差分方程模型

第7章 差分方程模型

在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。本章将主要讨论差分方程模型。

7.1市场经济中的蛛网模型

在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。生产者看到有利可图，有重操旧业。这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。

本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。

蛛网模型 记第k时段商品的数量为xk，价格为yk，k1,2,3,这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。

同一时段商品的价格yk取决于数量xk，设

ykf(xk) (1)

它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f表示它，f称需求曲线。

下一时段商品的数量xk1由上一时段价格yk决定，设

xk1h(yk),或ykg(xk1) (2)

这里g是h的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g是一条上升的曲线。

图中两条曲线相较于p0(x0,y0)点。p0点是平衡点，其意义是，一旦在某一时段k有xk=x0，则有（1），（2）可知yk=y0，xk1=x0，yk1=y0，……，即k以后各时段商品的数量和价格将永远保持在p0(x0,y0)点，但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在p0点，不妨设x1偏离x0（如图7-1），我们分析随着k的增加xk，yk的变化。

商品数量x1给定后，价格y1由曲线f上的P下一时段的数量x2由曲线g上的P1点决定，2决定，y2又由f上的P这样得到一系列的点P 2(x2,y1)，P3点决定，1(x1,y1)，P3(x2,y2)……，

图7-1 图7-2

在图7-1上这些点将按箭头所示方向趋向p0(x0,y0)，表明P0是稳定的平衡点，意味着市场经济将趋向稳定。

但是如果需求函数和供应函数由图7-2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照P1，P2，P2,P3,P4……的规律变化而远离P0，即P0是不稳定的平衡点，意味着商品数量和价格见出现越来越大的振荡。

图7-1和图7-2中折线PP所以这种用需求曲线和供应曲线分析市场经12P3P4……形似蛛网，

济稳定行和图示发在经济学中称蛛网模型，实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的，一般的说，f取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力、经营水平等因素有关。比如当消费者收入增加时，f会向上移动；当生产能力提高时，g将享有移动。 一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定，就完全由这两条曲线在平衡点P0附近的形状决定。只要分析一下图7-1和图7-2的不同之处就会发现，在P0附近，图7-1的f比g平缓，而图7-2的f比g陡峭，即f在P0点斜率的绝对值为Kf，g在P0点的斜率为Kg，图形的直观告诉我们，当

KfKg (3)

时，P0点是稳定的，当

KfKg (4) 时，P0点是不稳定的。由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定，为了进一步分析这种现象，下面给出蛛网模型的另一种表达形式——差分方程。

差分方程的模型 在P，（2）式分别近似为 0点附近可以用直线来近似曲线f和g，设（1）

yky0a(xkx0),a0 (5)

xk1x0b(yky0),b0 (6)

从二式中消去yk，可得

（7） xk1x0ab(xkx0),k1,2,

（7）是一阶线性常系数差分方程，对k递推不难得到

xk1x0(ab)k(x1x0) （8）

容易看出，当k—>时xk—>x0，即P0点稳定的条件是

ab1或a1 (9) b

而k—>时xk—>，即P0点不稳定的条件是

1 (10) b

1注意到（5），（6）式中a,b的定义,有Kf=a, Kg=,所以条件（9），（10）与蛛网模型中bab1或a

的直观结果（3），（4）式是一致的。

模型解释 首先考察参数a,b的含义，由（5）是可知，a表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度，由（6）是可知，b表示价格上涨1个单位时（下一个时期）商品供应的增加量。所以a的数值反映消费者对商品需求的敏感程度，如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币代购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么a会比较大，反之，若这种商品非必需品，消费者购物心里稳定，或者消费水平低下，则a较小, b的数值反映了生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们的目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨就大量增加生产，那么b会比较大，反之，若他们素质较高，有长远的计划， 则b较小。

根据a,b的意义很容易对市场经济稳定与否的条件（9），（10）作出解释，当供应函数g即b固定时a越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，（9）式也容易成立，有利于经济稳定，当需求函数f即a固定时，b越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，（9）是也容易成立，有利于经济稳定，反之，当a,b较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致（10）式成立，经济不稳定。 应该指出，a 和b 都是有量纲的，他们的大小都应在同一量纲单位下比较，同时，a 和b的量纲互为倒数，所以ab 无量纲，就可以与1比较大小了。

经济不稳定时的干预方法

给予上述分析我们可以看到，当市场经济趋向不稳定是政府有两种干预办法。

一种办法是使a 尽量小，不妨考察极端情况a=0 ，即需求曲线水平，这是不论供应曲线如何,（9）是总成立，经济总是稳定，实际上这种办法相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变，

另一种办法是使b 尽量小，极端情况是b=0，即供应曲线竖直，于是不论需求双曲线如何，也总是稳定的，实际上这相当于控制市场上的商品数量，当供应量少于需求时，从外地收购或调拨，投入市场，当供过于求时，收购过剩部分，维持商品上市量不变，显然，这种办法需要政府相当强的经济实力，

图7-3 模型的推广 如果生产者的管理水平和素质更高一些，他们在决定商品生产数量xk1时 ，不是仅根据前一时期的价格yk，而是根据潜两个时期的价格yk和

设根据二者的平均值（yk+yk1）/2, 于是供应函数(2)式表为

yk1，，为简单起见不妨

xk1g(ykyk1) (11) 2

b(ykyk12y0) （12） 2相应的，（2）式的线性近似表达式（6）修改为 xk1x0

其中b是平均价格上涨1个单位时xk1的增量，又设需求函数仍由（1），（5）式表示 则

2xk2abxk1abxk(1ab)x0，k1,2, （13）

（13）是二阶线性常系数差分方程，为寻求k—>时xk—>x0，即P0点稳定的条件，不必解方程（13），只须利用判断稳定的条件——方程特征根均在单位圆内。

由方程（13）的特征根方程

2+ab+ab=0

容易计算出其特征根为 2

1,2从而ab(ab)28ab42, 2在单位圆外。下面设ab



1,2 （15）要使特征根均在单位元内，即1,21，必须

ab2 (16)

这就是P0点稳定的条件，与原有模型中P0点稳定的条件（9）式相比，参数a的范围放大，另外。可以想到，这是因为生产者的管理水平和素质提高，对市场经济的稳定起着有利影响的必然结果。

7.2 差分形式的阻滞增长模型

微分方程

dxrx(1x/N) (1) dt

描述受到环境约束的所谓“阻滞增长”的规律，即Logistic规律，这种约束随着对象本身数量x的增加而增加，人口或其他生物在有限资源环境下的增长，传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限市场上的销售等等现象，都可以合理的、简化的用这个模型描述。

现实对象有时用离散化的时间研究起来比较方便，例如有些生物每年在固定的时间繁殖，我们用繁殖周期作为时段来研究其增长规律就比用连续时间方便，于是需要阻滞增长的离散模型，将 方程（1）的微分用差分形式来表示，就有

yk1ykrx(1x/N),k0,1,2, （2）

这里用yk 而不用xk 是为了下面记号的方便，r和N的含义分别是固有增长率和最大容量.

(2)式可进一步写作

yk1(r1)yk[1

令 ryk] (3) (r1)N

br1 (4)

xk=

则（3）式可化简为 ryk (5) (r1)N

xk1bxk(1xk),k0,1,2, （6）

（6）式是一阶非线性差分方程，在实际应用中没有必要找出方程（6）的一般解，因为给

定初值x0 后利用计算机可以方便的有（6）递推算出xk，k=1,2,3,……

事实上，在应用差分形式的阻滞增长模型（2）或（6）时，人们最关心的通常是k—>时yk或xk的收敛情况，即方程平衡点的稳定性的问题，本节主要讨论这个问题，

我们知道，对于微分方程（1）xN是稳定平衡点 ，x0 是不稳定平衡点，即不论 r和N 为何值，当t—>时 都有x(t) —>N. 那么对于方程 (1) 的差分形式(2)是否也有同样的性质,即k—>时 都有yk —>N.呢？下面将会看到，回答这个问题并不简单，而且将引出一个十分有趣的现象，

平衡点及稳定性 代替（2） 我们讨论方程（6） 的平衡点及其稳定性的平衡点， 解代数方程 **

xf(x)bx(1x) (7)

容易得到 (6)的非零平衡点为

1x*1 （8） b

利用（4），（5） 可以验证，x 相当于原方程的非零平衡点yN。为分析x 的稳定性，***

计算

f'(x*)b(12x*)2b （9）

*'*x根据稳定的条件f(x)1， 立即得到

1b3 (10)

**x由此可知仅当（10） 成立时 才是稳定平衡点，有（4）可知它相当于仅当r2，yN

才是方程的稳定平衡点 。这与不论r 多大 , xN 都是微分方程的稳定平衡点是不同的。

*x在条件(10) 下xk 收敛于的状况可以通过方程(6) 的图解法清楚的表示出来，以x 为横

坐标做yf(x)bx(1x) 和yx的图形，曲线yf(x) 和直线yx 交点的横坐标为平衡点x* 对于初值x

x*1/2,

*xxk， 的过程则会出现形如蛛网模型图7-1那样的衰减振荡。

*x当b>3时， 虽然方程（6）仍可形式的求解， 但 不稳定 ，其图解法如图7-4所示出

现形如蛛网模型图7-2那样的发散振荡。

事情到此并未完结 ，让我们对不同的b值， 用方程（6）做一些计算，观察xk 的变化趋势

程序见附录7.1

图7-4 方程（6）的图解法

数值计算 有小到大取不同的数值 ，用方程（6）做计算 ，结果见附录7.2，程序见附录7.3。

可以看出 ，对于b=1.7和b=2.6, xk 单调的和振荡的趋向极限0.4118 和0.6154，与

*x图1 分析的现象一致， 这两个极限只也与（8） 得到的平衡点 相同 ，对于b=3.3, xk

好像有两个收敛的子列，分别趋向于极限值0.4794 和0.8236 对于b=3.45和b=3.55似乎分别有 4和8个收敛的子序列 ，而对于b=3.57, xk 的变化就没有什么规律了。下面让我们从理论上对b>3的情况做进一步的分析

倍周期收敛 如果称b x* 是 为单周期收敛, 那么存在两个收敛的子序列就

xk1f(xk) (11) 可以称为2倍周期收敛，一般把方程表示为

在讨论2倍周期收敛时应考察

xk2f(xk1)f(f(xk))f(2)(xk) (12)

为了求方程（12）的平衡点 对于我们的模型（6）要解代数方程

xf(f(x))bbx(1x)[1bx(1x)] (13)

***(2)*xxx因为方程(12)的平衡点满足= f(x)， 所以除了零点和原来的=1-1/b 是它的

平衡点外，满足

****=f(x2= f(x1x1), x2) (14)

*x1的点，x*也是（12）的平衡点，x*

21,2 可由（13）解得

（15） x*

1,2

不难验证 当b>3时

0

1

*x下面在b>3 下讨论这些平衡点的稳定性， 显然是不稳定的，对于x* 和x* 因为 12

(f(2)(x))'

*xx1**f'(x2)f'(x1)，(f(2)(x))'*xx2**f'(x1)f'(x2)

**故x1和x2的稳定性相同，再由

(f(2)(x))'

和稳定判据(f

(2)*'**xx2,x1**b2(12x1)(12x2) （17） (x1,2))1，并将（15）代入（17）可得*x1,2的稳定条件为

b13.449 (18)

有上述计算可知, 当3b3.449a时，虽然x不稳定，但是**x1,2 是方程的稳定平衡点即 xk，xk2，……——> *x1*,于是对于原方程(6), x1,2{ xk}是序列的两个子序列的极限，即

****或x2， 以b=3.3代入（15）式，可得x1=0.4794, x2=0.8236,x2k和x2k1分别趋向于x1

与数值计算中的结果相同，以上的迭代过程也可以从方程的图解法中看到。

作为生物数量阻滞增长的离散模型，以上结果表明 ，当固有增长率2r2.449时，从一个繁殖周期的角度看，其数量增长是不稳定的，即没有极限。但从两个繁殖周期的角度看，却实稳定的，这就是所谓的2被周期收敛。

读者不难想到，当b>3.449时*x1,2 不再是方程（12）的稳定平衡点，从而对于方程（6） 来说2倍周期也不收敛了，但是可以讨论4倍周期收敛，进一步考察方程

xk4f(4)(xk) （19）

用类似的方法可得， 当

3.449b3.644 （20）

时（19）有4个稳定平衡点，数值计算中b=3.45 就是这种情况 于是对于原来的模型(6)

从4个繁殖周期的角度看， 增长是稳定的

图7-5 方程（12）的图解法

按照这样的规律我们可以对模型（6）的增长序列{ xk} 讨论2倍周期收敛问题，

nnn=1,2,3,…… 收敛性完全由参数b 的取值确定. 若记bn为是使2倍周期收敛的b的上

限， 则上面的结果给出b03,b13.449,b23.544,b33.564, 更深入的研究表明，当n 时，bn3.569. 当b>3.569时，就不在存在任何2倍的周期收敛， 出现所谓混n

沌现象 图8 给出了模型（6） 的收敛、分岔、和混沌情况，相应程序见附录7.4。 其实，在混沌区域内也并非乱成一片，比如令b=3.83计算一下，你会发现xk呈3being周

n期收敛。在3.5699

口。

评注：本节虽然没有讨论具体的实际问题，但是作为描述阻滞增长规律的Logistic模型，无论是微分方程形式还是差分形式都是有着广泛应用的，读请者举出一些应用的例子。

另外，从数学角度看，方程（6）是非常简单的非线性差分方程，可以方便的地退求解，但是正如我们无奈所看到的，它的收敛性的研究却引出相当复杂和有趣的现象，可以作为反差理论和混沌现象的导入。当然这些问题已经超出本书的范围了。

图7-6

7.3嵌入式模型简介

海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长、繁殖过程大致是，成年的鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。这样，如果我们在每个产卵期到来之前观察鲑鱼的数量，可以发现按照一定规律的周期变化，用什么样的模型既能在时间上的离散点上（产卵期即将到来时）描述成年鲑鱼的数量变化，又能在每个繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程，从而达到研究成年鲑鱼数量周期变化规律的目的呢。这就要用到所谓嵌入式模型，它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。可以看出这种模型正好能描述鲑鱼变化的全过程。

嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物的周期性繁殖现象以外，再生资源的周期性收获，人体对周期性注入药物的反应，周期性排放污染物的环境变化等都可以用这种模型研究。

7.4 线性函数迭代

为了更好地理解平面线性映射迭代,并对其提供可类比的简单实例，我们从一元线性映射f(x)axb的迭代开始讨论。

对给定的函数yf(x)，取定一个初始值x0，算得x1f(x0)，再利用x1充当的角色，算得x2f(x1)，…, xnf(xn1)),…,得到一个数列{xn}，我们称这一类计算方法为迭代。特别当f(x)axb时，上述迭代称为线性迭代.

练习1 阅读下面的伪码，将其改写为MATLAB程序，在计算机上实现线性迭代过程。你可为你的程序定名为iterline(linear-iteration)或其他你喜欢的名字。

伪代码 ITERLINE

（1） 输入：f(x)axb的系数及初值x0与迭代次数n。

（2） 输出：从x0起函数的n次迭代值。

xx0

PRINTx

FORI1TOn

yaxb

PRINTIANDy

xy%用f(x)axb代换x

NEXTI %II1

练习2 假设你编写好的iterline已能正确运行，令f(x)2x1，用初始值x1.5迭代10次，为了方便，以记号(a,b,x,n)(2,1,1.5,10) 表示。再以(a,b,x,n)(0.5,2,5,10) 做实验，两次实验会得到相当不同的结果，再用 (a,b,x,n)(3,1,1,15) 与(a,b,x,n)(3,1,0.25,15) 试之。后两次实验使用的是同一个线性函数，你从中发现了什么，与前两次实验相比，结果有什么类似之处，又有什么差别？

对迭代数列{xn}，我们感兴趣的是当n越来越大时，该序列的行为。

(0.5,2,5,10) 与(3,1,1,15) 生成收敛的数列，极限分别为4与0.25，(-2,1,1.5,10)和 (-3,1,0.25,15)生成发散的数列。这里的收敛与发散是考察有限次迭代结果而得出的结论。对上述4个迭代，换用不同的初值再试x0之，利用你的结果回答下列问题。

练习3 （1） 能否找到一个线性迭代，它对任意初始值，都给出收敛的迭代数列？

（2）能否找到一个线性函数，它对任意初始值，迭代总是发散的？

（3） 是否存在这样的线性迭代，对一个或一些初始值给出收敛的迭代数列，对其他初始

值产生发散的迭代数列？

（4） 你能否找到这样的线性函数，对不同的初始值，迭代序列收敛到不同的极限？ 对一般函数yf(x)，利用迭代公式xn1f(xn)产生的迭代数列(xn)，其行为要比线性迭代复杂，但所提问题与之类似。下面我们给出一种称之为蜘蛛网法的几何方法，它将迭代的过程可视化。这是一种很有用的方法，同样适用于非线性迭代，见图7-7。

图7-7 对给定的a,b，画直线yaxb与yx，选定初值x0，之后在yaxb上标出(x0,x1)，过此点作水平线与yx相交与(x1,x1)，与(x1,x1)画垂直于x轴的直线，与相交，之后重复这一过程。

练习4 你尝试用不同的，如与，看看你能发现何种类型的发散，何种类型的收敛。如果收敛，收敛于何值，要观察发散与收敛的不同蛛网线的形式，还应注意收敛与发散的速度与的关系。

最后，我们给出理论分析，关于迭代

xnaxn1b,n1,2, 由数学归纳法不难证明

xnax0(ann1an2a1)ban(x0bb)(a1) 1a1a

练习5 下面考虑上述表达式中保证迭代收敛的两个条件：

（1） 与a,b有关，而与x0无关；

（2） 与x0有关。

写出这两个条件，证明条件之一成立，迭代收敛，并分别给出收敛值。

如果a=1，确定收敛的条件是什么？

本节内容简单，但却给出了工程中考虑问题的一般方法，即实验，猜想，总结规律，给出理论分析，再去指导实验。对更复杂的非线性迭代，二次动力系统的理论分析等，从研究过程考虑，亦不外这样一些手段。本节内容中提及的图形分析方法亦为复杂问题分析提供了一种有益的值得借鉴的方法。

第7章 差分方程模型

在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。本章将主要讨论差分方程模型。

7.1市场经济中的蛛网模型

在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。生产者看到有利可图，有重操旧业。这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。

本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。

蛛网模型 记第k时段商品的数量为xk，价格为yk，k1,2,3,这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。

同一时段商品的价格yk取决于数量xk，设

ykf(xk) (1)

它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f表示它，f称需求曲线。

下一时段商品的数量xk1由上一时段价格yk决定，设

xk1h(yk),或ykg(xk1) (2)

这里g是h的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g是一条上升的曲线。

图中两条曲线相较于p0(x0,y0)点。p0点是平衡点，其意义是，一旦在某一时段k有xk=x0，则有（1），（2）可知yk=y0，xk1=x0，yk1=y0，……，即k以后各时段商品的数量和价格将永远保持在p0(x0,y0)点，但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在p0点，不妨设x1偏离x0（如图7-1），我们分析随着k的增加xk，yk的变化。

商品数量x1给定后，价格y1由曲线f上的P下一时段的数量x2由曲线g上的P1点决定，2决定，y2又由f上的P这样得到一系列的点P 2(x2,y1)，P3点决定，1(x1,y1)，P3(x2,y2)……，

图7-1 图7-2

在图7-1上这些点将按箭头所示方向趋向p0(x0,y0)，表明P0是稳定的平衡点，意味着市场经济将趋向稳定。

但是如果需求函数和供应函数由图7-2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照P1，P2，P2,P3,P4……的规律变化而远离P0，即P0是不稳定的平衡点，意味着商品数量和价格见出现越来越大的振荡。

图7-1和图7-2中折线PP所以这种用需求曲线和供应曲线分析市场经12P3P4……形似蛛网，

济稳定行和图示发在经济学中称蛛网模型，实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的，一般的说，f取决于消费者对这种商品的需求程度和他们的消费水平，g则与生产者的生产能力、经营水平等因素有关。比如当消费者收入增加时，f会向上移动；当生产能力提高时，g将享有移动。 一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定，就完全由这两条曲线在平衡点P0附近的形状决定。只要分析一下图7-1和图7-2的不同之处就会发现，在P0附近，图7-1的f比g平缓，而图7-2的f比g陡峭，即f在P0点斜率的绝对值为Kf，g在P0点的斜率为Kg，图形的直观告诉我们，当

KfKg (3)

时，P0点是稳定的，当

KfKg (4) 时，P0点是不稳定的。由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定，为了进一步分析这种现象，下面给出蛛网模型的另一种表达形式——差分方程。

差分方程的模型 在P，（2）式分别近似为 0点附近可以用直线来近似曲线f和g，设（1）

yky0a(xkx0),a0 (5)

xk1x0b(yky0),b0 (6)

从二式中消去yk，可得

（7） xk1x0ab(xkx0),k1,2,

（7）是一阶线性常系数差分方程，对k递推不难得到

xk1x0(ab)k(x1x0) （8）

容易看出，当k—>时xk—>x0，即P0点稳定的条件是

ab1或a1 (9) b

而k—>时xk—>，即P0点不稳定的条件是

1 (10) b

1注意到（5），（6）式中a,b的定义,有Kf=a, Kg=,所以条件（9），（10）与蛛网模型中bab1或a

的直观结果（3），（4）式是一致的。

模型解释 首先考察参数a,b的含义，由（5）是可知，a表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度，由（6）是可知，b表示价格上涨1个单位时（下一个时期）商品供应的增加量。所以a的数值反映消费者对商品需求的敏感程度，如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币代购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么a会比较大，反之，若这种商品非必需品，消费者购物心里稳定，或者消费水平低下，则a较小, b的数值反映了生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们的目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨就大量增加生产，那么b会比较大，反之，若他们素质较高，有长远的计划， 则b较小。

根据a,b的意义很容易对市场经济稳定与否的条件（9），（10）作出解释，当供应函数g即b固定时a越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，（9）式也容易成立，有利于经济稳定，当需求函数f即a固定时，b越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，（9）是也容易成立，有利于经济稳定，反之，当a,b较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致（10）式成立，经济不稳定。 应该指出，a 和b 都是有量纲的，他们的大小都应在同一量纲单位下比较，同时，a 和b的量纲互为倒数，所以ab 无量纲，就可以与1比较大小了。

经济不稳定时的干预方法

给予上述分析我们可以看到，当市场经济趋向不稳定是政府有两种干预办法。

一种办法是使a 尽量小，不妨考察极端情况a=0 ，即需求曲线水平，这是不论供应曲线如何,（9）是总成立，经济总是稳定，实际上这种办法相当于政府控制物价，无论商品数量多少，命令价格不得改变，

另一种办法是使b 尽量小，极端情况是b=0，即供应曲线竖直，于是不论需求双曲线如何，也总是稳定的，实际上这相当于控制市场上的商品数量，当供应量少于需求时，从外地收购或调拨，投入市场，当供过于求时，收购过剩部分，维持商品上市量不变，显然，这种办法需要政府相当强的经济实力，

图7-3 模型的推广 如果生产者的管理水平和素质更高一些，他们在决定商品生产数量xk1时 ，不是仅根据前一时期的价格yk，而是根据潜两个时期的价格yk和

设根据二者的平均值（yk+yk1）/2, 于是供应函数(2)式表为

yk1，，为简单起见不妨

xk1g(ykyk1) (11) 2

b(ykyk12y0) （12） 2相应的，（2）式的线性近似表达式（6）修改为 xk1x0

其中b是平均价格上涨1个单位时xk1的增量，又设需求函数仍由（1），（5）式表示 则

2xk2abxk1abxk(1ab)x0，k1,2, （13）

（13）是二阶线性常系数差分方程，为寻求k—>时xk—>x0，即P0点稳定的条件，不必解方程（13），只须利用判断稳定的条件——方程特征根均在单位圆内。

由方程（13）的特征根方程

2+ab+ab=0

容易计算出其特征根为 2

1,2从而ab(ab)28ab42, 2在单位圆外。下面设ab



1,2 （15）要使特征根均在单位元内，即1,21，必须

ab2 (16)

这就是P0点稳定的条件，与原有模型中P0点稳定的条件（9）式相比，参数a的范围放大，另外。可以想到，这是因为生产者的管理水平和素质提高，对市场经济的稳定起着有利影响的必然结果。

7.2 差分形式的阻滞增长模型

微分方程

dxrx(1x/N) (1) dt

描述受到环境约束的所谓“阻滞增长”的规律，即Logistic规律，这种约束随着对象本身数量x的增加而增加，人口或其他生物在有限资源环境下的增长，传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限市场上的销售等等现象，都可以合理的、简化的用这个模型描述。

现实对象有时用离散化的时间研究起来比较方便，例如有些生物每年在固定的时间繁殖，我们用繁殖周期作为时段来研究其增长规律就比用连续时间方便，于是需要阻滞增长的离散模型，将 方程（1）的微分用差分形式来表示，就有

yk1ykrx(1x/N),k0,1,2, （2）

这里用yk 而不用xk 是为了下面记号的方便，r和N的含义分别是固有增长率和最大容量.

(2)式可进一步写作

yk1(r1)yk[1

令 ryk] (3) (r1)N

br1 (4)

xk=

则（3）式可化简为 ryk (5) (r1)N

xk1bxk(1xk),k0,1,2, （6）

（6）式是一阶非线性差分方程，在实际应用中没有必要找出方程（6）的一般解，因为给

定初值x0 后利用计算机可以方便的有（6）递推算出xk，k=1,2,3,……

事实上，在应用差分形式的阻滞增长模型（2）或（6）时，人们最关心的通常是k—>时yk或xk的收敛情况，即方程平衡点的稳定性的问题，本节主要讨论这个问题，

我们知道，对于微分方程（1）xN是稳定平衡点 ，x0 是不稳定平衡点，即不论 r和N 为何值，当t—>时 都有x(t) —>N. 那么对于方程 (1) 的差分形式(2)是否也有同样的性质,即k—>时 都有yk —>N.呢？下面将会看到，回答这个问题并不简单，而且将引出一个十分有趣的现象，

平衡点及稳定性 代替（2） 我们讨论方程（6） 的平衡点及其稳定性的平衡点， 解代数方程 **

xf(x)bx(1x) (7)

容易得到 (6)的非零平衡点为

1x*1 （8） b

利用（4），（5） 可以验证，x 相当于原方程的非零平衡点yN。为分析x 的稳定性，***

计算

f'(x*)b(12x*)2b （9）

*'*x根据稳定的条件f(x)1， 立即得到

1b3 (10)

**x由此可知仅当（10） 成立时 才是稳定平衡点，有（4）可知它相当于仅当r2，yN

才是方程的稳定平衡点 。这与不论r 多大 , xN 都是微分方程的稳定平衡点是不同的。

*x在条件(10) 下xk 收敛于的状况可以通过方程(6) 的图解法清楚的表示出来，以x 为横

坐标做yf(x)bx(1x) 和yx的图形，曲线yf(x) 和直线yx 交点的横坐标为平衡点x* 对于初值x

x*1/2,

*xxk， 的过程则会出现形如蛛网模型图7-1那样的衰减振荡。

*x当b>3时， 虽然方程（6）仍可形式的求解， 但 不稳定 ，其图解法如图7-4所示出

现形如蛛网模型图7-2那样的发散振荡。

事情到此并未完结 ，让我们对不同的b值， 用方程（6）做一些计算，观察xk 的变化趋势

程序见附录7.1

图7-4 方程（6）的图解法

数值计算 有小到大取不同的数值 ，用方程（6）做计算 ，结果见附录7.2，程序见附录7.3。

可以看出 ，对于b=1.7和b=2.6, xk 单调的和振荡的趋向极限0.4118 和0.6154，与

*x图1 分析的现象一致， 这两个极限只也与（8） 得到的平衡点 相同 ，对于b=3.3, xk

好像有两个收敛的子列，分别趋向于极限值0.4794 和0.8236 对于b=3.45和b=3.55似乎分别有 4和8个收敛的子序列 ，而对于b=3.57, xk 的变化就没有什么规律了。下面让我们从理论上对b>3的情况做进一步的分析

倍周期收敛 如果称b x* 是 为单周期收敛, 那么存在两个收敛的子序列就

xk1f(xk) (11) 可以称为2倍周期收敛，一般把方程表示为

在讨论2倍周期收敛时应考察

xk2f(xk1)f(f(xk))f(2)(xk) (12)

为了求方程（12）的平衡点 对于我们的模型（6）要解代数方程

xf(f(x))bbx(1x)[1bx(1x)] (13)

***(2)*xxx因为方程(12)的平衡点满足= f(x)， 所以除了零点和原来的=1-1/b 是它的

平衡点外，满足

****=f(x2= f(x1x1), x2) (14)

*x1的点，x*也是（12）的平衡点，x*

21,2 可由（13）解得

（15） x*

1,2

不难验证 当b>3时

0

1

*x下面在b>3 下讨论这些平衡点的稳定性， 显然是不稳定的，对于x* 和x* 因为 12

(f(2)(x))'

*xx1**f'(x2)f'(x1)，(f(2)(x))'*xx2**f'(x1)f'(x2)

**故x1和x2的稳定性相同，再由

(f(2)(x))'

和稳定判据(f

(2)*'**xx2,x1**b2(12x1)(12x2) （17） (x1,2))1，并将（15）代入（17）可得*x1,2的稳定条件为

b13.449 (18)

有上述计算可知, 当3b3.449a时，虽然x不稳定，但是**x1,2 是方程的稳定平衡点即 xk，xk2，……——> *x1*,于是对于原方程(6), x1,2{ xk}是序列的两个子序列的极限，即

****或x2， 以b=3.3代入（15）式，可得x1=0.4794, x2=0.8236,x2k和x2k1分别趋向于x1

与数值计算中的结果相同，以上的迭代过程也可以从方程的图解法中看到。

作为生物数量阻滞增长的离散模型，以上结果表明 ，当固有增长率2r2.449时，从一个繁殖周期的角度看，其数量增长是不稳定的，即没有极限。但从两个繁殖周期的角度看，却实稳定的，这就是所谓的2被周期收敛。

读者不难想到，当b>3.449时*x1,2 不再是方程（12）的稳定平衡点，从而对于方程（6） 来说2倍周期也不收敛了，但是可以讨论4倍周期收敛，进一步考察方程

xk4f(4)(xk) （19）

用类似的方法可得， 当

3.449b3.644 （20）

时（19）有4个稳定平衡点，数值计算中b=3.45 就是这种情况 于是对于原来的模型(6)

从4个繁殖周期的角度看， 增长是稳定的

图7-5 方程（12）的图解法

按照这样的规律我们可以对模型（6）的增长序列{ xk} 讨论2倍周期收敛问题，

nnn=1,2,3,…… 收敛性完全由参数b 的取值确定. 若记bn为是使2倍周期收敛的b的上

限， 则上面的结果给出b03,b13.449,b23.544,b33.564, 更深入的研究表明，当n 时，bn3.569. 当b>3.569时，就不在存在任何2倍的周期收敛， 出现所谓混n

沌现象 图8 给出了模型（6） 的收敛、分岔、和混沌情况，相应程序见附录7.4。 其实，在混沌区域内也并非乱成一片，比如令b=3.83计算一下，你会发现xk呈3being周

n期收敛。在3.5699

口。

评注：本节虽然没有讨论具体的实际问题，但是作为描述阻滞增长规律的Logistic模型，无论是微分方程形式还是差分形式都是有着广泛应用的，读请者举出一些应用的例子。

另外，从数学角度看，方程（6）是非常简单的非线性差分方程，可以方便的地退求解，但是正如我们无奈所看到的，它的收敛性的研究却引出相当复杂和有趣的现象，可以作为反差理论和混沌现象的导入。当然这些问题已经超出本书的范围了。

图7-6

7.3嵌入式模型简介

海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长、繁殖过程大致是，成年的鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。这样，如果我们在每个产卵期到来之前观察鲑鱼的数量，可以发现按照一定规律的周期变化，用什么样的模型既能在时间上的离散点上（产卵期即将到来时）描述成年鲑鱼的数量变化，又能在每个繁殖期内描述从卵、幼鱼到成年鱼的演变过程，从而达到研究成年鲑鱼数量周期变化规律的目的呢。这就要用到所谓嵌入式模型，它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。可以看出这种模型正好能描述鲑鱼变化的全过程。

嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物的周期性繁殖现象以外，再生资源的周期性收获，人体对周期性注入药物的反应，周期性排放污染物的环境变化等都可以用这种模型研究。

7.4 线性函数迭代

为了更好地理解平面线性映射迭代,并对其提供可类比的简单实例，我们从一元线性映射f(x)axb的迭代开始讨论。

对给定的函数yf(x)，取定一个初始值x0，算得x1f(x0)，再利用x1充当的角色，算得x2f(x1)，…, xnf(xn1)),…,得到一个数列{xn}，我们称这一类计算方法为迭代。特别当f(x)axb时，上述迭代称为线性迭代.

练习1 阅读下面的伪码，将其改写为MATLAB程序，在计算机上实现线性迭代过程。你可为你的程序定名为iterline(linear-iteration)或其他你喜欢的名字。

伪代码 ITERLINE

（1） 输入：f(x)axb的系数及初值x0与迭代次数n。

（2） 输出：从x0起函数的n次迭代值。

xx0

PRINTx

FORI1TOn

yaxb

PRINTIANDy

xy%用f(x)axb代换x

NEXTI %II1

练习2 假设你编写好的iterline已能正确运行，令f(x)2x1，用初始值x1.5迭代10次，为了方便，以记号(a,b,x,n)(2,1,1.5,10) 表示。再以(a,b,x,n)(0.5,2,5,10) 做实验，两次实验会得到相当不同的结果，再用 (a,b,x,n)(3,1,1,15) 与(a,b,x,n)(3,1,0.25,15) 试之。后两次实验使用的是同一个线性函数，你从中发现了什么，与前两次实验相比，结果有什么类似之处，又有什么差别？

对迭代数列{xn}，我们感兴趣的是当n越来越大时，该序列的行为。

(0.5,2,5,10) 与(3,1,1,15) 生成收敛的数列，极限分别为4与0.25，(-2,1,1.5,10)和 (-3,1,0.25,15)生成发散的数列。这里的收敛与发散是考察有限次迭代结果而得出的结论。对上述4个迭代，换用不同的初值再试x0之，利用你的结果回答下列问题。

练习3 （1） 能否找到一个线性迭代，它对任意初始值，都给出收敛的迭代数列？

（2）能否找到一个线性函数，它对任意初始值，迭代总是发散的？

（3） 是否存在这样的线性迭代，对一个或一些初始值给出收敛的迭代数列，对其他初始

值产生发散的迭代数列？

（4） 你能否找到这样的线性函数，对不同的初始值，迭代序列收敛到不同的极限？ 对一般函数yf(x)，利用迭代公式xn1f(xn)产生的迭代数列(xn)，其行为要比线性迭代复杂，但所提问题与之类似。下面我们给出一种称之为蜘蛛网法的几何方法，它将迭代的过程可视化。这是一种很有用的方法，同样适用于非线性迭代，见图7-7。

图7-7 对给定的a,b，画直线yaxb与yx，选定初值x0，之后在yaxb上标出(x0,x1)，过此点作水平线与yx相交与(x1,x1)，与(x1,x1)画垂直于x轴的直线，与相交，之后重复这一过程。

练习4 你尝试用不同的，如与，看看你能发现何种类型的发散，何种类型的收敛。如果收敛，收敛于何值，要观察发散与收敛的不同蛛网线的形式，还应注意收敛与发散的速度与的关系。

最后，我们给出理论分析，关于迭代

xnaxn1b,n1,2, 由数学归纳法不难证明

xnax0(ann1an2a1)ban(x0bb)(a1) 1a1a

练习5 下面考虑上述表达式中保证迭代收敛的两个条件：

（1） 与a,b有关，而与x0无关；

（2） 与x0有关。

写出这两个条件，证明条件之一成立，迭代收敛，并分别给出收敛值。

如果a=1，确定收敛的条件是什么？

本节内容简单，但却给出了工程中考虑问题的一般方法，即实验，猜想，总结规律，给出理论分析，再去指导实验。对更复杂的非线性迭代，二次动力系统的理论分析等，从研究过程考虑，亦不外这样一些手段。本节内容中提及的图形分析方法亦为复杂问题分析提供了一种有益的值得借鉴的方法。