分式知识点总结

分式

知识点一：分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子

B为分母。

知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（B0）

②分式无意义：分母为0（B0）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（A叫做分式，A为分子，BA0）

B0

A0A0④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） B0B0

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（A0A0或）

B0B0

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：AACAAC，，其中A、B、C是整式，C0。 BBCBBC

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

AAAA BBBB

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分

① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等

的同分母分式，叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： acac bdbd

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

acadad bdbcbc

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

anan bb

③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 n

abab ccc

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

acadbc bdbd

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随

便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点六整数指数幂

① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的

法则对对负整数指数幂一样适用。即

★aaa

nnmnmn ★amnamn mnmn★abab ★aaa （a0） n

an1an★n ★an （a0） bab

★a1 （a0） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。 0n

科学记数法

n若一个数x是0

n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如1.2510

7个0 -7

n若一个数x是x>10的数则可以表示为a10（1a10，即a的整数部分只有一位，n

为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如1.210 知识点七分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。

例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.

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分式

知识点一：分式的定义

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子

B为分母。

知识点二：与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0（B0）

②分式无意义：分母为0（B0）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（A叫做分式，A为分子，BA0）

B0

A0A0④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） B0B0

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（A0A0或）

B0B0

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：AACAAC，，其中A、B、C是整式，C0。 BBCBBC

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

AAAA BBBB

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分

① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等

的同分母分式，叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： acac bdbd

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

acadad bdbcbc

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

anan bb

③ 分式的加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 n

abab ccc

异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为

acadbc bdbd

整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随

便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

知识点六整数指数幂

① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的

法则对对负整数指数幂一样适用。即

★aaa

nnmnmn ★amnamn mnmn★abab ★aaa （a0） n

an1an★n ★an （a0） bab

★a1 （a0） （任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。 0n

科学记数法

n若一个数x是0

n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如1.2510

7个0 -7

n若一个数x是x>10的数则可以表示为a10（1a10，即a的整数部分只有一位，n

为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如1.210 知识点七分式方程的解的步骤

⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。

例如: 设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.

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