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第二部分 第6章
电磁学 真空中稳恒电流的磁场
本章共4讲
北京邮电大学理学院物理部
1
结构框图
磁感应 磁 场 稳 恒 电 流 稳 恒 磁 场 强度
洛仑兹力 安培定律
毕-萨 定律
磁场的高斯定理 安培环路定理
磁场的 基本性质
霍耳效应
带电粒子在磁场中的运动
磁力和磁力矩 磁场 强度
磁力的功 介质中的安 培环路定理
顺磁质、抗磁质和 铁磁质的磁化
北京邮电大学理学院物理部
2
1
重点 基本概念：稳恒电流 磁感应强度，磁通量，电流磁矩 基本规律：磁场叠加原理，
毕－萨定律及其应用， 稳恒磁场高斯定理和环路定理， 磁场的基本性质（无源场、涡旋场）
基本计算：稳恒磁场
B 分布，
洛仑兹力，安培力，磁力矩
难点
运动电荷之间的相互作用，磁介质
北京邮电大学理学院物理部
3
§1 稳恒电流
一、电流强度（复习）
电流 ：大量电荷的定向运动。 形成电流的两个基本条件： ⑴ 导体中存在自由电荷； ⑵ 导体中要维持一定的电场。 载流子：导体中承载电荷的粒子（例如，导体中的自由 电子或正负离子）。 电流强度（I）：
+ + +
S
+ +
+
S +
+ +
I = lim
Δt → 0
Δ q dq = Δ t dt
规定正电荷流动 的方向为正方向.
单位：库仑/秒=安培 （CT −1 = A ） 常用毫安(mA)、微安(μA) 它是国际单位中的基本量.
北京邮电大学理学院物理部
4
2
二、电流密度矢量 j
例如： 电阻法探矿
•
•
当通过任一截面的电量不均匀时
A
C
B
为描写导体内每一点的电流情况，需引入“电流密度矢 量” 的概念描写电流的分布。
北京邮电大学理学院物理部
5
1.定义：
I
dI ˆ P u dS⊥
j=
dI ˆ u d S⊥
大小：该处垂直于载流子运动方向单位面积的电流强度 方向：该处正载流子的运动方向
2 单位 A / m 量纲 [ j ] = [ L
−3
2
M
1
2
T
−1
]
北京邮电大学理学院物理部
6
3
2 . j 与微观量的关系：
dS ⊥
u
udt
dq
设 n为单位体积内正载流子的密度.
u 为正载流子的定向移动速度
在dt 时间内穿过 dS ⊥ 面的正载流子数，即电量为：
dq = qn ⋅ dS ⊥u ⋅ dt
I = qnuS
∴ j = qnu
7
北京邮电大学理学院物理部
若P点处载流子的速度不同： 设单位体积中，速度为 u 的载流子数目为 ni ， i 则
j = ∑ ji = ∑ ni qui = nq
i
∑nu
n
i i
= nq〈u 〉
〈 u 〉为载流子平均定向流动速度，也叫“飘移速度”。
无外电场时,载流子作无规则热运动 〈u 〉 = 0 有外电场时,载流子作定向流动 一般
〈u 〉 ≠ 0
〈u 〉 ：10−2 −10−1 mm / s
北京邮电大学理学院物理部
8
4
例如, Cu导线 n = 8.5×1028/m3，j = 6A/mm2 时，
u =
j 6 = = 0.44mm/s 28 nq (8.5 ×10 /109 )1.6 ×10−19
电流的传播速度是电场的传播速度 为光速c 漂移速度
u
3. I与 j 的关系：
分布：电流线 其切向即 j 方向 其疏密 ∝ j 大小
北京邮电大学理学院物理部
I
j
I
9
对任意小面元 d S ， d I = j d S ⊥ = j ⋅ d S
dI
dS
ds
j
j
d S⊥
对于有限大的面积S:
q
S
I = ∫ d I = ∫∫ j ⋅ d s
s
即电流强度等于电流密度的通量。
北京邮电大学理学院物理部
10
5
对于一个封闭面S:
I=
∫∫
s
j ⋅d s
━━净流出封闭面的电流强度 根据电荷守恒定律，单位时间净流出封闭面的电量等于 单位时间内封闭面内减少的电量，有
∫∫
s
j ⋅d s = −
d q内 dt
……电流的“连续性方程”
北京邮电大学理学院物理部
11
三、 稳恒电流与稳恒电场
j 稳恒
E 稳恒
电荷分布不 随时间变化
即对任一封闭面应满足 即
d q内 dt
=0
∫∫
s
j ⋅d s = 0
……“稳恒条件”
∫∫
s
j ⋅d s = −
d q内 dt
实验表明：稳恒电场和静电场的性质相同，也遵守静电场的 高斯定理和环路定理。
北京邮电大学理学院物理部
12
6
稳恒电场与静电场的异同
静电场 相同点 稳恒电场 电荷分布 和 电场分布 都不随时间变化 都服从 高斯定理 和 环路定理 激发静电场的电荷是 静止的 激发稳恒电场的电荷 是流动的（它们分布于 导体表面、不均匀处）
不同点 导体内部的静电场为零；导体内部的稳恒电场 导体内没有电场线、 不为零；导线内有 导体表面与电场线垂直 电场线、且与导线平行 维持静电场 不需要能量 维持稳恒电场 需要能量（转化）
13
北京邮电大学理学院物理部
节点电流方程 对电路的“节点”：
Ii 节点
•
S
∫∫
s
j ⋅d s = 0
∑ Ii = 0
i
i =1, 2, …
— 基尔霍夫第一定律 稳恒情况 必有 I = 0
规定从节点流出：I > 0 ，流入节点：I
I入
二端 网络
I出
稳恒情况必有 I入= I出
14
北京邮电大学理学院物理部
7
四、 欧姆定律的微分形式
对一段均匀金属导体：
Uab = IR
a
R= ρ l l = s σs
单位： ⋅ m Ω
R
l S I Uab
b
ρ ……电阻率
σ=
1
ρ
……电导率（单位:1/Ωm) 1 (西门子） = S Ω
北京邮电大学理学院物理部
15
将欧姆定律用于导体中的一微小段， 设导体中有电流I流过， 某点P处的 j , E 如图所示。 取微小体积：长为dl，垂直 j 的底面积为ds, 两端电压
I V
U = V − (V + dV ) = − dV
代入欧姆定律， U = IR ρΔl R = ΔS
P V+dV E dl ds
j
I = j ΔS
∴j=
1
ρ
E
j =σE
（点点对应） ……欧姆定律的微分形式
北京邮电大学理学院物理部
16
8
例. 一接地装置，接地电极为一个金属球，其半径为a，已知埋 入深度h >>a，大地电导率为σ ， 求：接地电阻 R （提示：R =
U a∞ ） I
I h
a
r
P
解: ∵ h >> a ∴ j 球对称 I ˆ P点处 j = ⋅r 4 π r2 由欧姆定律的微分形式 I ˆ E = j /σ = ⋅r 4 πσ r2
4 πσ r 2 U a∞ 1 1 = ∝ 所以接地电阻 R = 4π σ a σ a I 一般要求 R ： 10 −2 Ω → 1Ω
a a
U a∞ = ∫ E ⋅d r = ∫
∞
∞
I
⋅dr =
I 4 πσ a
北京邮电大学理学院物理部
17
讨论： 分析影响接地电阻的关键
R=
r
Ua∞ I
=
1 1 ∝ 4 πσ a σ a
I
大地
σ
h a. r Uar
Uar = ∫
I 4 πσ r 2
a
⋅d r
=
I a (1 − ) r 4 πσ a
a ) r
= U a∞ ( 1 −
当 r = 10a 时，U a r = 0.9 U a ∞，即90%电势差降落在 r = 10a 的范围内，故改善接地点附近的接地状态是关键。（注 意接地点附近有跨步电压）
北京邮电大学理学院物理部
18
9
实验规律——点电荷的库仑定律等 静电场的性质——有源保守场 静电场与导体的相互作用 静电场与电介质的相互作用（少学时不要求） 静电场与带电粒子的相互作用
北京邮电大学理学院物理部
19
§2 磁场 磁感应强度
一、基本磁现象 • 磁现象(1) 磁体 S N 磁 场 磁体 S N • 磁现象(4) 电流 N 电流 电流 • 磁现象(2) 电流 磁体
I
• 磁现象(3) 磁体
I
I1
F
F
S
F
北京邮电大学理学院物理部
I2
20
10
二、 磁场
磁感应强度
1. 磁场 安培提出: 一切磁现象起源于电荷运动 运动电荷 载流导线 磁 体 磁 运动电荷 载流导线 磁 体
本质
场
磁场的性质 (1) 对运动电荷(或电流)有力的作用 (2) 磁场有能量
北京邮电大学理学院物理部
21
2.磁感应强度 实验： （1）点电荷q0以同一速率v沿不同 方向运动。 实验结果：
F
+ q0
θ
B
1. F ⊥ v
2. F 的大小随 v 而变化
3. 电荷q0沿磁场方向运动时， F = 0
v
F 4. 电荷q0垂直磁场方向运动时， = Fmax
北京邮电大学理学院物理部
22
11
（2）在垂直于磁场方向改变运动电荷的速率v，改变点电荷的 电量q0。 实验结果： 1. 在磁场中同一场点，Fmax/q0v 为一恒量； 2. 在磁场中不同场点，Fmax/q0v 的量值不同。 定义磁感应强度 B 的大小：
B=
说明
Fmax q0 v
国际单位：特斯拉（T） 常用单位：高斯（G）
1G = 10 −4 T
磁感应强度有各种定义方法，除上述方法外，我们还可
以用电流元在磁场中的受力来定义。
北京邮电大学理学院物理部
23
实验规律——点电荷的库仑定律等 静电场的性质——有源保守场 静电场与导体的相互作用 静电场与电介质的相互作用 静电场与带电粒子的相互作用
从场的角度与静电场类比得到稳恒磁场的所有性质和方程 实验规律—— 毕--萨- 拉定律 稳恒磁场的性质——有旋无源 磁场与 运动电荷 作用 磁场与 载流导线 作用 磁场与 磁介质 作用
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24
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第二部分 第6章
电磁学 真空中稳恒电流的磁场
本章共4讲
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1
结构框图
磁感应 磁 场 稳 恒 电 流 稳 恒 磁 场 强度
洛仑兹力 安培定律
毕-萨 定律
磁场的高斯定理 安培环路定理
磁场的 基本性质
霍耳效应
带电粒子在磁场中的运动
磁力和磁力矩 磁场 强度
磁力的功 介质中的安 培环路定理
顺磁质、抗磁质和 铁磁质的磁化
北京邮电大学理学院物理部
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1
重点 基本概念：稳恒电流 磁感应强度，磁通量，电流磁矩 基本规律：磁场叠加原理，
毕－萨定律及其应用， 稳恒磁场高斯定理和环路定理， 磁场的基本性质（无源场、涡旋场）
基本计算：稳恒磁场
B 分布，
洛仑兹力，安培力，磁力矩
难点
运动电荷之间的相互作用，磁介质
北京邮电大学理学院物理部
3
§1 稳恒电流
一、电流强度（复习）
电流 ：大量电荷的定向运动。 形成电流的两个基本条件： ⑴ 导体中存在自由电荷； ⑵ 导体中要维持一定的电场。 载流子：导体中承载电荷的粒子（例如，导体中的自由 电子或正负离子）。 电流强度（I）：
+ + +
S
+ +
+
S +
+ +
I = lim
Δt → 0
Δ q dq = Δ t dt
规定正电荷流动 的方向为正方向.
单位：库仑/秒=安培 （CT −1 = A ） 常用毫安(mA)、微安(μA) 它是国际单位中的基本量.
北京邮电大学理学院物理部
4
2
二、电流密度矢量 j
例如： 电阻法探矿
•
•
当通过任一截面的电量不均匀时
A
C
B
为描写导体内每一点的电流情况，需引入“电流密度矢 量” 的概念描写电流的分布。
北京邮电大学理学院物理部
5
1.定义：
I
dI ˆ P u dS⊥
j=
dI ˆ u d S⊥
大小：该处垂直于载流子运动方向单位面积的电流强度 方向：该处正载流子的运动方向
2 单位 A / m 量纲 [ j ] = [ L
−3
2
M
1
2
T
−1
]
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3
2 . j 与微观量的关系：
dS ⊥
u
udt
dq
设 n为单位体积内正载流子的密度.
u 为正载流子的定向移动速度
在dt 时间内穿过 dS ⊥ 面的正载流子数，即电量为：
dq = qn ⋅ dS ⊥u ⋅ dt
I = qnuS
∴ j = qnu
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若P点处载流子的速度不同： 设单位体积中，速度为 u 的载流子数目为 ni ， i 则
j = ∑ ji = ∑ ni qui = nq
i
∑nu
n
i i
= nq〈u 〉
〈 u 〉为载流子平均定向流动速度，也叫“飘移速度”。
无外电场时,载流子作无规则热运动 〈u 〉 = 0 有外电场时,载流子作定向流动 一般
〈u 〉 ≠ 0
〈u 〉 ：10−2 −10−1 mm / s
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例如, Cu导线 n = 8.5×1028/m3，j = 6A/mm2 时，
u =
j 6 = = 0.44mm/s 28 nq (8.5 ×10 /109 )1.6 ×10−19
电流的传播速度是电场的传播速度 为光速c 漂移速度
u
3. I与 j 的关系：
分布：电流线 其切向即 j 方向 其疏密 ∝ j 大小
北京邮电大学理学院物理部
I
j
I
9
对任意小面元 d S ， d I = j d S ⊥ = j ⋅ d S
dI
dS
ds
j
j
d S⊥
对于有限大的面积S:
q
S
I = ∫ d I = ∫∫ j ⋅ d s
s
即电流强度等于电流密度的通量。
北京邮电大学理学院物理部
10
5
对于一个封闭面S:
I=
∫∫
s
j ⋅d s
━━净流出封闭面的电流强度 根据电荷守恒定律，单位时间净流出封闭面的电量等于 单位时间内封闭面内减少的电量，有
∫∫
s
j ⋅d s = −
d q内 dt
……电流的“连续性方程”
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11
三、 稳恒电流与稳恒电场
j 稳恒
E 稳恒
电荷分布不 随时间变化
即对任一封闭面应满足 即
d q内 dt
=0
∫∫
s
j ⋅d s = 0
……“稳恒条件”
∫∫
s
j ⋅d s = −
d q内 dt
实验表明：稳恒电场和静电场的性质相同，也遵守静电场的 高斯定理和环路定理。
北京邮电大学理学院物理部
12
6
稳恒电场与静电场的异同
静电场 相同点 稳恒电场 电荷分布 和 电场分布 都不随时间变化 都服从 高斯定理 和 环路定理 激发静电场的电荷是 静止的 激发稳恒电场的电荷 是流动的（它们分布于 导体表面、不均匀处）
不同点 导体内部的静电场为零；导体内部的稳恒电场 导体内没有电场线、 不为零；导线内有 导体表面与电场线垂直 电场线、且与导线平行 维持静电场 不需要能量 维持稳恒电场 需要能量（转化）
13
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节点电流方程 对电路的“节点”：
Ii 节点
•
S
∫∫
s
j ⋅d s = 0
∑ Ii = 0
i
i =1, 2, …
— 基尔霍夫第一定律 稳恒情况 必有 I = 0
规定从节点流出：I > 0 ，流入节点：I
I入
二端 网络
I出
稳恒情况必有 I入= I出
14
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7
四、 欧姆定律的微分形式
对一段均匀金属导体：
Uab = IR
a
R= ρ l l = s σs
单位： ⋅ m Ω
R
l S I Uab
b
ρ ……电阻率
σ=
1
ρ
……电导率（单位:1/Ωm) 1 (西门子） = S Ω
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15
将欧姆定律用于导体中的一微小段， 设导体中有电流I流过， 某点P处的 j , E 如图所示。 取微小体积：长为dl，垂直 j 的底面积为ds, 两端电压
I V
U = V − (V + dV ) = − dV
代入欧姆定律， U = IR ρΔl R = ΔS
P V+dV E dl ds
j
I = j ΔS
∴j=
1
ρ
E
j =σE
（点点对应） ……欧姆定律的微分形式
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16
8
例. 一接地装置，接地电极为一个金属球，其半径为a，已知埋 入深度h >>a，大地电导率为σ ， 求：接地电阻 R （提示：R =
U a∞ ） I
I h
a
r
P
解: ∵ h >> a ∴ j 球对称 I ˆ P点处 j = ⋅r 4 π r2 由欧姆定律的微分形式 I ˆ E = j /σ = ⋅r 4 πσ r2
4 πσ r 2 U a∞ 1 1 = ∝ 所以接地电阻 R = 4π σ a σ a I 一般要求 R ： 10 −2 Ω → 1Ω
a a
U a∞ = ∫ E ⋅d r = ∫
∞
∞
I
⋅dr =
I 4 πσ a
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17
讨论： 分析影响接地电阻的关键
R=
r
Ua∞ I
=
1 1 ∝ 4 πσ a σ a
I
大地
σ
h a. r Uar
Uar = ∫
I 4 πσ r 2
a
⋅d r
=
I a (1 − ) r 4 πσ a
a ) r
= U a∞ ( 1 −
当 r = 10a 时，U a r = 0.9 U a ∞，即90%电势差降落在 r = 10a 的范围内，故改善接地点附近的接地状态是关键。（注 意接地点附近有跨步电压）
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18
9
实验规律——点电荷的库仑定律等 静电场的性质——有源保守场 静电场与导体的相互作用 静电场与电介质的相互作用（少学时不要求） 静电场与带电粒子的相互作用
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19
§2 磁场 磁感应强度
一、基本磁现象 • 磁现象(1) 磁体 S N 磁 场 磁体 S N • 磁现象(4) 电流 N 电流 电流 • 磁现象(2) 电流 磁体
I
• 磁现象(3) 磁体
I
I1
F
F
S
F
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I2
20
10
二、 磁场
磁感应强度
1. 磁场 安培提出: 一切磁现象起源于电荷运动 运动电荷 载流导线 磁 体 磁 运动电荷 载流导线 磁 体
本质
场
磁场的性质 (1) 对运动电荷(或电流)有力的作用 (2) 磁场有能量
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21
2.磁感应强度 实验： （1）点电荷q0以同一速率v沿不同 方向运动。 实验结果：
F
+ q0
θ
B
1. F ⊥ v
2. F 的大小随 v 而变化
3. 电荷q0沿磁场方向运动时， F = 0
v
F 4. 电荷q0垂直磁场方向运动时， = Fmax
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（2）在垂直于磁场方向改变运动电荷的速率v，改变点电荷的 电量q0。 实验结果： 1. 在磁场中同一场点，Fmax/q0v 为一恒量； 2. 在磁场中不同场点，Fmax/q0v 的量值不同。 定义磁感应强度 B 的大小：
B=
说明
Fmax q0 v
国际单位：特斯拉（T） 常用单位：高斯（G）
1G = 10 −4 T
磁感应强度有各种定义方法，除上述方法外，我们还可
以用电流元在磁场中的受力来定义。
北京邮电大学理学院物理部
23
实验规律——点电荷的库仑定律等 静电场的性质——有源保守场 静电场与导体的相互作用 静电场与电介质的相互作用 静电场与带电粒子的相互作用
从场的角度与静电场类比得到稳恒磁场的所有性质和方程 实验规律—— 毕--萨- 拉定律 稳恒磁场的性质——有旋无源 磁场与 运动电荷 作用 磁场与 载流导线 作用 磁场与 磁介质 作用
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