例谈直线方程几种形式的选择
在求直线方程时，最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）中的哪一种好呢，则要根据题设和结论的关系进行选择。本文准备通过事例来说明。
1。已知斜率时，可设斜截式
例1求斜率为3，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程。 解：设直线L 的方程为y =
4
x +b
令x=0得y=b；令y=0得x =-。 3b
5 ∴|b|+|-，∴b=±4, ∴直线L 的方程为y =3b |+|3b |=12
3
4
x ±4。
点评：在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距。
2。已知直线过一点时，可设点斜式 例2直线L 过点P （2，3），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点。当|PA|•|PB|最小时，求直线L 的方程。
3
思路1：引进斜率，设L 方程为y-3=k(x-2) (k
|PA|•|PB|=(k 2+9)(4+4k ) ≥12，所以当k= -1时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。
3思路2：设L 倾斜角为α（α为钝角），将其补角记为θ（θ为锐角）。则|PA|=，62
|PB|=，∴|PA|•|PB|==
122
≥12，因此当θ=450，即斜率k= -1时|PA|•|PB|取最
小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。
点评：设了点斜式后，常常需要求出直线在x 轴和y 轴上的截距，然后解题。 3。与截距相关问题，可设截距式 例3直线L 过点P （4，3），且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线L 的方程。
x 解：设直线L 方程为：+=1，
y
将点P （4，3）代入直线方程得，a =11， ∴直线L 的方程为：2x+y-11=0。
点评：截距式与直线在x 轴和y 轴上的截距相关，结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解，请大家试试看。
4。适时应用“两点确定一条直线”
例4若2x 1-3y 1=4,2x2-3y 2=4,则经过两点A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 的直线方程为_____________。 分析：由条件知，点A 、B 都在直线2x-3y=4上，而两点确定一条直线，故可得直线AB 的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。
例5过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线L 1：x-3y+10=0和L 2:2x+y-8=0所截
得的线段AB 被点M 平分。求直线L 的方程。
解：设点A （a,b ）在L 1上，由题设知，点B （-a,2-b ）必在L 2上，
∴⎨
⎧a -3b +10=0⎧a =-4
∴⎨即A （-4，2）、B （4，0）
⎩-2a +(2-b ) -8=0⎩b =2
根据两点式可得，直线AB 方程为：x+4y-4=0。
点评：以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式，应注意弥补其缺陷
例6过点（3，-2）且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条？
x
错解：设直线截距式方程为：+
y
=1，将（3，-2）代入得a=1，
∴直线方程为：x+y-1=0。
剖析：以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0，因而出现了少解。事实上，当直线过原点时，其在两轴上截距均为0，也相等，这时设直线方程为y=kx，易得k =-，2此时直线方程是3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。
例7经过点P （1，2）作直线L ，使它到点A （-1，-1）的距离为2。求L 的方程。 错解：设L 的方程为y-2=k(x-1)，即 kx-y+(2-k)=0
利用点到直线距离公式解得k=12，故L 的方程为5x-12y+19=0。
剖析：由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢？原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用，还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件：到A 点的距离为2。因此L 的方程有两解：5x-12y+19=0和x=1。
点评：在直线方程的几种形式中，点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用，截 距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用，两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。
例谈直线方程几种形式的选择
在求直线方程时，最后结果要用一般式表示。但在开始设直线方程时选用四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）中的哪一种好呢，则要根据题设和结论的关系进行选择。本文准备通过事例来说明。
1。已知斜率时，可设斜截式
例1求斜率为3，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程。 解：设直线L 的方程为y =
4
x +b
令x=0得y=b；令y=0得x =-。 3b
5 ∴|b|+|-，∴b=±4, ∴直线L 的方程为y =3b |+|3b |=12
3
4
x ±4。
点评：在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距。
2。已知直线过一点时，可设点斜式 例2直线L 过点P （2，3），且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点。当|PA|•|PB|最小时，求直线L 的方程。
3
思路1：引进斜率，设L 方程为y-3=k(x-2) (k
|PA|•|PB|=(k 2+9)(4+4k ) ≥12，所以当k= -1时|PA|•|PB|取最小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。
3思路2：设L 倾斜角为α（α为钝角），将其补角记为θ（θ为锐角）。则|PA|=，62
|PB|=，∴|PA|•|PB|==
122
≥12，因此当θ=450，即斜率k= -1时|PA|•|PB|取最
小值12，此时直线L 的方程为x+y-5=0。
点评：设了点斜式后，常常需要求出直线在x 轴和y 轴上的截距，然后解题。 3。与截距相关问题，可设截距式 例3直线L 过点P （4，3），且在x 轴、y 轴上的截距之比为1：2，求直线L 的方程。
x 解：设直线L 方程为：+=1，
y
将点P （4，3）代入直线方程得，a =11， ∴直线L 的方程为：2x+y-11=0。
点评：截距式与直线在x 轴和y 轴上的截距相关，结合不等式知识解题。像上面的例2也可以考虑利用设直线的截距式来解，请大家试试看。
4。适时应用“两点确定一条直线”
例4若2x 1-3y 1=4,2x2-3y 2=4,则经过两点A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 的直线方程为_____________。 分析：由条件知，点A 、B 都在直线2x-3y=4上，而两点确定一条直线，故可得直线AB 的方程即为2x-3y-4=0。本题可看作直线方程“两点式”的变式。
例5过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线L 1：x-3y+10=0和L 2:2x+y-8=0所截
得的线段AB 被点M 平分。求直线L 的方程。
解：设点A （a,b ）在L 1上，由题设知，点B （-a,2-b ）必在L 2上，
∴⎨
⎧a -3b +10=0⎧a =-4
∴⎨即A （-4，2）、B （4，0）
⎩-2a +(2-b ) -8=0⎩b =2
根据两点式可得，直线AB 方程为：x+4y-4=0。
点评：以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解。 5。用直线方程几种形式，应注意弥补其缺陷
例6过点（3，-2）且在两坐标轴上截距相等的直线共有几条？
x
错解：设直线截距式方程为：+
y
=1，将（3，-2）代入得a=1，
∴直线方程为：x+y-1=0。
剖析：以上错解忽略了截距式使用的条件——截距不为0，因而出现了少解。事实上，当直线过原点时，其在两轴上截距均为0，也相等，这时设直线方程为y=kx，易得k =-，2此时直线方程是3x+2y=0 。因此共有两条直线符合要求。
例7经过点P （1，2）作直线L ，使它到点A （-1，-1）的距离为2。求L 的方程。 错解：设L 的方程为y-2=k(x-1)，即 kx-y+(2-k)=0
利用点到直线距离公式解得k=12，故L 的方程为5x-12y+19=0。
剖析：由作图可得有两条直线符合要求。为什么会少解呢？原来直线方程的“点斜式”只有在直线斜率存在时才适用，还有一条斜率不存在时的直线x=1它也符合条件：到A 点的距离为2。因此L 的方程有两解：5x-12y+19=0和x=1。
点评：在直线方程的几种形式中，点斜式和斜截式必须在斜率存在的情况下使用，截 距式必须在截距不为0且不与坐标轴平行时使用，两点式表示的直线必须不与坐标轴 平行。