大理学院学报
JOURNALOFDALIUNIVERSITY
第9卷第4期2010年4月Vol.9No.4Apr.2010
机械波半波损失的证明
刘志强
（昆明理工大学理学院，昆明650093）
［摘要］从振动和波动的关系出发，利用欧拉公式对无分离、无滑动边界条件下反射波的半波损失进行了证明。并对“固定端”和“自由端”两种边界条件下入射波和反射波的相位进行了计算。［关键词］振动；欧拉公式；边界条件；半波损失
［中图分类号］O32［文献标志码］A［文章编号］1672-2345（2010）04-0056-03
AProofofHalf-WaveLossonMechanicalWave
LIUZhiqiang
（KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650093,China）
〔Abstract〕Inthispaper,thehalf-wavelossofreflectionofmechanicalwavewasprovedusingEuler'sformula,underthenon-isolatedandnon-slipboundaryconditions.Ittakestherelationshipbetweenvibrationandfluctuationsasastartingpoint.Thephasesofincidentwavesandreflectedwaveswerealsocalculatedwhentaking"fixed-end"and"free-end"boundaryconditions,respectively.
〔KeyWords〕vibration；euler'sformula；boundaryconditions；half-WaveLoss
在有关振动和驻波的演示实验中常被学生问为什么机械波在反射时有半波损失，而现行物理教材很少对机械波的半波损失给出数学证明，只是给出半波损失的结论，而对于半波损失的条件也不一“机械波从密度小的介质入射到密致：一种说法是
〔1-2〕
时发生半波损失；另一种说法是机度大的介质”
1振动方程和波动方程的复数表示
简谐波是简谐振动在弹性介质中的传播过程，
简谐振动的振动方程可以表示为x=Acos（ωt+φ），其中A为振动的振幅，ω为振动的角频率，ωt+φ为简谐φ为t=0时刻的相位，即初相或振动在t时刻的相位，
初相位。根据欧拉公式，对于任意实数x有e=cosx-取e的实部则可以表示余弦函数cosx。因此，isinx，
简谐振动方程可以表示为AeRe（Ae部。
对于一列从左向右传播或者是沿x轴正方向传播的简谐波波动方程可以表示为y=Acos（ωt-kx+φ），其中ω为角速度，u为波的传播速度，k=
2πω
=λu
-i（ωt+φ）
-i（ωt+φ）
-ix
-ix
械波从波阻小的介质入射到波阻大的介质”〔3-4〕时发生半波损失。振动和波动都是自然界最常见且重要的物质运动形式，它们既存在于许多科学技术领域之中，又与人类日常生活息息相关〔5〕，学习振动和波动理论对思维能力、想象能力和创新能力的培振动是指某一物理量在一定养具有积极的作用〔6〕。
的平衡值附近形成周期性变化〔7〕。我们把物体在一定位置附近做来回往复的运动称为机械振动。波动是振动的传播过程，可分为物质波、电磁波和机械波三大类。机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波。机械波的半波损失是指机械波在不同媒质界面反射时，入射波和反射波相位相差π的现象，即入射波和反射波在界面处引起的振动反向。本文从振动方程出发，对平面简谐波在垂直入射到媒质界面时反射波的半波损失给出了证明。
的实部〔8〕，即有
）=Acos（ωt+φ），其中Re表示取复数的实
为波数，φ为初始相位。那么根据欧拉公式可以表示成Re（Ae
-i（ωt-kx+φ）
）=Acos（ωt-kx+φ），同理，对于一列
从右向左传播或者是沿x轴负方向传播的简谐波波动方程可以表示为y=Acos（ωt+kx+φ），其复数表示（Ae为Re
-i（ωt+kx+φ）
）=Acos（ωt+kx+φ）。在经典理论中，
波函数表示实在物理量，只有取实部才有意义，但
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第9卷
复数表示可以使计算方便；而在量子理论中，波函数本身一般就是复数。
yi=Aie
大理学院学报
JOURNALOFDALIUNIVERSITY
第9卷第4期2010年4月Vol.9No.4Apr.2010
机械波半波损失的证明
刘志强
（昆明理工大学理学院，昆明650093）
［摘要］从振动和波动的关系出发，利用欧拉公式对无分离、无滑动边界条件下反射波的半波损失进行了证明。并对“固定端”和“自由端”两种边界条件下入射波和反射波的相位进行了计算。［关键词］振动；欧拉公式；边界条件；半波损失
［中图分类号］O32［文献标志码］A［文章编号］1672-2345（2010）04-0056-03
AProofofHalf-WaveLossonMechanicalWave
LIUZhiqiang
（KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650093,China）
〔Abstract〕Inthispaper,thehalf-wavelossofreflectionofmechanicalwavewasprovedusingEuler'sformula,underthenon-isolatedandnon-slipboundaryconditions.Ittakestherelationshipbetweenvibrationandfluctuationsasastartingpoint.Thephasesofincidentwavesandreflectedwaveswerealsocalculatedwhentaking"fixed-end"and"free-end"boundaryconditions,respectively.
〔KeyWords〕vibration；euler'sformula；boundaryconditions；half-WaveLoss
在有关振动和驻波的演示实验中常被学生问为什么机械波在反射时有半波损失，而现行物理教材很少对机械波的半波损失给出数学证明，只是给出半波损失的结论，而对于半波损失的条件也不一“机械波从密度小的介质入射到密致：一种说法是
〔1-2〕
时发生半波损失；另一种说法是机度大的介质”
1振动方程和波动方程的复数表示
简谐波是简谐振动在弹性介质中的传播过程，
简谐振动的振动方程可以表示为x=Acos（ωt+φ），其中A为振动的振幅，ω为振动的角频率，ωt+φ为简谐φ为t=0时刻的相位，即初相或振动在t时刻的相位，
初相位。根据欧拉公式，对于任意实数x有e=cosx-取e的实部则可以表示余弦函数cosx。因此，isinx，
简谐振动方程可以表示为AeRe（Ae部。
对于一列从左向右传播或者是沿x轴正方向传播的简谐波波动方程可以表示为y=Acos（ωt-kx+φ），其中ω为角速度，u为波的传播速度，k=
2πω
=λu
-i（ωt+φ）
-i（ωt+φ）
-ix
-ix
械波从波阻小的介质入射到波阻大的介质”〔3-4〕时发生半波损失。振动和波动都是自然界最常见且重要的物质运动形式，它们既存在于许多科学技术领域之中，又与人类日常生活息息相关〔5〕，学习振动和波动理论对思维能力、想象能力和创新能力的培振动是指某一物理量在一定养具有积极的作用〔6〕。
的平衡值附近形成周期性变化〔7〕。我们把物体在一定位置附近做来回往复的运动称为机械振动。波动是振动的传播过程，可分为物质波、电磁波和机械波三大类。机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波。机械波的半波损失是指机械波在不同媒质界面反射时，入射波和反射波相位相差π的现象，即入射波和反射波在界面处引起的振动反向。本文从振动方程出发，对平面简谐波在垂直入射到媒质界面时反射波的半波损失给出了证明。
的实部〔8〕，即有
）=Acos（ωt+φ），其中Re表示取复数的实
为波数，φ为初始相位。那么根据欧拉公式可以表示成Re（Ae
-i（ωt-kx+φ）
）=Acos（ωt-kx+φ），同理，对于一列
从右向左传播或者是沿x轴负方向传播的简谐波波动方程可以表示为y=Acos（ωt+kx+φ），其复数表示（Ae为Re
-i（ωt+kx+φ）
）=Acos（ωt+kx+φ）。在经典理论中，
波函数表示实在物理量，只有取实部才有意义，但
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复数表示可以使计算方便；而在量子理论中，波函数本身一般就是复数。
yi=Aie