（绝对值三角形不等式）
一、 定理及推论
如果a , b 是实数，则a -b ≤a ±b ≤a +b 推论1：a 1+a 2+
+a n ≤a 1+a 2++a n
推论2：a 、b 、c 是实数, 那么a -c ≤a -b +b -c , 当且仅当(a -b )(b -c ) ≥0时取等号二、典型例题
例1 求使不等式x -4+x -3
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用不等式去求解十分简便． 解法：即x -4+x -3≥1，故当a >1时，x -4+x -3
练习1：已知x -a
εε, 0
分析：根据条件凑x -a , y -b ． 证明：xy -=xy -ya +ya -
=y (x -a ) +a (y -b ) ≤y x -a +a ⋅y -b
练习2：已知数列通项公式a n =
εε
+a ⋅=ε． 2M 2a
sin a sin 2a sin 3a sin na
+++ +对于正整数m 、n ，当23n 2222
m >n 时，求证：a m -a n
1． 2n
分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利
用不等式a 1+a 2+ +a n ≤a 1+a 2+ +a n ，问题便可解决．
证明：∵m >n ∴
a m -a n =
sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma
++ +≤++ +
2n +12n +22m 2n +12n +22m
1
≤12n +1
+12n +2
1
+ +m =2
(1-1
11-2
) =
1111(1-)
111是以为首项，以为公比，共有m -n 项的等比数列的n +1n +2m n +1
22222
和，误认为共有m -n -1项是常见错误．
说明：
1
+
1
+ +
正余弦函数的值域，即sin α≤1，cos α≤1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．
（绝对值三角形不等式）
一、 定理及推论
如果a , b 是实数，则a -b ≤a ±b ≤a +b 推论1：a 1+a 2+
+a n ≤a 1+a 2++a n
推论2：a 、b 、c 是实数, 那么a -c ≤a -b +b -c , 当且仅当(a -b )(b -c ) ≥0时取等号二、典型例题
例1 求使不等式x -4+x -3
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用不等式去求解十分简便． 解法：即x -4+x -3≥1，故当a >1时，x -4+x -3
练习1：已知x -a
εε, 0
分析：根据条件凑x -a , y -b ． 证明：xy -=xy -ya +ya -
=y (x -a ) +a (y -b ) ≤y x -a +a ⋅y -b
练习2：已知数列通项公式a n =
εε
+a ⋅=ε． 2M 2a
sin a sin 2a sin 3a sin na
+++ +对于正整数m 、n ，当23n 2222
m >n 时，求证：a m -a n
1． 2n
分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利
用不等式a 1+a 2+ +a n ≤a 1+a 2+ +a n ，问题便可解决．
证明：∵m >n ∴
a m -a n =
sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma sin(n +1) a sin(n +2) a sin ma
++ +≤++ +
2n +12n +22m 2n +12n +22m
1
≤12n +1
+12n +2
1
+ +m =2
(1-1
11-2
) =
1111(1-)
111是以为首项，以为公比，共有m -n 项的等比数列的n +1n +2m n +1
22222
和，误认为共有m -n -1项是常见错误．
说明：
1
+
1
+ +
正余弦函数的值域，即sin α≤1，cos α≤1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．