2014年中考数学重点数学结论纳与考试方法指导
代数重点结论归纳:
1. 若-a 2≥0, 则a =0;
类似的, 则a =0
2. 初中数学中常见三个非负数是
:a 2≥0, a ≥0≥0. 非负数之和为零, 则每个非负数必须为零.
3. 二次函数相关知识及精华小结论
(1).定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数.
(2).抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
(3).求抛物线的顶点、对称轴的方法 b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛（-）①公式法：y =ax +bx +c =a x +⎪+，∴顶点是，2a 4a 2a ⎭4a ⎝22
对称轴是直线x =-b . 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )2+k 的形式，
得到顶点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与
抛物线的交点是顶点。
④若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、(x 2, y ) （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：
x =x 1+x 2 2
(4).用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
②顶点式：y =a (x -h )2+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：
y =a (x -x 1)(x -x 2).
5. 直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为(0, c ).
（2）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应 一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由 对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切；
③没有交点⇔(∆
（3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两 点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx +c =k 的两个实数根.
（4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图
⎧y =kx +n 象G 的交点，由方程组⎨的解的数目来确定： 2⎩y =ax +bx +c
①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；
③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点
为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则
AB =x 1-x 2== =
=(6) 若一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图
⎧y =kx +n 象的两个交点的坐标为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则有方程组⎨两个解 2y =ax +bx +c ⎩
⎧x =x 1⎧x =x 2为⎨, 一元二次方程ax 2+bx +c =kx +n 的两个根为x 1, x 2. , ⎨⎩y =y 1⎩y =y 2
6. 推导并记住下列公式:
(1)平面直角坐标系中两点间距离公式:
若点A 的坐标A (x 1, y 1) , 点B 的坐标为B (x 2, y 2) , 则有
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
AB =(2)已知线段AB 两个端点的坐标分别为A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 则线段AB 中点C 的坐
标为:x =x 1+x 2y +y 2, y =1 22
(3) 坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a －h ，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a ＋h ，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b ＋h ），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b －h ）. 如：
点A （2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A （7，
1）.
(4)函数平移与变换:
函数平移:左加右减(对自变量进行加减), 上加下减(对函数值加减) 函数旋转对称转化特殊点旋转对称
几何重点结论归纳
1. 记住下列特殊直角三角形三边的比及常见的勾股数.
(1)有一个锐角是30°直角三角形三边的比是
:12
(2)等腰直角三角形的三边之比是
: 1:1(3)勾股数:3, 4, 5; 5, 12, 13;
上述各组数的倍数同样适用.
2. 直角三角形内切圆半径与三边关系:r =
3能够推导并记住下列结论:
(1)已知:在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，
求证：（1）CD 2＝AD . DB (2)AC 2=AD . AB
(3)BC 2=BD . AB
(2)已知, 如图, 点D 在AC 上, 且∠ABD =∠C, 求证: AB2=AD . AC A D
a +b -c 2C B B
C
4. 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明方法可用全等也可以用面积法，如图所示。
B
C
S ABD +S ACD ＝S ABC
111∴AB ⋅DE +AC ⋅DF ＝AB ⋅CG 222
∴DE +DF ＝CG
5. 三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半
B C
S 1＝ca sin B ABC 2
6. 三角形的面积等于半周长乘以内切圆的半径。
1S ABC ＝(a +b +c ) r 2
7. 根据下列图形能求出tan15°，tan22.5°的值。
b
C
?
B 2b D F A b C
考试策略
似曾相似莫大意, 思维受阻快转弯, 步骤完整省草稿, 时间分配要合理, 关键词语不马虎（射线、直线、不与某点重合等）前后关系要理顺（综合题分几问，后对前有提示性） 试卷的压轴题不是人人都能得满分，但这些题目总是从易到难分成若干小题，因此凡是对解题有利的想法都不能放弃，都要写出来。慎做容易题，保证全部对；稳做中档题，一分不浪 费；巧做较难题，力争得几分。
考试时应重点记住下列几句话:
从已出发, ⇒可推出一些什么?........ 可转化为求解证什么 ⇐ 要求解或证什么
解数学题, 实质上就是联想与转化, 就是要抓住已住, 顺藤摸瓜, 抓住要求解或证什么, 联想转化.
考试时各类题型解答应注意的事项和示例
(一) 选择题:
选择题要看完所有选项, 认真进行比较, 再做答. 常见解题方法, 主要直推法:从已知出得到要求的选项, 逆推法:把选项当已知条件推出符合题意的选项. 还有观察法, 计算法, 淘汰法, 数形结合法, 特殊值法. 有些判断几个命题正确或错误的个数题目一定要慎重, 你认为错误最好能找出反例, 认为正确要能证明. 要注意分类思想的运用, 如果选项存在多种情况, 要思考是否适合题意; 找规律解题时, 可以多一些情况或对原式进行变形以找出规律;
也右可以用特殊值法进行检验.
(二) 填空题:填空题解答结果必须要准确, 不能多解少解, 因此解答填空题时, 一要注意分类思想的运用, 例如:直角三角形直角边与斜边不明时要分类, 等腰三角形腰与底不明要分类, 几何图形位置不明时应分类等等. 二要注意题目中隐含的条件和实际意义, 如一元二次方程有实数根条件是判别式值大于等于0, 一元二次方程二次项系数不能为零, 已知三角形两边的范围要大于两边之差, 要小于两边之和等等. 三要注意是带单位, 表达格式最终要化简.
(三) 计算化简题型解答:特殊角三角函数值要记准, 正负确定要细心, 整体思想要常用, 字母取值要考量, 分式方程验根要牢记. 确保正确要细心.
(四) 统计概率类:认真解答读懂题意, 注意与方程、不等式方面的综合，众数，中位数，平均数注意带上数据的单位，有时可用组中值代替每一组中的平均数而计算总体平均数。概率题要关注题目要求，要注意用列举法或树形图或列表法求解。
（五）直线型几何题：注意寻找两个三角形全等或相似，注意直接找两个三角形全等不能实现可构造辅助线，添加辅助线规律如下：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。遇有60°构造等边三角形；遇有等腰直角三角形，围绕等腰构造两个三角形全等；遇有平行线夹中点，延长构成全等真方便。
(六) 解直角三角形的运用
1. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l ）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tan α的值．测量员在山坡P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C 的仰角为37°，塔底B 的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O 、B 、C 、A 、P 在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，
tan37°≈0.75）
分析：过点P 作PD ⊥OC 于D ，PE ⊥OA 于E ，则四边形ODPE 为矩形，先解Rt △PBD ，得出BD =PD •tan26.6°；解Rt △CPD ，得出CD =PD •tan37°；再根据CD-BD=BC，列出方程，求出PD =320，进而求出PE =60，AE =120，然后在△APE 中利用三角函数的定义即可求解．
解答：解：如图，过点P 作PD ⊥OC 于D ，PE ⊥OA 于E ，则四边形ODPE 为矩形．
在Rt △DPB 中，∵∠BDP =90°，∠BPD =26.6°，
∴BD =PD •tan∠BPD =PD •tan26.6°；
在Rt △CPD 中，∵∠CDP =90°，∠CPD =37°，
∴CD =PD •tan∠CPD =PD •tan37°；
∵CD-BD=BC，
∴PD •tan37°-PD •tan26.6°=80，
∴0.75PD -0.50PD =80，
解得PD =320（米），
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160（米），
∵OB =220米，
∴PE =OD =OB-BD=60米，
∵OE =PD =320米，
∴AE =OE -OA =320-200=120（米），
PE 601== ∴tanα=AE 1202
所以坡度为1:2
解直角三角形关建是要把实际问题转化为解直角三角形，首先直接寻找直角三角形，其次作辅助线构造直角三角形，若无法求解，可借助方程来帮忙。
（七）运用题：把实际问题转化为数学模型，然后求解数学模型。关建是把实际问题情境转化为方程（组）、不等式（组）、函数来解决。
1. 小亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更
好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图乙所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求小亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x
之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）求小亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反
思的时间x 之间的函数关系式；
（3）小亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使 这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量） 解：（1）设y =kx ，把（2，4）代入，得k =2．
∴y =2x ．
自变量x 的取值范围是：15≤x ≤30．
（2）当0≤x ≤5时，设y =a （x -5）2+25，
把（0，0）代入，得
25a +25=0，a =-1．
∴y =-（x -5）2+25=-x 2+10x ．
当5≤x ≤15时，y =25
⎧-x 2+10x (0≤x ≤5) ⎨25(5≤x ≤15) 即y ＝⎩．
（3）设王亮用于回顾反思的时间为x （0≤x ≤15）分钟，学习效益总量为Z ，
则他用于解题的时间为（30-x ）分钟．
当0≤x ≤5时，Z =-x 2+10x +2（30-x ）=-x 2+8x +60=-（x -4）2+76．
∴当x =4时，Z 最大=76．
当5＜x ≤15时，Z =25+2（30-x ）=-2x +85．
∵Z 随x 的增大而减小，∴当x =5时，Z 最大=75
综合所述，当x =4时，Z 最大=76，此时30-x =26．
即小亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
解答这类题要注意自变量与函数的意义，分类讨论，分类求解，先分后总。特别是用于反思时, 学习收益的总量分反思的时间收益量与用于解题的时间收益量之和, 设其中反思的时间为x 分时, 则用于解题的时间为(30-x ) 分, 此时应特别注意解题时间收益量自变量是(30-x ) 分, 不是x 分. 请你阅读学考P34面例3.
（八）课题研究与阅读理解题：
（1）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个
四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =120°，∠C =75°，BD 平分
∠ABC ．求证：BD 是梯形ABCD 的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC ，点A , B , C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD 中，AB=AD=BC，∠BAD =90°，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数．
解：（1）∵AD//BC，∴∠ABC +∠BAD =180°，∠ADB =∠DBC ．
∵∠BAD =120°， ∴∠ABC =60°．
∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC =30°，
∴∠ABD =∠ADB ，∴△ADB 是等腰三角形．
在△BCD 中，∠C=75°，∠DBC =30°，
∴∠BDC =∠C=75°，∴△BCD 为等腰三角形，
∴BD 是梯形ABCD 的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC 是四边形ABCD 的和谐线，∴△ACD 是等腰三角形． ∵AB=AD=BC ，
如图4，当AD =AC 时，∴AB=AC=BC，∠ACD =∠ADC
∴△ABC 是正三角形，∴∠BAC =∠BCA=60°．
∵∠BAD =90°，∴∠CAD =30°，
∴∠ACD =∠ADC =75°，∴∠BCD =60°+75°=135°．
如图5，当AD =CD 时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD =90°，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD =90°
如图6，当AC =CD 时，过点C 作CE ⊥AD 于E ，过点B 作BF ⊥CE 于F ， ∵AC =CD ．CE ⊥AD ，∴AE =1 AD ，∠ACE =∠DCE ． 2
∵∠BAD =∠AEF =∠BFE =90°，∴四边形ABFE 是矩形．
∴BF =AE ．∵AB =AD=BC，∴BF =1BC ，
2
∴∠BCF =30°．
∵AB=BC，∴∠ACB =∠BAC ． ∵AB ∥CE ，∴∠BAC =∠ACE ，
∴∠ACB =∠ACE =
1
∠BCF=15°， 2
∴∠BCD =15°×3=45°．
这类题读懂题意最重要，反复体会多思考，每问之间有关系，或方法或知识迁移与拓展，模仿猜模定能有效果。请你注意阅读学考P57第14题。
（九）圆的计算与证明题：
1. 如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交于点G ，
OA ⊥CD 于点E ，过点B 的直线与CD 的延长线交于点F ，AC ∥BF ． （1）若∠FGB =∠FBG ，求证：BF 是⊙O 的切线；
（2）若tan ∠F =
3
，CD =a ，请用a 表示⊙O 的半径； 4
（3）若GD ＝2，DF ＝4, 求GB 的长． 证明：∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA ， ∵OA ⊥CD ，∴∠OAB +∠AGC =90°， 又∵∠FGB =∠FBG ，∠FGB =∠AGC ，
∴∠FBG +∠OBA =90°，即∠OBF =90°，∴OB ⊥FB ， ∵AB 是⊙O 的弦，∴点B 在⊙O 上，∴BF 是⊙O 的切线； （2）解：∵AC ∥BF ，∴∠ACF =∠F ，
∵CD =a ，OA ⊥CD ，∴CE =CD =a ，∵tan ∠F =∴tan ∠ACF =
1
2123， 4
AE 33AE 3
=，即=，解得AE =a ，
CE 448a 2
3
a ，在Rt △OCE 中，CE 2+OE 2=OC 2， 8
连接OC ，设圆的半径为r ，则OE =r -
即（a ）2+（r -
12325a ）2=r 2，解得r =a ； 848
（3）证明：连接BD ，
∵∠DBG =∠ACF ，∠ACF =∠F （已证），∴∠DBG =∠F ， 又∵∠FGB =∠BGF ，∴△BDG ∽△FBG ，∴DG :GB =GB :GF ， 即GB 2=DG
•GF ，∴GB ＝．
（十）压轴题:
数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分
类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 (1)二次函数与一元二次方程根与系数关系综合运用:
已知关于x 的函数y =(k -1) x 2-2kx +k +2的图象与x 轴有交点． (1)求k 的取值范围；
(2)若x 1, x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足
(k -1) x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2 ．
①求k 的值；②当k ≤x ≤k +2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值． 解：(1)当k ＝1时，函数为一次函数 y =-2x +3，其图象与x 轴有一个交点．
当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y ＝0得(k -1) x 2-2kx +k +2=0 ．
∆=(-2k ) 2-4(k -1)(k +2) ≥0， 解得k ≤2．即k ≤2且k ＝1． 综上所述，k 的取值范围是k ≤2． (2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ＝1． 由题意得(k -1) x 12+k +2=2kx 1． 代入(k -1) x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2 中得：
2k (x 1+x 2) =4x 1x 2．
又∵x 1+x 2=2k ，x 1x 2=k +2，
∴2k ·2k ＝4·k +2．
解得：k 1=-1，k 2=2(不合题意，舍去) ．∴所求k 值为-1．
13
②如图，∵k 1=-1，y =-2x 2+2x +1=-2(x -) 2+，且-1≤x ≤1，
22
由图象知：当x =-1时，y 最小=-3；
3
当x =1时，y 最大=．
2
∴y 的最大值为3，最小值为-3．
2
特别提醒：(1)二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标就是函数值y 为0时
相应一元二次方程的两个根.(2)注意一元二次方程根的定义的运用;(3)注意一元二次方程有实数根的条件.
3
2. 已知抛物线y =x 2+mx -m 2（m >0）与x 轴交于A 、B 两点．
4（1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若
112-=（O 是坐标原点），求抛物线的解析式； OB OA 3
（3）设抛物线与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积． 解：（1）证明：∵m >0，∴x =-
b m
=-
∴抛物线的对称轴在y 轴的左侧．
（2）设抛物线与x 轴的交点为A (x 1,0) ，B (x 2,0) ，则x 1+x 2=-m
3
x 1⋅x 2=-m 2
4∴x 1与x 2异号．
又
112-=>0， ∴OA >OB ． OB OA 3
由（1）知：抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴x 10．
∴OA =x 1=-x 1，OB =x 2，
代入
11112112
-=+=， -=得：
OB OA 3x 2-x 1x 2x 13
即
x 1+x 22-m 2
=，从而=，
3x 1⋅x 233-m 24
解得：m =2．
∴抛物线的解析式是y =x 2+2x -3． （3）当x =0时，y =-
32
m ， 4
3
∴抛物线与y 轴交点坐标为C (0,-m 2) ．
4
∵△ABC 是直角三角形，且只能有AC ⊥BC ，又OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠BCO ， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB ， ∴
OC AO
，即OC 2=OA ⋅OB ． =
OB OC
2
3∴-m 2
4
即
=-x 1⋅x 2
29432
． m =m ，解得：m =3164
3232
m ＝-() 2=-1， 443
此时-
∴点C 的坐标为（0，-1），∴OC ＝1． 又(x 2-x 1) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1⋅x 2
3
=(-m ) 2-4⋅(-m 2) =4m 2．
4
∵m >0，∴x 2-x 1=2m 即AB ＝2m ． ∴S △ABC ＝
11⋅AB ⋅OC ＝⨯2m ⨯1
22特别提醒：注意二次函数与x 轴的交点横坐标即为函数值为0时相应一元二次
方程的两个根, 因此抛物线与x 轴交点的横坐标与一元二次方程的根等价的, 但是抛物线与坐标轴的交点到原点的距离有时是相同, 有时是不相同, 要注意把这些距离转化为交点的横坐标来表示. 即一元二次方程的两根的代数式来表示。直线y=x 与x 轴的夹角是45°，y=x+b与x 轴的夹角是45°，直线y=－x+b与x 轴所夹的锐角也是45°，总之已知直线的解析式要注意观察和留意直线与坐标轴的夹角，有时可以得到意想不到效果。请你阅读学考P160例3，P165例3。 (2)二次函数与运动、轨迹、最值问题
1. 如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A （-4，0），B （-2，0），E （0，8）．
（1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；
（2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；同时，点M ，点N 以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合，四点同时停止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值．
（3）在运动过程中，四边形MDNA 是否能形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． （4）若P 为抛物线C 1上的一个点，连接PM ，PN ，当S △PMN =S矩形MDNA 时，过点P 作直线PQ ∥MN 交轴于点Q ，则点Q 的坐标
解：（1）∵C 1关于C 2原点对称，则有A （-4，0），B （-2，0），E （0，8）
对称点（4，0），（2，0），（0，-8）在抛物线C 2上 设抛物线C 2的解析式为：y=a （x -4）（x -2）
又当x =0时，y=-8 解得a =-1
∴C 2解析式为y=-x 2+6x -8； （2）由中心对称知： S=2S△AND
而AD =8-2t，AD 边上高h =1+2t
1
∴S (8−2t )(1+2t )
2即S=-4t 2+14t +8（0≤t ≤4）； 由S =−4t2+14t +8＝−4(t −
72201 )+ 44
7201
∴当t= 时，S 最大值=
44
（3）在转动的过程中，假设四边形MDNA 是矩形，连结ON ，则有ON =OD ，OD =4-t
由勾股定理得：ON 2=32+（1+2t）2 ∴32+（1+2t）2=（4-t ）2 即t 2+4t-2=0
解得t 1＝−
2＝
又t ≥0 ∴t ＝−
∴当运动了
秒时，四边形MDNA 为矩形． 特别提醒：点的运动路径是点运动速度乘以时间。
2. 如图，抛物线y =ax 2+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，-1）两点，并与直线y =kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，-2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO =AM ； （3）探究：
①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k 取何值，
11+AM BN
11+的值都等于同一个常数．
AM BN
解：（1）抛物线y =ax 2+c (a ≠0) 经过点C （2，0）, D (0,-1)1⎧⎧4a +c =0⎪a =∴⎨, 解之得⎨4
c =-1⎩⎪⎩c =-1
1
∴抛物线的解析式为：y =x 2-1
4
1
(2) 证明：设点A 的坐标为（m , m 2-1）
4
1
则有AO ==m 2+1
4
直线l 过点E （0，－2），且平行于x 轴∴点M 的纵坐标为-2
11
∴AM =m 2-1-(-2) =m 2+1
44
∴AO =AM
(3) 解：当k =0时，直线y =kx 与x 轴重合，点A ，B 在x 轴上
∴AM ＝BN ＝0－（－2）＝2∴AO ＝AM
11
当k 任意取值时，设点（A x 1x 12-1）, B （x 2x 22-1）
44
（4x 12+x 22+8）1111
则+＝+＝22
12AM AN 12x 1x 2+4(x 12+x 22) +16
x 1+1x 2+144
⎧y =kx ⎪2
联立⎨12消掉y 得：x -4kx -4=0
y =x -1⎪⎩4
由根与系数关系得：x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4
2
所以，x 12+x 22＝（x 1+x 2）－2x 1x 2＝16k 2+8
(x 1x 2) 2=16
114(16k 2+8+8) ∴+==1AM BN 16+4(16k 2+8) +16
11
无论k +的值都等于同一个常数1
AM BN
3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-
12
x +bx +c （b , c 为常数）的顶点为P ，等腰2
直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,-1) ，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接NP , BQ . 试探究该最大值；若不存在，请说明理由.
PQ
是否存在最大值？若存在，求出
NP +BQ
21
2014年中考数学重点数学结论纳与考试方法指导
代数重点结论归纳:
1. 若-a 2≥0, 则a =0;
类似的, 则a =0
2. 初中数学中常见三个非负数是
:a 2≥0, a ≥0≥0. 非负数之和为零, 则每个非负数必须为零.
3. 二次函数相关知识及精华小结论
(1).定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数.
(2).抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0.
(3).求抛物线的顶点、对称轴的方法 b 4ac -b 2b ⎫4ac -b 2⎛（-）①公式法：y =ax +bx +c =a x +⎪+，∴顶点是，2a 4a 2a ⎭4a ⎝22
对称轴是直线x =-b . 2a
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )2+k 的形式，
得到顶点为(h , k ) ，对称轴是直线x =h .
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与
抛物线的交点是顶点。
④若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、(x 2, y ) （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：
x =x 1+x 2 2
(4).用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
②顶点式：y =a (x -h )2+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：
y =a (x -x 1)(x -x 2).
5. 直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为(0, c ).
（2）抛物线与x 轴的交点
二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应 一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由 对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切；
③没有交点⇔(∆
（3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两 点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx +c =k 的两个实数根.
（4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图
⎧y =kx +n 象G 的交点，由方程组⎨的解的数目来确定： 2⎩y =ax +bx +c
①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;
②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；
③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.
（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点
为A (x 1，0)，B (x 2，0)，则
AB =x 1-x 2== =
=(6) 若一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图
⎧y =kx +n 象的两个交点的坐标为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) , 则有方程组⎨两个解 2y =ax +bx +c ⎩
⎧x =x 1⎧x =x 2为⎨, 一元二次方程ax 2+bx +c =kx +n 的两个根为x 1, x 2. , ⎨⎩y =y 1⎩y =y 2
6. 推导并记住下列公式:
(1)平面直角坐标系中两点间距离公式:
若点A 的坐标A (x 1, y 1) , 点B 的坐标为B (x 2, y 2) , 则有
则AB 间的距离，即线段AB 的长度为
AB =(2)已知线段AB 两个端点的坐标分别为A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 则线段AB 中点C 的坐
标为:x =x 1+x 2y +y 2, y =1 22
(3) 坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a －h ，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a ＋h ，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b ＋h ），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b －h ）. 如：
点A （2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A （7，
1）.
(4)函数平移与变换:
函数平移:左加右减(对自变量进行加减), 上加下减(对函数值加减) 函数旋转对称转化特殊点旋转对称
几何重点结论归纳
1. 记住下列特殊直角三角形三边的比及常见的勾股数.
(1)有一个锐角是30°直角三角形三边的比是
:12
(2)等腰直角三角形的三边之比是
: 1:1(3)勾股数:3, 4, 5; 5, 12, 13;
上述各组数的倍数同样适用.
2. 直角三角形内切圆半径与三边关系:r =
3能够推导并记住下列结论:
(1)已知:在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，
求证：（1）CD 2＝AD . DB (2)AC 2=AD . AB
(3)BC 2=BD . AB
(2)已知, 如图, 点D 在AC 上, 且∠ABD =∠C, 求证: AB2=AD . AC A D
a +b -c 2C B B
C
4. 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 证明方法可用全等也可以用面积法，如图所示。
B
C
S ABD +S ACD ＝S ABC
111∴AB ⋅DE +AC ⋅DF ＝AB ⋅CG 222
∴DE +DF ＝CG
5. 三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半
B C
S 1＝ca sin B ABC 2
6. 三角形的面积等于半周长乘以内切圆的半径。
1S ABC ＝(a +b +c ) r 2
7. 根据下列图形能求出tan15°，tan22.5°的值。
b
C
?
B 2b D F A b C
考试策略
似曾相似莫大意, 思维受阻快转弯, 步骤完整省草稿, 时间分配要合理, 关键词语不马虎（射线、直线、不与某点重合等）前后关系要理顺（综合题分几问，后对前有提示性） 试卷的压轴题不是人人都能得满分，但这些题目总是从易到难分成若干小题，因此凡是对解题有利的想法都不能放弃，都要写出来。慎做容易题，保证全部对；稳做中档题，一分不浪 费；巧做较难题，力争得几分。
考试时应重点记住下列几句话:
从已出发, ⇒可推出一些什么?........ 可转化为求解证什么 ⇐ 要求解或证什么
解数学题, 实质上就是联想与转化, 就是要抓住已住, 顺藤摸瓜, 抓住要求解或证什么, 联想转化.
考试时各类题型解答应注意的事项和示例
(一) 选择题:
选择题要看完所有选项, 认真进行比较, 再做答. 常见解题方法, 主要直推法:从已知出得到要求的选项, 逆推法:把选项当已知条件推出符合题意的选项. 还有观察法, 计算法, 淘汰法, 数形结合法, 特殊值法. 有些判断几个命题正确或错误的个数题目一定要慎重, 你认为错误最好能找出反例, 认为正确要能证明. 要注意分类思想的运用, 如果选项存在多种情况, 要思考是否适合题意; 找规律解题时, 可以多一些情况或对原式进行变形以找出规律;
也右可以用特殊值法进行检验.
(二) 填空题:填空题解答结果必须要准确, 不能多解少解, 因此解答填空题时, 一要注意分类思想的运用, 例如:直角三角形直角边与斜边不明时要分类, 等腰三角形腰与底不明要分类, 几何图形位置不明时应分类等等. 二要注意题目中隐含的条件和实际意义, 如一元二次方程有实数根条件是判别式值大于等于0, 一元二次方程二次项系数不能为零, 已知三角形两边的范围要大于两边之差, 要小于两边之和等等. 三要注意是带单位, 表达格式最终要化简.
(三) 计算化简题型解答:特殊角三角函数值要记准, 正负确定要细心, 整体思想要常用, 字母取值要考量, 分式方程验根要牢记. 确保正确要细心.
(四) 统计概率类:认真解答读懂题意, 注意与方程、不等式方面的综合，众数，中位数，平均数注意带上数据的单位，有时可用组中值代替每一组中的平均数而计算总体平均数。概率题要关注题目要求，要注意用列举法或树形图或列表法求解。
（五）直线型几何题：注意寻找两个三角形全等或相似，注意直接找两个三角形全等不能实现可构造辅助线，添加辅助线规律如下：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。遇有60°构造等边三角形；遇有等腰直角三角形，围绕等腰构造两个三角形全等；遇有平行线夹中点，延长构成全等真方便。
(六) 解直角三角形的运用
1. 如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l ）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tan α的值．测量员在山坡P 处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C 的仰角为37°，塔底B 的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O 、B 、C 、A 、P 在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，
tan37°≈0.75）
分析：过点P 作PD ⊥OC 于D ，PE ⊥OA 于E ，则四边形ODPE 为矩形，先解Rt △PBD ，得出BD =PD •tan26.6°；解Rt △CPD ，得出CD =PD •tan37°；再根据CD-BD=BC，列出方程，求出PD =320，进而求出PE =60，AE =120，然后在△APE 中利用三角函数的定义即可求解．
解答：解：如图，过点P 作PD ⊥OC 于D ，PE ⊥OA 于E ，则四边形ODPE 为矩形．
在Rt △DPB 中，∵∠BDP =90°，∠BPD =26.6°，
∴BD =PD •tan∠BPD =PD •tan26.6°；
在Rt △CPD 中，∵∠CDP =90°，∠CPD =37°，
∴CD =PD •tan∠CPD =PD •tan37°；
∵CD-BD=BC，
∴PD •tan37°-PD •tan26.6°=80，
∴0.75PD -0.50PD =80，
解得PD =320（米），
∴BD=PD•tan26.6°≈320×0.50=160（米），
∵OB =220米，
∴PE =OD =OB-BD=60米，
∵OE =PD =320米，
∴AE =OE -OA =320-200=120（米），
PE 601== ∴tanα=AE 1202
所以坡度为1:2
解直角三角形关建是要把实际问题转化为解直角三角形，首先直接寻找直角三角形，其次作辅助线构造直角三角形，若无法求解，可借助方程来帮忙。
（七）运用题：把实际问题转化为数学模型，然后求解数学模型。关建是把实际问题情境转化为方程（组）、不等式（组）、函数来解决。
1. 小亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更
好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图乙所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求小亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x
之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）求小亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反
思的时间x 之间的函数关系式；
（3）小亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使 这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量） 解：（1）设y =kx ，把（2，4）代入，得k =2．
∴y =2x ．
自变量x 的取值范围是：15≤x ≤30．
（2）当0≤x ≤5时，设y =a （x -5）2+25，
把（0，0）代入，得
25a +25=0，a =-1．
∴y =-（x -5）2+25=-x 2+10x ．
当5≤x ≤15时，y =25
⎧-x 2+10x (0≤x ≤5) ⎨25(5≤x ≤15) 即y ＝⎩．
（3）设王亮用于回顾反思的时间为x （0≤x ≤15）分钟，学习效益总量为Z ，
则他用于解题的时间为（30-x ）分钟．
当0≤x ≤5时，Z =-x 2+10x +2（30-x ）=-x 2+8x +60=-（x -4）2+76．
∴当x =4时，Z 最大=76．
当5＜x ≤15时，Z =25+2（30-x ）=-2x +85．
∵Z 随x 的增大而减小，∴当x =5时，Z 最大=75
综合所述，当x =4时，Z 最大=76，此时30-x =26．
即小亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
解答这类题要注意自变量与函数的意义，分类讨论，分类求解，先分后总。特别是用于反思时, 学习收益的总量分反思的时间收益量与用于解题的时间收益量之和, 设其中反思的时间为x 分时, 则用于解题的时间为(30-x ) 分, 此时应特别注意解题时间收益量自变量是(30-x ) 分, 不是x 分. 请你阅读学考P34面例3.
（八）课题研究与阅读理解题：
（1）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个
四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =120°，∠C =75°，BD 平分
∠ABC ．求证：BD 是梯形ABCD 的和谐线；
（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC ，点A , B , C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；
（3）四边形ABCD 中，AB=AD=BC，∠BAD =90°，AC 是四边形ABCD 的和谐线，求∠BCD 的度数．
解：（1）∵AD//BC，∴∠ABC +∠BAD =180°，∠ADB =∠DBC ．
∵∠BAD =120°， ∴∠ABC =60°．
∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC =30°，
∴∠ABD =∠ADB ，∴△ADB 是等腰三角形．
在△BCD 中，∠C=75°，∠DBC =30°，
∴∠BDC =∠C=75°，∴△BCD 为等腰三角形，
∴BD 是梯形ABCD 的和谐线；
（2）由题意作图为：图2，图3
（3）∵AC 是四边形ABCD 的和谐线，∴△ACD 是等腰三角形． ∵AB=AD=BC ，
如图4，当AD =AC 时，∴AB=AC=BC，∠ACD =∠ADC
∴△ABC 是正三角形，∴∠BAC =∠BCA=60°．
∵∠BAD =90°，∴∠CAD =30°，
∴∠ACD =∠ADC =75°，∴∠BCD =60°+75°=135°．
如图5，当AD =CD 时，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD =90°，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD =90°
如图6，当AC =CD 时，过点C 作CE ⊥AD 于E ，过点B 作BF ⊥CE 于F ， ∵AC =CD ．CE ⊥AD ，∴AE =1 AD ，∠ACE =∠DCE ． 2
∵∠BAD =∠AEF =∠BFE =90°，∴四边形ABFE 是矩形．
∴BF =AE ．∵AB =AD=BC，∴BF =1BC ，
2
∴∠BCF =30°．
∵AB=BC，∴∠ACB =∠BAC ． ∵AB ∥CE ，∴∠BAC =∠ACE ，
∴∠ACB =∠ACE =
1
∠BCF=15°， 2
∴∠BCD =15°×3=45°．
这类题读懂题意最重要，反复体会多思考，每问之间有关系，或方法或知识迁移与拓展，模仿猜模定能有效果。请你注意阅读学考P57第14题。
（九）圆的计算与证明题：
1. 如图，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交于点G ，
OA ⊥CD 于点E ，过点B 的直线与CD 的延长线交于点F ，AC ∥BF ． （1）若∠FGB =∠FBG ，求证：BF 是⊙O 的切线；
（2）若tan ∠F =
3
，CD =a ，请用a 表示⊙O 的半径； 4
（3）若GD ＝2，DF ＝4, 求GB 的长． 证明：∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA ， ∵OA ⊥CD ，∴∠OAB +∠AGC =90°， 又∵∠FGB =∠FBG ，∠FGB =∠AGC ，
∴∠FBG +∠OBA =90°，即∠OBF =90°，∴OB ⊥FB ， ∵AB 是⊙O 的弦，∴点B 在⊙O 上，∴BF 是⊙O 的切线； （2）解：∵AC ∥BF ，∴∠ACF =∠F ，
∵CD =a ，OA ⊥CD ，∴CE =CD =a ，∵tan ∠F =∴tan ∠ACF =
1
2123， 4
AE 33AE 3
=，即=，解得AE =a ，
CE 448a 2
3
a ，在Rt △OCE 中，CE 2+OE 2=OC 2， 8
连接OC ，设圆的半径为r ，则OE =r -
即（a ）2+（r -
12325a ）2=r 2，解得r =a ； 848
（3）证明：连接BD ，
∵∠DBG =∠ACF ，∠ACF =∠F （已证），∴∠DBG =∠F ， 又∵∠FGB =∠BGF ，∴△BDG ∽△FBG ，∴DG :GB =GB :GF ， 即GB 2=DG
•GF ，∴GB ＝．
（十）压轴题:
数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分
类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 (1)二次函数与一元二次方程根与系数关系综合运用:
已知关于x 的函数y =(k -1) x 2-2kx +k +2的图象与x 轴有交点． (1)求k 的取值范围；
(2)若x 1, x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足
(k -1) x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2 ．
①求k 的值；②当k ≤x ≤k +2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值． 解：(1)当k ＝1时，函数为一次函数 y =-2x +3，其图象与x 轴有一个交点．
当k ≠1时，函数为二次函数，其图象与x 轴有一个或两个交点， 令y ＝0得(k -1) x 2-2kx +k +2=0 ．
∆=(-2k ) 2-4(k -1)(k +2) ≥0， 解得k ≤2．即k ≤2且k ＝1． 综上所述，k 的取值范围是k ≤2． (2)①∵x 1≠x 2，由(1)知k ＜2且k ＝1． 由题意得(k -1) x 12+k +2=2kx 1． 代入(k -1) x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2 中得：
2k (x 1+x 2) =4x 1x 2．
又∵x 1+x 2=2k ，x 1x 2=k +2，
∴2k ·2k ＝4·k +2．
解得：k 1=-1，k 2=2(不合题意，舍去) ．∴所求k 值为-1．
13
②如图，∵k 1=-1，y =-2x 2+2x +1=-2(x -) 2+，且-1≤x ≤1，
22
由图象知：当x =-1时，y 最小=-3；
3
当x =1时，y 最大=．
2
∴y 的最大值为3，最小值为-3．
2
特别提醒：(1)二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标就是函数值y 为0时
相应一元二次方程的两个根.(2)注意一元二次方程根的定义的运用;(3)注意一元二次方程有实数根的条件.
3
2. 已知抛物线y =x 2+mx -m 2（m >0）与x 轴交于A 、B 两点．
4（1）求证：抛物线的对称轴在y 轴的左侧； （2）若
112-=（O 是坐标原点），求抛物线的解析式； OB OA 3
（3）设抛物线与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积． 解：（1）证明：∵m >0，∴x =-
b m
=-
∴抛物线的对称轴在y 轴的左侧．
（2）设抛物线与x 轴的交点为A (x 1,0) ，B (x 2,0) ，则x 1+x 2=-m
3
x 1⋅x 2=-m 2
4∴x 1与x 2异号．
又
112-=>0， ∴OA >OB ． OB OA 3
由（1）知：抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴x 10．
∴OA =x 1=-x 1，OB =x 2，
代入
11112112
-=+=， -=得：
OB OA 3x 2-x 1x 2x 13
即
x 1+x 22-m 2
=，从而=，
3x 1⋅x 233-m 24
解得：m =2．
∴抛物线的解析式是y =x 2+2x -3． （3）当x =0时，y =-
32
m ， 4
3
∴抛物线与y 轴交点坐标为C (0,-m 2) ．
4
∵△ABC 是直角三角形，且只能有AC ⊥BC ，又OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠BCO ， ∴Rt △AOC ∽Rt △COB ， ∴
OC AO
，即OC 2=OA ⋅OB ． =
OB OC
2
3∴-m 2
4
即
=-x 1⋅x 2
29432
． m =m ，解得：m =3164
3232
m ＝-() 2=-1， 443
此时-
∴点C 的坐标为（0，-1），∴OC ＝1． 又(x 2-x 1) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1⋅x 2
3
=(-m ) 2-4⋅(-m 2) =4m 2．
4
∵m >0，∴x 2-x 1=2m 即AB ＝2m ． ∴S △ABC ＝
11⋅AB ⋅OC ＝⨯2m ⨯1
22特别提醒：注意二次函数与x 轴的交点横坐标即为函数值为0时相应一元二次
方程的两个根, 因此抛物线与x 轴交点的横坐标与一元二次方程的根等价的, 但是抛物线与坐标轴的交点到原点的距离有时是相同, 有时是不相同, 要注意把这些距离转化为交点的横坐标来表示. 即一元二次方程的两根的代数式来表示。直线y=x 与x 轴的夹角是45°，y=x+b与x 轴的夹角是45°，直线y=－x+b与x 轴所夹的锐角也是45°，总之已知直线的解析式要注意观察和留意直线与坐标轴的夹角，有时可以得到意想不到效果。请你阅读学考P160例3，P165例3。 (2)二次函数与运动、轨迹、最值问题
1. 如图，已知抛物线C 1与坐标轴的交点依次是A （-4，0），B （-2，0），E （0，8）．
（1）求抛物线C 1关于原点对称的抛物线C 2的解析式；
（2）设抛物线C 1的顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；同时，点M ，点N 以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合，四点同时停止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值．
（3）在运动过程中，四边形MDNA 是否能形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． （4）若P 为抛物线C 1上的一个点，连接PM ，PN ，当S △PMN =S矩形MDNA 时，过点P 作直线PQ ∥MN 交轴于点Q ，则点Q 的坐标
解：（1）∵C 1关于C 2原点对称，则有A （-4，0），B （-2，0），E （0，8）
对称点（4，0），（2，0），（0，-8）在抛物线C 2上 设抛物线C 2的解析式为：y=a （x -4）（x -2）
又当x =0时，y=-8 解得a =-1
∴C 2解析式为y=-x 2+6x -8； （2）由中心对称知： S=2S△AND
而AD =8-2t，AD 边上高h =1+2t
1
∴S (8−2t )(1+2t )
2即S=-4t 2+14t +8（0≤t ≤4）； 由S =−4t2+14t +8＝−4(t −
72201 )+ 44
7201
∴当t= 时，S 最大值=
44
（3）在转动的过程中，假设四边形MDNA 是矩形，连结ON ，则有ON =OD ，OD =4-t
由勾股定理得：ON 2=32+（1+2t）2 ∴32+（1+2t）2=（4-t ）2 即t 2+4t-2=0
解得t 1＝−
2＝
又t ≥0 ∴t ＝−
∴当运动了
秒时，四边形MDNA 为矩形． 特别提醒：点的运动路径是点运动速度乘以时间。
2. 如图，抛物线y =ax 2+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，-1）两点，并与直线y =kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，-2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO =AM ； （3）探究：
①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；
②试说明无论k 取何值，
11+AM BN
11+的值都等于同一个常数．
AM BN
解：（1）抛物线y =ax 2+c (a ≠0) 经过点C （2，0）, D (0,-1)1⎧⎧4a +c =0⎪a =∴⎨, 解之得⎨4
c =-1⎩⎪⎩c =-1
1
∴抛物线的解析式为：y =x 2-1
4
1
(2) 证明：设点A 的坐标为（m , m 2-1）
4
1
则有AO ==m 2+1
4
直线l 过点E （0，－2），且平行于x 轴∴点M 的纵坐标为-2
11
∴AM =m 2-1-(-2) =m 2+1
44
∴AO =AM
(3) 解：当k =0时，直线y =kx 与x 轴重合，点A ，B 在x 轴上
∴AM ＝BN ＝0－（－2）＝2∴AO ＝AM
11
当k 任意取值时，设点（A x 1x 12-1）, B （x 2x 22-1）
44
（4x 12+x 22+8）1111
则+＝+＝22
12AM AN 12x 1x 2+4(x 12+x 22) +16
x 1+1x 2+144
⎧y =kx ⎪2
联立⎨12消掉y 得：x -4kx -4=0
y =x -1⎪⎩4
由根与系数关系得：x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4
2
所以，x 12+x 22＝（x 1+x 2）－2x 1x 2＝16k 2+8
(x 1x 2) 2=16
114(16k 2+8+8) ∴+==1AM BN 16+4(16k 2+8) +16
11
无论k +的值都等于同一个常数1
AM BN
3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y =-
12
x +bx +c （b , c 为常数）的顶点为P ，等腰2
直角三角形ABC 的定点A 的坐标为(0,-1) ，C 的坐标为(4,3)，直角顶点B 在第四象限. （1）如图，若该抛物线过 A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q . i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标； ii ）取BC 的中点N ，连接NP , BQ . 试探究该最大值；若不存在，请说明理由.
PQ
是否存在最大值？若存在，求出
NP +BQ
21