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[获奖论文联展 三角函数最值问题的求解策略 获奖论文联展]三角函数最值问题的求解策略 获奖论文联展
2009-02-03
摘要：求三角函数的最值问题涉及知识面广，灵活性大。本文将从具体的实例出发，分析并介绍问题转换、 变量替换、等价化归、图形结合等几种比较典型的解题方法，找出一般的解题策略与技巧。 关键词：三角函数 最值 策略 转化
三角函数最值问题遍及三角乃致立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用。并且这 类问题综合性强，灵活性大。这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包 括变量替换、问题转换、等价化归、图形结合等常用方法。掌握这类问题的求解策略，不仅能加强知识的纵横 联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。下面针对三角函数的最值问题，作出几 种具体分类讨论： 一、合理转化，利用三角函数性质求解。 1、通过转化，利用正、余弦函数的有界性来求最值问题。主要有以下两种类型：
⑴、可将函数式化为
的形式，利用正、余弦函数的有界性来求解。形如
或 的函数最值问题，需先将 的最值问题，再应用 、
的类型函数适用。对形如 降次，化归为 求解；对形如
的函数最值问题，即函数的解析式中只含有 sinx〔或 cosx〕的一次式， 可反解出 sinx〔或 cosx〕，再利用正、余弦函数的有界性求出 y 的取值范围。
例 1、求函数
最 值 。
分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将
降次处理，再应用
〔其中 解：原函数解析式可化为：
〕的知识，转化原函数式，根据有界性
求值。
。
由
，
可得：
，
即
，
。
例 2、 求函数
的值域。
分析：原函数的解析式中只含有 取值范围。
的一次式，所以可反解出
，再利用余弦函数的有界性求出 y 的
解：由
得
因为
，
所以
。解之得
，所以所求函数的值域为
。
〔对本题也可先将函数式变为
，又由
，所以得
〕。
⑵、可将函数化为
的形式也利用函数的有界性求解，形如
或者形如
的类型函数适用。 此类函数的解析式与上例不同， 分式中分子、 分母含有的一次式 cosx 或 sinx 各不相同，不能直接解出 cosx 或 sinx，通常是化作 再利用函数有界性求解。
例 3、 求函数
的最小值和最大值。
分析：此函数的解析式的分子含有 ，化作 求解。
的一次式，而分母是含
的一次式，不能直接解出
或
解：由 ：
得
所以
〔
为辅助角〕，得
又因为
，所以是
，由此解得
即
，
〔对此类问题也可通过几何
方法来求解，如下面第四点介绍〕 2、通过转化，利用正、余弦函数的单调性来求最值问题。一般对于以上 1、（1）的类型（即可化为 形式或化为余弦函数形式），但自变量的范围限制在某个区间的情况的函数最值问题适用。 通常通过 三角恒等变换将已知函数式直接转化为一个角的三角函数式的形式， 将异名三角函数化为同名三角
函数，然后运用三角函数的单调性来求解．
例 4、 求函数
的最大和最小值。
分析：根据
，将原函数解析式转化为只含正弦函数符号的函数式，
然后运用正弦函数在某区间的单调性，求得原函数的最值。
解：
由
，得
， 即
又由正弦函数的单调性可知：
在
上单调增加，故有
所以
，
。
此类问题注意函数的所在区间及其函数所具的单调性。 二、变量替换, 转化结构，巧妙求解. 对于比较复杂的复合三角函数，难以直接运用公式进行转化的，抓住结构特点，通过引入变量进行替换， 转化原问题的结构，把问题转化成对新变量的讨论。将比较复杂的函数转化成易于求最值的函数进行求解。主 要类型有： ⑴、 局部替换 题的麻烦， 达到化繁为简、 化难
通过局部替换把三角问题转化为代数问题进行讨论, 避开解三角函式 为易的目的，从而求解。如
类型往往通过换元转化为对二次函数的最值求解。
例 5、 求函数
的最值。
分析：利用 数转化为二次函数求解。
沟通
与
之间的关系，通过换元使原函
解：设
，则
，有
。
于是原函数为
故当
时，即
时，
当
时，即
时，
注意：函数 异，解法的不同。
与
形式的最值问题形同质
例 6、已知 a>0，求
的最大值与最小值。
分析：由 沟通 与
，利用 之间的关系，通过换元使原函数转化为二次
函数求解。但对含有参数的最值问题要对参数进行讨论。
解：
设
，则
，且
，代入已知式得：
①若
，则当
时，函数取得最小值为
；当
时，函数取得最大值为
。
②若
，则当
时，函数取得最小值为
，当
时，函数取得最大值为
。
⑵、整体替换
整体替换，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。从而架起已知通向未知的桥梁，转化原问题 结构，简化解题过程。
例 7、已知
，求
的值域。
分析：此类题通常已知量和未知量没有直接联系，把待求式视为一个整体进行变量替换，设 ，沟通与已知量关系，变成新的式子求值。
解：设
，将已知式与待求式两边平方得：
①
②
将①+②得：
，
即，
，
因为
，所以
。解之得
所以 ⑶、 引入参数
。
通过引入参变量调节命题结构，等价化归把问题转化为对参变量的讨论，简
化原函数式从而求解。
例 8、求函数
的最大值与最小值。
分析：通过引入参数 论求得最值。
，
，使原函数式由繁化简，等价化归为对参变量 t 和 s 的讨
解：设
，
，由
，得
，
因为
，所以
。于是有
，
因为
，所以
。
所以函数 y 的最大值为
，最小值为
。
三、抓住结构特征，巧用均值不等式求解。 根据题目结构特征，利用均值不等式模型解决最值问题。 均值不等式的一般形式：
〔其中
为正数且
〕
但利用均值不等式求最值时，必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用 此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决， 是运用此方法的关键条件也是难点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最 后还应注意的是最值，应为和的最值或积的最值。
例 9、已知
，求函数
的最小值。
分析： 由 解。
得 ：
，原函数式化为 y=
，可转化为均值不等式形式求
解：由
得 ：
，根据均值不等式
＝
＝12
当
即
＝
时，等号才成立，即有
＝12
例 10、已知
，其中
、
为锐角，求
的最大值。
分析：由于 的关系，并构造
为锐角，即
、
＞0，故利用三角公式沟通
、
、
为和的形式，运用均值不等式求解。
解：由
得
。
又由
所以
即
，有
则
当
=
即
时，等号才成立，故有
的最大值为
四、运用模型、利用数形结合求解。
数形结合能将抽象的问题 的题型则可以构造几何模型来
直观化、形象化，对一些求最值 求解。
如对形如 与定点
的函数
式， 通常可视作动点 于 ， 所以从图
的连线的斜率，由 在单
形角度考虑点
位圆上。这样一类既含有正弦函 的最值问题可考虑用几何法求
数又含有余弦函数的三角函数 解。
例 11、求函数
的最大值和最小值。
解：
这可以看作是定点
与单位圆上的点
连线的斜
率。因此，y 的最值就是当直线 AP 与单位圆相切时的斜率。因为单位圆
中斜率为 k 的切线方程为:
由于该切线过点
，故
所以
.
即
,
.
五、函数与方程的转化，构造方程，运用判别式求解。
这类题目通常是将函数转化为方程，并且其具体特征为 ：所列的函数解析式或化简后的解析式 ，可以化 为： 的形式，由 x 在某一定义域范围内有解，可以得出 ，再结合二次方程在某区间内有实数解的充要条件〔即方程在闭区间内有实根即
可，并非一定有两个实根。〕，解这些不等式求出 s 的变化范围，从而得到最值。（其中 的形式， 是 s 的函数）。
或
例 12、求函数
的最大和最
小值。
分析：将原函数整理成关于 sinx 的二次方程，问题转化为求一元二次方程在闭区间 充要条件问题，从而求得原函数的最值。
上存在实数解的
解：将原函数表达式变形为关于
的方程：
，
由于
，所以方程在闭区间
有实数解。而
在
上的有实数解的充要条件为：
或
解之得：
。故有原函数的最大值和最小值为
用判别式求函数最值时，变形过程必须等价，必须考虑原函数的定义域，判别式存在的前提，并注意检验 区间端点是否符合要求。 综上所述，我们总结出三角函数最值问题的五种求解策略。显然，三角函数最值问题类型繁多，所涉及的 知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点，题型结构特征，选用恰当的求解策略 和方法技巧，能使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。
参考文献 ⑶刘志联,构造几何模型巧解代数题 《中学数学月刊》 2003 年 1 月版
稿件来源： 中国劳动力市场信息网监测中心
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2009-02-03
摘要：求三角函数的最值问题涉及知识面广，灵活性大。本文将从具体的实例出发，分析并介绍问题转换、 变量替换、等价化归、图形结合等几种比较典型的解题方法，找出一般的解题策略与技巧。 关键词：三角函数 最值 策略 转化
三角函数最值问题遍及三角乃致立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用。并且这 类问题综合性强，灵活性大。这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包 括变量替换、问题转换、等价化归、图形结合等常用方法。掌握这类问题的求解策略，不仅能加强知识的纵横 联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。下面针对三角函数的最值问题，作出几 种具体分类讨论： 一、合理转化，利用三角函数性质求解。 1、通过转化，利用正、余弦函数的有界性来求最值问题。主要有以下两种类型：
⑴、可将函数式化为
的形式，利用正、余弦函数的有界性来求解。形如
或 的函数最值问题，需先将 的最值问题，再应用 、
的类型函数适用。对形如 降次，化归为 求解；对形如
的函数最值问题，即函数的解析式中只含有 sinx〔或 cosx〕的一次式， 可反解出 sinx〔或 cosx〕，再利用正、余弦函数的有界性求出 y 的取值范围。
例 1、求函数
最 值 。
分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将
降次处理，再应用
〔其中 解：原函数解析式可化为：
〕的知识，转化原函数式，根据有界性
求值。
。
由
，
可得：
，
即
，
。
例 2、 求函数
的值域。
分析：原函数的解析式中只含有 取值范围。
的一次式，所以可反解出
，再利用余弦函数的有界性求出 y 的
解：由
得
因为
，
所以
。解之得
，所以所求函数的值域为
。
〔对本题也可先将函数式变为
，又由
，所以得
〕。
⑵、可将函数化为
的形式也利用函数的有界性求解，形如
或者形如
的类型函数适用。 此类函数的解析式与上例不同， 分式中分子、 分母含有的一次式 cosx 或 sinx 各不相同，不能直接解出 cosx 或 sinx，通常是化作 再利用函数有界性求解。
例 3、 求函数
的最小值和最大值。
分析：此函数的解析式的分子含有 ，化作 求解。
的一次式，而分母是含
的一次式，不能直接解出
或
解：由 ：
得
所以
〔
为辅助角〕，得
又因为
，所以是
，由此解得
即
，
〔对此类问题也可通过几何
方法来求解，如下面第四点介绍〕 2、通过转化，利用正、余弦函数的单调性来求最值问题。一般对于以上 1、（1）的类型（即可化为 形式或化为余弦函数形式），但自变量的范围限制在某个区间的情况的函数最值问题适用。 通常通过 三角恒等变换将已知函数式直接转化为一个角的三角函数式的形式， 将异名三角函数化为同名三角
函数，然后运用三角函数的单调性来求解．
例 4、 求函数
的最大和最小值。
分析：根据
，将原函数解析式转化为只含正弦函数符号的函数式，
然后运用正弦函数在某区间的单调性，求得原函数的最值。
解：
由
，得
， 即
又由正弦函数的单调性可知：
在
上单调增加，故有
所以
，
。
此类问题注意函数的所在区间及其函数所具的单调性。 二、变量替换, 转化结构，巧妙求解. 对于比较复杂的复合三角函数，难以直接运用公式进行转化的，抓住结构特点，通过引入变量进行替换， 转化原问题的结构，把问题转化成对新变量的讨论。将比较复杂的函数转化成易于求最值的函数进行求解。主 要类型有： ⑴、 局部替换 题的麻烦， 达到化繁为简、 化难
通过局部替换把三角问题转化为代数问题进行讨论, 避开解三角函式 为易的目的，从而求解。如
类型往往通过换元转化为对二次函数的最值求解。
例 5、 求函数
的最值。
分析：利用 数转化为二次函数求解。
沟通
与
之间的关系，通过换元使原函
解：设
，则
，有
。
于是原函数为
故当
时，即
时，
当
时，即
时，
注意：函数 异，解法的不同。
与
形式的最值问题形同质
例 6、已知 a>0，求
的最大值与最小值。
分析：由 沟通 与
，利用 之间的关系，通过换元使原函数转化为二次
函数求解。但对含有参数的最值问题要对参数进行讨论。
解：
设
，则
，且
，代入已知式得：
①若
，则当
时，函数取得最小值为
；当
时，函数取得最大值为
。
②若
，则当
时，函数取得最小值为
，当
时，函数取得最大值为
。
⑵、整体替换
整体替换，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。从而架起已知通向未知的桥梁，转化原问题 结构，简化解题过程。
例 7、已知
，求
的值域。
分析：此类题通常已知量和未知量没有直接联系，把待求式视为一个整体进行变量替换，设 ，沟通与已知量关系，变成新的式子求值。
解：设
，将已知式与待求式两边平方得：
①
②
将①+②得：
，
即，
，
因为
，所以
。解之得
所以 ⑶、 引入参数
。
通过引入参变量调节命题结构，等价化归把问题转化为对参变量的讨论，简
化原函数式从而求解。
例 8、求函数
的最大值与最小值。
分析：通过引入参数 论求得最值。
，
，使原函数式由繁化简，等价化归为对参变量 t 和 s 的讨
解：设
，
，由
，得
，
因为
，所以
。于是有
，
因为
，所以
。
所以函数 y 的最大值为
，最小值为
。
三、抓住结构特征，巧用均值不等式求解。 根据题目结构特征，利用均值不等式模型解决最值问题。 均值不等式的一般形式：
〔其中
为正数且
〕
但利用均值不等式求最值时，必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用 此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决， 是运用此方法的关键条件也是难点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最 后还应注意的是最值，应为和的最值或积的最值。
例 9、已知
，求函数
的最小值。
分析： 由 解。
得 ：
，原函数式化为 y=
，可转化为均值不等式形式求
解：由
得 ：
，根据均值不等式
＝
＝12
当
即
＝
时，等号才成立，即有
＝12
例 10、已知
，其中
、
为锐角，求
的最大值。
分析：由于 的关系，并构造
为锐角，即
、
＞0，故利用三角公式沟通
、
、
为和的形式，运用均值不等式求解。
解：由
得
。
又由
所以
即
，有
则
当
=
即
时，等号才成立，故有
的最大值为
四、运用模型、利用数形结合求解。
数形结合能将抽象的问题 的题型则可以构造几何模型来
直观化、形象化，对一些求最值 求解。
如对形如 与定点
的函数
式， 通常可视作动点 于 ， 所以从图
的连线的斜率，由 在单
形角度考虑点
位圆上。这样一类既含有正弦函 的最值问题可考虑用几何法求
数又含有余弦函数的三角函数 解。
例 11、求函数
的最大值和最小值。
解：
这可以看作是定点
与单位圆上的点
连线的斜
率。因此，y 的最值就是当直线 AP 与单位圆相切时的斜率。因为单位圆
中斜率为 k 的切线方程为:
由于该切线过点
，故
所以
.
即
,
.
五、函数与方程的转化，构造方程，运用判别式求解。
这类题目通常是将函数转化为方程，并且其具体特征为 ：所列的函数解析式或化简后的解析式 ，可以化 为： 的形式，由 x 在某一定义域范围内有解，可以得出 ，再结合二次方程在某区间内有实数解的充要条件〔即方程在闭区间内有实根即
可，并非一定有两个实根。〕，解这些不等式求出 s 的变化范围，从而得到最值。（其中 的形式， 是 s 的函数）。
或
例 12、求函数
的最大和最
小值。
分析：将原函数整理成关于 sinx 的二次方程，问题转化为求一元二次方程在闭区间 充要条件问题，从而求得原函数的最值。
上存在实数解的
解：将原函数表达式变形为关于
的方程：
，
由于
，所以方程在闭区间
有实数解。而
在
上的有实数解的充要条件为：
或
解之得：
。故有原函数的最大值和最小值为
用判别式求函数最值时，变形过程必须等价，必须考虑原函数的定义域，判别式存在的前提，并注意检验 区间端点是否符合要求。 综上所述，我们总结出三角函数最值问题的五种求解策略。显然，三角函数最值问题类型繁多，所涉及的 知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点，题型结构特征，选用恰当的求解策略 和方法技巧，能使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。
参考文献 ⑶刘志联,构造几何模型巧解代数题 《中学数学月刊》 2003 年 1 月版
稿件来源： 中国劳动力市场信息网监测中心
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