从平面走向空间

从平面走向空间

——类比思想在立体几何中的应用案例及思考

问题是数学的心脏, 数学正是因为不断地有新问题的提出和不断地被解决才充满蓬勃的生命力，而类比在数学发现中具有十分重要的作用.例如： 对于类比，德国天文学家、数学家开普勒就指出:“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的奥秘,在几何学中它应该是最不容忽视的”①. “推理与证明”是苏教版选修1-2中的第二章, 其中的类比推理是合情推理的一种重要形式.我校高二年级根据学生的实际情况, 教学时对这一章的内容进行了整合，其中包括了“立体几何中的推理与证明”专题. 下面是笔者在这个专题的第一节课---类比思想在立体几何中应用的案例片断,以及教后的思考.

1案例片断:

例1.证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和为定值.

如图，已知在△ABC(给定的)中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.求证: DE+DF为定值.

师: 请大家思考一下如何证明这个问题.

生: 如图，

连接AD，作BG⊥AC于G.

FB D G C A

∵AB=AC, ∴SABCSADCSADBACDEABDFAC(DEDF) 又∵SABCACBG,∴DE+DF=BG为定值.

师:很好!刚才我们证明的是一个平面几何问题，你能运用类比思想将命题从平面推广到空间吗？

生:正三棱锥底面上任意一点到三个侧面的距离和等于定值.

师: 你将平面中的三角形类比于空间中的三棱锥,这样做的合理性在哪里?你能解释一下吗？

(生暂无法说出).

师:请大家再仔细思考一下.可以从三角形在平面中的地位上加以考虑.

生:三角形是最简单的多边形,三棱锥是最简单的多面体!

师:对!三角形是由3条直线围成的封闭图形,在平面上两条直线围不成封闭图形!三棱锥是由4个平面围成的封闭体,在空间中三个平面围不成封闭体!它们都称为“单形”,三角形是二维单形,三棱锥是三维单形!

师:为什么平面中的等腰三角形类比于空间中的正三棱锥, 其合理性又在哪里? 生：等腰三角形两条边相等，而正三棱锥三个侧面全等.

师：很好！我们可以引入边界元素这个概念,三角形的边界元素为通常的边,三棱锥的边界元素为各个面.这样它们的共性就是:除一个边界元素(记为M)外的其他所有边界元素12121212

都相等(全等).那么如果我们推得的结论是正确的话,那么我们就可以把结论统一起来.也就是„?

生:边界元素M上的一点到其他所有边界元素(这些边界元素全相等)的距离和为定值. 师: 我们把这两个对象的共性理解得非常清楚的时候,类比的结论的可靠性会越好!那么刚才我们类比的结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？

生:正确，我可以用等体积转换的方法证明它!这是我由刚才那个平面问题的证明用等面积转换的方法想到的(简要说明证明的过程).

师:很好!这里不仅仅是内容层面的类比,更有方法层面上的类比.

下面我们一起来思考第二个问题:

例2.(1)平面几何中有射影定理:在△ABC中,∠C=90o,过C作斜边AB上的高CD,则CA2=AD·AB.请你类比这个定理,写出立体几何中的一个命题，并判断其正确性.若正确,请尝试给出证明. (2)平面几何中的勾股定理呢？

师:我们先考虑第一个问题.

生:在三棱锥P-ABC中,平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直,PO⊥平面ABC于O,则

ABC P 2SPABSOABSABC.

师:大家认为这个结论怎样?直角三角形和这样的三棱锥类比合理性在哪里?

生:它们的共性是除一个边界元素外其他的所有边界元素都两两垂直.这个结论揭示了边界元素及其射影之间的关系.我觉得是对的.

师:很好!大家能不能证明一下.

(在教师的引导下完成证明,这个证明是将问题转化成平面几何问题,没有借助于类比,过程略)

师:那么第二个问题呢?

3333生:条件可以同上,结论是SABCSPABSPBCSPCA.（*）

师:大家觉得这个结论正确吗？

2222生:不对,上面次数应该是2! SABCSPABSPBCSPCA.（**）

师:为什么?

生:可以用特殊情形检验,比如三条两两垂直的棱长为1.

师: 嗯,这样做是比较明智的.类比的结论是否正确我们要先进行判断，然后进行调整，（*）不正确，调整后的（**）正确吗？

生：正确.

师:如何证明?

生:设两两垂直的三条棱分别是a,b,c, （**）式的右边很容易，ABC的面积用海伦公式计算．

师：嗯，很好，你在下面算算看．

生：ABC的面积可以这样算，可以用余弦定理先算一个角的余弦，再算它的正弦，最后用面积公式SabsinC求解．

师：你也可以自己算一算．（绝大部分学生在计算）

一学生说：我有好办法！在平面几何中，我们可以用射影定理来证明勾股定理，我们可以类比其方法，用刚刚获证的空间的“射影定理”证明这个空间的“勾股定理”！具体的过程就是: 由空间的“射影定理”得12

222SPABSOABSABC,SPBCSOBCSABC,SPCASOCASABC.然后将三式相加即得.

其他生惊讶：对，太好了！

师：不错！我们回顾一下刚才这位同学的思维模式：

从上面的例子，我们可以说：方法层面上的类比在很多时候对于证明思路的探求是有帮助的.

2 几点思考：

(1) 在前一阶段的教学中,我曾与个别学生做过交流.她坦言自己在做一些类比的问题的时候,总觉得没有把握,好像就是在猜谜.诚然, 类比的结论可能会有多种,这些类比所得结论有些甚至全部都可能会是错误的.但是,本质的问题出在这个地方:学生对于可以作类比的两个对象之间的共性或者说相似性把握不够清楚,带有很大的随意性.所以教师应该引导学生关注类比的对象是什么,有什么合理性,两个对象的元素是怎样对应的,又有什么合理性.这样可以最大程度地帮助学生减少类比的盲目性.

(2) 既要学会猜测,也要学会论证.在证明之前应该做适当的估计,可以借助于特殊化或者极端化的思想来检验.例如案例中出现的3次幂,可以通过特殊化的方法进行检验.对于认为比较合理的结论勇于尝试证明,可以适当借鉴原命题的证明方法,这是方法层面上的类比.这种探求证明思路的方式有时会显得尤为重要,比如根据例1类比所得结论的证明就可以借助于平面问题中的面积分割的想法.解决立体几何问题一般来讲常用的两种思路是:一是转化为平面几何问题,二是寻找一个平面几何相似的对象, 通过类比获解② .这说明类比在解决立体几何问题中的作用是不可忽视的，所以应该引起高度的重视.

参考文献:

①郑毓信,数学方法论入门[M],p29,杭州:浙江教育出版社,2006

②钱珮玲,中学数学思想方法[M],p55,北京:北京师范大学出版社,2001

作者: 吕建华

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——类比思想在立体几何中的应用案例及思考

问题是数学的心脏, 数学正是因为不断地有新问题的提出和不断地被解决才充满蓬勃的生命力，而类比在数学发现中具有十分重要的作用.例如： 对于类比，德国天文学家、数学家开普勒就指出:“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的奥秘,在几何学中它应该是最不容忽视的”①. “推理与证明”是苏教版选修1-2中的第二章, 其中的类比推理是合情推理的一种重要形式.我校高二年级根据学生的实际情况, 教学时对这一章的内容进行了整合，其中包括了“立体几何中的推理与证明”专题. 下面是笔者在这个专题的第一节课---类比思想在立体几何中应用的案例片断,以及教后的思考.

1案例片断:

例1.证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和为定值.

如图，已知在△ABC(给定的)中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.求证: DE+DF为定值.

师: 请大家思考一下如何证明这个问题.

生: 如图，

连接AD，作BG⊥AC于G.

FB D G C A

∵AB=AC, ∴SABCSADCSADBACDEABDFAC(DEDF) 又∵SABCACBG,∴DE+DF=BG为定值.

师:很好!刚才我们证明的是一个平面几何问题，你能运用类比思想将命题从平面推广到空间吗？

生:正三棱锥底面上任意一点到三个侧面的距离和等于定值.

师: 你将平面中的三角形类比于空间中的三棱锥,这样做的合理性在哪里?你能解释一下吗？

(生暂无法说出).

师:请大家再仔细思考一下.可以从三角形在平面中的地位上加以考虑.

生:三角形是最简单的多边形,三棱锥是最简单的多面体!

师:对!三角形是由3条直线围成的封闭图形,在平面上两条直线围不成封闭图形!三棱锥是由4个平面围成的封闭体,在空间中三个平面围不成封闭体!它们都称为“单形”,三角形是二维单形,三棱锥是三维单形!

师:为什么平面中的等腰三角形类比于空间中的正三棱锥, 其合理性又在哪里? 生：等腰三角形两条边相等，而正三棱锥三个侧面全等.

师：很好！我们可以引入边界元素这个概念,三角形的边界元素为通常的边,三棱锥的边界元素为各个面.这样它们的共性就是:除一个边界元素(记为M)外的其他所有边界元素12121212

都相等(全等).那么如果我们推得的结论是正确的话,那么我们就可以把结论统一起来.也就是„?

生:边界元素M上的一点到其他所有边界元素(这些边界元素全相等)的距离和为定值. 师: 我们把这两个对象的共性理解得非常清楚的时候,类比的结论的可靠性会越好!那么刚才我们类比的结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？

生:正确，我可以用等体积转换的方法证明它!这是我由刚才那个平面问题的证明用等面积转换的方法想到的(简要说明证明的过程).

师:很好!这里不仅仅是内容层面的类比,更有方法层面上的类比.

下面我们一起来思考第二个问题:

例2.(1)平面几何中有射影定理:在△ABC中,∠C=90o,过C作斜边AB上的高CD,则CA2=AD·AB.请你类比这个定理,写出立体几何中的一个命题，并判断其正确性.若正确,请尝试给出证明. (2)平面几何中的勾股定理呢？

师:我们先考虑第一个问题.

生:在三棱锥P-ABC中,平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直,PO⊥平面ABC于O,则

ABC P 2SPABSOABSABC.

师:大家认为这个结论怎样?直角三角形和这样的三棱锥类比合理性在哪里?

生:它们的共性是除一个边界元素外其他的所有边界元素都两两垂直.这个结论揭示了边界元素及其射影之间的关系.我觉得是对的.

师:很好!大家能不能证明一下.

(在教师的引导下完成证明,这个证明是将问题转化成平面几何问题,没有借助于类比,过程略)

师:那么第二个问题呢?

3333生:条件可以同上,结论是SABCSPABSPBCSPCA.（*）

师:大家觉得这个结论正确吗？

2222生:不对,上面次数应该是2! SABCSPABSPBCSPCA.（**）

师:为什么?

生:可以用特殊情形检验,比如三条两两垂直的棱长为1.

师: 嗯,这样做是比较明智的.类比的结论是否正确我们要先进行判断，然后进行调整，（*）不正确，调整后的（**）正确吗？

生：正确.

师:如何证明?

生:设两两垂直的三条棱分别是a,b,c, （**）式的右边很容易，ABC的面积用海伦公式计算．

师：嗯，很好，你在下面算算看．

生：ABC的面积可以这样算，可以用余弦定理先算一个角的余弦，再算它的正弦，最后用面积公式SabsinC求解．

师：你也可以自己算一算．（绝大部分学生在计算）

一学生说：我有好办法！在平面几何中，我们可以用射影定理来证明勾股定理，我们可以类比其方法，用刚刚获证的空间的“射影定理”证明这个空间的“勾股定理”！具体的过程就是: 由空间的“射影定理”得12

222SPABSOABSABC,SPBCSOBCSABC,SPCASOCASABC.然后将三式相加即得.

其他生惊讶：对，太好了！

师：不错！我们回顾一下刚才这位同学的思维模式：

从上面的例子，我们可以说：方法层面上的类比在很多时候对于证明思路的探求是有帮助的.

2 几点思考：

(1) 在前一阶段的教学中,我曾与个别学生做过交流.她坦言自己在做一些类比的问题的时候,总觉得没有把握,好像就是在猜谜.诚然, 类比的结论可能会有多种,这些类比所得结论有些甚至全部都可能会是错误的.但是,本质的问题出在这个地方:学生对于可以作类比的两个对象之间的共性或者说相似性把握不够清楚,带有很大的随意性.所以教师应该引导学生关注类比的对象是什么,有什么合理性,两个对象的元素是怎样对应的,又有什么合理性.这样可以最大程度地帮助学生减少类比的盲目性.

(2) 既要学会猜测,也要学会论证.在证明之前应该做适当的估计,可以借助于特殊化或者极端化的思想来检验.例如案例中出现的3次幂,可以通过特殊化的方法进行检验.对于认为比较合理的结论勇于尝试证明,可以适当借鉴原命题的证明方法,这是方法层面上的类比.这种探求证明思路的方式有时会显得尤为重要,比如根据例1类比所得结论的证明就可以借助于平面问题中的面积分割的想法.解决立体几何问题一般来讲常用的两种思路是:一是转化为平面几何问题,二是寻找一个平面几何相似的对象, 通过类比获解② .这说明类比在解决立体几何问题中的作用是不可忽视的，所以应该引起高度的重视.

参考文献:

①郑毓信,数学方法论入门[M],p29,杭州:浙江教育出版社,2006

②钱珮玲,中学数学思想方法[M],p55,北京:北京师范大学出版社,2001

作者: 吕建华

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