正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）
●作业导航
掌握用“五点法”画正弦函数图象，掌握正弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期、奇偶性、单调性．
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
7π
1．函数f (x ) ＝sin(5x ＋2) 是( )
A ．奇函数 B ．偶函数
C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
x
A ．y ＝sin2x B ．y ＝cos 2
1-tan 2x
2
C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝1+tan x 3．y ＝3sin|x |，x ∈R 的值域为( ) A ．(0，3) B ．［0，3］ C ．(-3，3) D ．［-3，3］
4．设函数f (x ) 是周期为2T 的函数，若f (x ) 定义域为R ，且图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x ) 是( )
A ．奇函数 B ．偶函数
C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数
2a 2- 5．已知f (x ) ＝a -1(a x -a x ) ，且0
A ．奇函数且为减函数 B ．偶函数且为减函数 C ．奇函数且为增函数 D ．偶函数且为增函数
5．设函数y ＝f (x ) 是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为线段AB ，如图，则在区间［1，2］上，f (x ) 的解析式为________．
sin x +cos x
4．求证：f (x ) ＝lg sin x -cos x 为奇函数．
5．若(x ＋2y ) 3＋x 3＋2x ＋2y ＝0，求(x ＋y ) 10的值．
参考答案
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
7π
1．B 分析：sin(5x ＋2) ＝-cos5x ． 1-tan 2x
2．D 分析：y ＝1+tan 2
x ＝cos2x ．
⎧ 3．D 分析：y ＝3sin|x |＝⎨
3sin x
x ≥0⎩-3sin x
x
4．B 分析：∵ f (x ) 的图象关于x ＝T 对称 ∴ f (T -x ) ＝f (T ＋x ) 又f (x ) 的周期为2T
∴ f (T ＋x ) ＝f (T ＋x -2T ) ＝f (x -T ) 由①、②有f (T -x ) ＝f (x -T ) 令x -T ＝t ，则
f (-t ) ＝f (t ) 对一切t ∈R 都成立
∴ f (x ) 是偶函数．
2a 5．C 分析：∵ f (-x ) ＝a 2-1(a -x -a x ) ＝-f (x )
∴ f (x ) 为奇函数
1
2a
∵ g (x ) ＝a x 和ϕ(x ) ＝-(a ) x 都是减函数，a 2
-1
2a ∴ f (x ) ＝a 2
-1［g (x ) ＋ϕ(x ) ］是增函数．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
π
3π 1．(0，2) ，(2，1) ，(π，2) ，(2，3) ，(2π，2)
π
5π 2．{x |6＋2k π≤x ≤6＋2k π，k ∈Z }
1
分析：2sin x -1≥0 sin x ≥2
由图象或单位圆可得
π
5π 6＋2k π≤x ≤6＋2k π，k ∈Z
3．x -cos x 分析：x 0 ∴ f (-x ) ＝-x ＋cos(-x ) ＝-x ＋cos x 又f (-x ) ＝-f (x )
∴ -f (x ) ＝-x ＋cos x ∴ f (x ) ＝x -cos x (x
4．-1 分析：令t ＝x -1，即x ＝t ＋1 ∴ f (t ) ＝f (t ＋2)
∴ f (x ) 是周期为2的函数
log 15
∵ 3＝-log 35 ①②
∵ 1
log 15
3) ＝-f (log35) f (
5．x 分析：线段AB 的方程为 f (x ) ＝-x ＋2(0≤x ≤1)
当1≤x ≤2时 0≤-x ＋2≤1 则有f (-x ＋2) ＝-(-x ＋2) ＋2＝x ．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
=-(3
log 35-2
454
+) =-(+) =-1999
2sin x ⋅cos 2x 2sin x (1-sin 2x ) =
1+sin x 1．解：y ＝1+sin x
2sin x (1+sin x )(1-s i x n ) =
1+s i x n
=2s i x n (1-s i x n ) (s x i ≠n -1)
11
=-2(s i x -n ) 2+
22
∵ -1
1
∴ -4
115ππ
∴ 当sin x ＝2时，即x ＝2k π＋6或x ＝2k π＋6，k ∈Z 时，y 有最大值2． ∵ sin x ≠-1∴ y 无最小值．
2．解：如图，BD ＝40 cm，设∠DBC ＝θ，矩形面积为S ，
则S ＝40cos θ·40sin θ＝1600sin θcos θ＝800sin2θ 当sin2θ＝1时，即2θ＝90°，θ＝45°时 S 有最大值800 cm2
∴ 当矩形为正方形且边长为202cm 时，废弃的木料最少． 3．解：设sin θ＝t ，t ∈［-1，1］，要使cos 2θ＋2m sin θ-2m -20，t ∈［-1，1］恒成立． 设f (t ) ＝t 2-2mt ＋2m ＋1，对称轴方程为t ＝m ．
1
(1)当t 0．即1＋2m ＋2m ＋1>0 m >-2这与m
(2)当-1≤m ≤1时
只要f (m )>0，即m 2-2m 2＋2m ＋1>0 m 2-2m -1
1-2
(3)当m >1时，只要f (1)>0，即1-2m ＋2m ＋1>0．即2>0．
∴ m >1时，f (t )>0恒成立 综上(1)、(2)、(3)有m >1-2．
sin x +cos x
4．证明：sin x -cos x >0
t a x n +1
n -1>0 t a x
(tanx ＋1)(tanx -1)>0
tan x >1或tan x
ππ
k π＋4
3ππ
k π＋2
3ππππ
函数的定义域为{x |k π＋4
sin(-x ) +cos(-x ) sin(-x ) -cos(-x )
cos x -sin x sin x -cos x =lg =lg
-sin x -cos x sin x +cos x sin x +cos x -1s i x n +c o x s =lg() =-lg
sin x -cos x s i x n -c o x s =-f (x ) ∴ f (x ) 为奇函数．
5．解：∵ (x ＋2y ) 3＋x 3＋2x ＋2y ＝0 ∴ (x ＋2y ) 3＋(x ＋2y ) ＝-(x 3＋x ) 构造函数f (t ) ＝t 3＋t (t ∈R )
f (-t ) ＝(-t ) 3＋(-t ) ＝-(t 3＋t ) ＝-f (t ) ∴ f (t ) 是奇函数
∵ g (t ) ＝t 3，h (t ) ＝t 为R 上的增函数
∴ f (t ) ＝g (t ) ＋h (t ) ＝t 3＋t 为R 上的增函数． 由①得f (x ＋2y ) ＝-f (x ) ＝f (-x ) ∴ x ＋2y ＝-x ∴ x ＋y ＝0 ∴ (x ＋y ) 10＝0 又f (-x ) =lg
①
正弦函数、余弦函数的图象和性质（一）
●作业导航
掌握用“五点法”画正弦函数图象，掌握正弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期、奇偶性、单调性．
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
7π
1．函数f (x ) ＝sin(5x ＋2) 是( )
A ．奇函数 B ．偶函数
C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
x
A ．y ＝sin2x B ．y ＝cos 2
1-tan 2x
2
C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝1+tan x 3．y ＝3sin|x |，x ∈R 的值域为( ) A ．(0，3) B ．［0，3］ C ．(-3，3) D ．［-3，3］
4．设函数f (x ) 是周期为2T 的函数，若f (x ) 定义域为R ，且图象关于直线x ＝T 对称，那么f (x ) 是( )
A ．奇函数 B ．偶函数
C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数
2a 2- 5．已知f (x ) ＝a -1(a x -a x ) ，且0
A ．奇函数且为减函数 B ．偶函数且为减函数 C ．奇函数且为增函数 D ．偶函数且为增函数
5．设函数y ＝f (x ) 是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为线段AB ，如图，则在区间［1，2］上，f (x ) 的解析式为________．
sin x +cos x
4．求证：f (x ) ＝lg sin x -cos x 为奇函数．
5．若(x ＋2y ) 3＋x 3＋2x ＋2y ＝0，求(x ＋y ) 10的值．
参考答案
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
7π
1．B 分析：sin(5x ＋2) ＝-cos5x ． 1-tan 2x
2．D 分析：y ＝1+tan 2
x ＝cos2x ．
⎧ 3．D 分析：y ＝3sin|x |＝⎨
3sin x
x ≥0⎩-3sin x
x
4．B 分析：∵ f (x ) 的图象关于x ＝T 对称 ∴ f (T -x ) ＝f (T ＋x ) 又f (x ) 的周期为2T
∴ f (T ＋x ) ＝f (T ＋x -2T ) ＝f (x -T ) 由①、②有f (T -x ) ＝f (x -T ) 令x -T ＝t ，则
f (-t ) ＝f (t ) 对一切t ∈R 都成立
∴ f (x ) 是偶函数．
2a 5．C 分析：∵ f (-x ) ＝a 2-1(a -x -a x ) ＝-f (x )
∴ f (x ) 为奇函数
1
2a
∵ g (x ) ＝a x 和ϕ(x ) ＝-(a ) x 都是减函数，a 2
-1
2a ∴ f (x ) ＝a 2
-1［g (x ) ＋ϕ(x ) ］是增函数．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
π
3π 1．(0，2) ，(2，1) ，(π，2) ，(2，3) ，(2π，2)
π
5π 2．{x |6＋2k π≤x ≤6＋2k π，k ∈Z }
1
分析：2sin x -1≥0 sin x ≥2
由图象或单位圆可得
π
5π 6＋2k π≤x ≤6＋2k π，k ∈Z
3．x -cos x 分析：x 0 ∴ f (-x ) ＝-x ＋cos(-x ) ＝-x ＋cos x 又f (-x ) ＝-f (x )
∴ -f (x ) ＝-x ＋cos x ∴ f (x ) ＝x -cos x (x
4．-1 分析：令t ＝x -1，即x ＝t ＋1 ∴ f (t ) ＝f (t ＋2)
∴ f (x ) 是周期为2的函数
log 15
∵ 3＝-log 35 ①②
∵ 1
log 15
3) ＝-f (log35) f (
5．x 分析：线段AB 的方程为 f (x ) ＝-x ＋2(0≤x ≤1)
当1≤x ≤2时 0≤-x ＋2≤1 则有f (-x ＋2) ＝-(-x ＋2) ＋2＝x ．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
=-(3
log 35-2
454
+) =-(+) =-1999
2sin x ⋅cos 2x 2sin x (1-sin 2x ) =
1+sin x 1．解：y ＝1+sin x
2sin x (1+sin x )(1-s i x n ) =
1+s i x n
=2s i x n (1-s i x n ) (s x i ≠n -1)
11
=-2(s i x -n ) 2+
22
∵ -1
1
∴ -4
115ππ
∴ 当sin x ＝2时，即x ＝2k π＋6或x ＝2k π＋6，k ∈Z 时，y 有最大值2． ∵ sin x ≠-1∴ y 无最小值．
2．解：如图，BD ＝40 cm，设∠DBC ＝θ，矩形面积为S ，
则S ＝40cos θ·40sin θ＝1600sin θcos θ＝800sin2θ 当sin2θ＝1时，即2θ＝90°，θ＝45°时 S 有最大值800 cm2
∴ 当矩形为正方形且边长为202cm 时，废弃的木料最少． 3．解：设sin θ＝t ，t ∈［-1，1］，要使cos 2θ＋2m sin θ-2m -20，t ∈［-1，1］恒成立． 设f (t ) ＝t 2-2mt ＋2m ＋1，对称轴方程为t ＝m ．
1
(1)当t 0．即1＋2m ＋2m ＋1>0 m >-2这与m
(2)当-1≤m ≤1时
只要f (m )>0，即m 2-2m 2＋2m ＋1>0 m 2-2m -1
1-2
(3)当m >1时，只要f (1)>0，即1-2m ＋2m ＋1>0．即2>0．
∴ m >1时，f (t )>0恒成立 综上(1)、(2)、(3)有m >1-2．
sin x +cos x
4．证明：sin x -cos x >0
t a x n +1
n -1>0 t a x
(tanx ＋1)(tanx -1)>0
tan x >1或tan x
ππ
k π＋4
3ππ
k π＋2
3ππππ
函数的定义域为{x |k π＋4
sin(-x ) +cos(-x ) sin(-x ) -cos(-x )
cos x -sin x sin x -cos x =lg =lg
-sin x -cos x sin x +cos x sin x +cos x -1s i x n +c o x s =lg() =-lg
sin x -cos x s i x n -c o x s =-f (x ) ∴ f (x ) 为奇函数．
5．解：∵ (x ＋2y ) 3＋x 3＋2x ＋2y ＝0 ∴ (x ＋2y ) 3＋(x ＋2y ) ＝-(x 3＋x ) 构造函数f (t ) ＝t 3＋t (t ∈R )
f (-t ) ＝(-t ) 3＋(-t ) ＝-(t 3＋t ) ＝-f (t ) ∴ f (t ) 是奇函数
∵ g (t ) ＝t 3，h (t ) ＝t 为R 上的增函数
∴ f (t ) ＝g (t ) ＋h (t ) ＝t 3＋t 为R 上的增函数． 由①得f (x ＋2y ) ＝-f (x ) ＝f (-x ) ∴ x ＋2y ＝-x ∴ x ＋y ＝0 ∴ (x ＋y ) 10＝0 又f (-x ) =lg
①