2015年清华大学自主招生试题（回忆版） 发表于
2015年7月21日由意琦行
注 所有选择题均为不定项选择题．
1、已知非负实数\(x,y,z\)满足\(4x^2+4y^2+z^2+2z=3\)，求\(5x+4y+3z\)的最大值．
2、已知\(x^2+y^2\leqslant 1\)，求\(\left|x^2+2xy-y^2\right|\)的最大值．
3、如图所示，已知函数\(f(x)\)与直线\(y=kx+m\)有两个切点，则\(g(x)=kx-f(x)\)有（ ）
A ．\(3\)个极大值点
B ．\(2\)个极小值点
C ．\(2\)个极大值点
D ．\(4\)个极小值点
4、已知\(x,y,z\in\mathcal Z\)，且\(xy+yz+zx=1\)，则
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\)的值可能是（ ）
A ．\(16900\)
B ．\(17900\)
C ．\(18900\)
D ．以上都不对
5、一个以\(O\)为圆心的圆上的整数格点（横纵坐标都是整数）的点的个数可能是（ ）
A ．\(4\)
B ．\(6\)
C ．\(8\)
D ．\(12\)
6、已知\(2x+y=1\)，求\(x+\sqrt{x^2+y^2}\)的最值．
7、\(50\)个黑球和\(49\)个白球排成一排，则（ ）
A ．必有一个黑球右侧白球的数量等于黑球的数量
B ．必有一个白球右侧白球的数量等于黑球的数量
C ．必有一个黑球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)
D ．必有一个白球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)
8、已知\(P=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=r^2\right.\right\}\)，
\(Q=\left\{(x,y)\left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right.\right\}\)，已知\(P\cap Q=\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\right\}\)，则（ ）
A ．\(a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0\)
B ．\(2ax_1+2by_1=a^2+b^2\)
C ．\(0
D ．\(x_1+x_2=a\)，\(y_1+y_2=b\)
9、一个正十五边形，任取其三个顶点构成三角形，可构成多少个钝角三角形？
？10、已知\(\overrightarrow{a}=\left(m\cos\theta_1,m\sin\theta_1\right)\)，\(\overrightarrow{b}=\left(m\cos\theta_2,m\cos\theta_2\right)\)，定义\(\overrightarrow{a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_1}{2},\sqrt m\sin\dfrac{\theta_1}{2}\right)\)，\(\overrightarrow{b}^{\frac
12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_2}{2},\sqrt
m\sin\dfrac{\theta_2}{2}\right)\)，则（ ）
A ．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}\cdot \overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\)
B ．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}+\overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\cos^2\dfrac{\theta}{2}\)
C ．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}-\overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\sin^2\dfrac{\theta}{2}\)
D ．
？11、一个抛物线\(y^2=2px\)上有两个点\(A\)、\(B\)，则（ ）
A ．\(AB\)过抛物线焦点
B ．\(OA\cdot OB\leqslant ?\)
C ．\(OA^2+OB^2\leqslant ?\)
D ．\(O\)到\(AB\)的距离小于\(1\)
？12、点集\(A=\left\{(x,y)\left|\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}=y\right.\right\}\)，则（ ）
A ．曲线有对称轴
B ．\(A\subseteq \left\{(x,y)\left|-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac 12\right.\right\}\)
C ．曲线有对称中心
2015年清华大学自主招生试题（回忆版） 发表于
2015年7月21日由意琦行
注 所有选择题均为不定项选择题．
1、已知非负实数\(x,y,z\)满足\(4x^2+4y^2+z^2+2z=3\)，求\(5x+4y+3z\)的最大值．
2、已知\(x^2+y^2\leqslant 1\)，求\(\left|x^2+2xy-y^2\right|\)的最大值．
3、如图所示，已知函数\(f(x)\)与直线\(y=kx+m\)有两个切点，则\(g(x)=kx-f(x)\)有（ ）
A ．\(3\)个极大值点
B ．\(2\)个极小值点
C ．\(2\)个极大值点
D ．\(4\)个极小值点
4、已知\(x,y,z\in\mathcal Z\)，且\(xy+yz+zx=1\)，则
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\)的值可能是（ ）
A ．\(16900\)
B ．\(17900\)
C ．\(18900\)
D ．以上都不对
5、一个以\(O\)为圆心的圆上的整数格点（横纵坐标都是整数）的点的个数可能是（ ）
A ．\(4\)
B ．\(6\)
C ．\(8\)
D ．\(12\)
6、已知\(2x+y=1\)，求\(x+\sqrt{x^2+y^2}\)的最值．
7、\(50\)个黑球和\(49\)个白球排成一排，则（ ）
A ．必有一个黑球右侧白球的数量等于黑球的数量
B ．必有一个白球右侧白球的数量等于黑球的数量
C ．必有一个黑球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)
D ．必有一个白球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)
8、已知\(P=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=r^2\right.\right\}\)，
\(Q=\left\{(x,y)\left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right.\right\}\)，已知\(P\cap Q=\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\right\}\)，则（ ）
A ．\(a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0\)
B ．\(2ax_1+2by_1=a^2+b^2\)
C ．\(0
D ．\(x_1+x_2=a\)，\(y_1+y_2=b\)
9、一个正十五边形，任取其三个顶点构成三角形，可构成多少个钝角三角形？
？10、已知\(\overrightarrow{a}=\left(m\cos\theta_1,m\sin\theta_1\right)\)，\(\overrightarrow{b}=\left(m\cos\theta_2,m\cos\theta_2\right)\)，定义\(\overrightarrow{a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_1}{2},\sqrt m\sin\dfrac{\theta_1}{2}\right)\)，\(\overrightarrow{b}^{\frac
12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_2}{2},\sqrt
m\sin\dfrac{\theta_2}{2}\right)\)，则（ ）
A ．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}\cdot \overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\)
B ．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}+\overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\cos^2\dfrac{\theta}{2}\)
C ．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}-\overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\sin^2\dfrac{\theta}{2}\)
D ．
？11、一个抛物线\(y^2=2px\)上有两个点\(A\)、\(B\)，则（ ）
A ．\(AB\)过抛物线焦点
B ．\(OA\cdot OB\leqslant ?\)
C ．\(OA^2+OB^2\leqslant ?\)
D ．\(O\)到\(AB\)的距离小于\(1\)
？12、点集\(A=\left\{(x,y)\left|\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}=y\right.\right\}\)，则（ ）
A ．曲线有对称轴
B ．\(A\subseteq \left\{(x,y)\left|-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac 12\right.\right\}\)
C ．曲线有对称中心