a . 一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图，记作“a ∥b ”或“AB ∥CD ”，读作“直线a 平行 b 于直线b ” C D
1．下列说法中，正确的是（ ）．
A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交
C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行
2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（ ）．
A ．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（平行公理）：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
同样，我们还有（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单的说就是：平行于同一直线的两直线平行.
1．如图2所示，按要求画平行线．
（1）过P 点画AB 的平行线EF ；（2）过P 点画CD 的平行线MN ．
2．如图3所示，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，（1）过点A 画到l 2的垂线段；（2）过点B 画直线l 3∥l 1．
5.2.1 平行线
(图2) (图3)
4．下列说法中，错误的有（ ）．
①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交;
②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、•相交、垂线三种
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
当堂反馈
1．在同一平面内, 一条直线和两条平行线中一条直线相交, 那么这条直线与平行线中的另一边必__________.
2．同一平面内, 两条相交直线不可能与第三条直线都平行, 这是因为________________.
3．判断题
（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )
（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )
（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( )
判定方法1（判定公理）
判定方法2（判定公理）
判定方法3（判定公理）
D
5 2
C
(1题) (2题) (3题) B 1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是__ ____． 若∠1=∠3，则______∥______，根据是_____ ____．
2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是_____ ___
3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）∵∠1=∠4（已知）
∴ ∥ （ ）
（2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）
∴AB ∥CD （ ）
（3）∵∠ =∠ （已知）
∴AD ∥BC （ ）
（4）∵∠5=∠ （已知）
∴AB ∥CD （ ） ( 图3 ) 结论（判定推论）：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记为：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
如图，几何语言表述为：∵a ⊥l 2，b ⊥l 2 ∴1．如图所示，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，BF 和CE 是射线，并且∠1=∠2，
试说明BF ∥CE ．
2．如图所示，在下列条件中，不能判断L 1∥L 2的是（ ）．
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3
C．∠4+∠5=180° D．∠2+∠4=180°
3．如图所示，已知∠1＝120°, ∠2＝60°．试说明a 与b
的关系？ a b
2
4．如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF 平分∠EOD ，试说明AB ∥CD ． c
性质1（性质公理）
性质2（性质公理）
性质3（性质公理）
1. 根据右图将下列几何语言补充完整 A (1)∵AD ∥ (已知) ∴∠A+∠ABC=180°( )
2 5 (2)∵AB
∥ (已知) C B ∴∠4=∠ ( ) D E ∠ABC=∠ ( )
2. 如右图所示，BE 平分∠ABC ，DE ∥ BC，图中相等的角共有（ ） C B A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
B
3、如图，AB ∥CD, ∠1=45°, ∠D=∠C, 求∠D 、∠C 、∠B 的度数.
D C
平行线间的距离，即平行线间的距离处处相等.
1．如图所示，已知直线AB ∥CD ，且被直线EF 所截，若∠1=50°，则∠2=____，•∠3=______．
(1题) (2题) (3题)
2．如图所示，AB ∥CD ，AF 交CD 于E ，若∠CEF=60°，则∠A=______．
3．如图所示，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，∠1=120°，则∠2=______．
三、当堂反馈
1．如图所示，如果AB ∥CD ，那么（ ）．
A．∠1=∠4，∠2=∠5 B．∠2=∠3，∠4=∠5
C ．∠1=∠4，∠5=∠7 D．∠2=∠3，∠6=∠8
(1题) (2题) (3题)
2．如图所示，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中和∠BFE 互补的角有（ ）．
A ．3个 B．2个 C．5个 D．4个
3．如图所示，已知∠1=72°，∠2=108°，∠3=69°，求∠4的度数．
平行线的判定及性质习题课
1．如图1，若∠1=∠2，那么_____∥______，根据___ __．
若a ∥b ，•那么∠3=_____，根据___ __．
(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，∵∠1=∠2，∴_______∥_______，根据___ _____．
∴∠B=______，根据___ _____．
3．如图3，若AB ∥CD ，那么________=•_______；•若∠1=•∠2，•那么_____•∥_____； 若BC ∥AD ，那么_______=_______；若∠A+∠ABC=180°，那么______∥_____
4．如图4，•一条公路两次拐弯后，•和原来的方向相同，•如果第一次拐的角是136°（即∠ABC ），那么第二次拐的角（∠BCD ）是 度，根据___ ．
5．如右图，修高速公路需要开山洞，为节省时间，要在山两面A ，B
同时开工，•在A 处测得洞的走向是北偏东76°12′，那么在B 处
应按什么方向开口，才能使山洞准确接通，请说明其中的道理．
5．已知如图1，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=_______．
6．已知如图2，边OA ，OB 均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB 上有一点P ，从P 点射出一束光线经OA 上的Q 点反射后，反射光线QR 恰好与OB 平行，则∠QPB 的度数是（ ）．
A．60° B．80° C．100° D．120°
（图1） （图2） （图3）
7．如图3，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论进行说理．
8．如图，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ，∠B=44°, ∠C=85°. ⑴求∠DAB 的度数；⑵求∠EAC 的度数；⑶求∠BAC 的度数；⑷通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？ A E D
C B
5.3.2命题、定理
判断一件事情的语句，叫做命题.
每个命题都是由_______和______组成. 每个命题都可以写成. “如果„„，那么„„”的形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是 .
例如：“如果一个数能被2整除，那么这个数能被4整除”，很明显是错误的命题，这样的命题叫做假命题，即错误的命题叫做______.
我们把从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做公理；通过正确的推理得出的真命题叫做定理.
练习：
1．下列语句是命题的个数为（ ）
①画∠AOB 的平分线; ②直角都相等; ③同旁内角互补吗？ ④若│a │=3，则a=3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列5个命题，其中真命题的个数为（ ）
①两个锐角之和一定是钝角; ②直角小于夹角; ③同位角相等，两直线平行; • ④内错角互补，两直线平行; ⑤如果a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法正确的是（ ）
A．互补的两个角是邻补角 B．两直线平行，同旁内角相等
C．“同旁内角互补”不是命题 D．“相等的两个角是对顶角”是假命题
4．“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是 命题，其中，题设 是 ，结论是 ，
5．将下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式．
（1）直角都相等．
（2）对顶角相等
（3）．同位角相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（5）同角的补角相等．
三、当堂反馈
1．下列语句中不是命题的有（ ）
⑴两点之间，直线最短；⑵不许大声讲话；⑶连接A 、B 两点；⑷花儿在春天开放．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
B．相等的角是对顶角；
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
D．和为180°的两个角叫做邻补角.
3．下列命题中的条件（题设）是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；
5.4平移
平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ；
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是；
(3)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且即, 在平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.
注意：图形平移的方向，不一定是水平的. 图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)
练习一：
1．几何图形经过平移，图形中对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且 ，对应线段 且 ，对应角 .
2．平移改变的是图形的（ ）．
A．位置 B．形状 C．大小 D．位置、形状、大小
3．下列现象中，不属于平移的是（ ）．
A．滑雪运动员在的平坦雪地上滑行 B．大楼上上下下地迎送来客的电梯
C．钟摆的摆动 D．火车在笔直的铁轨上飞驰而过
4．下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）．
练习二：
1．如图所示，经过平移，四边形ABCD 的顶点A 移到点A ′，作出平移后的四边形．
三、当堂反馈
1. 一个图形先向右平移5个单位，再向左平移7个单位，所得到的图形可以
看作是原来位置的图形一次性向_____平移______个单位得到.
2. ∠DEF 是∠ABC 经过平移得到的，∠ABC=60°，则∠DEF=
3. 如图，△ABC 平移后得到了△A ＇B ＇C ＇，其中点C 的对应点是点C ＇，已经
标明，请你将点B ＇、点A ＇在图中标出来，并画出△A ＇B ＇C ＇；若AB 边上
的中点为M ，请你再标出点M 的对应点M ＇．
相交线与平行线全章复习
1. 邻补角的定义：
对顶角的定义：
对顶角的性质：
2. 当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．
如图，用几何语言表示：
方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD，垂足是_____
方式⑵∵ AB⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______
3. 在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．
注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，是图形. 点到直线的
距离是 的长度，是一个数量，不能说“垂线段”是距离.
4. 识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，
只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；
5. 现在所说的两条直线的位置关系，是两条直线在“ ”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是 （有一个公共点），二是 （没有公共点）.
6. 平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线.
平行公理：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
平行线的传递性：平行于同一直线的两直线 .
7. 两条直线平行的判定方法：⑴平行线的定义，⑵平行线的传递性，
8. 两条直线平行的性质：
9. 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
每个命题都是由_______和______组成. 每个命题都可以写成. “如果„„，那么„„”的形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是 ，正确的命题叫做______，错误的命题叫做______.从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做 ，通过正确的推理得出的真命题叫做 .
10. 平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是 ；(3)连接各组对应的线段 .即，在平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简称 . 图形平移的方向，不一定是水平的. 图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)
1. 如图1，直线a ，b 相交于点O ，若∠1=40°，•则∠2 等于_______．
图1 图2 图3 图4 a b c
2. 如图2，直线a∥b，∠1=123°30′，则∠2=______．
3. 如图3，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____．
4. 如图4，AB∥CD，∠E=40°，∠C=65°，则∠EAB的度数为（ ）
A．65° B．75° C．105° D．115°
图5 图6 图7
5. 如图5，直线L 1与L 2相交于点O ，OM⊥L1，若α=44°，则β为（• ）
A ．56° B．46° C．45° D．44°
6. 如图6，AB ∥CD，直线PQ 分别交AB ，CD 于点E ，F ，FG•是∠EFD的平分线，交AB 于点G ，若∠FEG =40°，那么∠FGB等于（ ）
A ．80° B．100° C．110° D．120°
7. 如图7，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数为（ ）
A．55° B．75° C．105° D．125°
第六章实数
第1课时 平方根（1）
教师对学生的回答做出总结：已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算．在此基础上教师给出算术平方根的有关概念及规定．
【总结】一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0. 根号2被开方数
a 表示的是正数、负数、非正数还是非负数？
【例1】求下列各数的算术平方根
⑴100 ⑵491 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸2 644
教师展示例题，学生独立思考，动手完成，教师规范学生的语言叙述和书写，以第（1）题为例： 因为102 =100，所以100的算术平方根是10，即 =10
【思考】－4有算术平方根吗？
【例2】
1、非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
=____,=_____ 3
_____, -0.64的算术平方根____
4、若x 是49的算术平方根，则x =【 】 2
=A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
5
=7，则x 的算术平方根是【 】
x 的取值范围是【 】 A. x ≠2 B. x ≥2 C. x >2 D. x ≤2
7、一个自然数的算术平方根为a ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方6
根是_______。
【例3】若x -1+(
y +3)+
2=0，求x 、y 、z 值。
第2课时平方根（2）
许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数，
2是无限不循环小数，
【问题】你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？
a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
【例1】用计算器求下列各式的值：
（1） （2）2（精确到0.001）
第3课时 平方根（3）
1、 的平方是49。
2、平方得81的数有 个，分别是 。
3、一对互为相反数的平方是 数。
4
⑴如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，用符号表示为：若x 2=a , 则x =a 的正的平方根（即算术平方根）用a 表示，正数a 的负的平方根用-a 表示。
⑵只有非负数才有平方根；
⑶求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算．根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。
【练一练】求下列数的平方根
⑴100 ⑵9 ⑶0.25 ⑷-16 ⑸ 0 16
【总结归纳】
1、正数有两个平方根，它们互为相反数
2、0的平方根是0
3、任何数的平方都是正数，所以负数没有平方根，所以a 中的被开方数a 必须是非负数，a 才有意义。
【讨论】平方根与算术平方根之间有什么关系？
【总结】
1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果x =a ，那么x 叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
如果x =a ，并且x ≥0，那么x 叫做a 的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。
⑵表示方法不同：正数a
的平方根表示为a
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
2、平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根
⑶0的平方根和0的算术平方根都是0
【例1】下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，(-4)，10
如果有要用平方根的符号来表示。
【例2】求下列各式的值： 2-222
（1），（2）－0. 81，（3）±
（4）562，) 2
【例3】当x 为何值时，下列各式有意义？
⑴-2x ⑵-2x ⑶x +1 ⑷-x +
【例4】求下列各数中的x 值
⑴x =25 ⑵x -81=0 ⑶4x =49 ⑷25x -36=0
第4课时 立方根
【归纳】 如果一个数的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），这就
3是说，如果x =a ，那么x 叫做a 的立方根。
∵33=27 ∴3是27的立方根
求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
【探究】根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为2=8，所以8的立方根是（ 2 ）
因为(0.5)=0.125，所以0.125的立方根是（ 0.5 ）
因为(0)=0，所以8的立方根是（ 0 ）
11 3x ⑸1x 2 222233
因为(-2)=-8，所以8的立方根是（ -2 ）
【总结归纳】
正数的立方根是正数，0立方根是0，负数的立方根是负数。
一个数a
“三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，
27
=
3表示-27的
=-3。
【探究】
=____,=
____,
-
=____,=
____
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，
可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3=a >0)。
【例1】求下列各数的立方根
⑴ －8 ⑵
【例2
】计算
⑶ 273-6 ⑶±125 ⑷81⨯9 ⑸-10 ⑹3 648
⑷
【例3】解方程
⑴ x3=0.125 ⑵3(x -4) 3-1536=0
分析：我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解x 3=a （a 为常数）这一类型简单的三次方程。第⑵小题，我们要把（x -4）看成一个整体，依然转化成为x 3=a 的形式，再由立方根定义去求解。
【例4】利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？
12
【问题】使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， -3479115 ， ， ， ， 581199
3479 ，11=1.2 ，5=0.5 把实数=-0.6 ，=5.875 ，=0.81581199我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即： 3=3. 0 ，-
分类：
⎧⎧整数⎫有理数⎨⎬有限小数或无限循环小数
⎪实数⎨分数⎩⎭⎪⎩无理数→无限不循环小数
π
是正无理数，
，-π是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
⎧⎧正有理数⎪正实数⎨⎩正无理数 ⎪⎪实数⎨0
⎪负有理数⎪负实数⎧⎨⎪⎩负无理数⎩
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
【结论】
1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
【讨论】当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
【结论】
数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
【例1】把下列各数分别填入相应的集合里：
π227-3.141, , , -, ,1.414, -0.020202 , 378
正有理数{ } 负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
【例2】求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－7，-
13 π5，0，2，π－3
【问题1】
①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立。
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
【问题2】比较下列各组数里两个数的大小：
（1）2，1. 4；（2）－5，－；（3）－2，
【问题3】在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？
答：加、减、乘、除、乘方和开方运算。
接着问：有哪些规定吗？
除法运算中除数不为0，而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算。
问：有理数满足哪些运算律？
加法交换律：a+b＝b+a
加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）
乘法交换律：ab ＝ba
乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）
分配律：a （b+c）＝ab+ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
【例1】计算下列各式的值：
（1
） （2
） （3
）；
（4
（5
） （6
）
实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的。
【例2】利用计算器计算（结果保留小数点后两位）
（1
π； （2
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
【例3】a 为何值时，下列各式有意义？
(
1 (
2 (
3
(
4 (
5 (
6 14
a . 一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图，记作“a ∥b ”或“AB ∥CD ”，读作“直线a 平行 b 于直线b ” C D
1．下列说法中，正确的是（ ）．
A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交
C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行
2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（ ）．
A ．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（平行公理）：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
同样，我们还有（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单的说就是：平行于同一直线的两直线平行.
1．如图2所示，按要求画平行线．
（1）过P 点画AB 的平行线EF ；（2）过P 点画CD 的平行线MN ．
2．如图3所示，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，（1）过点A 画到l 2的垂线段；（2）过点B 画直线l 3∥l 1．
5.2.1 平行线
(图2) (图3)
4．下列说法中，错误的有（ ）．
①若a 与c 相交，b 与c 相交，则a 与b 相交;
②若a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、•相交、垂线三种
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
当堂反馈
1．在同一平面内, 一条直线和两条平行线中一条直线相交, 那么这条直线与平行线中的另一边必__________.
2．同一平面内, 两条相交直线不可能与第三条直线都平行, 这是因为________________.
3．判断题
（1）不相交的两条直线叫做平行线.( )
（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.( )
（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行, 那么它与另一条也互相平行.( )
判定方法1（判定公理）
判定方法2（判定公理）
判定方法3（判定公理）
D
5 2
C
(1题) (2题) (3题) B 1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是__ ____． 若∠1=∠3，则______∥______，根据是_____ ____．
2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是_____ ___
3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）∵∠1=∠4（已知）
∴ ∥ （ ）
（2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）
∴AB ∥CD （ ）
（3）∵∠ =∠ （已知）
∴AD ∥BC （ ）
（4）∵∠5=∠ （已知）
∴AB ∥CD （ ） ( 图3 ) 结论（判定推论）：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记为：在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
如图，几何语言表述为：∵a ⊥l 2，b ⊥l 2 ∴1．如图所示，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，BF 和CE 是射线，并且∠1=∠2，
试说明BF ∥CE ．
2．如图所示，在下列条件中，不能判断L 1∥L 2的是（ ）．
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3
C．∠4+∠5=180° D．∠2+∠4=180°
3．如图所示，已知∠1＝120°, ∠2＝60°．试说明a 与b
的关系？ a b
2
4．如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF 平分∠EOD ，试说明AB ∥CD ． c
性质1（性质公理）
性质2（性质公理）
性质3（性质公理）
1. 根据右图将下列几何语言补充完整 A (1)∵AD ∥ (已知) ∴∠A+∠ABC=180°( )
2 5 (2)∵AB
∥ (已知) C B ∴∠4=∠ ( ) D E ∠ABC=∠ ( )
2. 如右图所示，BE 平分∠ABC ，DE ∥ BC，图中相等的角共有（ ） C B A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对
B
3、如图，AB ∥CD, ∠1=45°, ∠D=∠C, 求∠D 、∠C 、∠B 的度数.
D C
平行线间的距离，即平行线间的距离处处相等.
1．如图所示，已知直线AB ∥CD ，且被直线EF 所截，若∠1=50°，则∠2=____，•∠3=______．
(1题) (2题) (3题)
2．如图所示，AB ∥CD ，AF 交CD 于E ，若∠CEF=60°，则∠A=______．
3．如图所示，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ，∠1=120°，则∠2=______．
三、当堂反馈
1．如图所示，如果AB ∥CD ，那么（ ）．
A．∠1=∠4，∠2=∠5 B．∠2=∠3，∠4=∠5
C ．∠1=∠4，∠5=∠7 D．∠2=∠3，∠6=∠8
(1题) (2题) (3题)
2．如图所示，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中和∠BFE 互补的角有（ ）．
A ．3个 B．2个 C．5个 D．4个
3．如图所示，已知∠1=72°，∠2=108°，∠3=69°，求∠4的度数．
平行线的判定及性质习题课
1．如图1，若∠1=∠2，那么_____∥______，根据___ __．
若a ∥b ，•那么∠3=_____，根据___ __．
(图1) (图2) (图3) （图4）
2．如图2，∵∠1=∠2，∴_______∥_______，根据___ _____．
∴∠B=______，根据___ _____．
3．如图3，若AB ∥CD ，那么________=•_______；•若∠1=•∠2，•那么_____•∥_____； 若BC ∥AD ，那么_______=_______；若∠A+∠ABC=180°，那么______∥_____
4．如图4，•一条公路两次拐弯后，•和原来的方向相同，•如果第一次拐的角是136°（即∠ABC ），那么第二次拐的角（∠BCD ）是 度，根据___ ．
5．如右图，修高速公路需要开山洞，为节省时间，要在山两面A ，B
同时开工，•在A 处测得洞的走向是北偏东76°12′，那么在B 处
应按什么方向开口，才能使山洞准确接通，请说明其中的道理．
5．已知如图1，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=_______．
6．已知如图2，边OA ，OB 均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB 上有一点P ，从P 点射出一束光线经OA 上的Q 点反射后，反射光线QR 恰好与OB 平行，则∠QPB 的度数是（ ）．
A．60° B．80° C．100° D．120°
（图1） （图2） （图3）
7．如图3，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论进行说理．
8．如图，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ，∠B=44°, ∠C=85°. ⑴求∠DAB 的度数；⑵求∠EAC 的度数；⑶求∠BAC 的度数；⑷通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？ A E D
C B
5.3.2命题、定理
判断一件事情的语句，叫做命题.
每个命题都是由_______和______组成. 每个命题都可以写成. “如果„„，那么„„”的形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是 .
例如：“如果一个数能被2整除，那么这个数能被4整除”，很明显是错误的命题，这样的命题叫做假命题，即错误的命题叫做______.
我们把从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做公理；通过正确的推理得出的真命题叫做定理.
练习：
1．下列语句是命题的个数为（ ）
①画∠AOB 的平分线; ②直角都相等; ③同旁内角互补吗？ ④若│a │=3，则a=3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列5个命题，其中真命题的个数为（ ）
①两个锐角之和一定是钝角; ②直角小于夹角; ③同位角相等，两直线平行; • ④内错角互补，两直线平行; ⑤如果a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列说法正确的是（ ）
A．互补的两个角是邻补角 B．两直线平行，同旁内角相等
C．“同旁内角互补”不是命题 D．“相等的两个角是对顶角”是假命题
4．“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是 命题，其中，题设 是 ，结论是 ，
5．将下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式．
（1）直角都相等．
（2）对顶角相等
（3）．同位角相等；
（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（5）同角的补角相等．
三、当堂反馈
1．下列语句中不是命题的有（ ）
⑴两点之间，直线最短；⑵不许大声讲话；⑶连接A 、B 两点；⑷花儿在春天开放．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
B．相等的角是对顶角；
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
D．和为180°的两个角叫做邻补角.
3．下列命题中的条件（题设）是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；
5.4平移
平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ；
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是；
(3)连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且即, 在平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移.
注意：图形平移的方向，不一定是水平的. 图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)
练习一：
1．几何图形经过平移，图形中对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且 ，对应线段 且 ，对应角 .
2．平移改变的是图形的（ ）．
A．位置 B．形状 C．大小 D．位置、形状、大小
3．下列现象中，不属于平移的是（ ）．
A．滑雪运动员在的平坦雪地上滑行 B．大楼上上下下地迎送来客的电梯
C．钟摆的摆动 D．火车在笔直的铁轨上飞驰而过
4．下列各组图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）．
练习二：
1．如图所示，经过平移，四边形ABCD 的顶点A 移到点A ′，作出平移后的四边形．
三、当堂反馈
1. 一个图形先向右平移5个单位，再向左平移7个单位，所得到的图形可以
看作是原来位置的图形一次性向_____平移______个单位得到.
2. ∠DEF 是∠ABC 经过平移得到的，∠ABC=60°，则∠DEF=
3. 如图，△ABC 平移后得到了△A ＇B ＇C ＇，其中点C 的对应点是点C ＇，已经
标明，请你将点B ＇、点A ＇在图中标出来，并画出△A ＇B ＇C ＇；若AB 边上
的中点为M ，请你再标出点M 的对应点M ＇．
相交线与平行线全章复习
1. 邻补角的定义：
对顶角的定义：
对顶角的性质：
2. 当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 ，它们的交点叫 ．
如图，用几何语言表示：
方式⑴∵ ∠AOC=90° ∴ AB_____CD，垂足是_____
方式⑵∵ AB⊥CD 于O ∴ ∠AOC=______
3. 在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．
注意：垂线是 ，垂线段是一条 ，是图形. 点到直线的
距离是 的长度，是一个数量，不能说“垂线段”是距离.
4. 识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，
只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；
5. 现在所说的两条直线的位置关系，是两条直线在“ ”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是 （有一个公共点），二是 （没有公共点）.
6. 平行线的定义：在同一平面内， 的两条直线叫做平行线.
平行公理：经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行.
平行线的传递性：平行于同一直线的两直线 .
7. 两条直线平行的判定方法：⑴平行线的定义，⑵平行线的传递性，
8. 两条直线平行的性质：
9. 命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
每个命题都是由_______和______组成. 每个命题都可以写成. “如果„„，那么„„”的形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是 ，正确的命题叫做______，错误的命题叫做______.从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做 ，通过正确的推理得出的真命题叫做 .
10. 平移的特征：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小 ；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一个点移动后得到的，这两个点是 ；(3)连接各组对应的线段 .即，在平面内，将一个图形沿 移动一定的 ，图形的这种移动，叫做平移变换，简称 . 图形平移的方向，不一定是水平的. 图形经过平移后，_______图形的位置，________图形的形状，________图形的大小.(填“改变”或“不改变”)
1. 如图1，直线a ，b 相交于点O ，若∠1=40°，•则∠2 等于_______．
图1 图2 图3 图4 a b c
2. 如图2，直线a∥b，∠1=123°30′，则∠2=______．
3. 如图3，已知a∥b，∠1=70°，∠2=40°，则∠3=_____．
4. 如图4，AB∥CD，∠E=40°，∠C=65°，则∠EAB的度数为（ ）
A．65° B．75° C．105° D．115°
图5 图6 图7
5. 如图5，直线L 1与L 2相交于点O ，OM⊥L1，若α=44°，则β为（• ）
A ．56° B．46° C．45° D．44°
6. 如图6，AB ∥CD，直线PQ 分别交AB ，CD 于点E ，F ，FG•是∠EFD的平分线，交AB 于点G ，若∠FEG =40°，那么∠FGB等于（ ）
A ．80° B．100° C．110° D．120°
7. 如图7，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数为（ ）
A．55° B．75° C．105° D．125°
第六章实数
第1课时 平方根（1）
教师对学生的回答做出总结：已知一个正数的平方，求这个正数的思想方法是平方运算的逆运算．在此基础上教师给出算术平方根的有关概念及规定．
【总结】一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0. 根号2被开方数
a 表示的是正数、负数、非正数还是非负数？
【例1】求下列各数的算术平方根
⑴100 ⑵491 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸2 644
教师展示例题，学生独立思考，动手完成，教师规范学生的语言叙述和书写，以第（1）题为例： 因为102 =100，所以100的算术平方根是10，即 =10
【思考】－4有算术平方根吗？
【例2】
1、非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____
=____,=_____ 3
_____, -0.64的算术平方根____
4、若x 是49的算术平方根，则x =【 】 2
=A. 7 B. －7 C. 49 D.－49
5
=7，则x 的算术平方根是【 】
x 的取值范围是【 】 A. x ≠2 B. x ≥2 C. x >2 D. x ≤2
7、一个自然数的算术平方根为a ，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方6
根是_______。
【例3】若x -1+(
y +3)+
2=0，求x 、y 、z 值。
第2课时平方根（2）
许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数，
2是无限不循环小数，
【问题】你对正数a 的算术平方根a 的结果有怎样的认识呢？
a 的结果有两种情：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
【例1】用计算器求下列各式的值：
（1） （2）2（精确到0.001）
第3课时 平方根（3）
1、 的平方是49。
2、平方得81的数有 个，分别是 。
3、一对互为相反数的平方是 数。
4
⑴如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，用符号表示为：若x 2=a , 则x =a 的正的平方根（即算术平方根）用a 表示，正数a 的负的平方根用-a 表示。
⑵只有非负数才有平方根；
⑶求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算．根据这种运算关系，可以求一个数的平方根。
【练一练】求下列数的平方根
⑴100 ⑵9 ⑶0.25 ⑷-16 ⑸ 0 16
【总结归纳】
1、正数有两个平方根，它们互为相反数
2、0的平方根是0
3、任何数的平方都是正数，所以负数没有平方根，所以a 中的被开方数a 必须是非负数，a 才有意义。
【讨论】平方根与算术平方根之间有什么关系？
【总结】
1、平方根与算术平方根之间的区别
⑴定义不同：如果x =a ，那么x 叫做a 的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。
如果x =a ，并且x ≥0，那么x 叫做a 的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。
⑵表示方法不同：正数a
的平方根表示为a
⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1
2、平方根与算术平方根之间的联系
⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个
⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根
⑶0的平方根和0的算术平方根都是0
【例1】下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0，(-4)，10
如果有要用平方根的符号来表示。
【例2】求下列各式的值： 2-222
（1），（2）－0. 81，（3）±
（4）562，) 2
【例3】当x 为何值时，下列各式有意义？
⑴-2x ⑵-2x ⑶x +1 ⑷-x +
【例4】求下列各数中的x 值
⑴x =25 ⑵x -81=0 ⑶4x =49 ⑷25x -36=0
第4课时 立方根
【归纳】 如果一个数的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），这就
3是说，如果x =a ，那么x 叫做a 的立方根。
∵33=27 ∴3是27的立方根
求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
【探究】根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？
因为2=8，所以8的立方根是（ 2 ）
因为(0.5)=0.125，所以0.125的立方根是（ 0.5 ）
因为(0)=0，所以8的立方根是（ 0 ）
11 3x ⑸1x 2 222233
因为(-2)=-8，所以8的立方根是（ -2 ）
【总结归纳】
正数的立方根是正数，0立方根是0，负数的立方根是负数。
一个数a
“三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，
27
=
3表示-27的
=-3。
【探究】
=____,=
____,
-
=____,=
____
利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，
可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3=a >0)。
【例1】求下列各数的立方根
⑴ －8 ⑵
【例2
】计算
⑶ 273-6 ⑶±125 ⑷81⨯9 ⑸-10 ⑹3 648
⑷
【例3】解方程
⑴ x3=0.125 ⑵3(x -4) 3-1536=0
分析：我们已经学习了立方根，也能由立方根的定义求解x 3=a （a 为常数）这一类型简单的三次方程。第⑵小题，我们要把（x -4）看成一个整体，依然转化成为x 3=a 的形式，再由立方根定义去求解。
【例4】利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么吗？你能说说其中的道理吗？
12
【问题】使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3 ， -3479115 ， ， ， ， 581199
3479 ，11=1.2 ，5=0.5 把实数=-0.6 ，=5.875 ，=0.81581199我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即： 3=3. 0 ，-
分类：
⎧⎧整数⎫有理数⎨⎬有限小数或无限循环小数
⎪实数⎨分数⎩⎭⎪⎩无理数→无限不循环小数
π
是正无理数，
，-π是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：
⎧⎧正有理数⎪正实数⎨⎩正无理数 ⎪⎪实数⎨0
⎪负有理数⎪负实数⎧⎨⎪⎩负无理数⎩
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
【结论】
1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数
当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
2、与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
【讨论】当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？
【结论】
数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
【例1】把下列各数分别填入相应的集合里：
π227-3.141, , , -, ,1.414, -0.020202 , 378
正有理数{ } 负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
【例2】求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，－7，-
13 π5，0，2，π－3
【问题1】
①利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。这个结论在实数范围内也成立。
②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？
两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
【问题2】比较下列各组数里两个数的大小：
（1）2，1. 4；（2）－5，－；（3）－2，
【问题3】在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？
答：加、减、乘、除、乘方和开方运算。
接着问：有哪些规定吗？
除法运算中除数不为0，而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算。
问：有理数满足哪些运算律？
加法交换律：a+b＝b+a
加法结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）
乘法交换律：ab ＝ba
乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）
分配律：a （b+c）＝ab+ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
【例1】计算下列各式的值：
（1
） （2
） （3
）；
（4
（5
） （6
）
实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的。
【例2】利用计算器计算（结果保留小数点后两位）
（1
π； （2
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
【例3】a 为何值时，下列各式有意义？
(
1 (
2 (
3
(
4 (
5 (
6 14