反证法证明线性无关
线性无关是线性代数中的一个重要问题，它被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中，有关线性无关的许多问题都可用反证法来解决．
例1 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A k -1(ξ) ≠0，但A k (ξ) =0，求证ξ，A (ξ) ，，A k -1(ξ) (k >0) 线性无关．
证明 假设ξ，A (ξ) ，，A k -1(ξ) 线性相关，则存在不全为零的数l 0, l 1, , l k -1，使得
l 0ξ+l 1A (ξ) ++l k -1A k -1(ξ) =0．
假设l i 是不等于零的系数中下标最小的一个，则有
l i A i (ξ) +l i +1A i +1(ξ) +
等式两端同作变换A k -i -1，得 +l k -1A k -1(ξ) =0．
l i A k -1(ξ) +l i +1A k (ξ) ++l k -1A 2k -i -2(ξ) =0，
由A k (ξ) =0，得l i A k -1(ξ) =0，从而l i =0，这与假设矛盾，故ξ，A (ξ) ，，A k -1(ξ) (k >0) 线性无关．
例2 若f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，证明它们线性无关．
证明 假设f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 线性相关，则存在不全为零的k 1, k 2, k 3，使得
k 1f 1(x ) +k 2f 2(x ) +k 3f 3(x ) =0．
不妨设k 1≠0，则
f 1(x ) =-k 2k f 2(x ) -3f 3(x ) ， k 1k 1
由此知，f 2(x ) 与f 3(x ) 的公因式是f 1(x ) 的因式，这与已知条件矛盾，从而知f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 线性无关．
反证法证明线性无关
线性无关是线性代数中的一个重要问题，它被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中，有关线性无关的许多问题都可用反证法来解决．
例1 设A 是线性空间V 上的线性变换，如果A k -1(ξ) ≠0，但A k (ξ) =0，求证ξ，A (ξ) ，，A k -1(ξ) (k >0) 线性无关．
证明 假设ξ，A (ξ) ，，A k -1(ξ) 线性相关，则存在不全为零的数l 0, l 1, , l k -1，使得
l 0ξ+l 1A (ξ) ++l k -1A k -1(ξ) =0．
假设l i 是不等于零的系数中下标最小的一个，则有
l i A i (ξ) +l i +1A i +1(ξ) +
等式两端同作变换A k -i -1，得 +l k -1A k -1(ξ) =0．
l i A k -1(ξ) +l i +1A k (ξ) ++l k -1A 2k -i -2(ξ) =0，
由A k (ξ) =0，得l i A k -1(ξ) =0，从而l i =0，这与假设矛盾，故ξ，A (ξ) ，，A k -1(ξ) (k >0) 线性无关．
例2 若f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，证明它们线性无关．
证明 假设f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 线性相关，则存在不全为零的k 1, k 2, k 3，使得
k 1f 1(x ) +k 2f 2(x ) +k 3f 3(x ) =0．
不妨设k 1≠0，则
f 1(x ) =-k 2k f 2(x ) -3f 3(x ) ， k 1k 1
由此知，f 2(x ) 与f 3(x ) 的公因式是f 1(x ) 的因式，这与已知条件矛盾，从而知f 1(x ) ，f 2(x ) ，f 3(x ) 线性无关．