……解题方法与技巧——嘲
ＺｌＩＯＮＧＸＵＥ
ＪＵｌｏｘ【ＪＥ
ＣＡＮＫＡＯ
“点差法＂在解析几何题中的应用
江苏江浦高级中＠（２１１８００）任伶俐
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为（ｚ。，Ｙ，）、（ｚ。，Ｙ：），代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率．本文列举数例，以供参考．１一、求弦中点的轨迹方程
【例１１已知椭圆鲁＋ｊ，２—１，求斜率为２的平行弦
中点的轨迹方程．
解：设弦的两个端点分别为Ｐ（ｘ。，ｙ。），Ｑ（ｘ。，Ｙ：），ＰＱ的中点为Ｍ（ｘ，ｙ）．
贝０之｝＋ｙ。２—１，①兰争＋了：２—１，②
①一②得：盟≠＋（ｙ１
２～ｙ２２）一ｏ，
．・．半＋鬻（ｙ・ｈ）＿ｏ．
又ｚｉ＋ｚ２＝２ｘ，Ｙｌ＋了２＝２ｙ，兰警－－２，
．‘．工＋４ｙ＝０．
。．．弦中点轨迹在已知椭圆内，．．．所求弦中点的轨迹方程为ｚ＋４ｙ＝ｏ（在已知椭圆内）．
二、求曲线方程
【例２】已知ＡＡＢＣ的三个顶点都在抛物线Ｙ２＝３２ｘ上，其中Ａ（２，８），且ＡＡＢＣ的重心Ｇ是抛物线的焦点，求直线ＢＣ的方程．
解：由已知抛物线方程得Ｇ（８，ｏ）．设ＢＣ的中点为Ｍ（ｘ。，Ｙｏ），则Ａ、Ｇ、Ｍ三点共线，且ｌＡＧＩ一２ＩＧＭｌ，
．．。Ｇ厕所成…２礁』］觜８＋２ｙｏ－－－８，０
Ｌ
２＋１．
解得｛勘一１１：．・．Ｍ（１ｌ，一４）．
设Ｂ（ｘ１，Ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２），则Ｙ１＋ｙ２一＿二８．
又Ｙｌ２—３２ｘ１，①Ｙ２２＝３２ｘ２，②
①一②得：Ｙｉ２－－Ｙｚ
２—３２（ｚ。一ｚ２）’．．．是臣一兰譬一
煮＝笔一４．
．’．ＢＣ所在直线方程为Ｙ＋４一－－４（ｘ－－１１），
即４ｚ＋ｙ～４０一０．
三、求直线的斜率
【例３】
已知椭圆螽＋普一１上不同的三点
万方数据
Ａ（ｘ・，ｙ・），Ｂ（４，ｉ９），Ｃ（ｘｚ，ｙｚ）与焦点Ｆ（４，ｏ）醚ｊＮＮＮ
等差数列．（１）求证：ｚ。＋ｚ：＝８；（２）若线段ＡＣ的垂直平分线与ｚ轴的交点为Ｔ，求直线ＢＴ的斜率ｋ．
（１）证：略．
（２）解：’．‘五＋劫一８，．’．设线段ＡＣ的中点为Ｄ（４，Ｙｏ）．
ＪＬ
Ａ、Ｃ蒯ｉＮ＿ｋ，．．．ｘ２１５Ｚ
４．－ｙ９１
ｚ．１，①
①一②得专≯一一华，
堕２５＋丝９—１，②
１，Ｗ
‘。ｚｌ—ｚ２
．．．２１二丝：一！！兰！±丝！一一旦．旦：一』殳２５（ｙｌ＋ｙ２）
２５
２ｙｏ
２５ｙｏ‘
．・．直线ＤＴ的斜率是ＤＴ一－－一１２５Ｆｙｏ，
．．．直线ＤＴ的方程为ｙ一弘一一号挚（ｚ一４）．
／＠ｙ＝０，得ｚ＝磊６４，即Ｔ（筹，ｏ），
ｉ９—０。
・。・直线Ｂ丁的斜率志一一÷面。一｛．
４磊
四、确定参数的范围
【例４１若抛物线ｃ：，＝ｚ上存在不同的两点关于直线ｚ：ｙ＝ｍ（ｘ－－３）对称，求实数ｍ的取值范围．
解：当ｍ＝０时，显然满足．
当优≠０时，设抛物线Ｃ上关于直线ｚ：ｙ＝ｍ（ｘ－－３）对称的两点分别为Ｐ（ｘ。，Ｙ。）、Ｑ（ｘ。，Ｙ：），且ＰＱ的中点为Ｍ（ｘｏ，Ｙｏ），则Ｙ１２＝ｚｌ，①Ｙ２２＝ｚ２，②
①一②得：ｙｌ２－－ｙ２
２：Ｘ１．－－Ｘ２＊志艘一三Ｙｌ＝－－夏Ｙ２一赢了１荔
．——Ｉ
一瓦’
又ｋｖａ一一芴１’．．・Ｙｏ＝－－号．
‘．‘中点Ｍ（ｘ。，Ｙ。）在直线ｌ：ｙ＝ｍ（ｘ－－３）上，．・．ＹＯ：＃Ｔｌ（知一３），于是勘一虿５．‘．。中点Ｍ在抛物线Ｙ２＝ｚ区域内
・‘啪２＜ｍ即（一号）。＜号，
解得一／而＜ｍ＜／ｉ－５．
综上可知，所求实数ｍ的取值范围是（一，／ｉ－６，ｖ厂而）．
（责任编辑黄桂坚）
８５
胁订堪啦ｕ姻１６３。ｃｏｍ
“点差法”在解析几何题中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
任伶俐
江苏江浦高级中学,211800
中学教学参考
Reference for Middle School Teaching2013(4)
引用本文格式：任伶俐 “点差法”在解析几何题中的应用[期刊论文]-中学教学参考 2013(4)
……解题方法与技巧——嘲
ＺｌＩＯＮＧＸＵＥ
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“点差法＂在解析几何题中的应用
江苏江浦高级中＠（２１１８００）任伶俐
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为（ｚ。，Ｙ，）、（ｚ。，Ｙ：），代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率．本文列举数例，以供参考．１一、求弦中点的轨迹方程
【例１１已知椭圆鲁＋ｊ，２—１，求斜率为２的平行弦
中点的轨迹方程．
解：设弦的两个端点分别为Ｐ（ｘ。，ｙ。），Ｑ（ｘ。，Ｙ：），ＰＱ的中点为Ｍ（ｘ，ｙ）．
贝０之｝＋ｙ。２—１，①兰争＋了：２—１，②
①一②得：盟≠＋（ｙ１
２～ｙ２２）一ｏ，
．・．半＋鬻（ｙ・ｈ）＿ｏ．
又ｚｉ＋ｚ２＝２ｘ，Ｙｌ＋了２＝２ｙ，兰警－－２，
．‘．工＋４ｙ＝０．
。．．弦中点轨迹在已知椭圆内，．．．所求弦中点的轨迹方程为ｚ＋４ｙ＝ｏ（在已知椭圆内）．
二、求曲线方程
【例２】已知ＡＡＢＣ的三个顶点都在抛物线Ｙ２＝３２ｘ上，其中Ａ（２，８），且ＡＡＢＣ的重心Ｇ是抛物线的焦点，求直线ＢＣ的方程．
解：由已知抛物线方程得Ｇ（８，ｏ）．设ＢＣ的中点为Ｍ（ｘ。，Ｙｏ），则Ａ、Ｇ、Ｍ三点共线，且ｌＡＧＩ一２ＩＧＭｌ，
．．。Ｇ厕所成…２礁』］觜８＋２ｙｏ－－－８，０
Ｌ
２＋１．
解得｛勘一１１：．・．Ｍ（１ｌ，一４）．
设Ｂ（ｘ１，Ｙ１），Ｃ（ｘ２，ｙ２），则Ｙ１＋ｙ２一＿二８．
又Ｙｌ２—３２ｘ１，①Ｙ２２＝３２ｘ２，②
①一②得：Ｙｉ２－－Ｙｚ
２—３２（ｚ。一ｚ２）’．．．是臣一兰譬一
煮＝笔一４．
．’．ＢＣ所在直线方程为Ｙ＋４一－－４（ｘ－－１１），
即４ｚ＋ｙ～４０一０．
三、求直线的斜率
【例３】
已知椭圆螽＋普一１上不同的三点
万方数据
Ａ（ｘ・，ｙ・），Ｂ（４，ｉ９），Ｃ（ｘｚ，ｙｚ）与焦点Ｆ（４，ｏ）醚ｊＮＮＮ
等差数列．（１）求证：ｚ。＋ｚ：＝８；（２）若线段ＡＣ的垂直平分线与ｚ轴的交点为Ｔ，求直线ＢＴ的斜率ｋ．
（１）证：略．
（２）解：’．‘五＋劫一８，．’．设线段ＡＣ的中点为Ｄ（４，Ｙｏ）．
ＪＬ
Ａ、Ｃ蒯ｉＮ＿ｋ，．．．ｘ２１５Ｚ
４．－ｙ９１
ｚ．１，①
①一②得专≯一一华，
堕２５＋丝９—１，②
１，Ｗ
‘。ｚｌ—ｚ２
．．．２１二丝：一！！兰！±丝！一一旦．旦：一』殳２５（ｙｌ＋ｙ２）
２５
２ｙｏ
２５ｙｏ‘
．・．直线ＤＴ的斜率是ＤＴ一－－一１２５Ｆｙｏ，
．．．直线ＤＴ的方程为ｙ一弘一一号挚（ｚ一４）．
／＠ｙ＝０，得ｚ＝磊６４，即Ｔ（筹，ｏ），
ｉ９—０。
・。・直线Ｂ丁的斜率志一一÷面。一｛．
４磊
四、确定参数的范围
【例４１若抛物线ｃ：，＝ｚ上存在不同的两点关于直线ｚ：ｙ＝ｍ（ｘ－－３）对称，求实数ｍ的取值范围．
解：当ｍ＝０时，显然满足．
当优≠０时，设抛物线Ｃ上关于直线ｚ：ｙ＝ｍ（ｘ－－３）对称的两点分别为Ｐ（ｘ。，Ｙ。）、Ｑ（ｘ。，Ｙ：），且ＰＱ的中点为Ｍ（ｘｏ，Ｙｏ），则Ｙ１２＝ｚｌ，①Ｙ２２＝ｚ２，②
①一②得：ｙｌ２－－ｙ２
２：Ｘ１．－－Ｘ２＊志艘一三Ｙｌ＝－－夏Ｙ２一赢了１荔
．——Ｉ
一瓦’
又ｋｖａ一一芴１’．．・Ｙｏ＝－－号．
‘．‘中点Ｍ（ｘ。，Ｙ。）在直线ｌ：ｙ＝ｍ（ｘ－－３）上，．・．ＹＯ：＃Ｔｌ（知一３），于是勘一虿５．‘．。中点Ｍ在抛物线Ｙ２＝ｚ区域内
・‘啪２＜ｍ即（一号）。＜号，
解得一／而＜ｍ＜／ｉ－５．
综上可知，所求实数ｍ的取值范围是（一，／ｉ－６，ｖ厂而）．
（责任编辑黄桂坚）
８５
胁订堪啦ｕ姻１６３。ｃｏｍ
“点差法”在解析几何题中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
任伶俐
江苏江浦高级中学,211800
中学教学参考
Reference for Middle School Teaching2013(4)
引用本文格式：任伶俐 “点差法”在解析几何题中的应用[期刊论文]-中学教学参考 2013(4)