含参数的一元二次不等式的求解方法解析
冯婷
含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。
含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：
（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；
（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分∆>0, ∆=0, ∆
（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1, x 2表示的形如a (x -x 1)(x -x 2) 的形式时，往往需要对其根分x 1>x 2, x 1=x 2, x 1
一、对根的情况及判别式分类讨论
例1 解关于x 的不等式2x +kx -k ≤0。
解：∆=k +8k =k (k +8)
2① 当∆>0即k >0或k
22
⎧⎪≤x ≤不等式的解集为⎨x 。 ⎪⎪⎩⎭
2② 当∆=0即k =0或k =-8时，方程2x +kx -k =0有两个相等的实数根，则该不
等式的解集为{x |x =0, 或x =2}。
2③ 当∆
注：本题由于方程2x +kx -k =0根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。 例2 解关于x 的不等式(m +3) x 2+2mx +m -2>0。
解：① 当m +3=0即m =-3时，上述不等式可化简为-6x -5>0，此时不等式的解集为⎨x |x
② 当m +3≠0即m ≠-3时，∆=4m 2-4(m +3)(m -2) =4(6-m ) 。
（1）当△6时，
若m +3>0即m >-3，则此时不等式的解集为R 。若m +3
等式的解集为∅。
（2）当△=0，即m =6时，
2⎫⎧若m +3>0即m >-3，则此时不等式的解集为⎨x |x ≠-⎬。若m +3
则此时不等式的解集为∅。
（3）当△>0，即-3
若m +3>0即m >-3，则此时不等式的解集为⎧-m -6-m -m +-m ⎫⎪⎪若m +3⎨⎬。m +3m +3⎪⎪⎩⎭
⎧-m +6-m ⎫⎪-m --m ⎪x |
注：当二次项系数有参数且有可能为零时，首先需要对二次项是否为零进行讨论。本题中，由于含参数的一元二次不等式的根的情况不确定，因此需要对其判别式进行讨论。
二、对根的大小情况分类讨论
例3 解关于x 的不等式(x -x 2+12)(x +a )
解：将二次项系数化正可得，(x 2-x -12)(x +a ) >0，即(x -4)(x +3)(x +a ) >0 方程(x -4)(x +3)(x +a ) =0的根为：-3, 4, -a 。下面对方程根的大小进行讨论 ① 当-a >4，即a
此时，不等式的解集为{x |-3-a }
② 当-3此时，不等式的解集为x |-34
③ 当-a 3时，各根在数轴上的分布即穿线如下： {}
此时，不等式的解集为x |-a 4
④ 当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布即穿线如下：
{}
此时，不等式的解集为{x |x >-3且x ≠4}
2
⑤ 当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布即穿线如下：
此时，不等式的解集为{x |x >4}
注：本题虽然是一元三次不等式求解问题，但是该一元三次不等式通过因式分解可以转化成形如a (x -b )(x -c )(x -d ) 的形式，利用数轴，通过对三个根大小的分类讨论，来进行不等式求解。
例4 解x 的不等式ax 2-2(a +1) x +4>0。
解：① 当a =0时，原不等式可化简为-2x +4>0，此时不等式的解集为{x |x 0
2⎫⎛（1）当a >0时，有 x -⎪(x -2) >0 a ⎭⎝
若22⎫⎧>2即0⎬。 a ⎭a ⎩
2=2即a =1，此时不等式的解集为{x |x ≠2}. a
22⎫⎧1，此时不等式的解集为⎨x |x >2或x
22⎫⎛（2）当a
⎧2⎫⎨x |
注：本题在对二次项系数是否为零进行讨论的基础上，由于本题的一元二次不等式可以进行因式分解，因此需要对其根的大小进行讨论。特别注意在从(ax -2)(x -2) 化简到
2⎫⎛x - ⎪(x -2) 的过程中，由于不等式两边同时除了a ，因此需要对a 是否非零以及正负情a ⎭⎝
况加以分类分析。
总结：利用分类讨论的方法求解含参数一元二次不等式问题时，往往需要进行一次以上的分类讨论。一般情况下，若二次项系数有参数的，先对二次项系数是否为零进行讨论；然后看该一元二次不等式能否因式分解，如果不能的话，则根据其判别式的正负情况再进行讨论，如果能因式分解的，则需要对其两根的大小进行分类讨论。
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含参数的一元二次不等式的求解方法解析
冯婷
含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。
含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：
（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；
（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分∆>0, ∆=0, ∆
（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1, x 2表示的形如a (x -x 1)(x -x 2) 的形式时，往往需要对其根分x 1>x 2, x 1=x 2, x 1
一、对根的情况及判别式分类讨论
例1 解关于x 的不等式2x +kx -k ≤0。
解：∆=k +8k =k (k +8)
2① 当∆>0即k >0或k
22
⎧⎪≤x ≤不等式的解集为⎨x 。 ⎪⎪⎩⎭
2② 当∆=0即k =0或k =-8时，方程2x +kx -k =0有两个相等的实数根，则该不
等式的解集为{x |x =0, 或x =2}。
2③ 当∆
注：本题由于方程2x +kx -k =0根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。 例2 解关于x 的不等式(m +3) x 2+2mx +m -2>0。
解：① 当m +3=0即m =-3时，上述不等式可化简为-6x -5>0，此时不等式的解集为⎨x |x
② 当m +3≠0即m ≠-3时，∆=4m 2-4(m +3)(m -2) =4(6-m ) 。
（1）当△6时，
若m +3>0即m >-3，则此时不等式的解集为R 。若m +3
等式的解集为∅。
（2）当△=0，即m =6时，
2⎫⎧若m +3>0即m >-3，则此时不等式的解集为⎨x |x ≠-⎬。若m +3
则此时不等式的解集为∅。
（3）当△>0，即-3
若m +3>0即m >-3，则此时不等式的解集为⎧-m -6-m -m +-m ⎫⎪⎪若m +3⎨⎬。m +3m +3⎪⎪⎩⎭
⎧-m +6-m ⎫⎪-m --m ⎪x |
注：当二次项系数有参数且有可能为零时，首先需要对二次项是否为零进行讨论。本题中，由于含参数的一元二次不等式的根的情况不确定，因此需要对其判别式进行讨论。
二、对根的大小情况分类讨论
例3 解关于x 的不等式(x -x 2+12)(x +a )
解：将二次项系数化正可得，(x 2-x -12)(x +a ) >0，即(x -4)(x +3)(x +a ) >0 方程(x -4)(x +3)(x +a ) =0的根为：-3, 4, -a 。下面对方程根的大小进行讨论 ① 当-a >4，即a
此时，不等式的解集为{x |-3-a }
② 当-3此时，不等式的解集为x |-34
③ 当-a 3时，各根在数轴上的分布即穿线如下： {}
此时，不等式的解集为x |-a 4
④ 当-a =4，即a =-4时，各根在数轴上的分布即穿线如下：
{}
此时，不等式的解集为{x |x >-3且x ≠4}
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⑤ 当-a =-3，即a =3时，各根在数轴上的分布即穿线如下：
此时，不等式的解集为{x |x >4}
注：本题虽然是一元三次不等式求解问题，但是该一元三次不等式通过因式分解可以转化成形如a (x -b )(x -c )(x -d ) 的形式，利用数轴，通过对三个根大小的分类讨论，来进行不等式求解。
例4 解x 的不等式ax 2-2(a +1) x +4>0。
解：① 当a =0时，原不等式可化简为-2x +4>0，此时不等式的解集为{x |x 0
2⎫⎛（1）当a >0时，有 x -⎪(x -2) >0 a ⎭⎝
若22⎫⎧>2即0⎬。 a ⎭a ⎩
2=2即a =1，此时不等式的解集为{x |x ≠2}. a
22⎫⎧1，此时不等式的解集为⎨x |x >2或x
22⎫⎛（2）当a
⎧2⎫⎨x |
注：本题在对二次项系数是否为零进行讨论的基础上，由于本题的一元二次不等式可以进行因式分解，因此需要对其根的大小进行讨论。特别注意在从(ax -2)(x -2) 化简到
2⎫⎛x - ⎪(x -2) 的过程中，由于不等式两边同时除了a ，因此需要对a 是否非零以及正负情a ⎭⎝
况加以分类分析。
总结：利用分类讨论的方法求解含参数一元二次不等式问题时，往往需要进行一次以上的分类讨论。一般情况下，若二次项系数有参数的，先对二次项系数是否为零进行讨论；然后看该一元二次不等式能否因式分解，如果不能的话，则根据其判别式的正负情况再进行讨论，如果能因式分解的，则需要对其两根的大小进行分类讨论。
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