《一次函数》复习课教学案例
漳州立人学校 许亚梅
一、 学情分析
学习本章之前，我们已经学习了勾股定理、实数、位置与坐标。一次函数是初中数学中的一种最简单、最基本的函数，也是本学期知识小综合提升的关键章节。它渗透着初中阶段函数研究学习的几种重要方法，如：数形结合方法、分类讨论法、化归法等。它是后续学习研究反比例函数及二次函数的重要基础。在本章的学习中，学生已从表格、图象、关系式的变量关系进行比较分析，分别得出函数、一次函数、正比例函数的定义。进而利用描点法画出一次函数、正比例函数图像，并探索出k 和b 的几何意义。一次函数的应用更是体现了一次函数与一元一次方程、二元一次方程的密切联系。它在中考中占有极其重要的地位，主要考察一次函数关系式的确定、图像和性质的分析以及实际应用等。其中一次函数应用广泛，涉及到行程、弹簧、利润、电话费等，已成为中考命题的焦点。特别是与经济有关的问题是中考命题的重点和热点。
二、教学目标：
1、理解并掌握变量与函数、一次函数与正比例函数的概念. 使学生会画出正比例函数与一次函数的图象，并能结合图象说出它们的性质. 使学生会用待定系数法确定一次函数的解析式使学生能写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式并解决简单的有关问题。
2、从运动变化的角度，用函数的观点理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。初步会应用于解决数学和实际生活问题。
3、学生在学习一次函数的过程中，体会数学的归纳、类比、建模和数形结合思想。进一步培养学生数形结合的意识和能力以及分类讨论的数学思想。
三、教学重难点
重点：一次函数的图像、性质及简单应用。
难点：1. 一次函数的实际应用。 2. 数形结合的灵活运用。
四、教学过程
本节课整个学习过程中以学生训练为主，由学生的练题复习本章一次函数的概念、图象、性质及应用等。
【第一环节】带着问题复习
1．一次函数的概念：函数y k 、b 为常数，k 叫做一次函数.
当b _____时，函数y = (k ) 叫做正比例函数.
2．正比例函数y =kx (k ≠0) 的图象是过点（，．
一次函数 y =kx +b (k ≠0) 的图象是过点（0，___),（____,0)的_________．
3．正比例函数y =kx （k ≠0) 的性质：
⑴当k >0时，图象过______象限；y 随x 的增大而____．
⑵当k
4. 一次函数y =kx +b (k ≠ 0)的性质：k 决定函数的增减性; b 决定图象与y 轴的交点位置.
⑴当k >0时，y 随x 的增大而_________．
⑵当k
⑶当b ＞0时，直线与ｙ轴的_______半轴相交
⑷当b ＜0时，直线与ｙ轴的_______半轴相交；
⑸当b ＝0时，直线经过______．
目的：将本章知识点设置成填空形式，让学生带着问题复习。由以上四题可以让学生回顾已经学过的函数、一次函数、反比例函数概念。正比例函数y =kx (k ≠0) 的图像必过原点（0，0），一次函数y =kx +b (k ≠0) 图像必过（0，b ），（-b , 0）。k 和b 对一次函数及正比k
例函数的影响，并由k 和b 确定图像的大致位置。
预期：师生一起齐回答，答案在PPT 显示。大部分学生对概念掌握比较好，一次函数及正比例函数必过的点中，一次函数与x 轴、y 轴交点坐标一部分同学混淆。至于函数的性质理论上来说，学生掌握还是比较好的，至于实际应用，让我们拭目以待吧。
【第二环节】基础知识检测与过关
1. 函数y=3x+1的图象一定通过( )
A ．(3，5) B ．(－2，3) C ．(2，7)
2. 下列函数中是一次函数的是( )
A ．y=x +1 2 D ．(4，10) D ．y=3x -2x -1 2 B ．y=-1x +1 C ．y= 3x
3. 若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k 、b 的取值范围是（ ）
A ．k ＞0,b ＞0 B ．k ＞0,b ＜0 C ．k ＜0，b ＜0 D ．k ＜0，b ＞0
4. 直线y=3x－1与两坐标轴围成的三角形的面积为_________。
5. 如图，是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min)的函数关系图. 观察图中所提供的信息，回答：
⑴汽车在前9分钟内的平均速度是 ；
⑵汽车在中途停了多长时间？ ； ⑶当16≤t ≤30时，求S 与t 的函数关系式.
目的：这些是本章常见的经典题型，第1题复习了点的坐标与函数的关系，代入成立则点在图象上，否则则点不在图象上。第2题再次回顾一次函数的定义，一次函数即次数为一次。第3题由图象的位置判断k , b 的符号，让学生动手画草图，体现数形结合的方法。第4题中求面积必须先求x , y 轴交点坐标，让学生回顾求两坐标轴交点坐标，并将交点坐标转化成线段长度，再求三角形的面积。第5题是一次函数的实际应用，让学生学会看图。明白哪段时间是匀速，哪段时间是停止，并会用两点坐标求直线的解析式。
预期：学生独立完成，并由举手同学上台展示，教师只需关键性简评。前面三道基础题，学生掌握的不错，完成的很好。第四题没有图，学生要先求交点坐标再画图再求面积，有一部分同学计算失误，有一小部分同学丈二和尚摸不着头脑，一点思路也没有。第五题前两个空格做得还算不错，最后求关系式涉及到书写，大部分同学能按照“一设二代三解四答”的格式。但是也存在3个问题：①看图找不到两点坐标 ②代入后计算错误 ③由于惯性把变量s , t 写成y , x 。今后需在这几个环节多注意。
【第三环节】重难点精讲
6. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两蜡烛燃烧时剩余部分的高度ｙ（cm ）与燃烧时间x （h ）的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ；从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时ｙ与ｘ之间的关系式；
甲根蜡烛y= ；
乙根蜡烛y= ；
⑶当x 为何值时，甲、乙两蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
目的：在教学过程中，引导学生独立思考，自主探究。本例为一次函数的解析式的确定，意图是循环突出本节课的重点。通过观察分析，得出燃烧前的高度就是燃烧时间为零时的高度。再根据两点求表达式求出甲乙两根蜡烛燃烧时ｙ与ｘ之间的关系式。最后通过图象观察发现：求高度相等时的时间就是求两条直线的交点坐标，此题的难点就迎刃而解了。
预期：学生先独立思考，然后小组谈论，大胆发表自己的见解。请同学上台讲解解题思路与方法，有不同方法的同学上台补充。最后老师针对学生点评的情况进行思路升华。这对于提高学生的兴趣及能力是有益的。
【第四环节】课后练习
7. （2011•岳阳）在函数y =1中，自变量x 的取值范围是 ． x +3
8. 直线y =2x -1与直线y =kx +5平行 ,则k =
9. 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费1.8元，超计划部分每吨按2.0元收费。
（1）写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式
①当用水量小于等于3000吨函数关系式为： ；
②当用水量大于3000吨函数关系式为： 。
（2）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元。
（3）若某月该单位缴纳水费9400元，则该单位用水多少吨？
目的：本部分课后练习是本节课知识点的强化与补充。可以安排课堂完成也可以安排课后完成，依课堂时间而定。第7题为中考题，让学生提前感受中考, 以消除畏惧心理. 函数取值范围分母不为0，可触类旁通二次根式里面也是不能为0等。第8题回顾直线平行的条件；第9题是分段函数，本题利用自来水收费，将分段函数拆成水量小于等于3000吨正比例函数和水量大于3000吨一次函数。利用分类谈论和化归思想将难题化易，是道不错的综合题。
【第五环节】小结
回顾与反思：1. 你有那些收获？2. 现在还有那些困惑？
目的：在学生畅所欲言的基础上，教师进行适当归纳，除了让学生明确本章重难点知识外，还应帮学生理清本章的知识结构，提炼知识中所蕴含的思想方法。
预期：师生共同进行知识梳理、答疑、解惑，很好地落实以学生我为主体，教师为主导。培养了学生自我梳理知识、自我总结的好习惯。
五、案例反思
从教科书的设计思路看，一次函数是初中阶段学习函数的开始。在全章学习之后，从学生在学习中的困难出发，适时地设计了本节复习课。本节课从填空复习回顾本章重要知识点开始，然后针对性的设计出一系列一次函数知识的几种重难点应用。重视学生的学习过程，让学生通过自己的经验来学习，这样的教学有利于激发学生的学习积极性，增强学习主动性。本节课另一个亮点就是“以生为体，以师为导”。让学生有足够充分的思考、训练，给学生自己发挥的空间上台展示。教师大胆放手，只做适当归纳。重点帮学生理清本章的知识结构及重难点，提炼知识中所蕴含的思想方法。
本节课内容比较多，如何保证学生充分的思考、讨论、展示等活动，又能完成教学任务，时间是个瓶颈，这是实施教学的过程中需要注意处理好的一个问题。
《一次函数》复习课教学案例
漳州立人学校 许亚梅
一、 学情分析
学习本章之前，我们已经学习了勾股定理、实数、位置与坐标。一次函数是初中数学中的一种最简单、最基本的函数，也是本学期知识小综合提升的关键章节。它渗透着初中阶段函数研究学习的几种重要方法，如：数形结合方法、分类讨论法、化归法等。它是后续学习研究反比例函数及二次函数的重要基础。在本章的学习中，学生已从表格、图象、关系式的变量关系进行比较分析，分别得出函数、一次函数、正比例函数的定义。进而利用描点法画出一次函数、正比例函数图像，并探索出k 和b 的几何意义。一次函数的应用更是体现了一次函数与一元一次方程、二元一次方程的密切联系。它在中考中占有极其重要的地位，主要考察一次函数关系式的确定、图像和性质的分析以及实际应用等。其中一次函数应用广泛，涉及到行程、弹簧、利润、电话费等，已成为中考命题的焦点。特别是与经济有关的问题是中考命题的重点和热点。
二、教学目标：
1、理解并掌握变量与函数、一次函数与正比例函数的概念. 使学生会画出正比例函数与一次函数的图象，并能结合图象说出它们的性质. 使学生会用待定系数法确定一次函数的解析式使学生能写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式并解决简单的有关问题。
2、从运动变化的角度，用函数的观点理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。初步会应用于解决数学和实际生活问题。
3、学生在学习一次函数的过程中，体会数学的归纳、类比、建模和数形结合思想。进一步培养学生数形结合的意识和能力以及分类讨论的数学思想。
三、教学重难点
重点：一次函数的图像、性质及简单应用。
难点：1. 一次函数的实际应用。 2. 数形结合的灵活运用。
四、教学过程
本节课整个学习过程中以学生训练为主，由学生的练题复习本章一次函数的概念、图象、性质及应用等。
【第一环节】带着问题复习
1．一次函数的概念：函数y k 、b 为常数，k 叫做一次函数.
当b _____时，函数y = (k ) 叫做正比例函数.
2．正比例函数y =kx (k ≠0) 的图象是过点（，．
一次函数 y =kx +b (k ≠0) 的图象是过点（0，___),（____,0)的_________．
3．正比例函数y =kx （k ≠0) 的性质：
⑴当k >0时，图象过______象限；y 随x 的增大而____．
⑵当k
4. 一次函数y =kx +b (k ≠ 0)的性质：k 决定函数的增减性; b 决定图象与y 轴的交点位置.
⑴当k >0时，y 随x 的增大而_________．
⑵当k
⑶当b ＞0时，直线与ｙ轴的_______半轴相交
⑷当b ＜0时，直线与ｙ轴的_______半轴相交；
⑸当b ＝0时，直线经过______．
目的：将本章知识点设置成填空形式，让学生带着问题复习。由以上四题可以让学生回顾已经学过的函数、一次函数、反比例函数概念。正比例函数y =kx (k ≠0) 的图像必过原点（0，0），一次函数y =kx +b (k ≠0) 图像必过（0，b ），（-b , 0）。k 和b 对一次函数及正比k
例函数的影响，并由k 和b 确定图像的大致位置。
预期：师生一起齐回答，答案在PPT 显示。大部分学生对概念掌握比较好，一次函数及正比例函数必过的点中，一次函数与x 轴、y 轴交点坐标一部分同学混淆。至于函数的性质理论上来说，学生掌握还是比较好的，至于实际应用，让我们拭目以待吧。
【第二环节】基础知识检测与过关
1. 函数y=3x+1的图象一定通过( )
A ．(3，5) B ．(－2，3) C ．(2，7)
2. 下列函数中是一次函数的是( )
A ．y=x +1 2 D ．(4，10) D ．y=3x -2x -1 2 B ．y=-1x +1 C ．y= 3x
3. 若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k 、b 的取值范围是（ ）
A ．k ＞0,b ＞0 B ．k ＞0,b ＜0 C ．k ＜0，b ＜0 D ．k ＜0，b ＞0
4. 直线y=3x－1与两坐标轴围成的三角形的面积为_________。
5. 如图，是某汽车行驶的路程S(km)与时间t(min)的函数关系图. 观察图中所提供的信息，回答：
⑴汽车在前9分钟内的平均速度是 ；
⑵汽车在中途停了多长时间？ ； ⑶当16≤t ≤30时，求S 与t 的函数关系式.
目的：这些是本章常见的经典题型，第1题复习了点的坐标与函数的关系，代入成立则点在图象上，否则则点不在图象上。第2题再次回顾一次函数的定义，一次函数即次数为一次。第3题由图象的位置判断k , b 的符号，让学生动手画草图，体现数形结合的方法。第4题中求面积必须先求x , y 轴交点坐标，让学生回顾求两坐标轴交点坐标，并将交点坐标转化成线段长度，再求三角形的面积。第5题是一次函数的实际应用，让学生学会看图。明白哪段时间是匀速，哪段时间是停止，并会用两点坐标求直线的解析式。
预期：学生独立完成，并由举手同学上台展示，教师只需关键性简评。前面三道基础题，学生掌握的不错，完成的很好。第四题没有图，学生要先求交点坐标再画图再求面积，有一部分同学计算失误，有一小部分同学丈二和尚摸不着头脑，一点思路也没有。第五题前两个空格做得还算不错，最后求关系式涉及到书写，大部分同学能按照“一设二代三解四答”的格式。但是也存在3个问题：①看图找不到两点坐标 ②代入后计算错误 ③由于惯性把变量s , t 写成y , x 。今后需在这几个环节多注意。
【第三环节】重难点精讲
6. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两蜡烛燃烧时剩余部分的高度ｙ（cm ）与燃烧时间x （h ）的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ；从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时ｙ与ｘ之间的关系式；
甲根蜡烛y= ；
乙根蜡烛y= ；
⑶当x 为何值时，甲、乙两蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
目的：在教学过程中，引导学生独立思考，自主探究。本例为一次函数的解析式的确定，意图是循环突出本节课的重点。通过观察分析，得出燃烧前的高度就是燃烧时间为零时的高度。再根据两点求表达式求出甲乙两根蜡烛燃烧时ｙ与ｘ之间的关系式。最后通过图象观察发现：求高度相等时的时间就是求两条直线的交点坐标，此题的难点就迎刃而解了。
预期：学生先独立思考，然后小组谈论，大胆发表自己的见解。请同学上台讲解解题思路与方法，有不同方法的同学上台补充。最后老师针对学生点评的情况进行思路升华。这对于提高学生的兴趣及能力是有益的。
【第四环节】课后练习
7. （2011•岳阳）在函数y =1中，自变量x 的取值范围是 ． x +3
8. 直线y =2x -1与直线y =kx +5平行 ,则k =
9. 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费1.8元，超计划部分每吨按2.0元收费。
（1）写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式
①当用水量小于等于3000吨函数关系式为： ；
②当用水量大于3000吨函数关系式为： 。
（2）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元。
（3）若某月该单位缴纳水费9400元，则该单位用水多少吨？
目的：本部分课后练习是本节课知识点的强化与补充。可以安排课堂完成也可以安排课后完成，依课堂时间而定。第7题为中考题，让学生提前感受中考, 以消除畏惧心理. 函数取值范围分母不为0，可触类旁通二次根式里面也是不能为0等。第8题回顾直线平行的条件；第9题是分段函数，本题利用自来水收费，将分段函数拆成水量小于等于3000吨正比例函数和水量大于3000吨一次函数。利用分类谈论和化归思想将难题化易，是道不错的综合题。
【第五环节】小结
回顾与反思：1. 你有那些收获？2. 现在还有那些困惑？
目的：在学生畅所欲言的基础上，教师进行适当归纳，除了让学生明确本章重难点知识外，还应帮学生理清本章的知识结构，提炼知识中所蕴含的思想方法。
预期：师生共同进行知识梳理、答疑、解惑，很好地落实以学生我为主体，教师为主导。培养了学生自我梳理知识、自我总结的好习惯。
五、案例反思
从教科书的设计思路看，一次函数是初中阶段学习函数的开始。在全章学习之后，从学生在学习中的困难出发，适时地设计了本节复习课。本节课从填空复习回顾本章重要知识点开始，然后针对性的设计出一系列一次函数知识的几种重难点应用。重视学生的学习过程，让学生通过自己的经验来学习，这样的教学有利于激发学生的学习积极性，增强学习主动性。本节课另一个亮点就是“以生为体，以师为导”。让学生有足够充分的思考、训练，给学生自己发挥的空间上台展示。教师大胆放手，只做适当归纳。重点帮学生理清本章的知识结构及重难点，提炼知识中所蕴含的思想方法。
本节课内容比较多，如何保证学生充分的思考、讨论、展示等活动，又能完成教学任务，时间是个瓶颈，这是实施教学的过程中需要注意处理好的一个问题。