毕业论文（设计）
题 目: 矩阵在解线性方程组中的应用 学 号: [1**********] 姓 名: 金光佑 教 学 院: 理学院 专业班级: 数学与应用数学（1）班 指导教师: 黄飞丹
完成时间: 2014年04月25日
毕节学院教务处制
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本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计) 《 》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。
论文(设计) 作者： （签字） 时间： 年 月 日 指 导 教 师： （签字） 时间： 年 月 日
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本毕业论文(设计) 《 》是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在毕节学院教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于毕节学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权毕节学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。
未经指导教师和毕节学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计) 相关研究内容或利用毕业论文(设计) 从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计) 中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“毕节学院”， 成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。
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目 录
摘要 .............................................................. i Abstract: ........................................................ i i 引言： ............................................................ 1 1. 线性方程组的有关概念 ........................................... 1 2. 矩阵的有关概念及其性质 .......................................... 2 2.1矩阵的定义................................................... 2 2.2矩阵的初等变换............................................... 3 2.3矩阵的秩..................................................... 3 3. 矩阵在线性方程组中的应用 ........................................ 5 3.1矩阵的初等变换求解线性方程组................................. 5 3.2 矩阵的秩判断方程组的解 ...................................... 7 3.3 逆矩阵求解线性方程组 ....................................... 10 结束语 ........................................................... 11 参考文献 ......................................................... 12 致 谢 ............................................................ 13
矩阵在解线性方程组中的应用
作者姓名：金光佑 专业班级：2010级数学与应用数学本科（1）班学号：[1**********] 指导老师：黄飞丹（讲师）
摘要：数学是人类科学的基础，数学的发展是人类科学发展的先决条件。矩阵这一重要理论不仅仅是经典数学的基础，同时它也是非常有实用价值的数学理论之一。本文主要讨论矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用、矩阵的秩在方程组的解的判别中的应用、以及逆矩阵在解线性方程组中的应用。 关键词：矩阵；线性方程组；矩阵的秩；逆矩阵
Applications of Matrix in Solving Linear Equations
Candidate:: Jin Guangyou Major: Mathematics and applied mathematics Student No: [1**********] Advisor: Huang Feidan
Abstract:
Mathematics is the foundation of human science, the development of mathematics is prerequisite of the development of human science. Matrix, an important theory, it is not only the basis of the classical mathematics, at the same time it is also one of the very useful mathematical theory. The main content of this paper is the application of elementary transformation of matrix in solving linear equations, the application of rank of the matrix in solution discriminant of linear equations, and the use of inverse matrix in solving linear equations.
Key words:
matrix; linear equations; rank of matrix rank; inverse matrix
引言
数学是人类科学的基础，数学的发展是人类科学发展的先决条件。而矩阵和线性方程的内容在大学高等代数及高等数学中都占有重要的地位，并且在中学我们也已经初步了解并接触过，能解决n =3及以下的线性方程，线性方程是一个非常重要的内容。从而如何判断线性方程组有无解以及解的情况便成了人们一直探索的问题。那么如何判断线性方程组的解十分的重要。准确无误的判断出线性方程组的是否有解、有唯一解还是有无穷组解将极大的减少我们研究以及应用的时间。提到如何判断线性方程组的解的情况，我们通常会想到矩阵的秩，通过计算矩阵的秩来判断线性方程组是否有解是目前前人给我们总结出来的最行之有效的方法，但除此之外我们还有更加原始的方法，那便是通过矩阵的初等变换判断线性方程组是否有解。国内外很多专家和学者的著作中也提到过很多关于矩阵以及矩阵与解线性方程组的关系，在一些学报和期刊中都发表过与之相关的章。但是探讨更加简单、方便快捷的判断线性方程组是否有解，解的情况的方法一直没有间断过。希望今后专家学者在这方面能有更多的丰硕的成果，为后人找到更多方便快捷的解决线性方程组解的情况的方法，将我们的科学发展带向更加殷实的明天。本文主要通过对前人的研究成果总结探讨矩阵在判断线性方程组的解，及在解线性方程组中的应用。
1. 线性方程组的有关概念
定义1[1] 线性方程组
⎧a 11x 1
⎪a x ⎪211
⎨
⎪M ⎪⎩a m 1x 1
++
a 12x 2a 22x 2M +a m 2x 2
+L +L
M +L
++
a 1n x n a 2n x n M +a mn x n
=b 1, =b 2,
M =b n ,
(1)
其中每一个方程的左端是未知量x 1, x 2L , , x n 的一次齐次式，右端，(b 1; b 2; L ; b n ) 是常数，m 和n 可相等也可不等. 对于n 元的线性方程组，如（1）将c 1; c 2; L ; c n 代入方程，所有的式子全部恒成立，那么我们称（c 1;c 2; L ;c n ）是线性方程组（1）的一个解. 方程组（1）所有的解组成的集合称为这个方程组的
解集.
定义2[1] 若线性方程组
⎧a 11x 1⎪a x ⎪211⎨⎪M ⎪⎩a m 1x 1
++
a 12x 2a 22x 2M +a m 2x 2
+L +L
M +L
++
a 1n x n a 2n x n M +a mn x n
=b 1, =b 2, =b n ,
M
右端的常数项全部等于0的，则称为齐次线性方程组；反之，当右端常数项不全为0，则称为非齐次线性方程组.
2. 矩阵的有关概念及其性质
2.1矩阵的定义
定义3[1] 由m ⨯n 个实数a ij 排成的一个m 行n 列的矩形数表
⎛a 11a 12L a 1n ⎫ ⎪a a L a 21222n ⎪ （2.1） M M M M ⎪ ⎪a a L a m 2mn ⎭⎝m 1
称为m ⨯n 矩阵，位置(i , j ) 上的元素一般用a ij 表示，可简记为：A ={a ij } 或A m ⨯n .
⎛0-1
00 如
12
⎝6421⎫
⎪43⎪
. 52⎪
⎪23⎭
⎧a 11x 1⎪a x ⎪211⎨⎪M ⎪⎩a m 1x 1
++
a 12x 2a 22x 2M +a m 2x 2
+L +L
M +L
++
a 1n x n a 2n x n M +a mn x n
=b 1, =b 2, =b n ,
M
例1 已知一个线性方程组:
对于一个线性方程组，只写出它的系数和常数项，并且把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵. 只列出系数的表称为方程组的系数矩阵.
此时，任何一个方程都可以用这种方式被描述出来；反之，已知一个矩阵也可以写出原方程. 如（2.1）所示的矩阵只描述出线性方程组的系数的称之为线性
方程组的系数矩阵.
在线性方程组的求解过程中，矩阵有着很重要的作用，我们可以只列出矩阵的系数及常数项组成线性方程组的增广矩阵，通过对系数及常数项的运算求出解. 这样做既书写方便又能减少运算量. 2．2矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵理论中一个非常重要的内容，在线性方程组中的应用很广泛. 本文主要论述的是矩阵的初等变换在解线性方程组及判断线性方程组的解的情况的应用. 下面是矩阵的初等变换的定义.
定义4
[1]
下面三种变换称为矩阵的初等变换：
(i) 交换矩阵的两行(列) ；
(ii) 用一个非零数k 乘矩阵的某行(列）； (iii) 矩阵的某行(列) 的k 倍加到另一行(列) . 2.3矩阵的秩
定义5 若一个矩阵满足：
（1）矩阵的零行在矩阵的最下方；
（2）各非零行的第一个元素其列标随行标递增而严格增大，则该矩阵 为行阶梯矩阵.
定义6 若矩阵满足：
（1）若有零行（元素全为0的行），则零行位于矩阵的最下面；
（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为零的元素）前面零的个 数逐行增加；
（3）非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在列的其他元素全为0 定义7
[1]
在m ⨯n 矩阵A 中，我们任意地取k 行k 列(k ≤m , k ≤n ) ，位于这
些行和列的交叉处的k 2个元素，不改变它们在A 中的位置次序而得到的k 阶行列式称之为矩阵A 的k 阶子式.
其核心思想是：在求矩阵的秩时，若矩阵为k 行，则先计算k 阶子式，若k 阶子式不为0，则秩为k ，如果k 阶子式为0，则计算k -1阶子式，若k -1阶子式其中有一个不为0, 则秩为k -1，若所有的k -1阶子式都为0，则由近一步计算
k -2阶子式，一次类推，直到计算到k -l 阶子式中不全为0，则秩为k -l 为止.
⎛13-22⎫ ⎪
例2 求矩阵A = 02-13⎪的秩.
-2015⎪⎝⎭
解：首先我们计算A 的3阶子式
13-213-23-221-22
02-1=0， 023=0， 2-13=0， 0-13=0. -201-205015-215
其3阶子式全部为0.
3-2
因为2阶子式 =1≠0，所以r (A ) =2.
2-1
结论：任何矩阵A m ⨯n ，总可经过有限次初等变换把它变成行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的，这个行阶梯形矩阵的非零行数就是矩阵的秩. 通常记作r (A ) 或rank (A ) .
例3 求下述矩阵的秩：
⎛32050⎫
⎪2-236-1⎪. A=
2015-3⎪ ⎪16-4-14⎝⎭
解：A 经过行初等变换得到如下形式：
⎛16-4-14⎫ ⎪0-431-1 ⎪， 0008-3⎪ ⎪00000⎝⎭
所以得到矩阵A 的秩为r (A ) =3.
例4 求下述矩阵的秩：
⎛1236⎫
⎪B = 1113⎪.
3418⎪⎝⎭
解：矩阵B 经过行初等变换，化成阶梯形矩阵得
⎛1001⎫ ⎪， 0101 ⎪ 0011⎪⎝⎭
所以得到矩阵B 的秩为r (B ) =3.
这个矩阵经过行初等变换，化成阶梯形矩阵，没有任何一行的元素全为0，其非零行数的于矩阵的总行数，这样的矩阵称之为满秩矩阵.
求矩阵的秩主要步骤为：（1）进行行初等变换；（2）将矩阵化为阶梯形矩阵；（3）求出秩.
3. 矩阵在线性方程组中的应用
3.1矩阵的初等变换求解线性方程组
矩阵的初等变换是解线性方程组最基础的方法. 主要通过对行（列）的计算化阶梯形矩阵达到目的. 其基本步骤如下：
第一步：列出方程的增广矩阵；
第二步：判断方程有无解，若有解，则进行第三步； 第三步：化矩阵为最简形矩阵； 第四步：求方程的一个特解； 第五步：求出方程的通解. 例5 解下列方程组：
⎧x 1
⎪ ⎨x 1⎪3x ⎩1
+2x 2+x 2+4x 2
+3x 3++
x 3x 3
=6,
(1)
=3, (2) =8, (3)
解：
⎛1 1 3⎝
214311
6⎫(1) +(⋅2-) (⎛11) ⎪−−−−−→(3) +(⋅2-) ( 1) 3 0⎪
0⎪8⎝⎭66(6⋅) -) ⎫⎛123⎫⎪⎪(5) +(⋅-4) ( 1)
123−−−−−−−→0123
⎪ ⎪
0011⎪1-2-⎪⎭1⎝⎭
23
⎛10-10⎫(4)+(6)⋅(-2) ⎛1001⎫
⎪(1)+(6) ⎪(1)+(4)⋅(-2)
−−−−−→ 0123⎪−−−−−→0101 ⎪.
0011⎪ 0011⎪⎝⎭⎝⎭
最后得到这个矩阵表示的线性方程组是：
⎧x 1⎪
⎨x 2
⎪x ⎩3
=1, =1, =1,
从而原方程的解是（1,1,1）.
例6 解下述齐次线性方程组：
+2x 3+x 4⎧3x 1-x 2
⎪x +3x 2-x 3+2x 41⎪⎪
⎨-2x 1+5x 2+x 3-x 4⎪3x +10x 2+x 3+4x 4⎪1⎪⎩-2x 1+15x 2-4x 3+4x 4
=0, =0, =0, =0, =0,
这是一个齐次线性方程组，因为它的未知量和方程个数较多，我们可以利用高斯消元法去求出方程的解来，但是计算量是相当大的，而且易出错，所以我们应该想到另一种同样可以求出方程组的解的方法，使得相应的计算量减小也降低错误率，这就是——矩阵的初等变换求线性方程组的解. 因为我们只写出方程的系数用矩阵描述出来，不写它的未知量，所以节省了大量书写和计算的时间. 而且未知量的个数和方程的个数越多就越节省时间.
解：方程组的系数矩阵为
⎛3-121⎫
⎪13-12 ⎪ -251-1⎪， ⎪31014 ⎪ -215-44⎪⎝⎭
矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵得
r 2+(-3) r 1
⎛3-121⎫⎛13-12⎫r 3+2r 1⎛13 ⎪ ⎪ +(-3) r r 13-123-1210-1041 ⎪ ⎪
r 5+2r 1→ 011r 1r 2 -251-1⎪−−−−−− -251-1⎪−−−−→
⎪ ⎪ 3101431014 ⎪ ⎪ 011 -215-44⎪ -215-44⎪ 010⎝⎭⎝⎭⎝
⎛1r 5+r 2
r 3+(-1) r 4 0+r 2r 3→ 0−−−−−−
0 0⎝
3-11000
4900
2⎫⎛1⎪ -2⎪10
9r 3
−→ 0-5⎪−−⎪ 0⎪ 0
00⎪⎭⎝
3-11
000
4100
2⎫⎛1⎪ -2⎪r 2+(-4) r 3 0
r 1+r 3→ 0-⎪−−−−−−⎪ 0⎪ 0
00⎪⎭⎝
2⎫
⎪5-5⎪
-13⎪
⎪
-13⎪-55⎪⎭
-1
3013⎫
⎪
1029⎪01-59⎪
⎪
000⎪000⎪⎭
⎛1 0
r 1+(-3) r 2→ 0−−−−−−
0 0⎝
0010010000
79⎫
⎪9⎪-9⎪.
⎪0⎪0⎪⎭
所以原方程的一般解为
⎧⎪x 1⎪⎪
⎨x 2
⎪⎪⎪x 3⎩
7=-x 4,
92=-x 4,
95=x 4,
9
其中x 4是未知量. 令x 4=9，得到
⎛-7⎫ ⎪-2⎪ , η=
5⎪ ⎪⎝9⎭
因此η是方程组的一个基本解，原方程的通解为
⎛-7⎫ ⎪-2⎪ . X =k η=k
5⎪ ⎪⎝9⎭
3.2 矩阵的秩判断方程组的解
定理1
[1]
线性方程组AX =B 有解的充要条件是:它的系数矩阵的秩等于增
广矩阵的秩.
定理2[1] 线性方程组AX =B 有解时，若它的系数矩阵A 的秩等于未知量的个数n ，则方程组有唯一解：若的A 秩小于n ，则方程组有无穷多组解.
上面两个定理是判断线性方程组解的情况的理论依据，可简记为如下形式. 设n 元线性方程组Ax =b 的系数矩阵为(A ) ，增广矩阵为(A , b ) ，则有：
（1） R (A ) ≠R (A , b ) ⇔Ax =b 无解； （2） R (A ) =R (A , b ) =n ⇔Ax =b 有唯一解； （3） R (A ) =R (A , b )
⎧3x 1⎪⎨x 1⎪2x ⎩1
+5x 2+x 2+2x 2
+2x 3+3x 3+6x 3
=4, =2, =3,
⎛352⎫ ⎪
解：原方程的系数矩阵为A = 113⎪.
226⎪⎝⎭
经化简得
⎛113⎫ ⎪02-7 ⎪， 000⎪⎝⎭
所以方程组的系数矩阵的秩r (A ) =2
⎛3524⎫ ⎪
原方程的增广矩阵为(A ; b ) = 1132⎪，
2263⎪⎝⎭
经化简得到
2⎫⎛113 ⎪02-7-2 ⎪， 0001⎪⎝⎭
所以原方程组的增广矩阵r (A ; b ) =3>r (A ) =2，则原线性方程组无解.
个644n 7448
对于齐次线性方程组必然有一个解为（0,0, L 0）, 这个被称之为零解，也就
是说它是不存在无解的情况的.
命题1[1] n 齐次元线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目r
从命题1又可以得到
命题2[1] n 元齐次线性方程组如果方程的数目s
⎧x 1⎪3x ⎪1⎨⎪-2x 1⎪⎩3x 1
+3x 2-
x 2
+4x 2+9x 2
-4x 3+2x 3-
x 3
-7x 3
+2x 4-
x 4
+3x 4+6x 4
=0, =0, =0, =0,
解：线性方程的系数矩阵为
⎛13-42⎫
⎪3-12-1⎪，
-24-13⎪ ⎪39-76⎝⎭
对系数矩阵进行行初等变换
3-42⎛1⎫⎛
⎪ 3-12-1⎪−− → -24-13⎪ ⎪ 39-76⎝⎭⎝
1
0-003-1000
4⎫2⎪1-4⎪7
. 5⎪0⎪0⎭0
由于阶梯形矩阵的非零行数是3，它小于未知量的数目4，所以原齐次线性方程组有非零解. 再将上述矩阵化为最简形矩阵可得
⎛1 0 0 ⎝0
⎛ 13-42⎫
⎪
-1014-7⎪
−−→ 0
050⎪
⎪
000⎭ 0
0⎝
00-100100
1⎫10⎪⎪7⎪
. ⎪10⎪0⎪0⎪⎭
可以得到齐次线性方程组的解为
⎧
⎪x 1⎪⎪
⎨x 2
⎪⎪x 3⎪⎩
1x 4, 107=x 4,
10=0, =
其中x 4是自由变量. 再经过一次初等变换得到
⎛1
0⎝
1
1⎫⎛1⎪ 1-1−−→⎪ 0
⎪ 00-1⎭⎝
01
0⎫⎪0. ⎪⎪1⎭
所以，原方程的解为
⎧x 1=0,
⎪
⎨x 2=0, .
⎪
⎩x 3=0,
3.3 逆矩阵求解线性方程组
定义8[1] 设A 是数域的n 阶方阵，如果在相同数域上存在另一个n 阶方阵
B ，使得: AB =BA =I . 那么我们称是A 的B 逆矩阵，A 被称为可逆矩阵，B 称
为A 的一个逆矩阵，记为A -1.
设线性方程组为AX =B ，其中：A =(a ij )n ⨯n ，X =(x 1
B =(b 1b 2 b n ).
T
x 2 x n )，
T
如果矩阵A 是可逆的，此时有X =A -1B . 例9 用逆矩阵求方程组AX =B 的解:
⎧3x 1⎪⎨x 1⎪2x ⎩1
+4x 2+2x 2+3x 2
+3x 1+5x 3+x 3
=0, =0, . =1,
T
⎛343⎫ ⎪
解：由题，A = 125⎪，x =(x 1
231⎪⎝⎭
x 2
x 3)，B =(001)，显然A 是可
逆的, 且
⎛7
6 9
A -1= -
6 1 ⎝6
-561216
7⎫-⎪3⎪2⎪， ⎪⎪1⎪-⎪3⎭
解得
⎛7 6⎛x 1⎫ ⎪ 9 x 2⎪= -6 x ⎪ ⎝3⎭
1 ⎝6
-
561216
7⎫-⎪⎛7⎫3⎛0⎫ -⎪⎪3
⎪ ⎪⎪2 0⎪= 2⎪.
⎪
1⎪⎪ 1⎪⎝⎭1 -⎪
-⎪⎝3⎭⎪3⎭
利用逆矩阵求解方程组时要求方程个数等于未知量的个数，并且A 是可逆的，否则此方法无效.
结束语
矩阵是一种数学符号，它解线性方程组中的应用很广泛。其主要是通过矩阵的初等变换求齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的解；并且矩阵的初等变换还可以判断齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的解的情况。同时，我们可以通过矩阵的初等变换或者计算k 阶余子式和k -1阶余子式求出矩阵的秩，矩阵的秩也是判断线性方程组的解的情况的一种普遍并且重要的方式。总之，矩阵在线性方程组中的应用非常广泛，它是大学数学高等代数的基础内容。矩阵在其他领域，如计算机等领域也有着十分广泛的应用，将来陆续在其他领域也会有着更加广阔的应用前景。
参考文献
[1] 丘维声. 高等代数第二版[M].高等教育出版社,2002. [2] 张贤达. 矩阵的分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004. [3] 张跃辉. 矩阵理论与应用[M].北京：科学出版社,2011. [5] 干晓蓉. 线性代数[M].北京：科学出版社,2010.1
[6] 王保华. 线性代数与应用[M].北京：中国经济出版社，1998.5
[7] 同济大学应用数学系. 线性代数，第五版[M].北京:高等教育出版社,2003 [8] 闵嗣鹤. 初等数论[M].北京:高等教育出版社，2003.4
致 谢
大学四年一晃而过，在最后的一段时光中，我非常感谢黄飞丹老师！黄老师在我毕业论文设计阶段给了我非常宝贵的指导，从最初的选题定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。为了指导我们的毕业论文，她放弃了自己的大量休息时间，而她的这种无私奉献的敬业精神实在令我钦佩，在此我向她表示我诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，让我们学校更加的永留千古。
毕业论文（设计）
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目 录
摘要 .............................................................. i Abstract: ........................................................ i i 引言： ............................................................ 1 1. 线性方程组的有关概念 ........................................... 1 2. 矩阵的有关概念及其性质 .......................................... 2 2.1矩阵的定义................................................... 2 2.2矩阵的初等变换............................................... 3 2.3矩阵的秩..................................................... 3 3. 矩阵在线性方程组中的应用 ........................................ 5 3.1矩阵的初等变换求解线性方程组................................. 5 3.2 矩阵的秩判断方程组的解 ...................................... 7 3.3 逆矩阵求解线性方程组 ....................................... 10 结束语 ........................................................... 11 参考文献 ......................................................... 12 致 谢 ............................................................ 13
矩阵在解线性方程组中的应用
作者姓名：金光佑 专业班级：2010级数学与应用数学本科（1）班学号：[1**********] 指导老师：黄飞丹（讲师）
摘要：数学是人类科学的基础，数学的发展是人类科学发展的先决条件。矩阵这一重要理论不仅仅是经典数学的基础，同时它也是非常有实用价值的数学理论之一。本文主要讨论矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用、矩阵的秩在方程组的解的判别中的应用、以及逆矩阵在解线性方程组中的应用。 关键词：矩阵；线性方程组；矩阵的秩；逆矩阵
Applications of Matrix in Solving Linear Equations
Candidate:: Jin Guangyou Major: Mathematics and applied mathematics Student No: [1**********] Advisor: Huang Feidan
Abstract:
Mathematics is the foundation of human science, the development of mathematics is prerequisite of the development of human science. Matrix, an important theory, it is not only the basis of the classical mathematics, at the same time it is also one of the very useful mathematical theory. The main content of this paper is the application of elementary transformation of matrix in solving linear equations, the application of rank of the matrix in solution discriminant of linear equations, and the use of inverse matrix in solving linear equations.
Key words:
matrix; linear equations; rank of matrix rank; inverse matrix
引言
数学是人类科学的基础，数学的发展是人类科学发展的先决条件。而矩阵和线性方程的内容在大学高等代数及高等数学中都占有重要的地位，并且在中学我们也已经初步了解并接触过，能解决n =3及以下的线性方程，线性方程是一个非常重要的内容。从而如何判断线性方程组有无解以及解的情况便成了人们一直探索的问题。那么如何判断线性方程组的解十分的重要。准确无误的判断出线性方程组的是否有解、有唯一解还是有无穷组解将极大的减少我们研究以及应用的时间。提到如何判断线性方程组的解的情况，我们通常会想到矩阵的秩，通过计算矩阵的秩来判断线性方程组是否有解是目前前人给我们总结出来的最行之有效的方法，但除此之外我们还有更加原始的方法，那便是通过矩阵的初等变换判断线性方程组是否有解。国内外很多专家和学者的著作中也提到过很多关于矩阵以及矩阵与解线性方程组的关系，在一些学报和期刊中都发表过与之相关的章。但是探讨更加简单、方便快捷的判断线性方程组是否有解，解的情况的方法一直没有间断过。希望今后专家学者在这方面能有更多的丰硕的成果，为后人找到更多方便快捷的解决线性方程组解的情况的方法，将我们的科学发展带向更加殷实的明天。本文主要通过对前人的研究成果总结探讨矩阵在判断线性方程组的解，及在解线性方程组中的应用。
1. 线性方程组的有关概念
定义1[1] 线性方程组
⎧a 11x 1
⎪a x ⎪211
⎨
⎪M ⎪⎩a m 1x 1
++
a 12x 2a 22x 2M +a m 2x 2
+L +L
M +L
++
a 1n x n a 2n x n M +a mn x n
=b 1, =b 2,
M =b n ,
(1)
其中每一个方程的左端是未知量x 1, x 2L , , x n 的一次齐次式，右端，(b 1; b 2; L ; b n ) 是常数，m 和n 可相等也可不等. 对于n 元的线性方程组，如（1）将c 1; c 2; L ; c n 代入方程，所有的式子全部恒成立，那么我们称（c 1;c 2; L ;c n ）是线性方程组（1）的一个解. 方程组（1）所有的解组成的集合称为这个方程组的
解集.
定义2[1] 若线性方程组
⎧a 11x 1⎪a x ⎪211⎨⎪M ⎪⎩a m 1x 1
++
a 12x 2a 22x 2M +a m 2x 2
+L +L
M +L
++
a 1n x n a 2n x n M +a mn x n
=b 1, =b 2, =b n ,
M
右端的常数项全部等于0的，则称为齐次线性方程组；反之，当右端常数项不全为0，则称为非齐次线性方程组.
2. 矩阵的有关概念及其性质
2.1矩阵的定义
定义3[1] 由m ⨯n 个实数a ij 排成的一个m 行n 列的矩形数表
⎛a 11a 12L a 1n ⎫ ⎪a a L a 21222n ⎪ （2.1） M M M M ⎪ ⎪a a L a m 2mn ⎭⎝m 1
称为m ⨯n 矩阵，位置(i , j ) 上的元素一般用a ij 表示，可简记为：A ={a ij } 或A m ⨯n .
⎛0-1
00 如
12
⎝6421⎫
⎪43⎪
. 52⎪
⎪23⎭
⎧a 11x 1⎪a x ⎪211⎨⎪M ⎪⎩a m 1x 1
++
a 12x 2a 22x 2M +a m 2x 2
+L +L
M +L
++
a 1n x n a 2n x n M +a mn x n
=b 1, =b 2, =b n ,
M
例1 已知一个线性方程组:
对于一个线性方程组，只写出它的系数和常数项，并且把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵. 只列出系数的表称为方程组的系数矩阵.
此时，任何一个方程都可以用这种方式被描述出来；反之，已知一个矩阵也可以写出原方程. 如（2.1）所示的矩阵只描述出线性方程组的系数的称之为线性
方程组的系数矩阵.
在线性方程组的求解过程中，矩阵有着很重要的作用，我们可以只列出矩阵的系数及常数项组成线性方程组的增广矩阵，通过对系数及常数项的运算求出解. 这样做既书写方便又能减少运算量. 2．2矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵理论中一个非常重要的内容，在线性方程组中的应用很广泛. 本文主要论述的是矩阵的初等变换在解线性方程组及判断线性方程组的解的情况的应用. 下面是矩阵的初等变换的定义.
定义4
[1]
下面三种变换称为矩阵的初等变换：
(i) 交换矩阵的两行(列) ；
(ii) 用一个非零数k 乘矩阵的某行(列）； (iii) 矩阵的某行(列) 的k 倍加到另一行(列) . 2.3矩阵的秩
定义5 若一个矩阵满足：
（1）矩阵的零行在矩阵的最下方；
（2）各非零行的第一个元素其列标随行标递增而严格增大，则该矩阵 为行阶梯矩阵.
定义6 若矩阵满足：
（1）若有零行（元素全为0的行），则零行位于矩阵的最下面；
（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为零的元素）前面零的个 数逐行增加；
（3）非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在列的其他元素全为0 定义7
[1]
在m ⨯n 矩阵A 中，我们任意地取k 行k 列(k ≤m , k ≤n ) ，位于这
些行和列的交叉处的k 2个元素，不改变它们在A 中的位置次序而得到的k 阶行列式称之为矩阵A 的k 阶子式.
其核心思想是：在求矩阵的秩时，若矩阵为k 行，则先计算k 阶子式，若k 阶子式不为0，则秩为k ，如果k 阶子式为0，则计算k -1阶子式，若k -1阶子式其中有一个不为0, 则秩为k -1，若所有的k -1阶子式都为0，则由近一步计算
k -2阶子式，一次类推，直到计算到k -l 阶子式中不全为0，则秩为k -l 为止.
⎛13-22⎫ ⎪
例2 求矩阵A = 02-13⎪的秩.
-2015⎪⎝⎭
解：首先我们计算A 的3阶子式
13-213-23-221-22
02-1=0， 023=0， 2-13=0， 0-13=0. -201-205015-215
其3阶子式全部为0.
3-2
因为2阶子式 =1≠0，所以r (A ) =2.
2-1
结论：任何矩阵A m ⨯n ，总可经过有限次初等变换把它变成行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的，这个行阶梯形矩阵的非零行数就是矩阵的秩. 通常记作r (A ) 或rank (A ) .
例3 求下述矩阵的秩：
⎛32050⎫
⎪2-236-1⎪. A=
2015-3⎪ ⎪16-4-14⎝⎭
解：A 经过行初等变换得到如下形式：
⎛16-4-14⎫ ⎪0-431-1 ⎪， 0008-3⎪ ⎪00000⎝⎭
所以得到矩阵A 的秩为r (A ) =3.
例4 求下述矩阵的秩：
⎛1236⎫
⎪B = 1113⎪.
3418⎪⎝⎭
解：矩阵B 经过行初等变换，化成阶梯形矩阵得
⎛1001⎫ ⎪， 0101 ⎪ 0011⎪⎝⎭
所以得到矩阵B 的秩为r (B ) =3.
这个矩阵经过行初等变换，化成阶梯形矩阵，没有任何一行的元素全为0，其非零行数的于矩阵的总行数，这样的矩阵称之为满秩矩阵.
求矩阵的秩主要步骤为：（1）进行行初等变换；（2）将矩阵化为阶梯形矩阵；（3）求出秩.
3. 矩阵在线性方程组中的应用
3.1矩阵的初等变换求解线性方程组
矩阵的初等变换是解线性方程组最基础的方法. 主要通过对行（列）的计算化阶梯形矩阵达到目的. 其基本步骤如下：
第一步：列出方程的增广矩阵；
第二步：判断方程有无解，若有解，则进行第三步； 第三步：化矩阵为最简形矩阵； 第四步：求方程的一个特解； 第五步：求出方程的通解. 例5 解下列方程组：
⎧x 1
⎪ ⎨x 1⎪3x ⎩1
+2x 2+x 2+4x 2
+3x 3++
x 3x 3
=6,
(1)
=3, (2) =8, (3)
解：
⎛1 1 3⎝
214311
6⎫(1) +(⋅2-) (⎛11) ⎪−−−−−→(3) +(⋅2-) ( 1) 3 0⎪
0⎪8⎝⎭66(6⋅) -) ⎫⎛123⎫⎪⎪(5) +(⋅-4) ( 1)
123−−−−−−−→0123
⎪ ⎪
0011⎪1-2-⎪⎭1⎝⎭
23
⎛10-10⎫(4)+(6)⋅(-2) ⎛1001⎫
⎪(1)+(6) ⎪(1)+(4)⋅(-2)
−−−−−→ 0123⎪−−−−−→0101 ⎪.
0011⎪ 0011⎪⎝⎭⎝⎭
最后得到这个矩阵表示的线性方程组是：
⎧x 1⎪
⎨x 2
⎪x ⎩3
=1, =1, =1,
从而原方程的解是（1,1,1）.
例6 解下述齐次线性方程组：
+2x 3+x 4⎧3x 1-x 2
⎪x +3x 2-x 3+2x 41⎪⎪
⎨-2x 1+5x 2+x 3-x 4⎪3x +10x 2+x 3+4x 4⎪1⎪⎩-2x 1+15x 2-4x 3+4x 4
=0, =0, =0, =0, =0,
这是一个齐次线性方程组，因为它的未知量和方程个数较多，我们可以利用高斯消元法去求出方程的解来，但是计算量是相当大的，而且易出错，所以我们应该想到另一种同样可以求出方程组的解的方法，使得相应的计算量减小也降低错误率，这就是——矩阵的初等变换求线性方程组的解. 因为我们只写出方程的系数用矩阵描述出来，不写它的未知量，所以节省了大量书写和计算的时间. 而且未知量的个数和方程的个数越多就越节省时间.
解：方程组的系数矩阵为
⎛3-121⎫
⎪13-12 ⎪ -251-1⎪， ⎪31014 ⎪ -215-44⎪⎝⎭
矩阵的初等变换化成阶梯形矩阵得
r 2+(-3) r 1
⎛3-121⎫⎛13-12⎫r 3+2r 1⎛13 ⎪ ⎪ +(-3) r r 13-123-1210-1041 ⎪ ⎪
r 5+2r 1→ 011r 1r 2 -251-1⎪−−−−−− -251-1⎪−−−−→
⎪ ⎪ 3101431014 ⎪ ⎪ 011 -215-44⎪ -215-44⎪ 010⎝⎭⎝⎭⎝
⎛1r 5+r 2
r 3+(-1) r 4 0+r 2r 3→ 0−−−−−−
0 0⎝
3-11000
4900
2⎫⎛1⎪ -2⎪10
9r 3
−→ 0-5⎪−−⎪ 0⎪ 0
00⎪⎭⎝
3-11
000
4100
2⎫⎛1⎪ -2⎪r 2+(-4) r 3 0
r 1+r 3→ 0-⎪−−−−−−⎪ 0⎪ 0
00⎪⎭⎝
2⎫
⎪5-5⎪
-13⎪
⎪
-13⎪-55⎪⎭
-1
3013⎫
⎪
1029⎪01-59⎪
⎪
000⎪000⎪⎭
⎛1 0
r 1+(-3) r 2→ 0−−−−−−
0 0⎝
0010010000
79⎫
⎪9⎪-9⎪.
⎪0⎪0⎪⎭
所以原方程的一般解为
⎧⎪x 1⎪⎪
⎨x 2
⎪⎪⎪x 3⎩
7=-x 4,
92=-x 4,
95=x 4,
9
其中x 4是未知量. 令x 4=9，得到
⎛-7⎫ ⎪-2⎪ , η=
5⎪ ⎪⎝9⎭
因此η是方程组的一个基本解，原方程的通解为
⎛-7⎫ ⎪-2⎪ . X =k η=k
5⎪ ⎪⎝9⎭
3.2 矩阵的秩判断方程组的解
定理1
[1]
线性方程组AX =B 有解的充要条件是:它的系数矩阵的秩等于增
广矩阵的秩.
定理2[1] 线性方程组AX =B 有解时，若它的系数矩阵A 的秩等于未知量的个数n ，则方程组有唯一解：若的A 秩小于n ，则方程组有无穷多组解.
上面两个定理是判断线性方程组解的情况的理论依据，可简记为如下形式. 设n 元线性方程组Ax =b 的系数矩阵为(A ) ，增广矩阵为(A , b ) ，则有：
（1） R (A ) ≠R (A , b ) ⇔Ax =b 无解； （2） R (A ) =R (A , b ) =n ⇔Ax =b 有唯一解； （3） R (A ) =R (A , b )
⎧3x 1⎪⎨x 1⎪2x ⎩1
+5x 2+x 2+2x 2
+2x 3+3x 3+6x 3
=4, =2, =3,
⎛352⎫ ⎪
解：原方程的系数矩阵为A = 113⎪.
226⎪⎝⎭
经化简得
⎛113⎫ ⎪02-7 ⎪， 000⎪⎝⎭
所以方程组的系数矩阵的秩r (A ) =2
⎛3524⎫ ⎪
原方程的增广矩阵为(A ; b ) = 1132⎪，
2263⎪⎝⎭
经化简得到
2⎫⎛113 ⎪02-7-2 ⎪， 0001⎪⎝⎭
所以原方程组的增广矩阵r (A ; b ) =3>r (A ) =2，则原线性方程组无解.
个644n 7448
对于齐次线性方程组必然有一个解为（0,0, L 0）, 这个被称之为零解，也就
是说它是不存在无解的情况的.
命题1[1] n 齐次元线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中，非零行的数目r
从命题1又可以得到
命题2[1] n 元齐次线性方程组如果方程的数目s
⎧x 1⎪3x ⎪1⎨⎪-2x 1⎪⎩3x 1
+3x 2-
x 2
+4x 2+9x 2
-4x 3+2x 3-
x 3
-7x 3
+2x 4-
x 4
+3x 4+6x 4
=0, =0, =0, =0,
解：线性方程的系数矩阵为
⎛13-42⎫
⎪3-12-1⎪，
-24-13⎪ ⎪39-76⎝⎭
对系数矩阵进行行初等变换
3-42⎛1⎫⎛
⎪ 3-12-1⎪−− → -24-13⎪ ⎪ 39-76⎝⎭⎝
1
0-003-1000
4⎫2⎪1-4⎪7
. 5⎪0⎪0⎭0
由于阶梯形矩阵的非零行数是3，它小于未知量的数目4，所以原齐次线性方程组有非零解. 再将上述矩阵化为最简形矩阵可得
⎛1 0 0 ⎝0
⎛ 13-42⎫
⎪
-1014-7⎪
−−→ 0
050⎪
⎪
000⎭ 0
0⎝
00-100100
1⎫10⎪⎪7⎪
. ⎪10⎪0⎪0⎪⎭
可以得到齐次线性方程组的解为
⎧
⎪x 1⎪⎪
⎨x 2
⎪⎪x 3⎪⎩
1x 4, 107=x 4,
10=0, =
其中x 4是自由变量. 再经过一次初等变换得到
⎛1
0⎝
1
1⎫⎛1⎪ 1-1−−→⎪ 0
⎪ 00-1⎭⎝
01
0⎫⎪0. ⎪⎪1⎭
所以，原方程的解为
⎧x 1=0,
⎪
⎨x 2=0, .
⎪
⎩x 3=0,
3.3 逆矩阵求解线性方程组
定义8[1] 设A 是数域的n 阶方阵，如果在相同数域上存在另一个n 阶方阵
B ，使得: AB =BA =I . 那么我们称是A 的B 逆矩阵，A 被称为可逆矩阵，B 称
为A 的一个逆矩阵，记为A -1.
设线性方程组为AX =B ，其中：A =(a ij )n ⨯n ，X =(x 1
B =(b 1b 2 b n ).
T
x 2 x n )，
T
如果矩阵A 是可逆的，此时有X =A -1B . 例9 用逆矩阵求方程组AX =B 的解:
⎧3x 1⎪⎨x 1⎪2x ⎩1
+4x 2+2x 2+3x 2
+3x 1+5x 3+x 3
=0, =0, . =1,
T
⎛343⎫ ⎪
解：由题，A = 125⎪，x =(x 1
231⎪⎝⎭
x 2
x 3)，B =(001)，显然A 是可
逆的, 且
⎛7
6 9
A -1= -
6 1 ⎝6
-561216
7⎫-⎪3⎪2⎪， ⎪⎪1⎪-⎪3⎭
解得
⎛7 6⎛x 1⎫ ⎪ 9 x 2⎪= -6 x ⎪ ⎝3⎭
1 ⎝6
-
561216
7⎫-⎪⎛7⎫3⎛0⎫ -⎪⎪3
⎪ ⎪⎪2 0⎪= 2⎪.
⎪
1⎪⎪ 1⎪⎝⎭1 -⎪
-⎪⎝3⎭⎪3⎭
利用逆矩阵求解方程组时要求方程个数等于未知量的个数，并且A 是可逆的，否则此方法无效.
结束语
矩阵是一种数学符号，它解线性方程组中的应用很广泛。其主要是通过矩阵的初等变换求齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的解；并且矩阵的初等变换还可以判断齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的解的情况。同时，我们可以通过矩阵的初等变换或者计算k 阶余子式和k -1阶余子式求出矩阵的秩，矩阵的秩也是判断线性方程组的解的情况的一种普遍并且重要的方式。总之，矩阵在线性方程组中的应用非常广泛，它是大学数学高等代数的基础内容。矩阵在其他领域，如计算机等领域也有着十分广泛的应用，将来陆续在其他领域也会有着更加广阔的应用前景。
参考文献
[1] 丘维声. 高等代数第二版[M].高等教育出版社,2002. [2] 张贤达. 矩阵的分析与应用[M].北京:清华大学出版社,2004. [3] 张跃辉. 矩阵理论与应用[M].北京：科学出版社,2011. [5] 干晓蓉. 线性代数[M].北京：科学出版社,2010.1
[6] 王保华. 线性代数与应用[M].北京：中国经济出版社，1998.5
[7] 同济大学应用数学系. 线性代数，第五版[M].北京:高等教育出版社,2003 [8] 闵嗣鹤. 初等数论[M].北京:高等教育出版社，2003.4
致 谢
大学四年一晃而过，在最后的一段时光中，我非常感谢黄飞丹老师！黄老师在我毕业论文设计阶段给了我非常宝贵的指导，从最初的选题定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。为了指导我们的毕业论文，她放弃了自己的大量休息时间，而她的这种无私奉献的敬业精神实在令我钦佩，在此我向她表示我诚挚的谢意。同时，感谢所有任课老师和所有同学在这四年来给自己的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人。正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示我由衷的谢意，并祝所有的老师培养出越来越多的优秀人才，让我们学校更加的永留千古。