13．(2009福州一中自主招生) 已知函数14．（2007
求实数a 的值。 y =x 2+2ax +a 2-1在0≤x ≤3范围内有最大值24最小值3，
2
联赛）设m , n 为正整数，且m ≠2，二次函数y =x +(3-mt ) x -3mt 的图象与x 轴的两个交点间的距
离为d 1，二次函数
成立，求m , n 的值.
y =-x 2+(2t -n ) x +2nt 的图象与x 轴的两个交点间的距离为d 2. 如果d 1≥d 2对一切实数t 恒
四、二次函数与坐标
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
15．（2015福建联赛）如图，二次函数在x 轴上（
-1) ，点A 、B y =mx 2+nx +p 的图像过A 、B 、C 三点，其中C (-1，
A 在点O 左侧，B 在点O 右侧）
，且sin ∠BAC =
sin ∠ABC =
（1）求二次函数的解析式；（2）求△ABC 外接圆的半径．
16．(2011年联赛) 抛物线
第15题图
（x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0
5
点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形，且S △BMN =S △AMN ．求该
2抛物线的解析式．
17．(2012年联赛) 已知抛物线
第16题图
1
y =-x 2+bx +c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A (x 1,0) 、B (x 2,0) （x 1
6
3
两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线. 设M (0,-) ，若AM //BC ，求抛物线的解析式.
2
Q (2,10a ) . y =x 2+bx -c 的图象经过两点P (1,a ) ，
（1）如果a , b , c 都是整数，且c
y =x 2+bx -c 的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为
2
C . 如果关于x 的方程x +bx -c =0的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
（2）设二次函数
第17题图
19．（2013福州一中自主招生）已知抛物线
y =-
12
(x -2)+3与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为P ． 3
1
，求m 的3
（Ⅰ）证明：∆PAB 为等腰直角三角形； （Ⅱ）若一次函数取值范围；
（Ⅲ）假设有一电子跳蚤，从点P 开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点P 3 ，1，P 2，P 试探究∆P n P n +1P n +2（n 为正整数）的面积是否为一个常数？证明你的结论．
20．（2015·江苏江阴）(2013年江西) 已知抛物线抛物线y n =－(x －a n ) 2+a n （n 为正整数，且0
（1）求a 1, b 1的值及抛物线y 2的解析式；
（2）抛物线y 3的顶点坐标为（ ， ）；
依此类推第n 条抛物线y n 的顶点坐标为（ ， ）; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 （3）探究下列结论：
①若用A n －1A n 表示第n 条抛物线被x 轴截得得线段长，直接写出A 0A 1的值，并求出A n －1A n ；
②是否存在经过点A （2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式 ；若不存在，请说明理由．
21．(2013福州) 我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是当顶点坐标为（m ，m ），m
y =kx +m 过点P ，把∆PAB 分成两部分，其中一部分的面积不大于∆PAB 面积的
y =ax 2+bx (a ≠0)
（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a =__________；
≠0时，a 与m 之间的关系式是____________________
（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =kx (k ≠0) 上， 请用含k 的代数式表示b ； （3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y =x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），
分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，…，B n ，以线段物线中有一条经过D n ，求所有满足条件的正方形边长。
A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛
2016全国初中数学联赛 第1讲 函数及其图像参考答案
6．（2013福州一中自主招生） （Ⅰ）证明：由已知
A (1, 0) ，B (0, 1) ∴OA =OB , ∠ABO =∠BAO =45
=∠BOE =∠BOF +45 ∠ABO +∠BOF =∠AFO =∠BOF +45 ∴∠BOE =∠AFO (或证∠BEO =∠AOF ) ∴ ∆AOF ∽∆BEO
' ' ' '
（Ⅱ）解法一：过E 作EE ⊥y 轴于E ，过F 作FF ⊥x 轴于F
AO AF
=由（1）中得：∆AOF ∽∆BEO ，∴
BE BO
即BE ⋅AF =AO ⋅BO =1设E (a , 1-a ) ，F (1-b , b ) ， 又 ∵∠BOF +EOF
AF =2b , BE =2a ，
1
∴BE ⋅AF =2b ⋅2a =2ab =1， ∴ab =
2
1
∴ 点E 的横坐标与点F 的纵坐标之积是常数，该常数为
2
' ' ' '
解法二：过E 作EE ⊥x 轴于E ，过F 作 FF ' ' ⊥y 轴于F ' ' ，过O 作OH ⊥AB 轴于H
∵OA =OB , ∠AOB =90∴∠BOH =∠AOH =45
' ' ' '
∵∠OF F =∠OHF =∠OHE =∠OE E =90
∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=45 ∴∠1=∠3, ∠2=∠4
' '
' '
在等腰Rt ∆AFF 和Rt ∆BEE 中由勾股定理得
' '
OF ' ' OF OH OF OF ' ' OH
===∴∆OF F ∽∆OHE ，∆OE E ∽∆OHF ∴，∴
OH OE OE ' ' OE OH OE ' '
21' ' ' ' ' ' ' ' 2
设E (a , 1-a ) ，F (1-b , b ) ，OH =则OE =a ，OF =b ∴OE ⋅OF =ab =OH =
22
1
∴ 点E 的横坐标与点F 的纵坐标之积是常数，等于
22
13．(2009福州一中自主招生) 解：配方y =(x +a )-1函数的对称轴为直线x =-a 顶点坐标为(-a , -1) ① 当0≤-a ≤3即-3≤a ≤0时函数最小值为-1，不合题意……………3分 ② 当-a 0时 ∴当x =3时，y 有最大值；当x =0时，y 有最小值 ⎧9+6a +a 2-1=24即⎨ 解得a =2…………………………………………6分 2
a -1=3⎩
③当-a >3，即a
解之得a =-5…………………………………………10分 ⎨2
⎩9+6a +a -1=3∴实数a 的值为2或-5.
+(3-mt ) x -3mt =0的两根分别为mt 和-3， 2
所以d 1=mt +3；一元二次方程-x +(2t -n ) x +2nt =0的两根分别为2t 和-n ，所以d 2=2t +n .
14．（2007联赛）解：因为一元二次方程x 所以d 1
2
≥d 2⇔mt +3≥2t +n ⇔(mt +3) 2≥(2t +n ) 2⇔(m 2-4) t 2+(6m -4n ) t +9-n 2≥0 （1）
2
由题意知，m
-4≠0，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以
2⎧⎧m >2, ⎪m -4>0,
（⇒⇒⎨⎨2222
⎪⎩4(mn -6) ≤0, ⎩∆=(6m -4n ) -4(m -4)(9-n ) ≤0,
15．（2015福建联赛）【解答】（1）作CE
⎧m >2, ⎧m =3,
所以⎨⎨
m n =6, ⎩⎩n =2, ⎧m =6,
⎨
⎩n =1.
⊥x 轴于E ，则CE =1。
sin ∠ABC =
CA =
，CB =
13
0) ，点B 坐标为(1，0) 。 ∴ EA =，EB =2。∴点A 坐标为(-，
22
3
设所求二次函数的解析式为y =m (x +)(x -1) 。
2
3
将点C (-1，-1) 的坐标代入二次函数解析式，得-1=m (-1+)(-1-1) 。
2
3132
∴ m =1，二次函数得解析式为y =(x +)(x -1) ，即y =x +x -。
222
5222
（2）由（1）知，AB =，AB =CA +CB 。
2
15
∴ C A ⊥C B 。∴ △ABC 外接圆的半径R =AB =。
24
16．(2011年联赛) 解：由条件知该抛物线开口向上，与x 的两个交点在y 轴的右侧．
由于∆CAN 是等腰直角三角形，故点C 在x 轴的左侧，且∠CAN =90．
故∠ACN =45，从而C (-1, 0) ，N (1, 0) ． 于是直线l 的方程为：y =x +1．
55
设B (x 3, y 3) ，由S ∆BMN =S ∆AMN 知y 3=，
22353
从而x 3=，即B (, ) ．
222
35
综上可知，该抛物线通过点A (0, 1) ，B (, ) ，N (1, 0) ．
22
⎧1=c ⎧a =4⎪593⎪2
于是⎨=a +b +c ，20分）解得⎨b =-5．所以所求抛物线的解析式为y =4x -5x +1．
2⎪c =1⎪24
0=a +b +c ⎩⎩
由sin ∠BAC
=
17．(2012年联赛) 解 易求得点P (3b ,
32
b +c ) ，点C (0,c ) . 2
设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3b , m ) . 显然，x 1, x 2是一元二次方程-
12
x +bx +c =
0的两根，所以x 1=3b -
x 2=3b +6
PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射
3222
影定理可得AE =PE ⋅
DE ，即=(b +c ) ⋅|m |，又易知m
2
又AB 的中点E 的坐标为(3b ,0) ，所以AE
又由DA ＝DC 得
22
DA 2=
DC 2，即2+m 2=(3，把m =-6代入后可解得b -0) +(m -c )
c =-6（另一解c =0舍去）.
3|-|OA OM
=. =
又因为AM//BC，所以OB OC |-6|55125
把c =-6代入解得b =（另一解b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为y =-x +x -6.
2262
2
18．（2010联赛）解：（1）点P (1,a ) 、Q (2,10a ) 在二次函数y =x +bx -c 的图象上，故1+b -c =a ，4+2a -c =10a ，解得b =9a -3，c =8a -2.
⎧8a -2
由c 9a -3
(2) 设m , n 是方程的两个整数根，且m ≤n . 由根与系数的关系可得m +n =-b =3-9a ，mn =-c =2-8a ，消去a ，得9m n -8(m +n ) =-，6两边同时乘以9，得81m n -72m (+n =) -，5分解因式，得(9m -8)(9n -8) =10.
⎧9m -8=1, ⎧9m -8=2, ⎧9m -8=-10, ⎧9m -8=-5, 所以⎨或⎨或⎨或⎨
⎩9n -8=10, ⎩9n -8=5, ⎩9n -8=-1, ⎩9n -8=-2,
10⎧2⎧1⎧
m =, m =-, m =, ⎪⎪⎧m =1, ⎪⎪⎪⎪9993
解得⎨或⎨或⎨或⎨
⎩n =2, ⎪n =13, ⎪n =7, ⎪n =2,
⎪⎪⎪993⎩⎩⎩
又m , n 是整数，所以后面三组解舍去，故m =1, n =2.
2
因此，b =-(m +n ) =-3，c =-mn =-2，二次函数的解析式为y =x -3x +2.
1
易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为⨯(2-1) ⨯2=1.
2
12
19．解： 抛物线的方程为y =-(x -2)+3，
3
∴点P ，A ，B 的坐标分别为(2,3)，(-1,0) ，(5,0)．
222222
（Ⅰ）如图，在∆PAB 中，PA =AQ +PQ =18，PB =BQ +PQ =
182222
AB =36，∴PA =PB 且PA +PB =AB ，∴∆PAB 为等腰直角三角形．
（Ⅱ）由图知，当一次函数图像过P （2，3）且过（1，0）或（3，0）时，就把∆形的面积为∆PAB 的面积的
1． 3
y =-3x +9，过(5,0)，(2,3)的一次函数的解析式为y =-x +5，
又一次函数y =kx +m ，当x =0时，y =m ．∴此一次函数图像与y 轴交点的纵坐标为m ， 观察图形变化得5
②过(-1,0) ，(2,3)的一次函数的解析式为y =x +1，过(1,0)，(2,3)的一次函数的解析式为y =3x -3，观察图形变化得-3≤m
1
S （Ⅲ）∆P 的面积为常数． P P n n +1n +2
31122
证明如下：我们将抛物线y =-(x -2)+3平移为y =-x 来解决，并不改变题目结论．
33
1112⎫⎛⎛⎛2⎫2⎫此时，设P ，，x , -x P x +1, -(x +1) P x +2, -(x +2) n +1 n +2 n ⎪⎪⎪， 333⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则
①过(3,0)，(2,3)的一次函数的解析式为
S ∆P n P n +1P n +2=S 梯形P n Q n Q n +2P n +2-S 梯形P n Q n Q n +1P n +1-S 梯形P n +1Q n +1Q n +2P n +2
=
1⎡1211⎡1211⎡112⎤2⎤2⎤2
x +x +2⨯2-x +x +1⨯1-(x +1) +x +2⨯1 ()()()⎢⎥⎢⎥⎢⎥2⎣332⎣332⎣33⎦⎦⎦1112222
=⎡2x 2+2(x +2)-x 2-(x +1)-(x +1)-(x +2)⎤=⨯2=．
⎦66⎣3
1
∴∆P n P n +1P n +2的面积S 为常数．
3
20．（2015·江苏江阴）答案：解：（1）∵y 1=―(x ―a 1) 2+a 1与x 轴交于点A 0（0，0），
22
∴―a 1+ a1=0，∴a 1=0或1．由已知可知a 1>0，∴a 1=1． 1分即y 1=―(x ―1)+1
令y 1=0代入得：―(x ―1)2+1=0，∴x 1=0，x 2=2，∴y 1与x 轴交于A 0（0，0），A 1（2，0）∴b 1=2， 2分 又∵抛物线y 2=―(x ―a 2) 2+a 2与x 轴交于点A 1（2，0），∴―(2―a 2) 2+ a2=0， ∴a 2=1或4，∵a 2> a1，∴a 2=1（舍去）．∴取a 2=4，抛物线y 2=―(x ―4)2+4．…3分
（2）（9，9）；（n 2，n 2）；y =x ． ……6分
详解如下：∵抛物线y 2=―(x ―4)2+4令y 2=0代入得：―(x ―4)2+4=0，∴x 1=2，x 2=6， ∴y 2与x 轴交于点A 1（2，0），A 2（6，0），
2
又∵抛物线y 3=―(x ―a 3) +a 3与x 轴交于A 2（6，0），
2
∴―(6―a 3) +a 3=0∴a 3=4或9，∵a 3> a3，∴a 3=4（舍去）， 只取a 3=9，招物线y 3的顶点坐标为（9，9）， ∵由y 1的顶点坐标为（1，1），y 2的顶点坐标为（4，4），抛物线y 3的的顶点坐标为（9，9），
22
依次类推抛物线y n 的顶点坐标为（n ，n ）．
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y = x； （3）①∵A 0（0，0），A 1（2，0），∴A 0 A 1=2． 7分
222
又∵y n =―(x ―n ) +n ，令y n =0， ∴―(x ―n 2) 2+n 2=0，即x 1=n 2+n ，x 2=n 2－n ，
∴A n－1(n 2－n ，0) ，A n(n 2+n ，0) ，即A n－1 A n=( n2+n ) －( n2－n )=2 n．………………8分 ②存在．是平行于直线y =x 且过A 1（2，0）的直线，其表达式为y =x －2 …………10分
1
（或am +1=0）；（2）解：∵a ≠0 m
b 2b 2b b 22
) -, -) ∴y =ax +bx =a (x + ∴顶点坐标为(-2a 4a 2a 4a
b b 2
) =-∵顶点坐标在直线y =kx 上 ∴k (-∵b ≠0∴b =2k 2a 4a
（3）解：∵顶点A n 在直线y =kx 上∴可设A n 的坐标为(n , n ) ，点D n 所在的抛物线顶点坐标为(t , t )
12
由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y =-x +2x
t
∵四边形A n B n C n D n 是正方形∴点D n 的坐标为(2n , n )
12
∴-(2n ) +2⨯2n =n ∴4n =3t ∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12∴n =3,6或9
t
21．(2013福州)22. （14分（1）－1；
a =-
∴满足条件的正方形边长为3,6或9
13．(2009福州一中自主招生) 已知函数14．（2007
求实数a 的值。 y =x 2+2ax +a 2-1在0≤x ≤3范围内有最大值24最小值3，
2
联赛）设m , n 为正整数，且m ≠2，二次函数y =x +(3-mt ) x -3mt 的图象与x 轴的两个交点间的距
离为d 1，二次函数
成立，求m , n 的值.
y =-x 2+(2t -n ) x +2nt 的图象与x 轴的两个交点间的距离为d 2. 如果d 1≥d 2对一切实数t 恒
四、二次函数与坐标
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
15．（2015福建联赛）如图，二次函数在x 轴上（
-1) ，点A 、B y =mx 2+nx +p 的图像过A 、B 、C 三点，其中C (-1，
A 在点O 左侧，B 在点O 右侧）
，且sin ∠BAC =
sin ∠ABC =
（1）求二次函数的解析式；（2）求△ABC 外接圆的半径．
16．(2011年联赛) 抛物线
第15题图
（x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0
5
点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形，且S △BMN =S △AMN ．求该
2抛物线的解析式．
17．(2012年联赛) 已知抛物线
第16题图
1
y =-x 2+bx +c 的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A (x 1,0) 、B (x 2,0) （x 1
6
3
两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线. 设M (0,-) ，若AM //BC ，求抛物线的解析式.
2
Q (2,10a ) . y =x 2+bx -c 的图象经过两点P (1,a ) ，
（1）如果a , b , c 都是整数，且c
y =x 2+bx -c 的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为
2
C . 如果关于x 的方程x +bx -c =0的两个根都是整数，求△ABC 的面积.
（2）设二次函数
第17题图
19．（2013福州一中自主招生）已知抛物线
y =-
12
(x -2)+3与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为P ． 3
1
，求m 的3
（Ⅰ）证明：∆PAB 为等腰直角三角形； （Ⅱ）若一次函数取值范围；
（Ⅲ）假设有一电子跳蚤，从点P 开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点P 3 ，1，P 2，P 试探究∆P n P n +1P n +2（n 为正整数）的面积是否为一个常数？证明你的结论．
20．（2015·江苏江阴）(2013年江西) 已知抛物线抛物线y n =－(x －a n ) 2+a n （n 为正整数，且0
（1）求a 1, b 1的值及抛物线y 2的解析式；
（2）抛物线y 3的顶点坐标为（ ， ）；
依此类推第n 条抛物线y n 的顶点坐标为（ ， ）; 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 （3）探究下列结论：
①若用A n －1A n 表示第n 条抛物线被x 轴截得得线段长，直接写出A 0A 1的值，并求出A n －1A n ；
②是否存在经过点A （2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式 ；若不存在，请说明理由．
21．(2013福州) 我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是当顶点坐标为（m ，m ），m
y =kx +m 过点P ，把∆PAB 分成两部分，其中一部分的面积不大于∆PAB 面积的
y =ax 2+bx (a ≠0)
（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a =__________；
≠0时，a 与m 之间的关系式是____________________
（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =kx (k ≠0) 上， 请用含k 的代数式表示b ； （3）现有一组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y =x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），
分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为B 1，B 2，…，B n ，以线段物线中有一条经过D n ，求所有满足条件的正方形边长。
A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛
2016全国初中数学联赛 第1讲 函数及其图像参考答案
6．（2013福州一中自主招生） （Ⅰ）证明：由已知
A (1, 0) ，B (0, 1) ∴OA =OB , ∠ABO =∠BAO =45
=∠BOE =∠BOF +45 ∠ABO +∠BOF =∠AFO =∠BOF +45 ∴∠BOE =∠AFO (或证∠BEO =∠AOF ) ∴ ∆AOF ∽∆BEO
' ' ' '
（Ⅱ）解法一：过E 作EE ⊥y 轴于E ，过F 作FF ⊥x 轴于F
AO AF
=由（1）中得：∆AOF ∽∆BEO ，∴
BE BO
即BE ⋅AF =AO ⋅BO =1设E (a , 1-a ) ，F (1-b , b ) ， 又 ∵∠BOF +EOF
AF =2b , BE =2a ，
1
∴BE ⋅AF =2b ⋅2a =2ab =1， ∴ab =
2
1
∴ 点E 的横坐标与点F 的纵坐标之积是常数，该常数为
2
' ' ' '
解法二：过E 作EE ⊥x 轴于E ，过F 作 FF ' ' ⊥y 轴于F ' ' ，过O 作OH ⊥AB 轴于H
∵OA =OB , ∠AOB =90∴∠BOH =∠AOH =45
' ' ' '
∵∠OF F =∠OHF =∠OHE =∠OE E =90
∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=45 ∴∠1=∠3, ∠2=∠4
' '
' '
在等腰Rt ∆AFF 和Rt ∆BEE 中由勾股定理得
' '
OF ' ' OF OH OF OF ' ' OH
===∴∆OF F ∽∆OHE ，∆OE E ∽∆OHF ∴，∴
OH OE OE ' ' OE OH OE ' '
21' ' ' ' ' ' ' ' 2
设E (a , 1-a ) ，F (1-b , b ) ，OH =则OE =a ，OF =b ∴OE ⋅OF =ab =OH =
22
1
∴ 点E 的横坐标与点F 的纵坐标之积是常数，等于
22
13．(2009福州一中自主招生) 解：配方y =(x +a )-1函数的对称轴为直线x =-a 顶点坐标为(-a , -1) ① 当0≤-a ≤3即-3≤a ≤0时函数最小值为-1，不合题意……………3分 ② 当-a 0时 ∴当x =3时，y 有最大值；当x =0时，y 有最小值 ⎧9+6a +a 2-1=24即⎨ 解得a =2…………………………………………6分 2
a -1=3⎩
③当-a >3，即a
解之得a =-5…………………………………………10分 ⎨2
⎩9+6a +a -1=3∴实数a 的值为2或-5.
+(3-mt ) x -3mt =0的两根分别为mt 和-3， 2
所以d 1=mt +3；一元二次方程-x +(2t -n ) x +2nt =0的两根分别为2t 和-n ，所以d 2=2t +n .
14．（2007联赛）解：因为一元二次方程x 所以d 1
2
≥d 2⇔mt +3≥2t +n ⇔(mt +3) 2≥(2t +n ) 2⇔(m 2-4) t 2+(6m -4n ) t +9-n 2≥0 （1）
2
由题意知，m
-4≠0，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以
2⎧⎧m >2, ⎪m -4>0,
（⇒⇒⎨⎨2222
⎪⎩4(mn -6) ≤0, ⎩∆=(6m -4n ) -4(m -4)(9-n ) ≤0,
15．（2015福建联赛）【解答】（1）作CE
⎧m >2, ⎧m =3,
所以⎨⎨
m n =6, ⎩⎩n =2, ⎧m =6,
⎨
⎩n =1.
⊥x 轴于E ，则CE =1。
sin ∠ABC =
CA =
，CB =
13
0) ，点B 坐标为(1，0) 。 ∴ EA =，EB =2。∴点A 坐标为(-，
22
3
设所求二次函数的解析式为y =m (x +)(x -1) 。
2
3
将点C (-1，-1) 的坐标代入二次函数解析式，得-1=m (-1+)(-1-1) 。
2
3132
∴ m =1，二次函数得解析式为y =(x +)(x -1) ，即y =x +x -。
222
5222
（2）由（1）知，AB =，AB =CA +CB 。
2
15
∴ C A ⊥C B 。∴ △ABC 外接圆的半径R =AB =。
24
16．(2011年联赛) 解：由条件知该抛物线开口向上，与x 的两个交点在y 轴的右侧．
由于∆CAN 是等腰直角三角形，故点C 在x 轴的左侧，且∠CAN =90．
故∠ACN =45，从而C (-1, 0) ，N (1, 0) ． 于是直线l 的方程为：y =x +1．
55
设B (x 3, y 3) ，由S ∆BMN =S ∆AMN 知y 3=，
22353
从而x 3=，即B (, ) ．
222
35
综上可知，该抛物线通过点A (0, 1) ，B (, ) ，N (1, 0) ．
22
⎧1=c ⎧a =4⎪593⎪2
于是⎨=a +b +c ，20分）解得⎨b =-5．所以所求抛物线的解析式为y =4x -5x +1．
2⎪c =1⎪24
0=a +b +c ⎩⎩
由sin ∠BAC
=
17．(2012年联赛) 解 易求得点P (3b ,
32
b +c ) ，点C (0,c ) . 2
设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3b , m ) . 显然，x 1, x 2是一元二次方程-
12
x +bx +c =
0的两根，所以x 1=3b -
x 2=3b +6
PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射
3222
影定理可得AE =PE ⋅
DE ，即=(b +c ) ⋅|m |，又易知m
2
又AB 的中点E 的坐标为(3b ,0) ，所以AE
又由DA ＝DC 得
22
DA 2=
DC 2，即2+m 2=(3，把m =-6代入后可解得b -0) +(m -c )
c =-6（另一解c =0舍去）.
3|-|OA OM
=. =
又因为AM//BC，所以OB OC |-6|55125
把c =-6代入解得b =（另一解b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为y =-x +x -6.
2262
2
18．（2010联赛）解：（1）点P (1,a ) 、Q (2,10a ) 在二次函数y =x +bx -c 的图象上，故1+b -c =a ，4+2a -c =10a ，解得b =9a -3，c =8a -2.
⎧8a -2
由c 9a -3
(2) 设m , n 是方程的两个整数根，且m ≤n . 由根与系数的关系可得m +n =-b =3-9a ，mn =-c =2-8a ，消去a ，得9m n -8(m +n ) =-，6两边同时乘以9，得81m n -72m (+n =) -，5分解因式，得(9m -8)(9n -8) =10.
⎧9m -8=1, ⎧9m -8=2, ⎧9m -8=-10, ⎧9m -8=-5, 所以⎨或⎨或⎨或⎨
⎩9n -8=10, ⎩9n -8=5, ⎩9n -8=-1, ⎩9n -8=-2,
10⎧2⎧1⎧
m =, m =-, m =, ⎪⎪⎧m =1, ⎪⎪⎪⎪9993
解得⎨或⎨或⎨或⎨
⎩n =2, ⎪n =13, ⎪n =7, ⎪n =2,
⎪⎪⎪993⎩⎩⎩
又m , n 是整数，所以后面三组解舍去，故m =1, n =2.
2
因此，b =-(m +n ) =-3，c =-mn =-2，二次函数的解析式为y =x -3x +2.
1
易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为⨯(2-1) ⨯2=1.
2
12
19．解： 抛物线的方程为y =-(x -2)+3，
3
∴点P ，A ，B 的坐标分别为(2,3)，(-1,0) ，(5,0)．
222222
（Ⅰ）如图，在∆PAB 中，PA =AQ +PQ =18，PB =BQ +PQ =
182222
AB =36，∴PA =PB 且PA +PB =AB ，∴∆PAB 为等腰直角三角形．
（Ⅱ）由图知，当一次函数图像过P （2，3）且过（1，0）或（3，0）时，就把∆形的面积为∆PAB 的面积的
1． 3
y =-3x +9，过(5,0)，(2,3)的一次函数的解析式为y =-x +5，
又一次函数y =kx +m ，当x =0时，y =m ．∴此一次函数图像与y 轴交点的纵坐标为m ， 观察图形变化得5
②过(-1,0) ，(2,3)的一次函数的解析式为y =x +1，过(1,0)，(2,3)的一次函数的解析式为y =3x -3，观察图形变化得-3≤m
1
S （Ⅲ）∆P 的面积为常数． P P n n +1n +2
31122
证明如下：我们将抛物线y =-(x -2)+3平移为y =-x 来解决，并不改变题目结论．
33
1112⎫⎛⎛⎛2⎫2⎫此时，设P ，，x , -x P x +1, -(x +1) P x +2, -(x +2) n +1 n +2 n ⎪⎪⎪， 333⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则
①过(3,0)，(2,3)的一次函数的解析式为
S ∆P n P n +1P n +2=S 梯形P n Q n Q n +2P n +2-S 梯形P n Q n Q n +1P n +1-S 梯形P n +1Q n +1Q n +2P n +2
=
1⎡1211⎡1211⎡112⎤2⎤2⎤2
x +x +2⨯2-x +x +1⨯1-(x +1) +x +2⨯1 ()()()⎢⎥⎢⎥⎢⎥2⎣332⎣332⎣33⎦⎦⎦1112222
=⎡2x 2+2(x +2)-x 2-(x +1)-(x +1)-(x +2)⎤=⨯2=．
⎦66⎣3
1
∴∆P n P n +1P n +2的面积S 为常数．
3
20．（2015·江苏江阴）答案：解：（1）∵y 1=―(x ―a 1) 2+a 1与x 轴交于点A 0（0，0），
22
∴―a 1+ a1=0，∴a 1=0或1．由已知可知a 1>0，∴a 1=1． 1分即y 1=―(x ―1)+1
令y 1=0代入得：―(x ―1)2+1=0，∴x 1=0，x 2=2，∴y 1与x 轴交于A 0（0，0），A 1（2，0）∴b 1=2， 2分 又∵抛物线y 2=―(x ―a 2) 2+a 2与x 轴交于点A 1（2，0），∴―(2―a 2) 2+ a2=0， ∴a 2=1或4，∵a 2> a1，∴a 2=1（舍去）．∴取a 2=4，抛物线y 2=―(x ―4)2+4．…3分
（2）（9，9）；（n 2，n 2）；y =x ． ……6分
详解如下：∵抛物线y 2=―(x ―4)2+4令y 2=0代入得：―(x ―4)2+4=0，∴x 1=2，x 2=6， ∴y 2与x 轴交于点A 1（2，0），A 2（6，0），
2
又∵抛物线y 3=―(x ―a 3) +a 3与x 轴交于A 2（6，0），
2
∴―(6―a 3) +a 3=0∴a 3=4或9，∵a 3> a3，∴a 3=4（舍去）， 只取a 3=9，招物线y 3的顶点坐标为（9，9）， ∵由y 1的顶点坐标为（1，1），y 2的顶点坐标为（4，4），抛物线y 3的的顶点坐标为（9，9），
22
依次类推抛物线y n 的顶点坐标为（n ，n ）．
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y = x； （3）①∵A 0（0，0），A 1（2，0），∴A 0 A 1=2． 7分
222
又∵y n =―(x ―n ) +n ，令y n =0， ∴―(x ―n 2) 2+n 2=0，即x 1=n 2+n ，x 2=n 2－n ，
∴A n－1(n 2－n ，0) ，A n(n 2+n ，0) ，即A n－1 A n=( n2+n ) －( n2－n )=2 n．………………8分 ②存在．是平行于直线y =x 且过A 1（2，0）的直线，其表达式为y =x －2 …………10分
1
（或am +1=0）；（2）解：∵a ≠0 m
b 2b 2b b 22
) -, -) ∴y =ax +bx =a (x + ∴顶点坐标为(-2a 4a 2a 4a
b b 2
) =-∵顶点坐标在直线y =kx 上 ∴k (-∵b ≠0∴b =2k 2a 4a
（3）解：∵顶点A n 在直线y =kx 上∴可设A n 的坐标为(n , n ) ，点D n 所在的抛物线顶点坐标为(t , t )
12
由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y =-x +2x
t
∵四边形A n B n C n D n 是正方形∴点D n 的坐标为(2n , n )
12
∴-(2n ) +2⨯2n =n ∴4n =3t ∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12∴n =3,6或9
t
21．(2013福州)22. （14分（1）－1；
a =-
∴满足条件的正方形边长为3,6或9