第24卷第3期
系统工程与电子技术Systems Engineering and Electronics
Vol . 24, No . 32002
文章编号:1001-506X (2002) 03-0036-03
信号去噪的一种优化算法
段晓君
(国防科技大学, 湖南长沙410073)
摘 要:信号去噪通常是通过低通滤波器来实现的, 但线性滤波在高精度场合并不能满足要求。为此提出了一种可给出信号高精度估计的非线性方法, 分析了信号k 阶导数的特点和噪声特性, 在平稳时间序列的高阶差分对方差不变性的基础上, 将信噪分离的参数估计问题转化为一类极值问题。利用矩阵理论分析了此类极值问题, 给出了优化问题的解析解, 并设计了相应算法。通过理论分析和实例验证了其有效性, 并与最小二乘法作了比较。
关键词:信号去噪; 优化; 算法中图分类号:TN911 文献标识码:A
A New Signal Denoising Method Based on Data Property
DUAN Xiao -jun
(Ins titute of Syste m Enginee ring , Nati onal Univer sity of De fens e Te chnol ogy , C hangsha 410073, Chi na )
A bstract :Generall y , a low -pass filter is adopted to denoise the signal , however a linear filter can not provide results with high precision in many cases . In this paper a novel nonlin ear method is proposed to meet the precision demand based on the separation technique in freq uency domain . After the features of high -order derivatives of signal and noise in observed data are analyzed the prob -lem of separating signal from noise is converted into an extremum problem , with the high -order difference of stationary time series in -variant to the variance . Furthermore , an analytical solution is presented with the matrix theory , and so is the related al gorith m . Final -ly , the effectiveness of the opti mization algorithm is verified and the method is compared with the least square method through theoreti -cal analysis and si mulation . It is shown that this method is applicable to data processing .
Keywords :Signal denoising ; Optimization ; Algorith m
1 引 言
考虑观测数据
y (t i )=f (t i )+e (t i ) , i =1, …, m
式中 f (t ) ———信号; e (t ) ———噪声。许多情况下, 可设
m
{e (t i ) }i =1为零均值的平稳时间序列。在工程实际问题中,
噪效果越差。这并不奇怪。文献[3]定义的综合振荡指数相当于是函数离散采样的一阶差分与函数值的比值。实际上, 函数的导数可体现函数变化的剧烈程度。更一般地, 考虑用k 阶导数来刻画信号的振荡程度。为减小信号幅度的影响, 可将信号规范化。假定信号f (t ) 在t 时刻的振荡指数P 为(对噪声e (t ) 亦可类似定义)
f (τ) d τP (f (t ) )=
f (τ) d τ∫
(k )
2
a 2
a b
f (t ) 一般可以表示为一组已知的基函数的线性组合, 或可以表示成为g (a , t ) 的形式, 其中g 的表达式已知, a 是待估参数[1], e 为高频测量噪声。
文献[2]综述了时频分析的发展状况, 表明信号的层次结构越复杂, 则分开这些层次结构就需要更复杂的算法和更多的计算量。实际上, 有时只需从数据中分离出我们关心的部分, 不一定需要严格分离出具体的各层结构。故而, 研究信号去噪方法的尺度可以更大一些。
文献[3]用仿真方法研究表明, 信号的振荡程度越大, 去
收稿日期:2001-03-19 修订日期:2001-06-18基金项目:国家自然科学基金资助课题(69872039)
, (1)
以下依据此定义对信号去噪进行研究。
2 信号和噪声的差别
不妨取k =4, 以下研究平稳序列差分的性质(亦以四阶为例) 。由随机过程理论[4], 平稳随机过程e (t ) 与其导数过程在同一时刻的取值互不相关。类推可知, e (t ) 与其四阶导
第3期
数过程在同一时刻的取值亦互不相关。则
E [
信号去噪的一种优化算法
) ]d τ
[(h +e ) (τ
=max
(τ) ]d τ
∫[(h +e )
(4)
2
t -T
t -T
2
t +T
·37·
E [() d t ]∫e (t )
a b
2
a
b
(4) 2
(e (t ) ) d t ]
=
E [e (t ) ]d t ∫
a b
2
a
4
2
b
(4) 2
E [e (t ) ]d t
(4)
=
(4) 2
E [e (t ) ](b -a ) E [ 4e (t ) ]2
=E [e (t ) ](b -a ) σh
(2)
证明 由于真实信号均可用三次多项式样条函数描述,
有
) ]d τ) ]d τ[(h +e ) (τ[e (τ
=
(τ) ]d τ∫[(h +e ) (τ) ]d τ∫[(h +e )
(4)
2
(4)
2
t -T
t -T
2
t -T 2
t -T
t +T
t +T
式中 h ———采样间距。以下考虑E [ e (t ) ]。
对平稳随机过程e (t ) , 不妨设其均值为零。记四阶滞
4223344后差分为 4=(1-B ) =1-C 14B +C 4B -C 4B +C 4B =
显然分母在h ≡0时最小, 即此时(4) 式左端取最大。证毕
1-4B +6B -4B +B , 记e (t ) 的自协方差函数为r k , 自相关函数为ρk =0, 1, 2, …) 。则有k (
E [ 4e (t ) ]2=E [e (t )-4e (t -1)+6e (t -2) - 4e (t -3)+e (t -4) ]2
=70r 0-112r 1+56r 2-16r 3+2r 4=σ(70-112ρ1+56ρ2-16ρ3+2ρ4)
故有如下定理。
E [
定理1
(e (t ) ) d t ]
E [∫(e (t ) ) d t ]
(4) 2
2
a a b
2
234
4 模型的转化与参数估计
考虑模型y (t i )=
j =1
t i )+e (t i ) , i j (∑a j φ
L
=1, …, m 。
φt ) 可以是样条基或其它基。定义j (
T
a =(a 1, a 2, …, a L ) l , k ) r (=ij
∫φ(t ) φ(t ) d t
k +1(l )
T T
i
(l )
j
k
l )
R l =(r (ij ) L ×L l ) r (ij
=
(70-112ρ1+56ρ2-16ρ3+2ρ4)
=h
采样间距有关, 与其方差大小无关。
k =1
l , k )
ij ∑r (
M
(3)
式中i , j =1, 2, …, L ; l =0, 4。于是P (f )=a T R 2a ·(a T R 0a ) -1。可构造以(t i , y (t i ) -f (t i ) ) 为型值点的自由端
点条件插值样条S y -f (t ) 。记
μl =
由此可见, 随机过程的振荡程度与随机过程的自相关函数及
例1 设t i =0. 1×(i -1) , (i =1, …, 501) , 产生信号y i =5t i -0. 2t 240t i 3, 噪声e 在[t 1, t 200]为一ARMA 序列, 在i +[t 201, t 400]为一N (0, 30) 白噪声, 在[t 401, t 500]为另一AR MA 序列。第一个ARMA 序列由函数parma 生成, 参数如下:φ=[0. 2, 0. 5, -0. 03, -0. 3, 0. 1, -0. 4]; θ=[0. 2, -0. 6, -0. 5, 0. 3]; e 1=e (1:200)=parma (200) ; e 2=e (201:400)=rand (200) ×30; e 3=e (401:500) =parma (100) ×70。
分别计算信号和噪声的P 值, 得到P (y ) =9. 4611e -06; P (e 1)=1. 9090e +7; P (e 2)=3. 7194e +6; P (e 3)=2. 4352e +7。P 值显然比文献[3]中相应的综合振荡指数在数量级上大得多, 因为文献[3]综合振荡指数的定义的分子只考虑一阶差分, 而本文振荡指数定义的分子是四阶导数, 采样间隔的值较小, 故P 值很大。
2
k =1
∑∫T
{
k
M
T
k +1
l )
S (t ) 2d t }y -f (
T
V l =(v l 1, v l 2, …, v lL )
v lj =2
式中l =0, 4。
k =1
l ) (l )
S (t ) φt ) d t ]y -f (j (∑∫T
M
[
T
k +1k
T T
μ4-V 4a +a R 4a
则P (S y -f )= a ∈R N μ-V a +a R a 000
根据极值原理, 应由以下极值问题得到a 的估计。
T T
μ4-V 4a +a R 4a g (α)==max μ0-V 0a +a R 0a
(5)
5 一类极值问题的求解和信号估计的算法设计
考虑以下一类极值问题。
问题:设D , D 0>0, 求
T T max g (x )=max T T x x X D 0X +B 0X +C
式中 X , B ∈R n , C ∈R 1。
由分析可知, 若没有分子、分母的一次项和常值项, 此极
值问题可能转化为求矩阵的最大特征根问题, 不难求得最后极值。 解 令Y =
X 1
∈R n -1, E (6)
3 振荡指数P 的特性
本节研究含有信号的高频噪声与不含信号的高频噪声成分的P 值有何差别。
定理2说明了在一定条件下满足直观:若在高频成分中加入低频信号成分, 则P 值会减小。即不含真实低频信号的残差的P 值为极大。
定理2 对于可用三次多项式样条函数描述的测量数据f (t i ) 而言, 记其中拟合后残差数据中所含低频真实信号为f , , 0
·38·
D 0 E 0=
1B 20
系统工程与电子技术2002年
Y T G 4Y
有g (a ) =g ′(y (a ) ) =。对G 0作分解, G 0=P ΛP T (P
Y G 0Y 为正交阵, Λ为对角阵) 。则A =Λ-P T G 4P Λ-的最大特
Y T E Y Y E 0Y
(7)
征根和相应的特征向量即为所求的Z 的解, 利用Y 与Z 的
＊
关系即可得到Y 的解。相应可以得到a 的估计a ＊=(a 1, ＊＊T a 2, …, a L ) 。于是由此得到信号的估计为
T
B C 020
g (x )=g ′(y (x ) )=
11
则
设E 0正定, 有正交阵P , 使P T E 0P =Λ(对角阵) 。令Z =P T Y , Y =P Λ-Z , 则有
max F (y )=h (Z (y ) )=max
z ∈z
z ∈z
11
Z AZ
Z Z
T
f (t )=
(8)
i =1
t ) i (∑a i ＊φ
L
例2 以某遥测数据为例(共1450个采样点) , 采用最优选节点三次B 样条基(共13个基函数) 拟合信号, 用本文优化算法得到参数估计的结果和
以最小二乘法的处理结果相比较。得到原始信号与分离出来的信号之间的标准偏差分别为:std new =0. 9047, std L S =1. 0533。残差比较图如图1所示。
式中 Z R n +1。以下考虑极值问题
n +1
U ∈R
max h (U )=
T U T U
(9)
易知, A 的最大特征值λ1即为最大值, 对应的特征向量U 1为最大值点。
以下证明(λ即为问题(6) 式的解。事实上(6) 式的1, U 1)
＊
右端等价于(7) 式。设(8) 式的极大值问题解为(λ, Z ＊) , ＊＊＊则显然有λ≤λ6) 式、(7) 式的解为(λ, X ＊) , (λ, 1, 且(
Y ) , 其中Y =P Λ
1
＊＊-
Z , Y =
＊＊
X 1
。
令Y 1=P Λ-U 1, 若其第n +1个分量y n +1≠0, 则令 y 1=
y n +1
P Λ-U 1=P Λ U 1。其中 U 1=
y n +1
U 1, 显然 U 1也
是问题(9) 式的最大值点。而 Y 1满足Y ＊的要求, 即 Y 1为(7) 式的最大值点, 相应的 X 1为(6) 式的最大值点, 且最大值为λ1。
若y n +1=0, 则 ε>0, 记1=(0, 0, …, 0, 1) T , 令Y 2=2∈Y R n +1。同理, Y 2对应的λε) 满足1(εε＊＊
λε) ≤λ≤λ※0, 有λε) ※λ。证毕1(1。令ε1(Y 1+ε1, 则
由上即知信号去噪的算法设计思路。
a 1
n +1
图1 用优化算法和最小二乘方法得到的残差比较图
6 结束语
与一般方法(如LS 方法) 相比, 本文方法有如下特点:(1) 据信号振荡程度给出极值问题, 利用数据特点进行信号去噪; (2) LS 估计是线性模型线性无偏估计类中最好的, 但应用有局限; 线性有偏估计的效果与参数在空间的位置有关。本文方法是非线性估计, 可望有更好效果。
信号去噪是热门问题, 研究方法很多。但大多数方法是针对一类问题的。能否另辟蹊径, 结合信号本身特点提出一些适用的方法, 希望本文能够起抛砖引玉的作用。
令Y =∈R , G 4=
R 4 -V 4
2-1T
V μ424
R 0 -G 0=
V 20
1-V T μ0
20
参考文献:
[1]王正明, 易东云. 测量数据建模与参数估计[M ]. 国防科技大学出版社, 1996. [2]邹红星, 周小波, 李衍达. 时频分析:回溯与前瞻[J ]. 电子学报, 2000, 28(9) :78-84. [3]郭锐. 信号波形对消噪效果影响之研究[J ]. 系统工程与电子技术, 2000, 22(11) :15-16. [4]俞钟祺, 马秀兰. 随机过程理论及其应用[M ]. 天津科学技术出版社, 1996.
第24卷第3期
系统工程与电子技术Systems Engineering and Electronics
Vol . 24, No . 32002
文章编号:1001-506X (2002) 03-0036-03
信号去噪的一种优化算法
段晓君
(国防科技大学, 湖南长沙410073)
摘 要:信号去噪通常是通过低通滤波器来实现的, 但线性滤波在高精度场合并不能满足要求。为此提出了一种可给出信号高精度估计的非线性方法, 分析了信号k 阶导数的特点和噪声特性, 在平稳时间序列的高阶差分对方差不变性的基础上, 将信噪分离的参数估计问题转化为一类极值问题。利用矩阵理论分析了此类极值问题, 给出了优化问题的解析解, 并设计了相应算法。通过理论分析和实例验证了其有效性, 并与最小二乘法作了比较。
关键词:信号去噪; 优化; 算法中图分类号:TN911 文献标识码:A
A New Signal Denoising Method Based on Data Property
DUAN Xiao -jun
(Ins titute of Syste m Enginee ring , Nati onal Univer sity of De fens e Te chnol ogy , C hangsha 410073, Chi na )
A bstract :Generall y , a low -pass filter is adopted to denoise the signal , however a linear filter can not provide results with high precision in many cases . In this paper a novel nonlin ear method is proposed to meet the precision demand based on the separation technique in freq uency domain . After the features of high -order derivatives of signal and noise in observed data are analyzed the prob -lem of separating signal from noise is converted into an extremum problem , with the high -order difference of stationary time series in -variant to the variance . Furthermore , an analytical solution is presented with the matrix theory , and so is the related al gorith m . Final -ly , the effectiveness of the opti mization algorithm is verified and the method is compared with the least square method through theoreti -cal analysis and si mulation . It is shown that this method is applicable to data processing .
Keywords :Signal denoising ; Optimization ; Algorith m
1 引 言
考虑观测数据
y (t i )=f (t i )+e (t i ) , i =1, …, m
式中 f (t ) ———信号; e (t ) ———噪声。许多情况下, 可设
m
{e (t i ) }i =1为零均值的平稳时间序列。在工程实际问题中,
噪效果越差。这并不奇怪。文献[3]定义的综合振荡指数相当于是函数离散采样的一阶差分与函数值的比值。实际上, 函数的导数可体现函数变化的剧烈程度。更一般地, 考虑用k 阶导数来刻画信号的振荡程度。为减小信号幅度的影响, 可将信号规范化。假定信号f (t ) 在t 时刻的振荡指数P 为(对噪声e (t ) 亦可类似定义)
f (τ) d τP (f (t ) )=
f (τ) d τ∫
(k )
2
a 2
a b
f (t ) 一般可以表示为一组已知的基函数的线性组合, 或可以表示成为g (a , t ) 的形式, 其中g 的表达式已知, a 是待估参数[1], e 为高频测量噪声。
文献[2]综述了时频分析的发展状况, 表明信号的层次结构越复杂, 则分开这些层次结构就需要更复杂的算法和更多的计算量。实际上, 有时只需从数据中分离出我们关心的部分, 不一定需要严格分离出具体的各层结构。故而, 研究信号去噪方法的尺度可以更大一些。
文献[3]用仿真方法研究表明, 信号的振荡程度越大, 去
收稿日期:2001-03-19 修订日期:2001-06-18基金项目:国家自然科学基金资助课题(69872039)
, (1)
以下依据此定义对信号去噪进行研究。
2 信号和噪声的差别
不妨取k =4, 以下研究平稳序列差分的性质(亦以四阶为例) 。由随机过程理论[4], 平稳随机过程e (t ) 与其导数过程在同一时刻的取值互不相关。类推可知, e (t ) 与其四阶导
第3期
数过程在同一时刻的取值亦互不相关。则
E [
信号去噪的一种优化算法
) ]d τ
[(h +e ) (τ
=max
(τ) ]d τ
∫[(h +e )
(4)
2
t -T
t -T
2
t +T
·37·
E [() d t ]∫e (t )
a b
2
a
b
(4) 2
(e (t ) ) d t ]
=
E [e (t ) ]d t ∫
a b
2
a
4
2
b
(4) 2
E [e (t ) ]d t
(4)
=
(4) 2
E [e (t ) ](b -a ) E [ 4e (t ) ]2
=E [e (t ) ](b -a ) σh
(2)
证明 由于真实信号均可用三次多项式样条函数描述,
有
) ]d τ) ]d τ[(h +e ) (τ[e (τ
=
(τ) ]d τ∫[(h +e ) (τ) ]d τ∫[(h +e )
(4)
2
(4)
2
t -T
t -T
2
t -T 2
t -T
t +T
t +T
式中 h ———采样间距。以下考虑E [ e (t ) ]。
对平稳随机过程e (t ) , 不妨设其均值为零。记四阶滞
4223344后差分为 4=(1-B ) =1-C 14B +C 4B -C 4B +C 4B =
显然分母在h ≡0时最小, 即此时(4) 式左端取最大。证毕
1-4B +6B -4B +B , 记e (t ) 的自协方差函数为r k , 自相关函数为ρk =0, 1, 2, …) 。则有k (
E [ 4e (t ) ]2=E [e (t )-4e (t -1)+6e (t -2) - 4e (t -3)+e (t -4) ]2
=70r 0-112r 1+56r 2-16r 3+2r 4=σ(70-112ρ1+56ρ2-16ρ3+2ρ4)
故有如下定理。
E [
定理1
(e (t ) ) d t ]
E [∫(e (t ) ) d t ]
(4) 2
2
a a b
2
234
4 模型的转化与参数估计
考虑模型y (t i )=
j =1
t i )+e (t i ) , i j (∑a j φ
L
=1, …, m 。
φt ) 可以是样条基或其它基。定义j (
T
a =(a 1, a 2, …, a L ) l , k ) r (=ij
∫φ(t ) φ(t ) d t
k +1(l )
T T
i
(l )
j
k
l )
R l =(r (ij ) L ×L l ) r (ij
=
(70-112ρ1+56ρ2-16ρ3+2ρ4)
=h
采样间距有关, 与其方差大小无关。
k =1
l , k )
ij ∑r (
M
(3)
式中i , j =1, 2, …, L ; l =0, 4。于是P (f )=a T R 2a ·(a T R 0a ) -1。可构造以(t i , y (t i ) -f (t i ) ) 为型值点的自由端
点条件插值样条S y -f (t ) 。记
μl =
由此可见, 随机过程的振荡程度与随机过程的自相关函数及
例1 设t i =0. 1×(i -1) , (i =1, …, 501) , 产生信号y i =5t i -0. 2t 240t i 3, 噪声e 在[t 1, t 200]为一ARMA 序列, 在i +[t 201, t 400]为一N (0, 30) 白噪声, 在[t 401, t 500]为另一AR MA 序列。第一个ARMA 序列由函数parma 生成, 参数如下:φ=[0. 2, 0. 5, -0. 03, -0. 3, 0. 1, -0. 4]; θ=[0. 2, -0. 6, -0. 5, 0. 3]; e 1=e (1:200)=parma (200) ; e 2=e (201:400)=rand (200) ×30; e 3=e (401:500) =parma (100) ×70。
分别计算信号和噪声的P 值, 得到P (y ) =9. 4611e -06; P (e 1)=1. 9090e +7; P (e 2)=3. 7194e +6; P (e 3)=2. 4352e +7。P 值显然比文献[3]中相应的综合振荡指数在数量级上大得多, 因为文献[3]综合振荡指数的定义的分子只考虑一阶差分, 而本文振荡指数定义的分子是四阶导数, 采样间隔的值较小, 故P 值很大。
2
k =1
∑∫T
{
k
M
T
k +1
l )
S (t ) 2d t }y -f (
T
V l =(v l 1, v l 2, …, v lL )
v lj =2
式中l =0, 4。
k =1
l ) (l )
S (t ) φt ) d t ]y -f (j (∑∫T
M
[
T
k +1k
T T
μ4-V 4a +a R 4a
则P (S y -f )= a ∈R N μ-V a +a R a 000
根据极值原理, 应由以下极值问题得到a 的估计。
T T
μ4-V 4a +a R 4a g (α)==max μ0-V 0a +a R 0a
(5)
5 一类极值问题的求解和信号估计的算法设计
考虑以下一类极值问题。
问题:设D , D 0>0, 求
T T max g (x )=max T T x x X D 0X +B 0X +C
式中 X , B ∈R n , C ∈R 1。
由分析可知, 若没有分子、分母的一次项和常值项, 此极
值问题可能转化为求矩阵的最大特征根问题, 不难求得最后极值。 解 令Y =
X 1
∈R n -1, E (6)
3 振荡指数P 的特性
本节研究含有信号的高频噪声与不含信号的高频噪声成分的P 值有何差别。
定理2说明了在一定条件下满足直观:若在高频成分中加入低频信号成分, 则P 值会减小。即不含真实低频信号的残差的P 值为极大。
定理2 对于可用三次多项式样条函数描述的测量数据f (t i ) 而言, 记其中拟合后残差数据中所含低频真实信号为f , , 0
·38·
D 0 E 0=
1B 20
系统工程与电子技术2002年
Y T G 4Y
有g (a ) =g ′(y (a ) ) =。对G 0作分解, G 0=P ΛP T (P
Y G 0Y 为正交阵, Λ为对角阵) 。则A =Λ-P T G 4P Λ-的最大特
Y T E Y Y E 0Y
(7)
征根和相应的特征向量即为所求的Z 的解, 利用Y 与Z 的
＊
关系即可得到Y 的解。相应可以得到a 的估计a ＊=(a 1, ＊＊T a 2, …, a L ) 。于是由此得到信号的估计为
T
B C 020
g (x )=g ′(y (x ) )=
11
则
设E 0正定, 有正交阵P , 使P T E 0P =Λ(对角阵) 。令Z =P T Y , Y =P Λ-Z , 则有
max F (y )=h (Z (y ) )=max
z ∈z
z ∈z
11
Z AZ
Z Z
T
f (t )=
(8)
i =1
t ) i (∑a i ＊φ
L
例2 以某遥测数据为例(共1450个采样点) , 采用最优选节点三次B 样条基(共13个基函数) 拟合信号, 用本文优化算法得到参数估计的结果和
以最小二乘法的处理结果相比较。得到原始信号与分离出来的信号之间的标准偏差分别为:std new =0. 9047, std L S =1. 0533。残差比较图如图1所示。
式中 Z R n +1。以下考虑极值问题
n +1
U ∈R
max h (U )=
T U T U
(9)
易知, A 的最大特征值λ1即为最大值, 对应的特征向量U 1为最大值点。
以下证明(λ即为问题(6) 式的解。事实上(6) 式的1, U 1)
＊
右端等价于(7) 式。设(8) 式的极大值问题解为(λ, Z ＊) , ＊＊＊则显然有λ≤λ6) 式、(7) 式的解为(λ, X ＊) , (λ, 1, 且(
Y ) , 其中Y =P Λ
1
＊＊-
Z , Y =
＊＊
X 1
。
令Y 1=P Λ-U 1, 若其第n +1个分量y n +1≠0, 则令 y 1=
y n +1
P Λ-U 1=P Λ U 1。其中 U 1=
y n +1
U 1, 显然 U 1也
是问题(9) 式的最大值点。而 Y 1满足Y ＊的要求, 即 Y 1为(7) 式的最大值点, 相应的 X 1为(6) 式的最大值点, 且最大值为λ1。
若y n +1=0, 则 ε>0, 记1=(0, 0, …, 0, 1) T , 令Y 2=2∈Y R n +1。同理, Y 2对应的λε) 满足1(εε＊＊
λε) ≤λ≤λ※0, 有λε) ※λ。证毕1(1。令ε1(Y 1+ε1, 则
由上即知信号去噪的算法设计思路。
a 1
n +1
图1 用优化算法和最小二乘方法得到的残差比较图
6 结束语
与一般方法(如LS 方法) 相比, 本文方法有如下特点:(1) 据信号振荡程度给出极值问题, 利用数据特点进行信号去噪; (2) LS 估计是线性模型线性无偏估计类中最好的, 但应用有局限; 线性有偏估计的效果与参数在空间的位置有关。本文方法是非线性估计, 可望有更好效果。
信号去噪是热门问题, 研究方法很多。但大多数方法是针对一类问题的。能否另辟蹊径, 结合信号本身特点提出一些适用的方法, 希望本文能够起抛砖引玉的作用。
令Y =∈R , G 4=
R 4 -V 4
2-1T
V μ424
R 0 -G 0=
V 20
1-V T μ0
20
参考文献:
[1]王正明, 易东云. 测量数据建模与参数估计[M ]. 国防科技大学出版社, 1996. [2]邹红星, 周小波, 李衍达. 时频分析:回溯与前瞻[J ]. 电子学报, 2000, 28(9) :78-84. [3]郭锐. 信号波形对消噪效果影响之研究[J ]. 系统工程与电子技术, 2000, 22(11) :15-16. [4]俞钟祺, 马秀兰. 随机过程理论及其应用[M ]. 天津科学技术出版社, 1996.