四川广安华蓥中学 李同虎 四川广安中学 曾建明
简谐运动中质点运动路程和时间的关系既是教学的重点，又是教学的难点。由于二者之间的关系比较复杂，学生做题时往往不能针对具体情况进行分析，千篇一律地用s＝t／T×4A进行判断或计算而出错。下面对这一问题进行分析：
1．若质点运动时间t与周期T的关系满足t=nT（n＝1、2……），则s＝t／T×4A成立。
分析 不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动，完成任何一次全振动质点通过的路程都等于4A。
2．若质点运动时间t与周期T的关系满足t＝n×T／2（n＝1、2……），则s＝t／T×4A成立。
分析 当n为偶数时，即是上面1的情形。当n为奇数时，由简谐运动的周期性和对称性知，不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历半个周期，完成半个全振动，通过的路程一定等于2A。
3．若质点运动时间t与周期T的关系满足t＝T／4，此种情况最复杂，分三种情形
（1）计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性和对称性知，S＝A成立。
（2）计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则s＞A。
分析 在图1中，设质点由D→O→E的运动时间t＝T／4，因O→B、D→O→E的时间相等，故D→O、E→B的时间相等；又质点在DO段的平均速度大于在EB段的平均速度，所以
，路程
，即s＞A。
（3）计划起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则S＜A。
分析 在图2中，设质点由D→C→E的运动时间t＝T／4。因O→C、D→C→E的运动时间相等，故O→D、C→E的运动时间相等；又质点在OD段的平均速度大于在CE段的平均速度，所以
，路程
，即S＜A。
4．质点运动时间t为非特殊值，则需要利用简谐运动方程进行计算（对此种情况中学物理不要求）。
例 如图3为一做简谐运动质点的振动图像，试求：在t1＝0．5s至t2＝3．5s这段时间内质点运动的路程。
解 根据振动图像写出振动方程：
y＝10sin（π／2t）cm，
在t1＝0．5s时刻，y1＝7．07cm
在t2＝3．5s时刻，y2＝－7．07cm
路程：
在上题中，若以1时刻作为计时起点，则质点由t1到t2时刻经历了3T／4，再运动T／4即完成一次全振动。在这T／4内质点运动的路程s’＝4A－s＝14．14cm，即在该T／4内质点运动的路程大于一个振幅，这很好地说明了在T/4的时间内质点运动的路程不一定等于一个振幅。
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简谐运动中质点运动路程和时间的关系既是教学的重点，又是教学的难点。由于二者之间的关系比较复杂，学生做题时往往不能针对具体情况进行分析，千篇一律地用s＝t／T×4A进行判断或计算而出错。下面对这一问题进行分析：
1．若质点运动时间t与周期T的关系满足t=nT（n＝1、2……），则s＝t／T×4A成立。
分析 不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动，完成任何一次全振动质点通过的路程都等于4A。
2．若质点运动时间t与周期T的关系满足t＝n×T／2（n＝1、2……），则s＝t／T×4A成立。
分析 当n为偶数时，即是上面1的情形。当n为奇数时，由简谐运动的周期性和对称性知，不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历半个周期，完成半个全振动，通过的路程一定等于2A。
3．若质点运动时间t与周期T的关系满足t＝T／4，此种情况最复杂，分三种情形
（1）计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性和对称性知，S＝A成立。
（2）计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则s＞A。
分析 在图1中，设质点由D→O→E的运动时间t＝T／4，因O→B、D→O→E的时间相等，故D→O、E→B的时间相等；又质点在DO段的平均速度大于在EB段的平均速度，所以
，路程
，即s＞A。
（3）计划起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则S＜A。
分析 在图2中，设质点由D→C→E的运动时间t＝T／4。因O→C、D→C→E的运动时间相等，故O→D、C→E的运动时间相等；又质点在OD段的平均速度大于在CE段的平均速度，所以
，路程
，即S＜A。
4．质点运动时间t为非特殊值，则需要利用简谐运动方程进行计算（对此种情况中学物理不要求）。
例 如图3为一做简谐运动质点的振动图像，试求：在t1＝0．5s至t2＝3．5s这段时间内质点运动的路程。
解 根据振动图像写出振动方程：
y＝10sin（π／2t）cm，
在t1＝0．5s时刻，y1＝7．07cm
在t2＝3．5s时刻，y2＝－7．07cm
路程：
在上题中，若以1时刻作为计时起点，则质点由t1到t2时刻经历了3T／4，再运动T／4即完成一次全振动。在这T／4内质点运动的路程s’＝4A－s＝14．14cm，即在该T／4内质点运动的路程大于一个振幅，这很好地说明了在T/4的时间内质点运动的路程不一定等于一个振幅。