任意的虚位移，作用于弹性体上的（体力和面力）外力在任意虚位移
过程中所做的虚功等于弹性体的虚应变能。
所以弹性体处于平衡状态。这里的外力全部已经等效到节点力上面。所以节点力平衡。
问题2.
i
将加速度对应的惯性力等效作用到节点两端。对于相邻的1、2两个单元，在公共节点上，实际结构在该点受力应该是如图b 所示，但在有限元中，由于要平衡向下的等效节点力，所以单元给节点的力都是向上的，这和实际情况不符合。但同样满足节点处受力平衡。要使得此模型和实际尽量相符合，必须要求单元尺寸尽量小，方便近似求解此问题。
j j 图a j b