第一节 集合的含义、表示及基本关系
A 组
;3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x
解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1) 2－2≥－2，∴A ＝{y |y ≥－2}，∴B A .
答案：B A
4．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N={x|x+x=0}，得N ={-1,0}，则N M . 答案：② 6．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2
＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2) ＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B .
B 组
a b ab
1．设a ，b 都是非零实数，y ＝|a ||b ||ab |合是________．
解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b 0；(4)a
解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8 5．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________．
解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
9．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤
2
立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
解：由lg(xy ) 知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy ) ＝0，xy ＝1.
1
∴A ＝{x, 1,0}，B ＝{0，|x |，x }．
1
于是必有|x |＝1，x ＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1. 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，
(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．
解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}， (1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m
m ＋1≤2m －1，⎧⎪
②若B ≠∅，则⎨－2≤m ＋1，解得2≤m ≤3.
⎪⎩2m －1≤5. 由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
2m －1>m －6，⎧⎪
(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎨m －6≤－2，
⎪⎩2m －1≥5. m >－5，⎧⎪
⎨m ≤4，故3≤m ≤4， ⎪⎩m ≥3.
∴m 的取值范围是[3,4]．
解得
(3)若
⎧⎪m －6＝－2，
A ＝B ，则必有⎨
⎪⎩2m －1＝5，
解得m ∈∅. ，即不存在m
值使得A ＝B .
⎧⎪
6．已知函数f (x ) ＝⎨x ＋1 (－1≤x ≤1) ，
⎪⎩2x ＋3 (x
2
1
1＋x (x >1)，
1
(1)求f (1－) ，
－1
3
f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1) ；(3)若f (a ) ＝2， 求a .
解：f (x ) 为分段函数，应分段求解．
1
(1)∵1－＝1－(＋1) ＝－2
2－1
22＋3，
1
又∵f (－2) ＝－1，f [f (－2)]＝f (－1) ＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋23＝2213x
(2)若3x －1>1，即x >3，f (3x －1) ＝1＝；
3x －13x －1
3
若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤2f (3x －1) ＝(3x －1) 2＋1＝9x 2
－6x ＋2；
若3x －1
⎧⎪
2∴f (3x －1) ＝⎨9x －6x ＋2 (0≤x ≤3) ，
⎪
⎩6x ＋1 (x
2
3x 2
(x >3) ，3x －1
3
(3)∵f (a ) ＝2，∴a >1或－1≤a ≤1.
13
当a >1时，有1＋a ＝2，∴a ＝2；
322
当－1≤a ≤1时，a ＋1＝2，∴a ＝2.
2
∴a ＝2或23．定义在区间(－1,1) 上的函数f (x ) 满足2f (x ) －f (－x ) ＝lg(x ＋1) ，则f (x ) 的解析式为________．
解析：∵对任意的x ∈(－1,1) ，有－x ∈(－1,1) ， 由2f (x ) －f (－x ) ＝lg(x ＋1) ，① 由2f (－x ) －f (x ) ＝lg(－x ＋1) ，②
①×2＋②消去f (－x ) ，得3f (x ) ＝2lg(x ＋1) ＋lg(－x ＋1) ，
21
∴f (x ) ＝3lg(x ＋1) ＋3－x ) ，(－1
21
答案：f (x ) ＝3x ＋1) ＋3－x ) ，(－1
6．设函数f (x ) ＝log a x (a ＞0，a ≠1) ，函数g (x ) ＝－x 2＋bx ＋c ，若
1
f (2＋2) －f 2＋1) ＝2，g (x ) 的图象过点A (4，－5) 及B (－2，－5) ，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．
答案：2 (－1,3)
2⎧⎪x －4x ＋6，x ≥0
7．设函数f (x ) ＝⎨，则不等式f (x )>f (1)的解集是
⎪⎩x ＋6，x
________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x ) ＝3，
解得x ＝1，x ＝3. 故f (x )>f (1)的解集为0≤x 3.
当x f (1)＝3，解得－33.
综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－33}．答案：{x |－33}
22．（14分）设函数f (x ) 对于x 、y ∈R 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，
且x
（2）试问f (x ) 在x ∈[-4, 4]上是否有最值？若有，求出最值；
若无，说明理由．
（3）解关于x 的不等式1
2
f (bx 2) -f (x ) >
1
f (b 2x ) -f (b ) （b ≤0）. 2
2．解：（1）证明：令x =y =0，则f (0) =f (0) +f (0) ，从而f (0) =0
令y =-x ，则f (0) =f (x ) +f (-x ) =0，
从而f (-x ) =-f (x ) ，即f (x ) 是奇函数. …… 4分 （2）设x 1, x 2∈R ，且x 1
∴函数f (x ) 为R 上的增函数， ∴当x ∈[-4,
4]时，f (x ) 必为增函数．
又由f (-1) =-2，得-f (1) =-2，∴f (1) =2 ∴当x =-4时，f (x ) min =f (-4) =-f (4) =-4f (1) =-8； 当x =4时，f (x ) max =f (4) =4f (1) =8． …… 9分
（3）由已知得1[f (bx 2) -f (b 2x )]
2
∴1
2
f (bx 2-b 2x ) >f (x -b ) .
∴f (bx 2-b 2x ) >2f (x -b ) ，即f (bx 2-b 2x ) >f (2x -2b ) . ∵f (x ) 为R 上增函数，∴bx 2-b 2x >2x -2b ． ∴bx 2-(b 2+2) x +2b >0 ∴(bx -2)(x -b ) >0. 当b =0时，-2x >0，∴不等式的解集为{x x
5．(原创题) 如果对于函数f (x ) 定义域内任意的x ，都有f (x ) ≥M (M
b
2
b 2
}.
}. …… 14
为常数) ，称M 为f (x ) 的下界，下界M 中的最大值叫做f (x ) 的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．
①f (x ) ＝sin x ；②f (x ) ＝lg x ；③f (x ) ＝e x ；④f (x ) ＝1 (x >0)⎧⎪
⎨0 (x ＝0)
⎪⎩－1 (x
解析：∵sin x ≥－1，∴f (x ) ＝sin x 的下确界为－1，即f (x ) ＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x ) ＝lg x 的值域为(－∞，＋∞) ，∴f (x ) ＝lg x 没有下确界；∴f (x ) ＝e x 的值域为(0，＋∞) ，∴f (x ) ＝e x 的下确界为0，即f (x ) ＝e x 是有下确界的函数； 1 (x >0)⎧⎪
∵f (x ) ＝⎨0 (x ＝0)
⎪⎩－1 (x
的下确界为－1. ∴f (x ) ＝
1 (x >0)⎧⎪
是有下确界的函数．答案：①③④ ⎨0 (x ＝0)
⎪⎩－1 (x
11
10．试讨论函数y ＝2(log2)2－2log 2x ＋1的单调性．
1
解：易知函数的定义域为(0，＋∞) ．如果令u ＝g (x ) ＝log 2，y ＝f (u ) ＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x ) 与f (u ) 复合1
而成的复合函数，而u ＝2x 在x ∈(0，＋∞) 内是减函数，y ＝12111
2u －2u ＋1＝2(u －2＋2在u ∈(－∞在u ∈(22) 上是减函数，
2
11121
＋∞) 上是增函数．又u ≤2log 2≤2x 2；u >2，得2
0
1212
故函数y ＝2(log2) －2log 2x ＋1在区间(0，2) 上单调递减，在2
区间(2，＋∞) 上单调递增．
1．设偶函数f (x ) ＝log a |x －b |在(－∞，0) 上单调递增，则f (a ＋1) 与f (b ＋2) 的大小关系为________．
解析：由f (x ) 为偶函数，知b ＝0，∴f (x ) ＝log a |x |，又f (x ) 在(－∞，0) 上单调递增，所以0f (b ＋2) ．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)
2π2π
) 的图像, 需要将函数y =2sin(2x -) 的图像（ ） 33
2π2π
A 向左平移个单位 B 向右平移个单位
33ππ
C. 向左平移个单位 D 向右平移个单位
33
6. 函数f (x ) =cos 2x +2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）
4. 要得到y =2sin(2x +
A. －3，1 B. －2，2 C. －3，
3 2
D. －2，
3 2
10. 设曲线f (x ) =a cos x +b sin x 的一条对称轴为x =称点为（ ） A. -
π
5
，则曲线y =f (
π
10
-x ) 的一个对
⎛π⎫
, 0⎪ B. ⎝5⎭⎛3π⎫⎛2π⎫⎛7π⎫
, 0⎪ D. -, 0⎪ , 0⎪ C.
⎝10⎭⎝5⎭⎝10⎭
19. （本小题满分12分）
已知定义在区间[-π, π]上的函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0,0
23
π
6
对称，当x ∈[-
π2π
6, 3
]时，f (x ) 的图像如图所示.
23（2
）求方程f (x ) =的解.
（1）求f (x ) 在[-π, π]上的表达式；
19．解：（1）由图知：A =1，T =4
2π⎛2ππ⎫
=1， -⎪=2π, ，则ω=T 36⎝⎭
在x ∈⎢-
⎡π2π⎤⎛π⎫
, ⎥时，将 ,1⎪代入f (x )得，⎣63⎦⎝6⎭
π⎛π⎫⎛π⎫
f ⎪=sin +ϕ⎪=1, 0
3⎝6⎭⎝6⎭
π⎫⎛⎡π2π⎤
∴在x ∈⎢-, ⎥时，f (x )=sin x +⎪.
3⎭⎝⎣63⎦
同理在x ∈⎢-π, -
⎡
⎣
π⎤
时，f (x )=sin (x +π). ⎥6⎦
⎧⎛π⎫⎡π2π⎤sin x +, x ∈-, ⎥, ⎪⎪ ⎢3⎪⎝⎭⎣63⎦
综上，f (x )=⎨
⎪sin (x +π), x ∈⎡-π, -π⎤.
⎢⎪6⎥⎣⎦⎩
（2）由f (
x )=
5ππ⎡π2π⎤
x =, x =-. 在区间⎢-, 内可得12⎥12122⎣63⎦
y =f (x )关于
x =-
π
6
对称，∴x 3=-
π
4
, x 4=-
π3π5ππ3π, , -. 得解为-, -. ∴f (
x )=
44121242
20. （本小题满分13分）
πππ
已知函数f (x ) =2sin 2(+x ) -2x ，x ∈[, ].
442
（1）求函数f (x ) 的单调区间和最值； （2）若不等式f (x ) -m
ππ
, ]
上恒成立，求实数m 的取值范围.
20. 已知：一次函数f (x ) ，若f [f (x ) ]=9x +3，求f (x ) 的解析式。（8分） 20. 一次函数为f (x ) =kx +b
∴f [f (x ) ]=kf (x ) +b =k (kx +b ) +b =k 2x +kb +b 又 f [f (x ) ]=9x +3
⎧k 2=9∴⎨
⎩kb +b =3
⎧k 1=3⎧k 2=-3⎪⎪⇒⎨3⎨3
b =b =-12⎪4⎪2⎩⎩
33
∴f (x ) =3x +或f (x ) =-3x -
42
10. 已知函数y =f (x +1) 定义域是[-2，3]，则y =f (2x -1) 的定义域是（C ）
5
A. [-5，3] B. [-1，4] C. [0，] D. [-3，7]
2
12. 已知f (x ) 在实数集R 上是减函数，若a +b ≤0，则下列正确的是（ D ） A ．f (a ) +f (b ) ≤-[f (a ) +f (b )] C ．f (a ) +f (b ) ≥-[f (a ) +f (b )]
+
B ． f (a ) +f (b ) ≤f (-a ) +f (-b ) D ．f (a ) +f (b ) ≥f (-a ) +f (-b )
16．函数f (x ) 对任何x ∈R 恒有f (x 1⋅x 2) =f (x 1) +f (x 2) ，已知f (8)=3，
则f = ．
20. （12分）（1）已知f (x ) 是二次函数，若f (0)=0, 且f (x +1) =f (x ) +x +1， 求f (x ) 的解析式；
（2
）已知f 1) =x +求f (x ) 的解析式。
20. 解：（1）设f (x ) =ax 2+bx +c (a≠0)
由f (0)=0, 得c=0
由f (x +1) =f (x ) +x +1 得a (x +1) 2+b (x +1) +c =ax 2+bx +c +x +1 整理得ax 2+(2a +b ) x +a +b +c =ax 2+(b +c ) x +c +1
1⎧a =⎪2⎧2a +b =b +1⎪
1⎪⎪
a +b +c =c +1⇒⎨b =⎨得 ⎪2 ⎪⎩c =0⎪c =0
⎪⎩
11
∴f (x ) =x 2+x
22
（2）（法一配凑法）由题知x ≥0
因为f (x +1) =x +2x =(x +1) 2-1
令t =x +1，则t ≥1
所以f (t ) =t 2-1即f (x ) =x 2-1(x ≥1)
（法二换元法） 令t =x +1（t ≥1）则x =t -1
x =(t -1) 2
得 22∴f (t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1
即 f (x ) =x 2-1(x ≥1)
22. （12分）已知函数f (x ) 的定义域为R, 对任意实数m , n 都有
f (m +n ) =f (m ) ∙f (n ) , 且当x >0时, 0
(1)证明: 当x 1;
(2)证明: f (x ) 在R 上是减函数。
22. 解：(1)证明:令m =0, n =1, 则f (0+1) =f (0)∙f (1)
∵当x >0时, 00, ∴f (0)=1,
∵当x >0时, 0
∴当x 0, 则
f (-x +x ) =f (-x ) ∙f (x ) ⇒f (x ) =f (0)1=>1 f (-x ) f (-x )
(2)证明: 任取x 1, x 2∈R , 且x 1
f (x 2) -f (x 1) =f [(x 2-x 1) +x 1]-f (x 1) =f (x 2-x 1) ∙f (x 1) -f (x 1)
=[f (x 2-x 1) -1]f (x 1)
∵x 2-x 1>0, ∴00, ∴[f (x 2-x 1) -1]f (x 1) >0, 故f (x 1) >f (x 2)
∴函数f (x ) 是R 上的单调减函数.
子集是包括本身的元素的集合，真子集是出本身的元素的集合。
子集：集合A 范围大于或等于集合B ，B 是A 的子集；真子集：集合A 范围比B 大，B 是A 的真子集
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A 组
;3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合B ＝{x |－2≤x
解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1) 2－2≥－2，∴A ＝{y |y ≥－2}，∴B A .
答案：B A
4．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由N={x|x+x=0}，得N ={-1,0}，则N M . 答案：② 6．已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
解：∵m ∈A ，∴设m ＝2a 1，a 1∈Z ，又∵n ∈B ，∴设n ＝2a 2
＋1，a 2∈Z ，∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2) ＋1，而a 1＋a 2∈Z ，∴m ＋n ∈B .
B 组
a b ab
1．设a ，b 都是非零实数，y ＝|a ||b ||ab |合是________．
解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b 0；(4)a
解析：依次分别取a ＝0,2,5；b ＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P ＋Q ＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：8 5．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________．
解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：3
9．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤
2
立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：6
10．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
解：由lg(xy ) 知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy ) ＝0，xy ＝1.
1
∴A ＝{x, 1,0}，B ＝{0，|x |，x }．
1
于是必有|x |＝1，x ＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1. 11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，
(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围；
(3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．
解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}， (1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m
m ＋1≤2m －1，⎧⎪
②若B ≠∅，则⎨－2≤m ＋1，解得2≤m ≤3.
⎪⎩2m －1≤5. 由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
2m －1>m －6，⎧⎪
(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎨m －6≤－2，
⎪⎩2m －1≥5. m >－5，⎧⎪
⎨m ≤4，故3≤m ≤4， ⎪⎩m ≥3.
∴m 的取值范围是[3,4]．
解得
(3)若
⎧⎪m －6＝－2，
A ＝B ，则必有⎨
⎪⎩2m －1＝5，
解得m ∈∅. ，即不存在m
值使得A ＝B .
⎧⎪
6．已知函数f (x ) ＝⎨x ＋1 (－1≤x ≤1) ，
⎪⎩2x ＋3 (x
2
1
1＋x (x >1)，
1
(1)求f (1－) ，
－1
3
f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1) ；(3)若f (a ) ＝2， 求a .
解：f (x ) 为分段函数，应分段求解．
1
(1)∵1－＝1－(＋1) ＝－2
2－1
22＋3，
1
又∵f (－2) ＝－1，f [f (－2)]＝f (－1) ＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋23＝2213x
(2)若3x －1>1，即x >3，f (3x －1) ＝1＝；
3x －13x －1
3
若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤2f (3x －1) ＝(3x －1) 2＋1＝9x 2
－6x ＋2；
若3x －1
⎧⎪
2∴f (3x －1) ＝⎨9x －6x ＋2 (0≤x ≤3) ，
⎪
⎩6x ＋1 (x
2
3x 2
(x >3) ，3x －1
3
(3)∵f (a ) ＝2，∴a >1或－1≤a ≤1.
13
当a >1时，有1＋a ＝2，∴a ＝2；
322
当－1≤a ≤1时，a ＋1＝2，∴a ＝2.
2
∴a ＝2或23．定义在区间(－1,1) 上的函数f (x ) 满足2f (x ) －f (－x ) ＝lg(x ＋1) ，则f (x ) 的解析式为________．
解析：∵对任意的x ∈(－1,1) ，有－x ∈(－1,1) ， 由2f (x ) －f (－x ) ＝lg(x ＋1) ，① 由2f (－x ) －f (x ) ＝lg(－x ＋1) ，②
①×2＋②消去f (－x ) ，得3f (x ) ＝2lg(x ＋1) ＋lg(－x ＋1) ，
21
∴f (x ) ＝3lg(x ＋1) ＋3－x ) ，(－1
21
答案：f (x ) ＝3x ＋1) ＋3－x ) ，(－1
6．设函数f (x ) ＝log a x (a ＞0，a ≠1) ，函数g (x ) ＝－x 2＋bx ＋c ，若
1
f (2＋2) －f 2＋1) ＝2，g (x ) 的图象过点A (4，－5) 及B (－2，－5) ，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．
答案：2 (－1,3)
2⎧⎪x －4x ＋6，x ≥0
7．设函数f (x ) ＝⎨，则不等式f (x )>f (1)的解集是
⎪⎩x ＋6，x
________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x ) ＝3，
解得x ＝1，x ＝3. 故f (x )>f (1)的解集为0≤x 3.
当x f (1)＝3，解得－33.
综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－33}．答案：{x |－33}
22．（14分）设函数f (x ) 对于x 、y ∈R 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，
且x
（2）试问f (x ) 在x ∈[-4, 4]上是否有最值？若有，求出最值；
若无，说明理由．
（3）解关于x 的不等式1
2
f (bx 2) -f (x ) >
1
f (b 2x ) -f (b ) （b ≤0）. 2
2．解：（1）证明：令x =y =0，则f (0) =f (0) +f (0) ，从而f (0) =0
令y =-x ，则f (0) =f (x ) +f (-x ) =0，
从而f (-x ) =-f (x ) ，即f (x ) 是奇函数. …… 4分 （2）设x 1, x 2∈R ，且x 1
∴函数f (x ) 为R 上的增函数， ∴当x ∈[-4,
4]时，f (x ) 必为增函数．
又由f (-1) =-2，得-f (1) =-2，∴f (1) =2 ∴当x =-4时，f (x ) min =f (-4) =-f (4) =-4f (1) =-8； 当x =4时，f (x ) max =f (4) =4f (1) =8． …… 9分
（3）由已知得1[f (bx 2) -f (b 2x )]
2
∴1
2
f (bx 2-b 2x ) >f (x -b ) .
∴f (bx 2-b 2x ) >2f (x -b ) ，即f (bx 2-b 2x ) >f (2x -2b ) . ∵f (x ) 为R 上增函数，∴bx 2-b 2x >2x -2b ． ∴bx 2-(b 2+2) x +2b >0 ∴(bx -2)(x -b ) >0. 当b =0时，-2x >0，∴不等式的解集为{x x
5．(原创题) 如果对于函数f (x ) 定义域内任意的x ，都有f (x ) ≥M (M
b
2
b 2
}.
}. …… 14
为常数) ，称M 为f (x ) 的下界，下界M 中的最大值叫做f (x ) 的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．
①f (x ) ＝sin x ；②f (x ) ＝lg x ；③f (x ) ＝e x ；④f (x ) ＝1 (x >0)⎧⎪
⎨0 (x ＝0)
⎪⎩－1 (x
解析：∵sin x ≥－1，∴f (x ) ＝sin x 的下确界为－1，即f (x ) ＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x ) ＝lg x 的值域为(－∞，＋∞) ，∴f (x ) ＝lg x 没有下确界；∴f (x ) ＝e x 的值域为(0，＋∞) ，∴f (x ) ＝e x 的下确界为0，即f (x ) ＝e x 是有下确界的函数； 1 (x >0)⎧⎪
∵f (x ) ＝⎨0 (x ＝0)
⎪⎩－1 (x
的下确界为－1. ∴f (x ) ＝
1 (x >0)⎧⎪
是有下确界的函数．答案：①③④ ⎨0 (x ＝0)
⎪⎩－1 (x
11
10．试讨论函数y ＝2(log2)2－2log 2x ＋1的单调性．
1
解：易知函数的定义域为(0，＋∞) ．如果令u ＝g (x ) ＝log 2，y ＝f (u ) ＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x ) 与f (u ) 复合1
而成的复合函数，而u ＝2x 在x ∈(0，＋∞) 内是减函数，y ＝12111
2u －2u ＋1＝2(u －2＋2在u ∈(－∞在u ∈(22) 上是减函数，
2
11121
＋∞) 上是增函数．又u ≤2log 2≤2x 2；u >2，得2
0
1212
故函数y ＝2(log2) －2log 2x ＋1在区间(0，2) 上单调递减，在2
区间(2，＋∞) 上单调递增．
1．设偶函数f (x ) ＝log a |x －b |在(－∞，0) 上单调递增，则f (a ＋1) 与f (b ＋2) 的大小关系为________．
解析：由f (x ) 为偶函数，知b ＝0，∴f (x ) ＝log a |x |，又f (x ) 在(－∞，0) 上单调递增，所以0f (b ＋2) ．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)
2π2π
) 的图像, 需要将函数y =2sin(2x -) 的图像（ ） 33
2π2π
A 向左平移个单位 B 向右平移个单位
33ππ
C. 向左平移个单位 D 向右平移个单位
33
6. 函数f (x ) =cos 2x +2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）
4. 要得到y =2sin(2x +
A. －3，1 B. －2，2 C. －3，
3 2
D. －2，
3 2
10. 设曲线f (x ) =a cos x +b sin x 的一条对称轴为x =称点为（ ） A. -
π
5
，则曲线y =f (
π
10
-x ) 的一个对
⎛π⎫
, 0⎪ B. ⎝5⎭⎛3π⎫⎛2π⎫⎛7π⎫
, 0⎪ D. -, 0⎪ , 0⎪ C.
⎝10⎭⎝5⎭⎝10⎭
19. （本小题满分12分）
已知定义在区间[-π, π]上的函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0,0
23
π
6
对称，当x ∈[-
π2π
6, 3
]时，f (x ) 的图像如图所示.
23（2
）求方程f (x ) =的解.
（1）求f (x ) 在[-π, π]上的表达式；
19．解：（1）由图知：A =1，T =4
2π⎛2ππ⎫
=1， -⎪=2π, ，则ω=T 36⎝⎭
在x ∈⎢-
⎡π2π⎤⎛π⎫
, ⎥时，将 ,1⎪代入f (x )得，⎣63⎦⎝6⎭
π⎛π⎫⎛π⎫
f ⎪=sin +ϕ⎪=1, 0
3⎝6⎭⎝6⎭
π⎫⎛⎡π2π⎤
∴在x ∈⎢-, ⎥时，f (x )=sin x +⎪.
3⎭⎝⎣63⎦
同理在x ∈⎢-π, -
⎡
⎣
π⎤
时，f (x )=sin (x +π). ⎥6⎦
⎧⎛π⎫⎡π2π⎤sin x +, x ∈-, ⎥, ⎪⎪ ⎢3⎪⎝⎭⎣63⎦
综上，f (x )=⎨
⎪sin (x +π), x ∈⎡-π, -π⎤.
⎢⎪6⎥⎣⎦⎩
（2）由f (
x )=
5ππ⎡π2π⎤
x =, x =-. 在区间⎢-, 内可得12⎥12122⎣63⎦
y =f (x )关于
x =-
π
6
对称，∴x 3=-
π
4
, x 4=-
π3π5ππ3π, , -. 得解为-, -. ∴f (
x )=
44121242
20. （本小题满分13分）
πππ
已知函数f (x ) =2sin 2(+x ) -2x ，x ∈[, ].
442
（1）求函数f (x ) 的单调区间和最值； （2）若不等式f (x ) -m
ππ
, ]
上恒成立，求实数m 的取值范围.
20. 已知：一次函数f (x ) ，若f [f (x ) ]=9x +3，求f (x ) 的解析式。（8分） 20. 一次函数为f (x ) =kx +b
∴f [f (x ) ]=kf (x ) +b =k (kx +b ) +b =k 2x +kb +b 又 f [f (x ) ]=9x +3
⎧k 2=9∴⎨
⎩kb +b =3
⎧k 1=3⎧k 2=-3⎪⎪⇒⎨3⎨3
b =b =-12⎪4⎪2⎩⎩
33
∴f (x ) =3x +或f (x ) =-3x -
42
10. 已知函数y =f (x +1) 定义域是[-2，3]，则y =f (2x -1) 的定义域是（C ）
5
A. [-5，3] B. [-1，4] C. [0，] D. [-3，7]
2
12. 已知f (x ) 在实数集R 上是减函数，若a +b ≤0，则下列正确的是（ D ） A ．f (a ) +f (b ) ≤-[f (a ) +f (b )] C ．f (a ) +f (b ) ≥-[f (a ) +f (b )]
+
B ． f (a ) +f (b ) ≤f (-a ) +f (-b ) D ．f (a ) +f (b ) ≥f (-a ) +f (-b )
16．函数f (x ) 对任何x ∈R 恒有f (x 1⋅x 2) =f (x 1) +f (x 2) ，已知f (8)=3，
则f = ．
20. （12分）（1）已知f (x ) 是二次函数，若f (0)=0, 且f (x +1) =f (x ) +x +1， 求f (x ) 的解析式；
（2
）已知f 1) =x +求f (x ) 的解析式。
20. 解：（1）设f (x ) =ax 2+bx +c (a≠0)
由f (0)=0, 得c=0
由f (x +1) =f (x ) +x +1 得a (x +1) 2+b (x +1) +c =ax 2+bx +c +x +1 整理得ax 2+(2a +b ) x +a +b +c =ax 2+(b +c ) x +c +1
1⎧a =⎪2⎧2a +b =b +1⎪
1⎪⎪
a +b +c =c +1⇒⎨b =⎨得 ⎪2 ⎪⎩c =0⎪c =0
⎪⎩
11
∴f (x ) =x 2+x
22
（2）（法一配凑法）由题知x ≥0
因为f (x +1) =x +2x =(x +1) 2-1
令t =x +1，则t ≥1
所以f (t ) =t 2-1即f (x ) =x 2-1(x ≥1)
（法二换元法） 令t =x +1（t ≥1）则x =t -1
x =(t -1) 2
得 22∴f (t ) =(t -1) +2(t -1) =t -1
即 f (x ) =x 2-1(x ≥1)
22. （12分）已知函数f (x ) 的定义域为R, 对任意实数m , n 都有
f (m +n ) =f (m ) ∙f (n ) , 且当x >0时, 0
(1)证明: 当x 1;
(2)证明: f (x ) 在R 上是减函数。
22. 解：(1)证明:令m =0, n =1, 则f (0+1) =f (0)∙f (1)
∵当x >0时, 00, ∴f (0)=1,
∵当x >0时, 0
∴当x 0, 则
f (-x +x ) =f (-x ) ∙f (x ) ⇒f (x ) =f (0)1=>1 f (-x ) f (-x )
(2)证明: 任取x 1, x 2∈R , 且x 1
f (x 2) -f (x 1) =f [(x 2-x 1) +x 1]-f (x 1) =f (x 2-x 1) ∙f (x 1) -f (x 1)
=[f (x 2-x 1) -1]f (x 1)
∵x 2-x 1>0, ∴00, ∴[f (x 2-x 1) -1]f (x 1) >0, 故f (x 1) >f (x 2)
∴函数f (x ) 是R 上的单调减函数.
子集是包括本身的元素的集合，真子集是出本身的元素的集合。
子集：集合A 范围大于或等于集合B ，B 是A 的子集；真子集：集合A 范围比B 大，B 是A 的真子集