构造法证明等差、等比数列
等差、等比数列的判定与证明
【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n －2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈
⎧1⎫1N ＋，S n ≠0) ，a 1＝2，判断⎨S 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． ⎩n ⎭
[审题导引] 因为已知关系式中包含a n ，S n ，S n －1，所以应根据a n 与S n 的关系式：a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 将已知条件转化为关于S n 与S n －1之间的关系，从而判⎧1⎫断⎨S 是否为等差数列，并求出⎩n ⎭S n 的表达式，然后求出数列{a n }的通项公式，并判断其是否为等差数列．
[规范解答] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) ，
所以由a n －2S n S n －1＝0，
可得S n －S n －1－2S n S n －1＝0(n ≥2) ，
111所以－S ＝2(n ≥2) ，又因为S 1＝a 1＝2 S n －1n
⎧1⎫所以⎨S 是以2为首项，2为公差的等差数列． ⎩n ⎭
11所以S 2＋(n －1) ×2＝2n ，故S n ＝2n n
11所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n － 2(n －1)
－1＝， 2n (n －1)
－1所以a n ＋1＝ 2n (n ＋1)
－1－1而a n ＋1－a n ＝2n (n ＋1)2n (n －1)
1－1⎛11－＝2n n ＋1n －1＝⎝⎭n (n －1)(n ＋1)
所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，
故数列{a n }不是一个等差数列．
⎧1⎫综上，⎨S 是等差数列，{a n }不是等差数列． ⎩n ⎭
【规律总结】
判断数列是否为等差(比) 数列的方法
在判断一个数列是否为等差(比) 数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的
⎛a n ＋1⎫⎪，方法，一般是先建立a n ＋1与a n 的关系式或递推关系式，表示出a n ＋1－a n 或⎝a n ⎭
然后验证其是否为一个与n 无关的常数．另外，常数列{a n }的通项公式a n ＝a ，
它是一个首项a 1＝a ，公差d ＝0的等差数列，若a ≠0，则该数列也是一个首项a 1＝a ，公比q ＝1的等比数列．如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列．
【变式训练】
3．(2012·西安模拟) 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.
(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比) ；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解析 (1)证明 由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，
a n ＋1＋2即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2) ，即2(n ∈N ＋) ， a n ＋2
又由a 1＝2得a 1＋2＝4，
所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1－2，
所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n 22(1－2n )＝－2n ＝2n ＋2－2n －4. 1－2
【押题2】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n {b n }是等差数列； 2－(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得
a n ＋12a n ＋2n a n b n ＋1＝2＝2＝－＋1＝b n ＋1. 2
又b 1＝a 1＝1，
因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知a －2n 1， －＝n ，即a n ＝n ·2
S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得
2S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 两式相减得
S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2－1) ＋n ·2＝(n －1)2＋1. n n n
构造法证明等差、等比数列
等差、等比数列的判定与证明
【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n －2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈
⎧1⎫1N ＋，S n ≠0) ，a 1＝2，判断⎨S 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． ⎩n ⎭
[审题导引] 因为已知关系式中包含a n ，S n ，S n －1，所以应根据a n 与S n 的关系式：a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 将已知条件转化为关于S n 与S n －1之间的关系，从而判⎧1⎫断⎨S 是否为等差数列，并求出⎩n ⎭S n 的表达式，然后求出数列{a n }的通项公式，并判断其是否为等差数列．
[规范解答] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) ，
所以由a n －2S n S n －1＝0，
可得S n －S n －1－2S n S n －1＝0(n ≥2) ，
111所以－S ＝2(n ≥2) ，又因为S 1＝a 1＝2 S n －1n
⎧1⎫所以⎨S 是以2为首项，2为公差的等差数列． ⎩n ⎭
11所以S 2＋(n －1) ×2＝2n ，故S n ＝2n n
11所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n － 2(n －1)
－1＝， 2n (n －1)
－1所以a n ＋1＝ 2n (n ＋1)
－1－1而a n ＋1－a n ＝2n (n ＋1)2n (n －1)
1－1⎛11－＝2n n ＋1n －1＝⎝⎭n (n －1)(n ＋1)
所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，
故数列{a n }不是一个等差数列．
⎧1⎫综上，⎨S 是等差数列，{a n }不是等差数列． ⎩n ⎭
【规律总结】
判断数列是否为等差(比) 数列的方法
在判断一个数列是否为等差(比) 数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的
⎛a n ＋1⎫⎪，方法，一般是先建立a n ＋1与a n 的关系式或递推关系式，表示出a n ＋1－a n 或⎝a n ⎭
然后验证其是否为一个与n 无关的常数．另外，常数列{a n }的通项公式a n ＝a ，
它是一个首项a 1＝a ，公差d ＝0的等差数列，若a ≠0，则该数列也是一个首项a 1＝a ，公比q ＝1的等比数列．如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列．
【变式训练】
3．(2012·西安模拟) 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.
(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比) ；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解析 (1)证明 由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，
a n ＋1＋2即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2) ，即2(n ∈N ＋) ， a n ＋2
又由a 1＝2得a 1＋2＝4，
所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1－2，
所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n 22(1－2n )＝－2n ＝2n ＋2－2n －4. 1－2
【押题2】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n {b n }是等差数列； 2－(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析 (1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得
a n ＋12a n ＋2n a n b n ＋1＝2＝2＝－＋1＝b n ＋1. 2
又b 1＝a 1＝1，
因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知a －2n 1， －＝n ，即a n ＝n ·2
S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得
2S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 两式相减得
S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2－1) ＋n ·2＝(n －1)2＋1. n n n