1．合情推理 (1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) ． ②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) ． ②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *) ．( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×
)
1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，„，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 C ．123 答案 C
解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.
2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理
C ．使用了“三段论”，但推理形式错误 D ．使用了“三段论”，但小前提错误 答案 C
解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
3．(2014·福建) 已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201
解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到a ≠2，⎧⎪
⎨b ≠2，⎪⎩c ＝0，
B ．76 D ．199
由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b
＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾； b ＝2，⎧⎪
若②正确，则①③不正确，得到⎨a ＝2，
⎪⎩c ＝0，
与互异性矛盾；
c ≠0，⎧⎪
若③正确，则①②不正确，得到⎨a ＝2，
⎪⎩b ≠2，
a ＝2，⎧⎪
则⎨b ＝0，⎪⎩c ＝1，
符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是( ) A ．①② C ．③④ 答案 D
解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 5．(教材改编) 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋„＋a n ＝a 1＋a 2＋„＋a 19－n (n
)
B ．②③ D ．①④
题型一 归纳推理
命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西) 观察下列等式： 11
1 22
111111＋， 23434
111111111－＝ 23456456„
据此规律，第n 个等式可为_________________________________________________． 11111111
答案 1－＋„＋－＋＋„＋
2342n 2n －12n n ＋1n ＋2
解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，11111
故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1＋＋„＋等式右边的特征：
2342n －12n
第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发111
现第n ＋„2n n ＋1n ＋2命题点2 与不等式有关的推理
14x x 427x x x
例2 已知x ∈(0，＋∞) ，观察下列各式：x ＋2，x ＋＋3，x ＋＝x x 22x x 33327a *
≥4，„，类比得x ＋≥n ＋1(n ∈N ) ，则a ＝________. x x 答案 n n
解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理
例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，„，第n n (n ＋1)121＋n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3) ，以下列出了部分k 边
222形数中第n 个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数
„„„„„„„„„„„„„„„
可以推测N (n ，k ) 的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000
k －224－k
解析 由N (n, 4) ＝n 2，N (n, 6) ＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k ) n ＋，
2224－24－24
∴N (10,24)＝100＋×10
22＝1 100－100＝1 000.
命题点4 与图形变化有关的推理
例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两1
夹角为120°3线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，„，依此规律得到n 级分形图．
11
N (n, 3) ＝2＋，
22N (n, 4) ＝n 2， 31
N (n, 5) ＝2－，
22N (n, 6) ＝2n 2－n
(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． 2n
答案 (1)3×2n －3 (2)9－9×⎛⎝3
解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3) 条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3) 条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3) 条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3) (n ∈N *) ．
1
(2)∵∴n 级分形图中第n 级的
32n －1*⎛2所有线段的长度和为b n ＝3×⎛ (n ∈N ) ，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S ＝3×n ⎝3⎝3⎛2⎫n
1－210⎛2n －1＝3⎝3⎭＝9－9×⎛2n . ＋3×⎛＋„＋3×⎝3⎝3⎝3213
思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．
(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层) ，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，„，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(
)
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
答案 (1)183 (2)C
解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，„，第n (n ≥2，n ∈N *) 层的点数为6(n －1) ．设一个点阵有6＋6(n －1)
n (n ≥2，n ∈N *) 层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋„＋6(n －1) ＝1＋(n －1) ＝3n 2
2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8) ＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理
nb －ma 例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *) ，则a m ＋n ＝n －m 类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *) ，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *) ，则可以得到b m ＋n ＝________. n －m 答案
c 解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . nb －ma －
因为a n ＝a 1＋(n －1) d ，b n ＝b 1q n 1，a m ＋n ＝，
n －m n －m 所以类比得b m ＋n ＝.
c 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜
想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P
P P P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：＋＋1. 把它类比到空间，
h a h b h c 则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案
P P P P ＋＝1 h a h b h c h d
解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一P P P P 点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：＋h a h b h c h d 1.
题型三 演绎推理
n ＋2
例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n (n ∈N *) ．证明：
n
⎧S ⎫
(1)数列⎨n ⎬是等比数列；
⎩⎭
(2)S n ＋1＝4a n .
n ＋2
证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝，
n n ∴(n ＋2) S n ＝n (S n ＋1－S n ) ，即nS n ＋1＝2(n ＋1) S n . ∴
S n ＋1S S ＝1≠0，(小前提)
n 1n ＋1
⎩⎭
⎧S ⎫
故⎨n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知
S ＋S －(n ≥2) ， n ＋1n －1
S n －1n －1＋2
∴S n ＋1＝4(n ＋＝·S n －1
n －1n －1＝4a n (n ≥2) ，(小前提)
又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参
议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 C ．推理形式错误 答案 C
解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．
10．高考中的合情推理问题
典例1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
B ．小前提错误 D ．非以上错误
将三角形数1,3,6,10，„记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：
(1)b 2 014是数列{a n }的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 解析 (1)a n ＝1＋2＋„＋n ＝4×5b 1＝a 4，
25×6b 2＝a 5，
29(2×5)b 3＝＝a 9，
2(2×5)×11b 4＝＝a 10，
214×(3×5)b 5＝a 14，
2(3×5)×16b 6＝a 15，
2„
n (n ＋1)
， 2
b 2 014＝
⎛2 014×5⎫⎛2 014×5＋1⎫⎝2⎭⎝2⎭
2
＝a 5 035.
(2)由(1)知
b 2k －1＝＝
⎛2k －1＋15－1⎫⎛2k －1＋15⎫
22⎝⎭⎝⎭
2
5k (5k －1). 2
5k (5k －1)
答案 (1)5 035 (2)
2
典例2 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x ) 满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1
B ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0
C ．A ＝{x |0
解析 对选项A ，取f (x ) ＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；－8，x ＝－1，⎧⎪
对选项B ，取f (x ) ＝⎨x ＋1，－1
⎪⎩x 2＋1，0
是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x ) ＝tan(πx －x
2B ＝R 是“保序同构”的，应排除C. 选D. 答案 D
温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．
(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．
[方法与技巧]
1．合情推理的过程概括为
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]
1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，
书写格式的规范性．
3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)
1．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
x 2y 2
C ．由圆x ＋y ＝r 的面积πr ，猜想出椭圆＋＝1的面积S ＝πab
a b
2
2
2
2
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B
解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.
2．正弦函数是奇函数，f (x ) ＝sin(x 2＋1) 是正弦函数，因此f (x ) ＝sin(x 2＋1) 是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 C ．小前提不正确 答案 C
解析 f (x ) ＝sin(x 2＋1) 不是正弦函数，所以小前提错误．
3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n ) 个区域，则f (n ) 的表达式为( ) A ．n ＋1 n 2＋n ＋2
2答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2) ＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3) ＝7个区域；„„；n 条直线最多可将平面分成1＋n (n ＋1)n 2＋n ＋2
(1＋2＋3＋„＋n ) ＝1＋个区域，选C.
224．给出下列三个类比结论：
①(ab ) n ＝a n b n 与(a ＋b ) n 类比，则有(a ＋b ) n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy ) ＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β) 类比，则有sin(α＋β) ＝sin αsin β； ③(a ＋b ) 2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b ) 2类比，则有(a ＋b ) 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 C ．2 答案 B
解析 (a ＋b ) n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0) ，故①错误． sin(α＋β) ＝sin αsin β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
3
， 4
B ．1 D ．3 B ．2n D ．n 2＋n ＋1 B ．大前提不正确 D ．全不正确
a 1＋a 2＋„＋a n 5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝) 也为等差数列．类比这一性质可n
知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )
c 1＋c 2＋„＋c n A ．d n ＝ n
n c ＋c ＋„＋c 12n C ．d n ＝ n
答案 D
n (n －1)解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋„＋a n ＝na 1＋， 2
(n －1)d d ∴b n ＝a 1＝n ＋a 1{b n }为等差数列； 222
若{c n }是等比数列，
则c 1·c 2·„·c n ＝c n q 11·＋2＋„＋(n －1) c 1·c 2·„·c n B ．d n ＝n n D ．d n ＝c 1·c 2·„·c n ＝c n q 1·n (n －1) 2
n －1n ∴d n ＝c 1·c 2·„·c n ＝c 1·q {d n }为等比数列，故选D. 2
6．观察下列不等式：
131＋
1151＋＋ 233
11171＋＋＋ 2344
„„
照此规律，第五个不等式为________________________．
1111111答案 1＋＋＋＋
解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
1111111故第五个不等式为1＋＋＋＋234566
x 2y 2
7．若P 0(x 0，y 0) 在椭圆1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切a b
点弦P 1P 2所在的直线方程是x x y y 1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0) 在双a b x 2y 2
－＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所a b
在直线的方程是________________．
答案 x x y y －1 a b 解析 设P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，
则P 1，P 2的切线方程分别是
x x y y x x y y 1，－＝1. a b a b 因为P 0(x 0，y 0) 在这两条切线上，
x x y y x x y y －1－1， a b a b x x y y 这说明P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2) －＝1上， a b x x y y 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是－＝1. a b 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋„＋a 20a 1＋a 2＋„＋a 30，则在等比数列{b n }中，会有1030
类似的结论：______________________.
答案 10b 11b 12„b 20＝30b 1b 2„b 30
解析 由等比数列的性质可知
b 1b 30＝b 2b 29＝„＝b 11b 20， ∴10b 11b 12„b 20＝
x 30b 1b 2„b 30. 9．设f (x ) ＝1f (0)＋f (1)，f (－1) ＋f (2)，f (－2) ＋f (3)，然后归纳猜想一般性结3＋3
论，并给出证明．
11解 f (0)＋f (1)＝0＋1333＋3＝3－13－3113＋＝ 263133＋3
3， 3同理可得：f (－1) ＋f (2)＝
f (－2) ＋f (3)3，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 3
归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，
均有f (x 1) ＋f (x 2) ＝33
证明：设x 1＋x 2＝1，
11f (x 1) ＋f (x 2) 3x 133x 23
==
=== 11110．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，＋，那么在四面体A —BCD AD AB AC 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解 如图所示，由射影定理得
AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，
AC 2＝BC ·DC ，
∴11 AD BD ·DC
BC 2BC 2
＝＝BD ·BC ·DC ·BC AB ·AC 又BC 2＝AB 2＋AC 2，
AB 2＋AC 2111∴. AD AB ·AC AB AC 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，
则1111. ＋AE AB AC AD 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF
.
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，
AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，
∴AB ⊥平面ACD .
∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，
∴111. AE AB AF 111在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴ AF AC AD
∴1111. ＋AE AB AC AD B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是( )
A ．正方形的对角线相等
B ．矩形的对角线相等
C ．正方形是矩形
D ．其他
答案 A
解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．
12. 如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环
R ＋r 的面积S ＝π(R 2－r 2) ＝(R －r ) ×2π. 所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以2
R ＋r AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×2
展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d ) 2＋y 2≤r 2}(其中0
)
A ．2πr 2d
C ．2πrd 2
答案 B
解析 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2) 为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d ，选B.
13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比B ．2π2r 2d D ．2π2rd 2 S OM 1N 1
S OM 2N 2＝OM ON . 如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ OM 2ON 2
和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为_________________．
答案 V O -PQ 11R 1
V O -P 2Q 2R 2OP OQ OR OP 2OQ 2OR 2
解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比
V O -PQ OQ OR OP 11R 1为，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为＝OQ 2OR 2OP 2V O -P 2Q 2R 2
OP OQ OR OP 2OQ 2OR 2
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；
②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；
③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；
④sin 2(－18°) ＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin 2(－25°) ＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
1sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30° 2
13＝1. 44
(2)三角恒等式为
3sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin α·cos(30°－α) ＝4
证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin α·cos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) 2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
33131＝sin 2α＋2αsin αcos α＋2α－sin αcos α－sin 2α 42422
31333＝sin 2α＋2α2α＝2α＋cos 2α＝. 44444
15．对于三次函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) ，给出定义：设f ′(x ) 是函数y ＝f (x ) 的导数，f ″(x ) 是f ′(x ) 的导数，若方程f ″(x ) ＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0)) 为函数y ＝f (x ) 的“拐点”．某
同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且
115“拐点”就是对称中心．若f (x ) 32＋3x －，请你根据这一发现， 3212
(1)求函数f (x ) 的对称中心；
12342 012(2)计算f ) ＋f () ＋f (＋f (＋„＋f () ． 2 0132 0132 0132 0132 013
解 (1)f ′(x ) ＝x 2－x ＋3，f ″(x ) ＝2x －1，
1由f ″(x ) ＝0，即2x －1＝0，解得x 2
1111115f ＝(3×2＋3×－＝1. 23222212
1151由题中给出的结论，可知函数f (x ) 3－2＋3x －的对称中心为(1) ． 32122
1151(2)由(1)，知函数f (x ) ＝x 3－2＋3x (1) ， 32122
11所以f (＋x ) ＋f (x ) ＝2， 22
即f (x ) ＋f (1－x ) ＝2.
12 012故f () ＋f () ＝2， 2 0132 013
22 011f ) ＋f (＝2， 2 0132 013
32 010f ) ＋f (＝2， 2 0132 013
„
2 0121f ) ＋f (＝2. 2 0132 013
12342 0121所以f (＋f (＋f () ＋f () ＋„＋f (＝2×2 012＝2 012. 2 0132 0132 0132 0132 0132
1．合情推理 (1)归纳推理
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) ． ②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) ． ②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × ) (4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N *) ．( × ) (6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×
)
1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，„，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 C ．123 答案 C
解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.
2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理
C ．使用了“三段论”，但推理形式错误 D ．使用了“三段论”，但小前提错误 答案 C
解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
3．(2014·福建) 已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201
解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到a ≠2，⎧⎪
⎨b ≠2，⎪⎩c ＝0，
B ．76 D ．199
由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b
＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾； b ＝2，⎧⎪
若②正确，则①③不正确，得到⎨a ＝2，
⎪⎩c ＝0，
与互异性矛盾；
c ≠0，⎧⎪
若③正确，则①②不正确，得到⎨a ＝2，
⎪⎩b ≠2，
a ＝2，⎧⎪
则⎨b ＝0，⎪⎩c ＝1，
符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是( ) A ．①② C ．③④ 答案 D
解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 5．(教材改编) 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋„＋a n ＝a 1＋a 2＋„＋a 19－n (n
)
B ．②③ D ．①④
题型一 归纳推理
命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西) 观察下列等式： 11
1 22
111111＋， 23434
111111111－＝ 23456456„
据此规律，第n 个等式可为_________________________________________________． 11111111
答案 1－＋„＋－＋＋„＋
2342n 2n －12n n ＋1n ＋2
解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，11111
故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1＋＋„＋等式右边的特征：
2342n －12n
第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发111
现第n ＋„2n n ＋1n ＋2命题点2 与不等式有关的推理
14x x 427x x x
例2 已知x ∈(0，＋∞) ，观察下列各式：x ＋2，x ＋＋3，x ＋＝x x 22x x 33327a *
≥4，„，类比得x ＋≥n ＋1(n ∈N ) ，则a ＝________. x x 答案 n n
解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理
例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，„，第n n (n ＋1)121＋n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3) ，以下列出了部分k 边
222形数中第n 个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数
„„„„„„„„„„„„„„„
可以推测N (n ，k ) 的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000
k －224－k
解析 由N (n, 4) ＝n 2，N (n, 6) ＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k ) n ＋，
2224－24－24
∴N (10,24)＝100＋×10
22＝1 100－100＝1 000.
命题点4 与图形变化有关的推理
例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两1
夹角为120°3线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，„，依此规律得到n 级分形图．
11
N (n, 3) ＝2＋，
22N (n, 4) ＝n 2， 31
N (n, 5) ＝2－，
22N (n, 6) ＝2n 2－n
(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________． 2n
答案 (1)3×2n －3 (2)9－9×⎛⎝3
解析 (1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3) 条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3) 条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3) 条线段，按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝(3×2n －3) (n ∈N *) ．
1
(2)∵∴n 级分形图中第n 级的
32n －1*⎛2所有线段的长度和为b n ＝3×⎛ (n ∈N ) ，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S ＝3×n ⎝3⎝3⎛2⎫n
1－210⎛2n －1＝3⎝3⎭＝9－9×⎛2n . ＋3×⎛＋„＋3×⎝3⎝3⎝3213
思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解． (3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
(1)观察下图，可推断出“x ”处应该填的数字是________．
(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层) ，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，„，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(
)
A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
答案 (1)183 (2)C
解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，„，第n (n ≥2，n ∈N *) 层的点数为6(n －1) ．设一个点阵有6＋6(n －1)
n (n ≥2，n ∈N *) 层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋„＋6(n －1) ＝1＋(n －1) ＝3n 2
2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8) ＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理
nb －ma 例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *) ，则a m ＋n ＝n －m 类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *) ，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *) ，则可以得到b m ＋n ＝________. n －m 答案
c 解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . nb －ma －
因为a n ＝a 1＋(n －1) d ，b n ＝b 1q n 1，a m ＋n ＝，
n －m n －m 所以类比得b m ＋n ＝.
c 思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜
想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．
在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P
P P P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：＋＋1. 把它类比到空间，
h a h b h c 则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案
P P P P ＋＝1 h a h b h c h d
解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一P P P P 点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：＋h a h b h c h d 1.
题型三 演绎推理
n ＋2
例6 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n (n ∈N *) ．证明：
n
⎧S ⎫
(1)数列⎨n ⎬是等比数列；
⎩⎭
(2)S n ＋1＝4a n .
n ＋2
证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝，
n n ∴(n ＋2) S n ＝n (S n ＋1－S n ) ，即nS n ＋1＝2(n ＋1) S n . ∴
S n ＋1S S ＝1≠0，(小前提)
n 1n ＋1
⎩⎭
⎧S ⎫
故⎨n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知
S ＋S －(n ≥2) ， n ＋1n －1
S n －1n －1＋2
∴S n ＋1＝4(n ＋＝·S n －1
n －1n －1＝4a n (n ≥2) ，(小前提)
又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参
议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 C ．推理形式错误 答案 C
解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．
10．高考中的合情推理问题
典例1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
B ．小前提错误 D ．非以上错误
将三角形数1,3,6,10，„记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：
(1)b 2 014是数列{a n }的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 解析 (1)a n ＝1＋2＋„＋n ＝4×5b 1＝a 4，
25×6b 2＝a 5，
29(2×5)b 3＝＝a 9，
2(2×5)×11b 4＝＝a 10，
214×(3×5)b 5＝a 14，
2(3×5)×16b 6＝a 15，
2„
n (n ＋1)
， 2
b 2 014＝
⎛2 014×5⎫⎛2 014×5＋1⎫⎝2⎭⎝2⎭
2
＝a 5 035.
(2)由(1)知
b 2k －1＝＝
⎛2k －1＋15－1⎫⎛2k －1＋15⎫
22⎝⎭⎝⎭
2
5k (5k －1). 2
5k (5k －1)
答案 (1)5 035 (2)
2
典例2 设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x ) 满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1
B ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0
C ．A ＝{x |0
解析 对选项A ，取f (x ) ＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；－8，x ＝－1，⎧⎪
对选项B ，取f (x ) ＝⎨x ＋1，－1
⎪⎩x 2＋1，0
是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x ) ＝tan(πx －x
2B ＝R 是“保序同构”的，应排除C. 选D. 答案 D
温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．
(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．
[方法与技巧]
1．合情推理的过程概括为
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→ 归纳、类比―→提出猜想
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行． [失误与防范]
1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，
书写格式的规范性．
3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)
1．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
x 2y 2
C ．由圆x ＋y ＝r 的面积πr ，猜想出椭圆＋＝1的面积S ＝πab
a b
2
2
2
2
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B
解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.
2．正弦函数是奇函数，f (x ) ＝sin(x 2＋1) 是正弦函数，因此f (x ) ＝sin(x 2＋1) 是奇函数，以上推理( ) A ．结论正确 C ．小前提不正确 答案 C
解析 f (x ) ＝sin(x 2＋1) 不是正弦函数，所以小前提错误．
3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n ) 个区域，则f (n ) 的表达式为( ) A ．n ＋1 n 2＋n ＋2
2答案 C
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2) ＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3) ＝7个区域；„„；n 条直线最多可将平面分成1＋n (n ＋1)n 2＋n ＋2
(1＋2＋3＋„＋n ) ＝1＋个区域，选C.
224．给出下列三个类比结论：
①(ab ) n ＝a n b n 与(a ＋b ) n 类比，则有(a ＋b ) n ＝a n ＋b n ；
②log a (xy ) ＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β) 类比，则有sin(α＋β) ＝sin αsin β； ③(a ＋b ) 2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b ) 2类比，则有(a ＋b ) 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 C ．2 答案 B
解析 (a ＋b ) n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0) ，故①错误． sin(α＋β) ＝sin αsin β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
3
， 4
B ．1 D ．3 B ．2n D ．n 2＋n ＋1 B ．大前提不正确 D ．全不正确
a 1＋a 2＋„＋a n 5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝) 也为等差数列．类比这一性质可n
知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )
c 1＋c 2＋„＋c n A ．d n ＝ n
n c ＋c ＋„＋c 12n C ．d n ＝ n
答案 D
n (n －1)解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋„＋a n ＝na 1＋， 2
(n －1)d d ∴b n ＝a 1＝n ＋a 1{b n }为等差数列； 222
若{c n }是等比数列，
则c 1·c 2·„·c n ＝c n q 11·＋2＋„＋(n －1) c 1·c 2·„·c n B ．d n ＝n n D ．d n ＝c 1·c 2·„·c n ＝c n q 1·n (n －1) 2
n －1n ∴d n ＝c 1·c 2·„·c n ＝c 1·q {d n }为等比数列，故选D. 2
6．观察下列不等式：
131＋
1151＋＋ 233
11171＋＋＋ 2344
„„
照此规律，第五个不等式为________________________．
1111111答案 1＋＋＋＋
解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
1111111故第五个不等式为1＋＋＋＋234566
x 2y 2
7．若P 0(x 0，y 0) 在椭圆1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切a b
点弦P 1P 2所在的直线方程是x x y y 1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0) 在双a b x 2y 2
－＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所a b
在直线的方程是________________．
答案 x x y y －1 a b 解析 设P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2) ，
则P 1，P 2的切线方程分别是
x x y y x x y y 1，－＝1. a b a b 因为P 0(x 0，y 0) 在这两条切线上，
x x y y x x y y －1－1， a b a b x x y y 这说明P 1(x 1，y 1) ，P 2(x 2，y 2) －＝1上， a b x x y y 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是－＝1. a b 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋„＋a 20a 1＋a 2＋„＋a 30，则在等比数列{b n }中，会有1030
类似的结论：______________________.
答案 10b 11b 12„b 20＝30b 1b 2„b 30
解析 由等比数列的性质可知
b 1b 30＝b 2b 29＝„＝b 11b 20， ∴10b 11b 12„b 20＝
x 30b 1b 2„b 30. 9．设f (x ) ＝1f (0)＋f (1)，f (－1) ＋f (2)，f (－2) ＋f (3)，然后归纳猜想一般性结3＋3
论，并给出证明．
11解 f (0)＋f (1)＝0＋1333＋3＝3－13－3113＋＝ 263133＋3
3， 3同理可得：f (－1) ＋f (2)＝
f (－2) ＋f (3)3，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 3
归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，
均有f (x 1) ＋f (x 2) ＝33
证明：设x 1＋x 2＝1，
11f (x 1) ＋f (x 2) 3x 133x 23
==
=== 11110．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，＋，那么在四面体A —BCD AD AB AC 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
解 如图所示，由射影定理得
AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，
AC 2＝BC ·DC ，
∴11 AD BD ·DC
BC 2BC 2
＝＝BD ·BC ·DC ·BC AB ·AC 又BC 2＝AB 2＋AC 2，
AB 2＋AC 2111∴. AD AB ·AC AB AC 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，
则1111. ＋AE AB AC AD 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF
.
∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，
AC ⊂平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，
∴AB ⊥平面ACD .
∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，
∴111. AE AB AF 111在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴ AF AC AD
∴1111. ＋AE AB AC AD B 组 专项能力提升
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11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是( )
A ．正方形的对角线相等
B ．矩形的对角线相等
C ．正方形是矩形
D ．其他
答案 A
解析 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．
12. 如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环
R ＋r 的面积S ＝π(R 2－r 2) ＝(R －r ) ×2π. 所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以2
R ＋r AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×2
展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d ) 2＋y 2≤r 2}(其中0
)
A ．2πr 2d
C ．2πrd 2
答案 B
解析 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2) 为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d ，选B.
13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比B ．2π2r 2d D ．2π2rd 2 S OM 1N 1
S OM 2N 2＝OM ON . 如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ OM 2ON 2
和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为_________________．
答案 V O -PQ 11R 1
V O -P 2Q 2R 2OP OQ OR OP 2OQ 2OR 2
解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比
V O -PQ OQ OR OP 11R 1为，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为＝OQ 2OR 2OP 2V O -P 2Q 2R 2
OP OQ OR OP 2OQ 2OR 2
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；
②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；
③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；
④sin 2(－18°) ＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin 2(－25°) ＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
1sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30° 2
13＝1. 44
(2)三角恒等式为
3sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin α·cos(30°－α) ＝4
证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°－α) －sin α·cos(30°－α)
＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) 2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
33131＝sin 2α＋2αsin αcos α＋2α－sin αcos α－sin 2α 42422
31333＝sin 2α＋2α2α＝2α＋cos 2α＝. 44444
15．对于三次函数f (x ) ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) ，给出定义：设f ′(x ) 是函数y ＝f (x ) 的导数，f ″(x ) 是f ′(x ) 的导数，若方程f ″(x ) ＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0)) 为函数y ＝f (x ) 的“拐点”．某
同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且
115“拐点”就是对称中心．若f (x ) 32＋3x －，请你根据这一发现， 3212
(1)求函数f (x ) 的对称中心；
12342 012(2)计算f ) ＋f () ＋f (＋f (＋„＋f () ． 2 0132 0132 0132 0132 013
解 (1)f ′(x ) ＝x 2－x ＋3，f ″(x ) ＝2x －1，
1由f ″(x ) ＝0，即2x －1＝0，解得x 2
1111115f ＝(3×2＋3×－＝1. 23222212
1151由题中给出的结论，可知函数f (x ) 3－2＋3x －的对称中心为(1) ． 32122
1151(2)由(1)，知函数f (x ) ＝x 3－2＋3x (1) ， 32122
11所以f (＋x ) ＋f (x ) ＝2， 22
即f (x ) ＋f (1－x ) ＝2.
12 012故f () ＋f () ＝2， 2 0132 013
22 011f ) ＋f (＝2， 2 0132 013
32 010f ) ＋f (＝2， 2 0132 013
„
2 0121f ) ＋f (＝2. 2 0132 013
12342 0121所以f (＋f (＋f () ＋f () ＋„＋f (＝2×2 012＝2 012. 2 0132 0132 0132 0132 0132