1、掌握简谐振动的特点， 理解简谐振动的三个特征量的物理意 义。 2、理解两个同方向、同频率的简谐振动的合成规律。掌握合振 动振幅最大和最小的条件，能用旋转矢量法分析有关问题。 3、进一步理解物理学分析问题、解决问题的思路和方法1 2 3振动的定义： 振动的定义 广义：任何一个物理量在某一量值附近发生周期性的变化，叫做振动。 狭义：物体在一定位置附近的往返运动，称为振动，也叫机械振动。位移 做机械振动的物体，在不同时刻处在平衡位置附近的不同位置上。运用位移 这个物理量可以对振动物体的空间位置的变化加以描述。 所谓振动物体的位移是相对平衡位置而言的。 把振动物体离开平衡位置的距 离成为振动物体的位移。位移的方向总是由平衡位置指向物体某时刻所在的位 置。 做机械振动的物体可以做直线运动，也可以做曲线运动。做直线运动的振动 物体其位移一般用符号 x（或 y）来表示，如弹簧振子。做曲线运动的振动物体 其位移可以用角位移 θ 来表示，如单摆。 2、 速度1、
速度是反映振动物体在某一时刻振动快慢及其振动方向的物理量。通常用 v 来表示，一般来说，机械振动是变速运动。 3、 加速度 加速度是反映振动物体速度变化快慢及其变化方向的物理量。 通常用 a 来表 示，一般来说，机械振动是变加速运动。振动最突出的特征是运动的周期性，为此引入振幅、周期、频率等物理量来 描述它们的周期性的运动特征。 1. 振幅 A：反映物体振动的强弱程度。大小由初始条件决定。数值上等于 物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值。 2. 周期、频率和角频率（反映物体振动快慢的物理量，由振动系统的性质 决定） （1）周期 T：振动物体完成一次全振动所需要的时间成为周期。单位是秒。 （2）频率ν ：单位时间内物体作全振动的次数称为频率。单位是赫兹。 （3）圆频率 ω ：在 2π s 内，物体作全振动的次数。 1 2π （4）周期、频率和角频率的关系：ν = ω= = 2πν T T 3. 相位、初相位 （1）相位 (ωt + ) ：反映谐振动状态的特征物理量。 （2）初相位 ：决定初始时刻的振动状态的物理量。一、弹簧振子模型 ★弹簧振子模型 一个劲度系数为 k 的轻弹簧的一端固定， 另一端系一质量为 m 的物体， 并置 于光滑水平面上。弹簧处于自然状态时的 物体位置 O 称为平衡位置。 当物体离开平 衡位置的距离为 x 时，在弹簧的弹性限度 x 范围内，物体将在平衡位置附近作往返运 B C O 动。这一由轻弹簧和物体构成的振动系统 称为弹簧振子，弹簧振子是一个理想模型。 1、 简谐振动的特征 、 （1）动力学特征 ） 根据弹簧振子模型，物体在运动过程中受的合外力就等于弹力。设平衡位 置 O 为坐标原点，以向右为 x 轴正向。当物体相对平衡位置的位移为 x 时：F= - kx 或 ma= - kx = md 2x = kx dt 2
md 2x = kx dt 2d 2x k + x=0 dt 2 m其中，x 为偏离平衡位置的位移；A 为振幅； (ωt + ) 为相位； 为初相位。 即一个振动系统的运动微分方程具有这种形式，那么该系统作简谐振动。 其中： ω =k 它是由振动系统本身性质决定的，代表了振动系统的特征，称为 m振动系统的固有角频率也叫圆频率。 即： 当物体受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移的大小成正比且 方向相反。 （2）运动学特征： ）运动学特征： 简谐振动微分方程的解为： x = A cos(ωt + ) 简谐振动的振动速度： v = Aω sin(ωt + ) 简谐振动的振动加速度： a = Aω 2 cos(ωt + ) （3）能量特征 ） 振动动能： 1 1 E k = mv 2 = mω 2 A 2 sin 2 (ωt + ) 2 2 振动势能： 1 1 E p = kx 2 = kA 2 cos 2 (ωt + ) 2 2 振动系统总的机械能为： 1 1 E = E k + E p = mω 2 A 2 = kA 2 2 2 即：简谐振动系统的机械能是守恒的。 综上所述简谐振动的三个特征彼此相同，互相联系。 【例题 1】试证明单摆在摆幅很小又忽略空气阻力的情况下的运动是简谐振动。 例题 证明：如图所示：摆长为 l ，摆球质量为 m，忽略空气阻力，当摆球离开平 衡位置 O 时，重力沿切向的分力 G⊥ = G sin θ 是使小球回到平衡位置的回复力。 当摆角 θ 很小时（ θ
为 Gx / l = md 2x dt 2 d 2x g + x=0 dt 2 l整理得所以单摆在摆幅很小又忽略空气阻力的情况下的运动是简谐振动。 固定角频率为ω = g /l2、 简谐振动的描述方法 、 描述方法 （1）解析描述方法 ）解析描述方 将物理量随时间变化的关系用函数来描述的方法叫解析法， 亦称公式法。 即： x = A cos(ωt + ) v = Aω sin(ωt + ) a = Aω 2 cos(ωt + ) t = 0 时初位移为 x0 ，初速度为 v0 ，则 x0 = A cos ； v0 = ωA sin 。所以2 A = x0 + (v0ω)2； = arctan( v0 ) ωx 0【例题 2】弹簧振子 k=2N/m，小球质量 m=0.02kg，将其铅直悬挂，小球静止后， 向下轻击小球，使其获得 1m/s 的初速度，试确定小球的振动方程。 解：取弹簧振子静止时为平衡位置 O，小球做简谐振动。 向下建立 y 轴。则： ky = ma d2y k + y=0 dx 2 m y = A cos(ωt + )因此ω=k = m2 = 10rad / s 0.02v0 = Aω sin = 13π 2LO y3π ) 2y 0 = A cos = 0 所以A=0.1=x = 0.1 cos(10t +（2）旋转矢量法 一矢量在平面内绕点 O 以角速度 ω 沿逆时针作匀角速转动，这样的矢量称 为旋转矢量。用旋转矢量表示简谐振动时，t=t A t x O P t=0
设旋转矢量的长度等于简谐振动的振幅 A； 转动的角速度等于简谐振动的角频率 ω ；起 始时刻矢量与过圆心的 OX 轴的夹角为振动 的初相位 ，任意时刻 t，矢量与轴的夹角(ωt + ) 为相位。如图示。这样，当旋转矢量作匀角速度转动时，矢量末端在 OX 轴上的投影点围绕坐标原点作简谐振动。旋 转矢量每转一周，投影点在 OX 轴上完成一次全振动，所用的时间正是简谐振动 的周期。注意：圆周运动中的角速度和简谐振动中的角频率是两个不同概念的物 理量，只是在旋转矢量法中作出相应规定后，具有相同数值。 相位差 设有两个简谐振动，其角频率相同但振幅和初相位不同，即x1 = A1 cos(ωt + 1 )它们在任意时刻的相位差x 2 = A2 cos(ωt + 2 ) = 2 1可见两个相同频率的谐振动在任意时刻的相位差等于它们的初相差。若 2 > 1 ， 称为振动 2 超前振动 1 或振动 1 落后振动 2；若 2 = 1 ，称两振动同相；若 2 1 = 0 ，称为反相。【例题 8-4】弹簧振子沿 x 轴方向做简谐振动，振幅为 A，角频率为 ω ，设 t=0 时 ， 振 子 的 运 动 状 态 分 别 是 ： (1) x0 = A ； (2) x0 = 0 ， 向 x 轴 负 向 运 动 ；o(3) x0 = A / 2 ，向 x 轴正向运动，2.x =0 = /2O（2） x = A cos(ωt + π / 2) （3） x = A cos(ωt + 4π / 3)3.x =-A/2 =4 /3o【例题 8-5】两个物体做简谐振动，振幅相同，频率相同，第一个物体振动方程 为 x1 = A cos(ωt + 1 ) 。当第一个物体处于负方向端点时，第二个物体在 x 2 = A / 2 处，且向 x 轴正向运动，求： 1）两个振动的相位差； 2）第二个物体的振动方 （ （ 程。 解：由旋转矢量图得：(1) = 2 1 = 2π / 3O x 2 = 2π / 3 + 1o试用旋转矢量法确定振动方程。 解：由旋转矢量图得： （1） x = A cos ωtx A 1.x =A =0
设旋转矢量的长度等于简谐振动的振幅A； 转动的角速度等于简谐振动的角频率ω；起 始时刻矢量与过圆心的OX轴的夹角为振动 的初相位ϕ，任意时刻t，矢量与轴的夹角 (ωt+ϕ)为相位。如图示。这样，当旋转矢量
作匀角速度转动时，矢量末端在OX轴上的投影点围绕坐标原点作简谐振动。旋转矢量每转一周，投影点在OX轴上完成一次全振动，所用的时间正是简谐振动的周期。注意：圆周运动中的角速度和简谐振动中的角频率是两个不同概念的物理量，只是在旋转矢量法中作出相应规定后，具有相同数值。 相位差
设有两个简谐振动，其角频率相同但振幅和初相位不同，即
x1=A1cos(ωt+ϕ1) x2=A2cos(ωt+ϕ2)
它们在任意时刻的相位差 ∆ϕ=ϕ2−ϕ1
可见两个相同频率的谐振动在任意时刻的相位差等于它们的初相差。若ϕ2>ϕ1，称为振动2超前振动1或振动1落后振动2；若ϕ2=ϕ1，称两振动同相；若
ϕ2−ϕ1=0，称为反相。
【例题8-4】弹簧振子沿x轴方向做简谐振动，振幅为A，角频率为ω，设t=0时，振子的运动状态分别是：(1)x0=A；(2)x0=0，向x轴负向运动；(3)x0=−A/2，向x轴正向运动，
试用旋转矢量法确定振动方程。
解：由旋转矢量图得： （1）x=Acosωt
（2）x=Acos(ωt+π/2) （3）x=Acos(ωt+4π/3)
【例题8-5】两个物体做简谐振动，振幅相同，频率相同，第一个物体振动方程为x1=Acos(ωt+ϕ1)。当第一个物体处于负方向端点时，第二个物体在x2=A/2处，且向x轴正向运动，求：（1）两个振动的相位差；（2）第二个物体的振动方程。
解：由旋转矢量图得： (1) ∆ϕ=ϕ2−ϕ1=2π/3 ϕ2=2π/3+ϕ1
(2) x2=Acos(ωt+ϕ1+2π/3)
（3）振动曲线
用作图的方法画出物理量随时间的变化曲线称为图示法。因此可根据振动方程、画出位移、速度、加速度随时间的变化曲线。这些曲线称为振动曲线。 【例题3】一质点的振动位移曲线如图示，试写出其振动方程。
解：由图可知：A=4cm，
当t=0时，x0=A/2=Acosϕ 而v0=−ωAsinϕ
因此振动方程为 x=4cos(t+33
3、 简谐振动的合成
实际的振动，常常是几个振动合成的结果。一般的振动合成问题比较复杂，下面我们只讨论两个同方向、同频率的振动的合成，和相互垂直的两个同频率振动的合成。 （一）、同方向、同方向、同频率振动的合成
1. 若两个同方向的谐振动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初
ππ
相分别为ϕ1和ϕ2，则它们的振动方程分别x1=A1cos(ωt+ϕ1) x2=A2cos(ωt+ϕ2)
因为两振动是同方向的，所以合 振动的位移x仍与两分振动同方向，
合振动位移为两个分振动位移的代数和， O即x=x1+x2
我们用旋转矢量法求出合振动位移。
如图所示，与两个振动相对应的旋转矢量分别为A1和A2，在t=0时，它们与x轴
的夹角分别为ϕ1和ϕ2，他们在x轴的投影分别是x1和x2。由平行四边形定则可vvv
知合矢量A=A1+A2，且与分矢量以同一角速度ω运动，因而其相对位置在旋转
过程中保持不变。合矢量在轴上的投影为合振动的位移，仍为谐振动，其频率与分振动频率相同。
合振动位移为：x=x1+x2=Acos(ωt+ϕ) 合振幅为：A=
2
A12+A2+2A1A2cos(ϕ2−ϕ1)
合振动的初相为：tanϕ=
A1sinϕ1+A2sinϕ2
A1cosϕ1+cosϕ2
2. 讨论：（1）若两分振动同相即相位差∆ϕ=ϕ2−ϕ1=±2kπ，当k=0,1,2L
时，cos(ϕ2−ϕ1)=1，可得：A=A1+A2即合振幅最大，合成的结果是两个振动相互加强。在波的干涉中称为干涉加强。
（2）若两分振动反相相即相位差∆ϕ=ϕ2−ϕ1=±(2k+1)π，
当k=0,1,2L时，cos(ϕ2−ϕ1)=−1，可得：A=A1+A2即合振幅最小，合成的结果是两个振动相互减弱。在波的干涉中称为干涉相消。
（3）一般情况下，相位差可取任意值，合振幅取值范围为：
A1+A2≤A≤A1+A2
（二）、相互垂直的同频率的谐振动的合成
设质点同时参与振动方向相互垂直的两个同频率的谐振动：一个沿x轴方向，另一个沿y轴方向，其振动方程分别为：
x=A1cos(ωt+ϕ1) y=A2cos(ωt+ϕ2)
根据运动叠加原理，质点的合振动是在xy平面上进行的。可得：
x2y2xy+−2cos(ϕ2−ϕ1)=sin2(ϕ2−ϕ1) A1A2A1A2
一般说来，相互垂直的两相同频率的谐振动合成后是椭圆运动，椭圆的形状
和运动方向取决于相位差的具体数值。对相位差同相和反相这两种情况，合运动是沿直线的谐振动；若0
二、 阻尼振动、受迫振动、共振
（一）、阻尼振动
振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动
阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类
：
1 阻尼振动的振动方程和表达式
1）阻力
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力 ∝ 速度。 阻尼力
Fr=−γv=γ
dxdt
式中γ ：阻力系数 2）振动方程
讨论在阻力作用下的弹簧振子 弹性恢复力 –kx和阻力 −γv 受力：则有振动方程
dxd2x
−kx−γ=m2
dtdt
引入阻尼系数 β = γ /2m和固有频率 ω0=得阻尼振动(damped vibration)的微分方程
d2xdx
+2β+ω02x=02dtdt
当阻尼系数较小,系统作阻尼振动，这时微分方程的解为
A
x=Ae−βtcos(ωt+ϕ)ω2=O
·此方程的解应分三种情形讨论：
A
β
β 2 > ω2 称作过阻尼(overdamping) 阻尼振动曲线 β 2 = ω2 称作临界阻尼(critical damping )
22
欠阻尼
（二）、受迫振动(forced vibration)
系统在周期性外力的作用下所进行的振动，称为受迫振动。 1.系统受力：以弹簧振子为例， 弹性力 -kx 阻尼力 − γ v
周期性驱动力 f = F0 cosω t 2.振动方程：由牛顿定律有
ω
=
令
2 β = γ m
f = F m
dxd2x
−kx−γ+Fcosω pt=m2
dtdt
得微分方程
d2xdx2
+2β+ωx=fcosω pt0 2
dtdt
3 解：
x=A0e−βtcos(ωt+ϕ)+Acos(ωpt+φp)
在驱动力开始作用时，受迫振动的情况是较为复杂的，但经过不太长时间后，受迫振动达到稳定振动状态。受迫振动达到稳定振动状态,其运动方程称为其稳态解
4 特点：稳态时的受迫振动是简谐振动，但它不是无阻尼自由谐振动。 (1)角频率：等于驱动力的角频率 ωp
(2)振幅：·系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量，但同时有驱动力作功对系统输入
x=Acos(ωpt+φp)
能量，系统仍可维持等幅振动)。
其振幅由系统参数(ω0)、阻尼(β)、驱动力(F,ω p)共同决定。
A=
A的大小敏感于ω和ω0的相对大小关系，而和初始条件(x0、υ0)无关。
(3)初相：亦决定于ω0、β、和ω，与初始条件无关。
tanϕ=
−2βωp
ω02−ωp2
ϕ 值在-π ∼ 0之间。可见，位移x落后于驱动力f 的变化( f的初相为零)。
练习：请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动作一对比。 （三）、共振（resonance）
位移共振：当驱动力的角频率 ω 等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象。
速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅ωA达极大值的现象。 1 共振方程
共振振幅
共振角频率
d2xdx
+2β+
ω02x=fcosωpt2dtdt
Ar=
ωr
=
第三讲 振动与实用技术
一、 阻尼器 二、 共振与实用技术
1、 2、
3、
4、 5、
发动机转速计 发动机转速计 核磁共振 核磁共振 收音机调谐 收音机调谐 共振筛 共振筛 微波炉 微波炉
三、 共振的危害与防治
1、掌握简谐振动的特点， 理解简谐振动的三个特征量的物理意 义。 2、理解两个同方向、同频率的简谐振动的合成规律。掌握合振 动振幅最大和最小的条件，能用旋转矢量法分析有关问题。 3、进一步理解物理学分析问题、解决问题的思路和方法1 2 3振动的定义： 振动的定义 广义：任何一个物理量在某一量值附近发生周期性的变化，叫做振动。 狭义：物体在一定位置附近的往返运动，称为振动，也叫机械振动。位移 做机械振动的物体，在不同时刻处在平衡位置附近的不同位置上。运用位移 这个物理量可以对振动物体的空间位置的变化加以描述。 所谓振动物体的位移是相对平衡位置而言的。 把振动物体离开平衡位置的距 离成为振动物体的位移。位移的方向总是由平衡位置指向物体某时刻所在的位 置。 做机械振动的物体可以做直线运动，也可以做曲线运动。做直线运动的振动 物体其位移一般用符号 x（或 y）来表示，如弹簧振子。做曲线运动的振动物体 其位移可以用角位移 θ 来表示，如单摆。 2、 速度1、
速度是反映振动物体在某一时刻振动快慢及其振动方向的物理量。通常用 v 来表示，一般来说，机械振动是变速运动。 3、 加速度 加速度是反映振动物体速度变化快慢及其变化方向的物理量。 通常用 a 来表 示，一般来说，机械振动是变加速运动。振动最突出的特征是运动的周期性，为此引入振幅、周期、频率等物理量来 描述它们的周期性的运动特征。 1. 振幅 A：反映物体振动的强弱程度。大小由初始条件决定。数值上等于 物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值。 2. 周期、频率和角频率（反映物体振动快慢的物理量，由振动系统的性质 决定） （1）周期 T：振动物体完成一次全振动所需要的时间成为周期。单位是秒。 （2）频率ν ：单位时间内物体作全振动的次数称为频率。单位是赫兹。 （3）圆频率 ω ：在 2π s 内，物体作全振动的次数。 1 2π （4）周期、频率和角频率的关系：ν = ω= = 2πν T T 3. 相位、初相位 （1）相位 (ωt + ) ：反映谐振动状态的特征物理量。 （2）初相位 ：决定初始时刻的振动状态的物理量。一、弹簧振子模型 ★弹簧振子模型 一个劲度系数为 k 的轻弹簧的一端固定， 另一端系一质量为 m 的物体， 并置 于光滑水平面上。弹簧处于自然状态时的 物体位置 O 称为平衡位置。 当物体离开平 衡位置的距离为 x 时，在弹簧的弹性限度 x 范围内，物体将在平衡位置附近作往返运 B C O 动。这一由轻弹簧和物体构成的振动系统 称为弹簧振子，弹簧振子是一个理想模型。 1、 简谐振动的特征 、 （1）动力学特征 ） 根据弹簧振子模型，物体在运动过程中受的合外力就等于弹力。设平衡位 置 O 为坐标原点，以向右为 x 轴正向。当物体相对平衡位置的位移为 x 时：F= - kx 或 ma= - kx = md 2x = kx dt 2
md 2x = kx dt 2d 2x k + x=0 dt 2 m其中，x 为偏离平衡位置的位移；A 为振幅； (ωt + ) 为相位； 为初相位。 即一个振动系统的运动微分方程具有这种形式，那么该系统作简谐振动。 其中： ω =k 它是由振动系统本身性质决定的，代表了振动系统的特征，称为 m振动系统的固有角频率也叫圆频率。 即： 当物体受到的回复力的大小与物体离开平衡位置的位移的大小成正比且 方向相反。 （2）运动学特征： ）运动学特征： 简谐振动微分方程的解为： x = A cos(ωt + ) 简谐振动的振动速度： v = Aω sin(ωt + ) 简谐振动的振动加速度： a = Aω 2 cos(ωt + ) （3）能量特征 ） 振动动能： 1 1 E k = mv 2 = mω 2 A 2 sin 2 (ωt + ) 2 2 振动势能： 1 1 E p = kx 2 = kA 2 cos 2 (ωt + ) 2 2 振动系统总的机械能为： 1 1 E = E k + E p = mω 2 A 2 = kA 2 2 2 即：简谐振动系统的机械能是守恒的。 综上所述简谐振动的三个特征彼此相同，互相联系。 【例题 1】试证明单摆在摆幅很小又忽略空气阻力的情况下的运动是简谐振动。 例题 证明：如图所示：摆长为 l ，摆球质量为 m，忽略空气阻力，当摆球离开平 衡位置 O 时，重力沿切向的分力 G⊥ = G sin θ 是使小球回到平衡位置的回复力。 当摆角 θ 很小时（ θ
为 Gx / l = md 2x dt 2 d 2x g + x=0 dt 2 l整理得所以单摆在摆幅很小又忽略空气阻力的情况下的运动是简谐振动。 固定角频率为ω = g /l2、 简谐振动的描述方法 、 描述方法 （1）解析描述方法 ）解析描述方 将物理量随时间变化的关系用函数来描述的方法叫解析法， 亦称公式法。 即： x = A cos(ωt + ) v = Aω sin(ωt + ) a = Aω 2 cos(ωt + ) t = 0 时初位移为 x0 ，初速度为 v0 ，则 x0 = A cos ； v0 = ωA sin 。所以2 A = x0 + (v0ω)2； = arctan( v0 ) ωx 0【例题 2】弹簧振子 k=2N/m，小球质量 m=0.02kg，将其铅直悬挂，小球静止后， 向下轻击小球，使其获得 1m/s 的初速度，试确定小球的振动方程。 解：取弹簧振子静止时为平衡位置 O，小球做简谐振动。 向下建立 y 轴。则： ky = ma d2y k + y=0 dx 2 m y = A cos(ωt + )因此ω=k = m2 = 10rad / s 0.02v0 = Aω sin = 13π 2LO y3π ) 2y 0 = A cos = 0 所以A=0.1=x = 0.1 cos(10t +（2）旋转矢量法 一矢量在平面内绕点 O 以角速度 ω 沿逆时针作匀角速转动，这样的矢量称 为旋转矢量。用旋转矢量表示简谐振动时，t=t A t x O P t=0
设旋转矢量的长度等于简谐振动的振幅 A； 转动的角速度等于简谐振动的角频率 ω ；起 始时刻矢量与过圆心的 OX 轴的夹角为振动 的初相位 ，任意时刻 t，矢量与轴的夹角(ωt + ) 为相位。如图示。这样，当旋转矢量作匀角速度转动时，矢量末端在 OX 轴上的投影点围绕坐标原点作简谐振动。旋 转矢量每转一周，投影点在 OX 轴上完成一次全振动，所用的时间正是简谐振动 的周期。注意：圆周运动中的角速度和简谐振动中的角频率是两个不同概念的物 理量，只是在旋转矢量法中作出相应规定后，具有相同数值。 相位差 设有两个简谐振动，其角频率相同但振幅和初相位不同，即x1 = A1 cos(ωt + 1 )它们在任意时刻的相位差x 2 = A2 cos(ωt + 2 ) = 2 1可见两个相同频率的谐振动在任意时刻的相位差等于它们的初相差。若 2 > 1 ， 称为振动 2 超前振动 1 或振动 1 落后振动 2；若 2 = 1 ，称两振动同相；若 2 1 = 0 ，称为反相。【例题 8-4】弹簧振子沿 x 轴方向做简谐振动，振幅为 A，角频率为 ω ，设 t=0 时 ， 振 子 的 运 动 状 态 分 别 是 ： (1) x0 = A ； (2) x0 = 0 ， 向 x 轴 负 向 运 动 ；o(3) x0 = A / 2 ，向 x 轴正向运动，2.x =0 = /2O（2） x = A cos(ωt + π / 2) （3） x = A cos(ωt + 4π / 3)3.x =-A/2 =4 /3o【例题 8-5】两个物体做简谐振动，振幅相同，频率相同，第一个物体振动方程 为 x1 = A cos(ωt + 1 ) 。当第一个物体处于负方向端点时，第二个物体在 x 2 = A / 2 处，且向 x 轴正向运动，求： 1）两个振动的相位差； 2）第二个物体的振动方 （ （ 程。 解：由旋转矢量图得：(1) = 2 1 = 2π / 3O x 2 = 2π / 3 + 1o试用旋转矢量法确定振动方程。 解：由旋转矢量图得： （1） x = A cos ωtx A 1.x =A =0
设旋转矢量的长度等于简谐振动的振幅A； 转动的角速度等于简谐振动的角频率ω；起 始时刻矢量与过圆心的OX轴的夹角为振动 的初相位ϕ，任意时刻t，矢量与轴的夹角 (ωt+ϕ)为相位。如图示。这样，当旋转矢量
作匀角速度转动时，矢量末端在OX轴上的投影点围绕坐标原点作简谐振动。旋转矢量每转一周，投影点在OX轴上完成一次全振动，所用的时间正是简谐振动的周期。注意：圆周运动中的角速度和简谐振动中的角频率是两个不同概念的物理量，只是在旋转矢量法中作出相应规定后，具有相同数值。 相位差
设有两个简谐振动，其角频率相同但振幅和初相位不同，即
x1=A1cos(ωt+ϕ1) x2=A2cos(ωt+ϕ2)
它们在任意时刻的相位差 ∆ϕ=ϕ2−ϕ1
可见两个相同频率的谐振动在任意时刻的相位差等于它们的初相差。若ϕ2>ϕ1，称为振动2超前振动1或振动1落后振动2；若ϕ2=ϕ1，称两振动同相；若
ϕ2−ϕ1=0，称为反相。
【例题8-4】弹簧振子沿x轴方向做简谐振动，振幅为A，角频率为ω，设t=0时，振子的运动状态分别是：(1)x0=A；(2)x0=0，向x轴负向运动；(3)x0=−A/2，向x轴正向运动，
试用旋转矢量法确定振动方程。
解：由旋转矢量图得： （1）x=Acosωt
（2）x=Acos(ωt+π/2) （3）x=Acos(ωt+4π/3)
【例题8-5】两个物体做简谐振动，振幅相同，频率相同，第一个物体振动方程为x1=Acos(ωt+ϕ1)。当第一个物体处于负方向端点时，第二个物体在x2=A/2处，且向x轴正向运动，求：（1）两个振动的相位差；（2）第二个物体的振动方程。
解：由旋转矢量图得： (1) ∆ϕ=ϕ2−ϕ1=2π/3 ϕ2=2π/3+ϕ1
(2) x2=Acos(ωt+ϕ1+2π/3)
（3）振动曲线
用作图的方法画出物理量随时间的变化曲线称为图示法。因此可根据振动方程、画出位移、速度、加速度随时间的变化曲线。这些曲线称为振动曲线。 【例题3】一质点的振动位移曲线如图示，试写出其振动方程。
解：由图可知：A=4cm，
当t=0时，x0=A/2=Acosϕ 而v0=−ωAsinϕ
因此振动方程为 x=4cos(t+33
3、 简谐振动的合成
实际的振动，常常是几个振动合成的结果。一般的振动合成问题比较复杂，下面我们只讨论两个同方向、同频率的振动的合成，和相互垂直的两个同频率振动的合成。 （一）、同方向、同方向、同频率振动的合成
1. 若两个同方向的谐振动，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初
ππ
相分别为ϕ1和ϕ2，则它们的振动方程分别x1=A1cos(ωt+ϕ1) x2=A2cos(ωt+ϕ2)
因为两振动是同方向的，所以合 振动的位移x仍与两分振动同方向，
合振动位移为两个分振动位移的代数和， O即x=x1+x2
我们用旋转矢量法求出合振动位移。
如图所示，与两个振动相对应的旋转矢量分别为A1和A2，在t=0时，它们与x轴
的夹角分别为ϕ1和ϕ2，他们在x轴的投影分别是x1和x2。由平行四边形定则可vvv
知合矢量A=A1+A2，且与分矢量以同一角速度ω运动，因而其相对位置在旋转
过程中保持不变。合矢量在轴上的投影为合振动的位移，仍为谐振动，其频率与分振动频率相同。
合振动位移为：x=x1+x2=Acos(ωt+ϕ) 合振幅为：A=
2
A12+A2+2A1A2cos(ϕ2−ϕ1)
合振动的初相为：tanϕ=
A1sinϕ1+A2sinϕ2
A1cosϕ1+cosϕ2
2. 讨论：（1）若两分振动同相即相位差∆ϕ=ϕ2−ϕ1=±2kπ，当k=0,1,2L
时，cos(ϕ2−ϕ1)=1，可得：A=A1+A2即合振幅最大，合成的结果是两个振动相互加强。在波的干涉中称为干涉加强。
（2）若两分振动反相相即相位差∆ϕ=ϕ2−ϕ1=±(2k+1)π，
当k=0,1,2L时，cos(ϕ2−ϕ1)=−1，可得：A=A1+A2即合振幅最小，合成的结果是两个振动相互减弱。在波的干涉中称为干涉相消。
（3）一般情况下，相位差可取任意值，合振幅取值范围为：
A1+A2≤A≤A1+A2
（二）、相互垂直的同频率的谐振动的合成
设质点同时参与振动方向相互垂直的两个同频率的谐振动：一个沿x轴方向，另一个沿y轴方向，其振动方程分别为：
x=A1cos(ωt+ϕ1) y=A2cos(ωt+ϕ2)
根据运动叠加原理，质点的合振动是在xy平面上进行的。可得：
x2y2xy+−2cos(ϕ2−ϕ1)=sin2(ϕ2−ϕ1) A1A2A1A2
一般说来，相互垂直的两相同频率的谐振动合成后是椭圆运动，椭圆的形状
和运动方向取决于相位差的具体数值。对相位差同相和反相这两种情况，合运动是沿直线的谐振动；若0
二、 阻尼振动、受迫振动、共振
（一）、阻尼振动
振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动
阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类
：
1 阻尼振动的振动方程和表达式
1）阻力
对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小时，阻力 ∝ 速度。 阻尼力
Fr=−γv=γ
dxdt
式中γ ：阻力系数 2）振动方程
讨论在阻力作用下的弹簧振子 弹性恢复力 –kx和阻力 −γv 受力：则有振动方程
dxd2x
−kx−γ=m2
dtdt
引入阻尼系数 β = γ /2m和固有频率 ω0=得阻尼振动(damped vibration)的微分方程
d2xdx
+2β+ω02x=02dtdt
当阻尼系数较小,系统作阻尼振动，这时微分方程的解为
A
x=Ae−βtcos(ωt+ϕ)ω2=O
·此方程的解应分三种情形讨论：
A
β
β 2 > ω2 称作过阻尼(overdamping) 阻尼振动曲线 β 2 = ω2 称作临界阻尼(critical damping )
22
欠阻尼
（二）、受迫振动(forced vibration)
系统在周期性外力的作用下所进行的振动，称为受迫振动。 1.系统受力：以弹簧振子为例， 弹性力 -kx 阻尼力 − γ v
周期性驱动力 f = F0 cosω t 2.振动方程：由牛顿定律有
ω
=
令
2 β = γ m
f = F m
dxd2x
−kx−γ+Fcosω pt=m2
dtdt
得微分方程
d2xdx2
+2β+ωx=fcosω pt0 2
dtdt
3 解：
x=A0e−βtcos(ωt+ϕ)+Acos(ωpt+φp)
在驱动力开始作用时，受迫振动的情况是较为复杂的，但经过不太长时间后，受迫振动达到稳定振动状态。受迫振动达到稳定振动状态,其运动方程称为其稳态解
4 特点：稳态时的受迫振动是简谐振动，但它不是无阻尼自由谐振动。 (1)角频率：等于驱动力的角频率 ωp
(2)振幅：·系统作等幅振动(虽有阻力消耗能量，但同时有驱动力作功对系统输入
x=Acos(ωpt+φp)
能量，系统仍可维持等幅振动)。
其振幅由系统参数(ω0)、阻尼(β)、驱动力(F,ω p)共同决定。
A=
A的大小敏感于ω和ω0的相对大小关系，而和初始条件(x0、υ0)无关。
(3)初相：亦决定于ω0、β、和ω，与初始条件无关。
tanϕ=
−2βωp
ω02−ωp2
ϕ 值在-π ∼ 0之间。可见，位移x落后于驱动力f 的变化( f的初相为零)。
练习：请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫振动作一对比。 （三）、共振（resonance）
位移共振：当驱动力的角频率 ω 等于某个适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大值、振动很剧烈的现象。
速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统的固有角频率时，速度幅ωA达极大值的现象。 1 共振方程
共振振幅
共振角频率
d2xdx
+2β+
ω02x=fcosωpt2dtdt
Ar=
ωr
=
第三讲 振动与实用技术
一、 阻尼器 二、 共振与实用技术
1、 2、
3、
4、 5、
发动机转速计 发动机转速计 核磁共振 核磁共振 收音机调谐 收音机调谐 共振筛 共振筛 微波炉 微波炉
三、 共振的危害与防治