数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式(x -2) 2+(y -1) 2=4
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、应用举例
题型一：数形结合思想在集合运算中的应用
例1. 设命题甲：0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
［解析］将两个命题用数轴表示，如图：
从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件. 所以选
A.
例2. 设全集U ，A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A *B={x|x∈A ⋃B, 且x ∉A ⋂B}， 则（A *B ）*A=（ ）
A.A B.B
C.(C U A ) ⋂B D.A ⋂(C U B ) ［解析］画一个一般情况的Venn 图，由题目定义知选B
题型二：数形结合思想在函数、方程、不等式中的应用
例3．已知函数y =f (x )(0≤x ≤1) 的图象如右图，若0
A. f ( x 1 )
(x 1) =f (x 2)
x 1x 2x 11 x 2
C. f ( x 1 ) > f ( x 2 ) D. 以上都不正确
x 2 x 1
［解析］ 由选项的结构特点，联想到两点间的斜率公式，事实 f (x ) 可以看作是点（x , f (x )) 与原点连线的斜率，由图象不难得出答案为A. x
例4. 若关于x 的方程x +2kx +3k =0的两根都在-1和3之间，求 k 的取值范围。
【解析】令f (x ) =x 2+2kx +3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x ) =0 2
f (3)>0， 的解，由y =f (x ) 的图象可知，要使二根都在-13，之间，只需f (-1) >0，
f (-b ) =f (-k )
例5. 已知0
A. 1个 B. 2个 C. 3个 ) D. 1个或2个或3个
|x | 【分析】判断方程的根的个数就是判断图象y =a 与y =|loga x |的交点个数，画
出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。
例6. 甲、乙两人相约7:00~8:00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，则两人能会面的概率为 .
［解析］在平面上建立直角坐标系，直线x =60，直线y =60,
x 轴，y 轴围成一个正方形区域G . 设甲7时x 分到达会面地点，
乙7时y 分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x , y ）对应. 于是试验的所有
可能结果就与G 中的所有点一一对应. 由题意知，每一个试验结果出现的可能性
是相同的，甲乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超过20
分钟，即 │y －x │≤20，x －20≤y ≤x +20, 因此，图中的阴影区域g 就表示“甲
乙能会面”. 容易求得g 的面积为602－402＝2000，G 的面积为3600，由几何概
型的概率计算公式，“甲乙能会面”的概率 P (甲乙能会面) ＝g 的面积/G 的面积＝ . 5［点评］ 9的概率.
2
题型三：数形结合思想在圆锥曲线中的应用
例7. 如果实数x 、y 满足(x -2) +y =3，则22y 的最大值为(x )
A . 1
2B . 3
3C . 2D .
【解析】等式(x -2) 2+y 2=3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆， 圆心为(2，0) ，半径r =3，(如图) ，而y y -0=则表示圆上的点(x ，y ) 与坐 x x -0
标原点(0，0) 的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A
在以(2，0) 3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值，由图
可见，当∠A
在第一象限，且与圆相切时，OA 的斜率最大，经简单计算，得最
x 2y 2
+=1，求y -3x 的最大值与最小值 例8. 已知x ，y 满足1625
x 2y 2
y -3x +=1下求最值问题，常采用【解析】对于二元函数构造直线的截距1625
的方法来求之。
令y -3x =b ，则y =3x +b ，
x 2y 2
原问题转化为：在+=1上求一点，使过该直点线的斜率3为， 1625
3
且在y 轴上的截距最大或， 小 最
x 2y 2
由图形知，当直线y =3x +b 与椭圆+=1相切时，有最大截距与最小截距。 1625
⎧y =3x +b ⎪ ⎨x 2⇒169x 2+96bx +16b 2-400=0 y 2
=1⎪+⎩1625
由∆=0，得b =±13 ，故y -3x 的最大值为13，最小值为-13。
题型四：数形结合思想在三角函数、复数中的应用
例9．函数f （x ）=sin x +2sin x ，x ∈[0, 2π]的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
[解析]分段表示f （x ）, 数形结合求出k 的取值范围。
⎧3sin x , x ∈[0, π]函数f （x ）在[0, 2π]的图像知，1
例10. 已知复数z 满足|z -2-2i |=
[ 解析]，求z 的模的最大值、最小值的范围。 由于|z -2-2i |=|z -(2+2i )|，有明显的几何意义，它表示复数z 对应的 点到复数2+2i 对应的点之间的距离，因此满足|z -(2+2i )|=2的复数z 对应点
Z ，在以(2，2) 为圆心，半径为2的圆上，(如下图) ，而|z |表示复数z 对应的
点Z 到原点O 的距离，显然，当点Z 、圆心C 、点O 三点共线时，|
z |取得最值，
|z |min =2，|z |max =32，∴|z |的取值范围为[2，2]
4
数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式(x -2) 2+(y -1) 2=4
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、应用举例
题型一：数形结合思想在集合运算中的应用
例1. 设命题甲：0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
［解析］将两个命题用数轴表示，如图：
从上图可以看出，命题甲是命题乙的充分不必要条件. 所以选
A.
例2. 设全集U ，A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A *B={x|x∈A ⋃B, 且x ∉A ⋂B}， 则（A *B ）*A=（ ）
A.A B.B
C.(C U A ) ⋂B D.A ⋂(C U B ) ［解析］画一个一般情况的Venn 图，由题目定义知选B
题型二：数形结合思想在函数、方程、不等式中的应用
例3．已知函数y =f (x )(0≤x ≤1) 的图象如右图，若0
A. f ( x 1 )
(x 1) =f (x 2)
x 1x 2x 11 x 2
C. f ( x 1 ) > f ( x 2 ) D. 以上都不正确
x 2 x 1
［解析］ 由选项的结构特点，联想到两点间的斜率公式，事实 f (x ) 可以看作是点（x , f (x )) 与原点连线的斜率，由图象不难得出答案为A. x
例4. 若关于x 的方程x +2kx +3k =0的两根都在-1和3之间，求 k 的取值范围。
【解析】令f (x ) =x 2+2kx +3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x ) =0 2
f (3)>0， 的解，由y =f (x ) 的图象可知，要使二根都在-13，之间，只需f (-1) >0，
f (-b ) =f (-k )
例5. 已知0
A. 1个 B. 2个 C. 3个 ) D. 1个或2个或3个
|x | 【分析】判断方程的根的个数就是判断图象y =a 与y =|loga x |的交点个数，画
出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。
例6. 甲、乙两人相约7:00~8:00在某地会面，假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的，先到者等20分钟后便离去，则两人能会面的概率为 .
［解析］在平面上建立直角坐标系，直线x =60，直线y =60,
x 轴，y 轴围成一个正方形区域G . 设甲7时x 分到达会面地点，
乙7时y 分到达会面地点，这个结果与平面上的点（x , y ）对应. 于是试验的所有
可能结果就与G 中的所有点一一对应. 由题意知，每一个试验结果出现的可能性
是相同的，甲乙两人能会面，当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超过20
分钟，即 │y －x │≤20，x －20≤y ≤x +20, 因此，图中的阴影区域g 就表示“甲
乙能会面”. 容易求得g 的面积为602－402＝2000，G 的面积为3600，由几何概
型的概率计算公式，“甲乙能会面”的概率 P (甲乙能会面) ＝g 的面积/G 的面积＝ . 5［点评］ 9的概率.
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题型三：数形结合思想在圆锥曲线中的应用
例7. 如果实数x 、y 满足(x -2) +y =3，则22y 的最大值为(x )
A . 1
2B . 3
3C . 2D .
【解析】等式(x -2) 2+y 2=3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆， 圆心为(2，0) ，半径r =3，(如图) ，而y y -0=则表示圆上的点(x ，y ) 与坐 x x -0
标原点(0，0) 的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A
在以(2，0) 3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值，由图
可见，当∠A
在第一象限，且与圆相切时，OA 的斜率最大，经简单计算，得最
x 2y 2
+=1，求y -3x 的最大值与最小值 例8. 已知x ，y 满足1625
x 2y 2
y -3x +=1下求最值问题，常采用【解析】对于二元函数构造直线的截距1625
的方法来求之。
令y -3x =b ，则y =3x +b ，
x 2y 2
原问题转化为：在+=1上求一点，使过该直点线的斜率3为， 1625
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且在y 轴上的截距最大或， 小 最
x 2y 2
由图形知，当直线y =3x +b 与椭圆+=1相切时，有最大截距与最小截距。 1625
⎧y =3x +b ⎪ ⎨x 2⇒169x 2+96bx +16b 2-400=0 y 2
=1⎪+⎩1625
由∆=0，得b =±13 ，故y -3x 的最大值为13，最小值为-13。
题型四：数形结合思想在三角函数、复数中的应用
例9．函数f （x ）=sin x +2sin x ，x ∈[0, 2π]的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .
[解析]分段表示f （x ）, 数形结合求出k 的取值范围。
⎧3sin x , x ∈[0, π]函数f （x ）在[0, 2π]的图像知，1
例10. 已知复数z 满足|z -2-2i |=
[ 解析]，求z 的模的最大值、最小值的范围。 由于|z -2-2i |=|z -(2+2i )|，有明显的几何意义，它表示复数z 对应的 点到复数2+2i 对应的点之间的距离，因此满足|z -(2+2i )|=2的复数z 对应点
Z ，在以(2，2) 为圆心，半径为2的圆上，(如下图) ，而|z |表示复数z 对应的
点Z 到原点O 的距离，显然，当点Z 、圆心C 、点O 三点共线时，|
z |取得最值，
|z |min =2，|z |max =32，∴|z |的取值范围为[2，2]
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