高一期末——复习不等式性质与解不等式
(1)a>b⇒a ±c b ±c (3)a>b，c
(2)a>b，c>0⇒bc 或
a c
>
b c
a c
b a
(4)>0⇔⇔a 、 c b
a
b，c > d⇒ b
二、两个实数大小的比较
a – b > 0⇔ a – b = 0⇔； a – b b，它的解的情况如下：
(1) 如果a > 0，那么解集为x >(2) 当a = 0时，
① 如果b ≥ 0，那么不等式ax > b的解集为
b b ；如果a
φ。
② 如果b b的解集为R 。
四、一元二次不等式的解法： 图象解法：即利用二次函数的图象与一元二次方程的根及一元二次不等式的关系来解，规律如下表(a>0)
五、解分式不等式： 1、最高次项系数化正；
2、从最大零点的右上方开始穿线； 3、奇穿偶不穿；
4、注意零点的处理。
一、选择题：
1、下列结论正确的是( C )
A 、若a > b，则| a | > | b |
B 、若a > b，则ac > bc
C 、若a + c > b + c，则a > b D 、若
a
2、已知：a > b，c ∈R ，则下列不等式成立的是( D )
A 、a + c > b – c B 、ac > bc C 、ac 2 > bc2 D 、a·2c > b·2c
3、不等式－2x >－6的解集为(
A 、{x |x >3}
4、不等式x 2 – 2x – 3 > 0的解集为( B )
A 、{x | x 1} C 、{x | - 1
5、不等式x 2 – x +
B 、{x | x 3} D 、{x | - 3
D )
B 、{x |x >－3} C、{x |x
1
> 0的解集为( C ) 411
A 、{x | x >} B 、{x | x >}
22
C 、{x | x ≠
1
} 2
D 、R
6、不等式(x2 – 4)(x – 6)2 ≤0的解集为( C ) A 、[- 2，2] ∪{6} B 、(-∞，-2]∪[2，+∞) C 、[- 2，2] D 、[2，+∞) 解题过程：
原不等式转化为(x+2)(x-2)(x-6)2≤0 用穿根法求解，如图所示：
图中阴影部分即为所要求的解集，故答案为C
11
7、一元二次不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集为(-2，3
) ，则a – b是( C ) A 、- 14 B 、14
C 、-10
D 、10
解题过程： 由题意可知，
⎧⎪⎪-1+1
=-b ⎨
23a
⎪112⎪⎩-2⨯3=a
解得，a=-12，b=-2, 所以a-b=-10，答案为C 8、方程mx 2 – 2x + m = 0有两相异实根，则m 的取值范围是( D )
A 、(- 1，0) ∪(0，1)
B 、(-∞，1)
C 、(- 1，1)
D 、(-∞，-1) ∪(1，+∞)
△=(-2)2-4m 2=4-4m21或m
9、不等式(a – 2)x2 + 2(a – 2)x – 4 > 0的解集是空集，则a 的取值范围是：（ A 、(-∞，-2) ∪(2，+∞) B 、(-∞，-2]∪[2，+∞) C 、(- 2，2) D 、[- 2，2]
①当a-2=0，即a=2时，原不等式转化为-4>0，此时解集为空集，符合题意 ②当a≠2时，此时原不等式为一元二次不等式，解集为空集的条件为
⎧⎪a -2
⎨⎪⎩ =4(a -2)2
+16(a -2)≤0 解得-2≤a
综上①②所述，可知a 的取值范围是-2≤a ≤2 故答案为D 3
1）
(x -1)(x 2+x +6)
(x +3)
2
≤0 （2）
x 2-3x +2
x -a
≤0
）
（
123⎛1⎫23
= x +⎪+>0 (1) x +x +6=x +x ++
44⎝2⎭4
2
2
2
(x +3)
2
≥0
3
2
所以原式转化为(x -1)≤0且(x +3)≠0 解得x ≤1且x ≠-3
故不等式的解集为x x ≤1且x ≠-3
{
}
x -2)(x -1)(（2）≤0
x -a
下面对a 进行讨论
①当a ≥2时，穿根法可得
解得x ≤1或2≤x
②当1
解得x ≤1或a
解得x
不等式性质与解不等式课后检测
一、 选择
1、已知a > 0，b 0 B 、
b
>0 a
C 、a – b > 0 D、a + b > 0
2、关于x 的不等式ax-b > 0的解集(1，+∞)，关于x 的不等式(ax -b)(x -2) >0的解集是( D )
A 、(-∞，– 1)∪(2，+∞) B 、(– 1，2) C 、(1，2) D 、(-∞，1) ∪(2，+∞)
3、不等式 | x |·(1 – 2x) > 0的解集为( B )
A 、(-∞，
12
) B 、(-∞，0) ∪(0，
12
) C、(
12
，+∞) D、(0，
12
)
4、已知不等式|f(x )|>a(a>0)的解集为(－∞，1) ∪(3，+∞)，则不等式|f(x )|
A 、(－∞，1) ∪(3，+∞) B、[1，3] C 、(1，3) D 、无法确定 5、已知|x – a|
A 、– 2，– 4 B 、2， 4 C 、– 2， 4 D 、2，– 4
二、解下列一元二次不等式或一次不等式（组） (1) －2x 2－x +3≤0
2x 2+x -3≤0 (2x+3)(x -1) ≤0
解得-
3
≤x ≤1 2
(2) 4x 2+4x +1>0
(2x +1)2>0
2x +1≠0 解得x ≠-
1 2
⎧|5-3x |>2①（3）⎨
x -2≥0②⎩
解①式，-2
两式的解集取交集，可解不等式组为2≤x
7
3
7 3
（4）3≤|2x －5|
原不等式可转化为-9
三、解答题
1、已知-2
-4
所以1
2、当x 取任意实数时，总有x 2 – mx + 4恒取正数，求m 的取值范围。 解：由题意可知，x -mx +4>0在x ∈R 上恒成立。
故有∆=m -16
3、解分式不等式
2
2
x 2-3x +2(1) ≤0 2
-x +7x -12x 2-3x +2解：2≥0
x -7x +12
(x -1)(x -2)≥0
x -3x -4穿根法得：
解得x ≤1或2≤x ≤3或x >4
x 2-9x +11(2) ≥7 2
x -2x +1
x 2-9x +11解：2≥7
x -2x +1
移向，通分可得：
6x 2-5x -4
≤0
x 2-2x +1
(3x -4)(2x +1)≤0
2
(x -1)
穿根法得：
解得-
14≤x
x 2+5x -6
≥0 （3）①2
x -3x +2
解：
(x +6)(x -1)≥0
x -2x -1⎧x +6
≥0⎪
⇔⎨x -2
⎪⎩x -1≠0
解得x >2或x ≤-6
x 2+5x -6
≤0 ②2
x -3x +2
解：
(x +6)(x -1)≤0
x -2x -1⎧x +6
≤0⎪
⇔⎨x -2
⎪⎩x -1≠0
解得-6≤x
a (x -1) ≥1
x -2（a x -1) 解：≥1
x -2（a x -1)
-1≥0 x -2
(4)
(a -1)x +2-a ≥0
x -2
⎣可等价于 ⎨
⎧⎪⎡(a -1)x +2-a ⎤⎦(x -2)≥0⎪⎩x ≠2
(1)当a -1=0，即a =1时，原式为 ⎨(2)当
⎧x -2≥0
，解得x >2
x ≠2⎩
a -2a -2
>2，即0
a -1a -1
2
⎧a -2⎪(x -2)
a -1⎪⎩x ≠2
(4)当
a -2
1或a
a -2
或x >2 a -1
①a >1时，a -1>0，此时解集为x ≤
②a
≤x
综上所述:
a >1时，x ≤
a -2
a -1
或x >2 a =1时，x >2
0
a -2
a -1
a =0时，x 为空集
a
a -1
≤x
高一期末复习——均值不等式
一、均值不等式： 1. 如果把
a +b
看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那2
a +b
为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数. 2
a +b
的几何意义
2
么本定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2. 在数学中，我们称
本定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.
≤≤
a +b
几何意义是―半径不小于半弦‖ 2
均值不等式求最值的原则：
（1）a ，b 一定要都是正数； （一正） （2）求积ab 的最大值时，应看a+b的和是否为定值；
求和a+b的最小值时，应看ab 的积是否为定值。 （二定） （3）等号是否能够成立。 （三相等） 1. 调整符号，化负为正，使之适合―一正‖条件，过第一关
例1．已知x
54，求函数y =4x -1+的最值。 44x -5
5
⇒4x -50 4
4
y =4x -1+
4x -
5
4⎛⎫
=- 5-4x ++4⎪
5-4x ⎝⎭4⎫⎛
=- 5-4x +⎪-4
5-4x ⎭⎝≤-=0
（当且仅当5-4x =
443
，即x =时取等号） 5-4x 4
3
y =1-2x -的值域。
x
故函数存在最大值为0
同步检测：若x
3
x
3⎫⎛
=1+ -2x -⎪
x ⎭⎝≥1+
=1+3
，即x =
x
故函数的值域为⎡1++∞)
⎣
（当且仅当-2x =
-
2. 拆添配凑，变动为定，使之适合―二定‖条件，过第二关 （变形构造出―定值‖是难点其方法如下） （1）变形法 例
2. 求函数y =解：y =
22=
2x ∈R )的最小值。
=2
=≥=2
=故函数的最小值为0
x =0时取等号）
（2）配凑法（凑系数、凑项）
例3. 已知x >3，求函数y =2x +解：∵x >3，∴x -3>0
8
的最小值。 x -3
y =2x +
8 x -3
8
+6x -36 =2(x -3)
+
≥=14
当且仅当2(x -3)=
8
，即x =7时取等号 x -3
故函数的最小值为14
2
同步检测：当0
2
此函数的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为x =-因为0
8
=2
2⨯-2
3. 分离常数
x 2-3x +1
（1）换元法 例4．当x >-1时，求y =的最小值
x +1
解：因为x >-1，所以x +1>0
x 2-3x +1
y =
x +1x 2-3x -4+5=
x +1x 2-3x -45=+
x +1x +1
5
=x -4+
x +1
5
=x +1+-5
x +1≥
5=
5
故函数的最小值为5
（2）倒数法 例5. 若x >0，求函数y =
x
的最大值 2
x +x +1
1x 2+x +11=x ++1≥1=3 解：因为x >
0，令z ==
y x x 即z =
11
≥3，所以0
所以函数的最大值为
1
3
15
≤x
≤
，求函数y = 22
（3）平方法 例6. 若
2
解：
y =2x -1+5-2x +
=4+
2
不妨设z =(2x -1)(5-2x )=-4x +12x -5 函数z 的图像是开口向下的抛物线，因为
153
≤x ≤，所以z 在x =上取得最222
大值， z max =z
⎛3⎫
⎪=4 2⎝⎭
所以函数y 的最大值在x =
3⎛3⎫
上取得，y max =y ⎪=8 2⎝2⎭
11
+的最小值 a b
4、整体代换 例7. 若a >0, b >0, a +2b =1，求t =解：因为a +2b =1 所以t =
11a +2b a +2b
+=+
a b a b 2b a
+a b =3+
≥3+=3+2b a
=，结合a +2b =1，可得a ，b 的值，满足a >0, b >
0的要求 a b
故函数的最小值为3+当且仅当
5. 化归转化，寻求相等，过第三关 例8若1
4
的值域 x
4
在x ∈(1, 2)上为减函数 x
y (1)=5, y (2)=4
所以函数y =x +
4
的值域为(4,5) x
均值不等式与线性规划课后检测
一、选择题
1．已知a 、b ∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（
D
）
Ａ．a 2+b2 B ．２ab C ．2a b D ．a +b 解析：选择题，可采用举例方法，不妨设a =
2
2
11, b =. 则
: 24
5⎛1⎫⎛1⎫
A. a 2+b 2= ⎪+ ⎪==0.3125
2416⎝⎭⎝⎭=≈0.707111
C.2ab =2⨯⨯==0.25
244113
D. a +b =+==0.75
244=
2．已知x+3y-1=0，则关于2x +8y 的说法正确的是（
B
）
A ．有最大值8 B ．有最小值22 C ．有最小值8 D ．有最大值22
解析：2+8=2+2
x －y ＋2≥0，⎧⎪
3．设变量x ，y 满足约束条件⎨x －5y ＋10≤0，
⎪⎩x ＋y －8≤0，小值分别为(
x
y
x
3y
≥2⨯2
x +3y
2
=
则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最
A )
B ．－3，－11 C ．11，－3
D ．11,3
A ．3，－11 画图：
约束区域如图阴影部分所示。
当目标函数的图像在直线l 3位置时，z 取到最大值，此时直线过交点（5，3）；
z max =3⨯5-4⨯3=3
当目标函数的图像在直线l 4位置时，z 取到最小值，此时直线过交点（3，5）。
z min =3⨯3-4⨯5=-11
4． 下列结论正确的是（ B ） A ．当x>0且x≠1时，lgx+
11
≥2 B ．当x>0时，x +≥2 lg x x
C ．当x≥2时，x ＋
二．填空题：
11
≥2 D ．当0
5．点（1,2）（3,6）在直线3x+my+3=0的两侧，m 的范围是-3
由题意知，(2m +6)(6m +12)
6．设x>0，则函数y=2－
4
－x 的最大值为 -2 ；此时x 的值是 2 。
x
解：y =2-
4⎛4⎫
-x =2- +x ⎪≤2-=-2 x ⎝x ⎭
当且仅当
4
=x ，即x =2时取等号 x
7．若x>1，则log 2x ＋log x 2的最小值为 2 ；此时x 的值是 2 。 解：x >1，所以log 2x >0，
log 2x +log x 2=log 2x +
1
≥2 log 2x
当且仅当log 2x =
1
，即x =2时取等号 log 2x
x 2-x +4
8．函数y=在x>1的条件下的最小值为 5 ；此时x=__3__。
x -1
解：因为x >1，所以x +1>0
x 2-x +4y =
x -1
x 2-x 4=+
x -1x -1
4=x +
x -1
4
=x -1++1
x -1≥=5
1
故函数的最小值为5，当且仅当x -1=
4
，即x=3时取等号。 x -1
1
x 29．函数f(x)=4(x≠0)
的最大值是；此时的x 值为±24。
4x +2
x 21=≤=解：f (
x )=42x +2x 2+2
x 2
当且仅当x =2，即x =±24时取等号
x
2
1
10. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为
3。
5
解：由题意知，要使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则目标函数的图像与
直线AC 平行。
22-2
3
直线AC ，其比例系数k ==-
1-55
3
所以a =
5
高一期末——复习不等式性质与解不等式
(1)a>b⇒a ±c b ±c (3)a>b，c
(2)a>b，c>0⇒bc 或
a c
>
b c
a c
b a
(4)>0⇔⇔a 、 c b
a
b，c > d⇒ b
二、两个实数大小的比较
a – b > 0⇔ a – b = 0⇔； a – b b，它的解的情况如下：
(1) 如果a > 0，那么解集为x >(2) 当a = 0时，
① 如果b ≥ 0，那么不等式ax > b的解集为
b b ；如果a
φ。
② 如果b b的解集为R 。
四、一元二次不等式的解法： 图象解法：即利用二次函数的图象与一元二次方程的根及一元二次不等式的关系来解，规律如下表(a>0)
五、解分式不等式： 1、最高次项系数化正；
2、从最大零点的右上方开始穿线； 3、奇穿偶不穿；
4、注意零点的处理。
一、选择题：
1、下列结论正确的是( C )
A 、若a > b，则| a | > | b |
B 、若a > b，则ac > bc
C 、若a + c > b + c，则a > b D 、若
a
2、已知：a > b，c ∈R ，则下列不等式成立的是( D )
A 、a + c > b – c B 、ac > bc C 、ac 2 > bc2 D 、a·2c > b·2c
3、不等式－2x >－6的解集为(
A 、{x |x >3}
4、不等式x 2 – 2x – 3 > 0的解集为( B )
A 、{x | x 1} C 、{x | - 1
5、不等式x 2 – x +
B 、{x | x 3} D 、{x | - 3
D )
B 、{x |x >－3} C、{x |x
1
> 0的解集为( C ) 411
A 、{x | x >} B 、{x | x >}
22
C 、{x | x ≠
1
} 2
D 、R
6、不等式(x2 – 4)(x – 6)2 ≤0的解集为( C ) A 、[- 2，2] ∪{6} B 、(-∞，-2]∪[2，+∞) C 、[- 2，2] D 、[2，+∞) 解题过程：
原不等式转化为(x+2)(x-2)(x-6)2≤0 用穿根法求解，如图所示：
图中阴影部分即为所要求的解集，故答案为C
11
7、一元二次不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集为(-2，3
) ，则a – b是( C ) A 、- 14 B 、14
C 、-10
D 、10
解题过程： 由题意可知，
⎧⎪⎪-1+1
=-b ⎨
23a
⎪112⎪⎩-2⨯3=a
解得，a=-12，b=-2, 所以a-b=-10，答案为C 8、方程mx 2 – 2x + m = 0有两相异实根，则m 的取值范围是( D )
A 、(- 1，0) ∪(0，1)
B 、(-∞，1)
C 、(- 1，1)
D 、(-∞，-1) ∪(1，+∞)
△=(-2)2-4m 2=4-4m21或m
9、不等式(a – 2)x2 + 2(a – 2)x – 4 > 0的解集是空集，则a 的取值范围是：（ A 、(-∞，-2) ∪(2，+∞) B 、(-∞，-2]∪[2，+∞) C 、(- 2，2) D 、[- 2，2]
①当a-2=0，即a=2时，原不等式转化为-4>0，此时解集为空集，符合题意 ②当a≠2时，此时原不等式为一元二次不等式，解集为空集的条件为
⎧⎪a -2
⎨⎪⎩ =4(a -2)2
+16(a -2)≤0 解得-2≤a
综上①②所述，可知a 的取值范围是-2≤a ≤2 故答案为D 3
1）
(x -1)(x 2+x +6)
(x +3)
2
≤0 （2）
x 2-3x +2
x -a
≤0
）
（
123⎛1⎫23
= x +⎪+>0 (1) x +x +6=x +x ++
44⎝2⎭4
2
2
2
(x +3)
2
≥0
3
2
所以原式转化为(x -1)≤0且(x +3)≠0 解得x ≤1且x ≠-3
故不等式的解集为x x ≤1且x ≠-3
{
}
x -2)(x -1)(（2）≤0
x -a
下面对a 进行讨论
①当a ≥2时，穿根法可得
解得x ≤1或2≤x
②当1
解得x ≤1或a
解得x
不等式性质与解不等式课后检测
一、 选择
1、已知a > 0，b 0 B 、
b
>0 a
C 、a – b > 0 D、a + b > 0
2、关于x 的不等式ax-b > 0的解集(1，+∞)，关于x 的不等式(ax -b)(x -2) >0的解集是( D )
A 、(-∞，– 1)∪(2，+∞) B 、(– 1，2) C 、(1，2) D 、(-∞，1) ∪(2，+∞)
3、不等式 | x |·(1 – 2x) > 0的解集为( B )
A 、(-∞，
12
) B 、(-∞，0) ∪(0，
12
) C、(
12
，+∞) D、(0，
12
)
4、已知不等式|f(x )|>a(a>0)的解集为(－∞，1) ∪(3，+∞)，则不等式|f(x )|
A 、(－∞，1) ∪(3，+∞) B、[1，3] C 、(1，3) D 、无法确定 5、已知|x – a|
A 、– 2，– 4 B 、2， 4 C 、– 2， 4 D 、2，– 4
二、解下列一元二次不等式或一次不等式（组） (1) －2x 2－x +3≤0
2x 2+x -3≤0 (2x+3)(x -1) ≤0
解得-
3
≤x ≤1 2
(2) 4x 2+4x +1>0
(2x +1)2>0
2x +1≠0 解得x ≠-
1 2
⎧|5-3x |>2①（3）⎨
x -2≥0②⎩
解①式，-2
两式的解集取交集，可解不等式组为2≤x
7
3
7 3
（4）3≤|2x －5|
原不等式可转化为-9
三、解答题
1、已知-2
-4
所以1
2、当x 取任意实数时，总有x 2 – mx + 4恒取正数，求m 的取值范围。 解：由题意可知，x -mx +4>0在x ∈R 上恒成立。
故有∆=m -16
3、解分式不等式
2
2
x 2-3x +2(1) ≤0 2
-x +7x -12x 2-3x +2解：2≥0
x -7x +12
(x -1)(x -2)≥0
x -3x -4穿根法得：
解得x ≤1或2≤x ≤3或x >4
x 2-9x +11(2) ≥7 2
x -2x +1
x 2-9x +11解：2≥7
x -2x +1
移向，通分可得：
6x 2-5x -4
≤0
x 2-2x +1
(3x -4)(2x +1)≤0
2
(x -1)
穿根法得：
解得-
14≤x
x 2+5x -6
≥0 （3）①2
x -3x +2
解：
(x +6)(x -1)≥0
x -2x -1⎧x +6
≥0⎪
⇔⎨x -2
⎪⎩x -1≠0
解得x >2或x ≤-6
x 2+5x -6
≤0 ②2
x -3x +2
解：
(x +6)(x -1)≤0
x -2x -1⎧x +6
≤0⎪
⇔⎨x -2
⎪⎩x -1≠0
解得-6≤x
a (x -1) ≥1
x -2（a x -1) 解：≥1
x -2（a x -1)
-1≥0 x -2
(4)
(a -1)x +2-a ≥0
x -2
⎣可等价于 ⎨
⎧⎪⎡(a -1)x +2-a ⎤⎦(x -2)≥0⎪⎩x ≠2
(1)当a -1=0，即a =1时，原式为 ⎨(2)当
⎧x -2≥0
，解得x >2
x ≠2⎩
a -2a -2
>2，即0
a -1a -1
2
⎧a -2⎪(x -2)
a -1⎪⎩x ≠2
(4)当
a -2
1或a
a -2
或x >2 a -1
①a >1时，a -1>0，此时解集为x ≤
②a
≤x
综上所述:
a >1时，x ≤
a -2
a -1
或x >2 a =1时，x >2
0
a -2
a -1
a =0时，x 为空集
a
a -1
≤x
高一期末复习——均值不等式
一、均值不等式： 1. 如果把
a +b
看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那2
a +b
为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数. 2
a +b
的几何意义
2
么本定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2. 在数学中，我们称
本定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.
≤≤
a +b
几何意义是―半径不小于半弦‖ 2
均值不等式求最值的原则：
（1）a ，b 一定要都是正数； （一正） （2）求积ab 的最大值时，应看a+b的和是否为定值；
求和a+b的最小值时，应看ab 的积是否为定值。 （二定） （3）等号是否能够成立。 （三相等） 1. 调整符号，化负为正，使之适合―一正‖条件，过第一关
例1．已知x
54，求函数y =4x -1+的最值。 44x -5
5
⇒4x -50 4
4
y =4x -1+
4x -
5
4⎛⎫
=- 5-4x ++4⎪
5-4x ⎝⎭4⎫⎛
=- 5-4x +⎪-4
5-4x ⎭⎝≤-=0
（当且仅当5-4x =
443
，即x =时取等号） 5-4x 4
3
y =1-2x -的值域。
x
故函数存在最大值为0
同步检测：若x
3
x
3⎫⎛
=1+ -2x -⎪
x ⎭⎝≥1+
=1+3
，即x =
x
故函数的值域为⎡1++∞)
⎣
（当且仅当-2x =
-
2. 拆添配凑，变动为定，使之适合―二定‖条件，过第二关 （变形构造出―定值‖是难点其方法如下） （1）变形法 例
2. 求函数y =解：y =
22=
2x ∈R )的最小值。
=2
=≥=2
=故函数的最小值为0
x =0时取等号）
（2）配凑法（凑系数、凑项）
例3. 已知x >3，求函数y =2x +解：∵x >3，∴x -3>0
8
的最小值。 x -3
y =2x +
8 x -3
8
+6x -36 =2(x -3)
+
≥=14
当且仅当2(x -3)=
8
，即x =7时取等号 x -3
故函数的最小值为14
2
同步检测：当0
2
此函数的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为x =-因为0
8
=2
2⨯-2
3. 分离常数
x 2-3x +1
（1）换元法 例4．当x >-1时，求y =的最小值
x +1
解：因为x >-1，所以x +1>0
x 2-3x +1
y =
x +1x 2-3x -4+5=
x +1x 2-3x -45=+
x +1x +1
5
=x -4+
x +1
5
=x +1+-5
x +1≥
5=
5
故函数的最小值为5
（2）倒数法 例5. 若x >0，求函数y =
x
的最大值 2
x +x +1
1x 2+x +11=x ++1≥1=3 解：因为x >
0，令z ==
y x x 即z =
11
≥3，所以0
所以函数的最大值为
1
3
15
≤x
≤
，求函数y = 22
（3）平方法 例6. 若
2
解：
y =2x -1+5-2x +
=4+
2
不妨设z =(2x -1)(5-2x )=-4x +12x -5 函数z 的图像是开口向下的抛物线，因为
153
≤x ≤，所以z 在x =上取得最222
大值， z max =z
⎛3⎫
⎪=4 2⎝⎭
所以函数y 的最大值在x =
3⎛3⎫
上取得，y max =y ⎪=8 2⎝2⎭
11
+的最小值 a b
4、整体代换 例7. 若a >0, b >0, a +2b =1，求t =解：因为a +2b =1 所以t =
11a +2b a +2b
+=+
a b a b 2b a
+a b =3+
≥3+=3+2b a
=，结合a +2b =1，可得a ，b 的值，满足a >0, b >
0的要求 a b
故函数的最小值为3+当且仅当
5. 化归转化，寻求相等，过第三关 例8若1
4
的值域 x
4
在x ∈(1, 2)上为减函数 x
y (1)=5, y (2)=4
所以函数y =x +
4
的值域为(4,5) x
均值不等式与线性规划课后检测
一、选择题
1．已知a 、b ∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（
D
）
Ａ．a 2+b2 B ．２ab C ．2a b D ．a +b 解析：选择题，可采用举例方法，不妨设a =
2
2
11, b =. 则
: 24
5⎛1⎫⎛1⎫
A. a 2+b 2= ⎪+ ⎪==0.3125
2416⎝⎭⎝⎭=≈0.707111
C.2ab =2⨯⨯==0.25
244113
D. a +b =+==0.75
244=
2．已知x+3y-1=0，则关于2x +8y 的说法正确的是（
B
）
A ．有最大值8 B ．有最小值22 C ．有最小值8 D ．有最大值22
解析：2+8=2+2
x －y ＋2≥0，⎧⎪
3．设变量x ，y 满足约束条件⎨x －5y ＋10≤0，
⎪⎩x ＋y －8≤0，小值分别为(
x
y
x
3y
≥2⨯2
x +3y
2
=
则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最
A )
B ．－3，－11 C ．11，－3
D ．11,3
A ．3，－11 画图：
约束区域如图阴影部分所示。
当目标函数的图像在直线l 3位置时，z 取到最大值，此时直线过交点（5，3）；
z max =3⨯5-4⨯3=3
当目标函数的图像在直线l 4位置时，z 取到最小值，此时直线过交点（3，5）。
z min =3⨯3-4⨯5=-11
4． 下列结论正确的是（ B ） A ．当x>0且x≠1时，lgx+
11
≥2 B ．当x>0时，x +≥2 lg x x
C ．当x≥2时，x ＋
二．填空题：
11
≥2 D ．当0
5．点（1,2）（3,6）在直线3x+my+3=0的两侧，m 的范围是-3
由题意知，(2m +6)(6m +12)
6．设x>0，则函数y=2－
4
－x 的最大值为 -2 ；此时x 的值是 2 。
x
解：y =2-
4⎛4⎫
-x =2- +x ⎪≤2-=-2 x ⎝x ⎭
当且仅当
4
=x ，即x =2时取等号 x
7．若x>1，则log 2x ＋log x 2的最小值为 2 ；此时x 的值是 2 。 解：x >1，所以log 2x >0，
log 2x +log x 2=log 2x +
1
≥2 log 2x
当且仅当log 2x =
1
，即x =2时取等号 log 2x
x 2-x +4
8．函数y=在x>1的条件下的最小值为 5 ；此时x=__3__。
x -1
解：因为x >1，所以x +1>0
x 2-x +4y =
x -1
x 2-x 4=+
x -1x -1
4=x +
x -1
4
=x -1++1
x -1≥=5
1
故函数的最小值为5，当且仅当x -1=
4
，即x=3时取等号。 x -1
1
x 29．函数f(x)=4(x≠0)
的最大值是；此时的x 值为±24。
4x +2
x 21=≤=解：f (
x )=42x +2x 2+2
x 2
当且仅当x =2，即x =±24时取等号
x
2
1
10. 给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为
3。
5
解：由题意知，要使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则目标函数的图像与
直线AC 平行。
22-2
3
直线AC ，其比例系数k ==-
1-55
3
所以a =
5