第24卷 第2期 吕梁高等专科学校学报 2008年6月 V ol. 24 No. 2 Journal of Lvliang Higher College Jun . 2008
不定积分的方法与技巧探讨
刘艳梅
（吕梁高等专科学校 数学系, 山西 吕梁 033300）
摘要：对不定积分的求法做分析和探讨, 结合一定量的例题, 归纳出不定积分的多种积分方法与积分技巧. 关键词：不定积分; 换元积分法; 分部积分法
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1008-7834（2008）02-0011-04
如何根据每个积分的具体特点, 以简捷的步骤得出结果是很重要的. 本文将举一些计算中带技巧性的例
子, 来说明一些常用的积分技巧, 当然这些技巧的掌握, 主要还是依赖于熟练的代数与三角知识以及多观察、分析例题, 做大量的习题, 并从解题的过程中随时吸取经验.
1 直接积分法
直接积分的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形, 变为代数和, 再逐项利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法.
例1
∫
1
=22
x (1+x )
∫
111
−=−−arctan x +C dx 22∫x 1+x x
例2
2
∫cos xdx =∫
1+cos 2x 1cos 2x 1sin 2x
+C =∫+∫dx =+
22224
2 第一换元法（凑微分）
使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分. 一方面, 对于那些不易观察的, 则不妨从被积函数中拿出一个表达式, 求其微分, 从而决定如何凑微分. 另一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式, 常见题型归纳总结如下：
2.1
∫
f (ax +b ) dx =
11
++=f (ax b ) d (ax b ) F (ax +b ) +C ∫a a
(a ≠0)
注：f (x ) 的原函数为F (x ) ，后文同样。
2.2
∫∫∫
f (ax n +b ) x n −1dx =f 11n n n f ax +b d ax +b =F ax +b ) +C
() () (na ∫na
2.3
F =2∫f d
2.4
11111
f () ⋅2dx =−∫f () d () =−F () +C x x x x x
收稿日期：2008-02-26
11
2.5
∫∫
f (e x ) e x dx =∫f (e x ) d (e x ) =F (e x ) +C 1
（ln x ）=F (ln x )+C f (lnx ) dx =∫f (lnx ) d
x
2.6 2.7
∫f (sinx )cos xdx =∫f (sinx ) d sin x =F (sinx ) +C ∫f (cosx )sin xdx =−∫f (cosx ) d cos x =−F (cosx ) +C ∫∫
f (tanx )sec 2xdx =∫f (tanx ) d (tanx ) =F (tanx ) +C f (cotx ) cs c 2xdx =−∫f (cotx ) d cot x =−F (cotx ) +C
2.8
∫∫
f (arc sin x =∫f (arc sin x ) d (arc sin x ) =F (arc sin x ) +C
f (arctanx )
1
dx =∫f (arctanx ) dx arctan x =F (arctanx ) +C 2
1+x
1
x =sin x
例3
∫csc xdx =∫
sec 2
∫
1
dx =
2sin cos
22d (tan
∫
x
d ()
2tan cos 222
1
=
∫
x
d (x ) =2tan 2
∫
1tan
2
x x
+C ) =ln tan
22
3 第二换元法（变量置换法）
3.1
∫
f dx =t
若形如：
∫f dx , =t
其中l =(m，n), 此代换又称幂函数代换
3.2 3.3 3.4
∫f ∫∫
dx , 令x =a sin t 或x =a cos t
f dx , 令x =a tan t 或x =a cot t
f dx , 令x =a sec t 或x =a csc t
例
4
∫
(a >0)
解：令x =atant
===a sec t ，
12
又dx =a sec tdt , 于是
2
∫
+C
，所以∫a
,
借助辅助三角形可得sec t =
=ln
+C . 3.5 倒代换.
对于形式为
∫, 可令x =
1
, 消去被积函数的根号. t
例5
计算
d (a >0)
解：令x =
111=(−2) dt =−∫
,
则t t C =−+C . 2 a x 1
=−2
2a
∫
4 分部积分法
（dv =v ′dx ）的选取, 通常v ′按照“三角函在运用分部积分法的公式udv =uv −vdu 时, 关键是u 与dv
数, 指数函数, 幂函数, 对数函数, 反三角函数”顺序选取, 以下举例说明.
2x
例6 求：x ∫e dx
∫∫
分析：被积函数是幂函数x 与指数函数e 的乘积, 可以选取e dx 为dv , 即：dv =e dx , 则
2x 2x 2x x 22x x
∫x e dx =∫x d (e ) =x e −∫e d (x ) =x e −2∫xe dx =x e −2(xe −e ) +C =e (x −2x +2) +C .
2x x x
2x x x x 2
例7 求e sin xdx
分析：被积函数是指数函数e 与三角函数sin x 的乘积, 可以选取sin xdx 为dv , 即：, dv =sin xdx , 则
x x x x x x e cos xdx =e d (sinx ) =e sin x −sin xd (e ) =e sin x −e ∫∫∫∫sin xdx
x
∫
x
=e x sin x −∫e x d (−cos x ) =e x sin x −[−e x cos x +∫e x cos xdx ]=e x sin x +e x cos x −∫e x cos xdx
于是
1x x
cos e xdx =e sin x +e x cos x ）+C . ∫2
13
5 其他方法
5.1 有些不定积分, 利用拆（添）项的方法可以使问题简化.
dx (1+e x −e x ) dx dx e x dx
例8 ∫==∫−
(1+e x ) 2∫(1+e x ) 21+e x ∫(1+e x ) 2
e −x dx d (e x +1) 1−x
=∫−x −∫=ln(e +1) ++C
e +1(1+e x ) 21+e x
5.2 涉及三角函数的不定积分, 有时需要考虑”1”的逆用, 可以使复杂问题简单化.
dx （sin 2x +cos 2x ）11
==(+例9 ∫∫sin 2x cos 2x dx sin 2x cos 2x ∫sin 2x cos 2x
=∫(csc2x +sec 2x ) dx =tan x −cot x +C
5.3 有些不定积分, 单独考虑时较难积出, 倘若构造另一个不定积分与之组合, 可利用相互之间的关联性质积出. 笔者称这种方法为“解方程组法”
例10 求解
dx
∫1+x 4
dx x 2dx
J 2=∫则
解：令 J 1=∫44
1+x 1+x
11
dx d x ) (−) 2(1+x ) dx =+C J 1+J 2=∫==1∫2∫
2
1+x 4x +(x −) +2
x x 1d (x +2
(1−x ) dx J 1−J 2=∫=−∫=+C 2 4
1+x (x −) 2+2x
2
(1+
于是, 解方程组得：
dx J 1=∫=−+C . 4
1+x
参考文献：
[1]华东师范大学数学系编. 数学分析（上册）[M].高等教育出版社,1990. [2]仉志余. 大学数学应用教程（上册）[M].北京大学出版社,2006.8. [3]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1998.5.
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第24卷 第2期 吕梁高等专科学校学报 2008年6月 V ol. 24 No. 2 Journal of Lvliang Higher College Jun . 2008
不定积分的方法与技巧探讨
刘艳梅
（吕梁高等专科学校 数学系, 山西 吕梁 033300）
摘要：对不定积分的求法做分析和探讨, 结合一定量的例题, 归纳出不定积分的多种积分方法与积分技巧. 关键词：不定积分; 换元积分法; 分部积分法
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1008-7834（2008）02-0011-04
如何根据每个积分的具体特点, 以简捷的步骤得出结果是很重要的. 本文将举一些计算中带技巧性的例
子, 来说明一些常用的积分技巧, 当然这些技巧的掌握, 主要还是依赖于熟练的代数与三角知识以及多观察、分析例题, 做大量的习题, 并从解题的过程中随时吸取经验.
1 直接积分法
直接积分的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形, 变为代数和, 再逐项利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法.
例1
∫
1
=22
x (1+x )
∫
111
−=−−arctan x +C dx 22∫x 1+x x
例2
2
∫cos xdx =∫
1+cos 2x 1cos 2x 1sin 2x
+C =∫+∫dx =+
22224
2 第一换元法（凑微分）
使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分. 一方面, 对于那些不易观察的, 则不妨从被积函数中拿出一个表达式, 求其微分, 从而决定如何凑微分. 另一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式, 常见题型归纳总结如下：
2.1
∫
f (ax +b ) dx =
11
++=f (ax b ) d (ax b ) F (ax +b ) +C ∫a a
(a ≠0)
注：f (x ) 的原函数为F (x ) ，后文同样。
2.2
∫∫∫
f (ax n +b ) x n −1dx =f 11n n n f ax +b d ax +b =F ax +b ) +C
() () (na ∫na
2.3
F =2∫f d
2.4
11111
f () ⋅2dx =−∫f () d () =−F () +C x x x x x
收稿日期：2008-02-26
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2.5
∫∫
f (e x ) e x dx =∫f (e x ) d (e x ) =F (e x ) +C 1
（ln x ）=F (ln x )+C f (lnx ) dx =∫f (lnx ) d
x
2.6 2.7
∫f (sinx )cos xdx =∫f (sinx ) d sin x =F (sinx ) +C ∫f (cosx )sin xdx =−∫f (cosx ) d cos x =−F (cosx ) +C ∫∫
f (tanx )sec 2xdx =∫f (tanx ) d (tanx ) =F (tanx ) +C f (cotx ) cs c 2xdx =−∫f (cotx ) d cot x =−F (cotx ) +C
2.8
∫∫
f (arc sin x =∫f (arc sin x ) d (arc sin x ) =F (arc sin x ) +C
f (arctanx )
1
dx =∫f (arctanx ) dx arctan x =F (arctanx ) +C 2
1+x
1
x =sin x
例3
∫csc xdx =∫
sec 2
∫
1
dx =
2sin cos
22d (tan
∫
x
d ()
2tan cos 222
1
=
∫
x
d (x ) =2tan 2
∫
1tan
2
x x
+C ) =ln tan
22
3 第二换元法（变量置换法）
3.1
∫
f dx =t
若形如：
∫f dx , =t
其中l =(m，n), 此代换又称幂函数代换
3.2 3.3 3.4
∫f ∫∫
dx , 令x =a sin t 或x =a cos t
f dx , 令x =a tan t 或x =a cot t
f dx , 令x =a sec t 或x =a csc t
例
4
∫
(a >0)
解：令x =atant
===a sec t ，
12
又dx =a sec tdt , 于是
2
∫
+C
，所以∫a
,
借助辅助三角形可得sec t =
=ln
+C . 3.5 倒代换.
对于形式为
∫, 可令x =
1
, 消去被积函数的根号. t
例5
计算
d (a >0)
解：令x =
111=(−2) dt =−∫
,
则t t C =−+C . 2 a x 1
=−2
2a
∫
4 分部积分法
（dv =v ′dx ）的选取, 通常v ′按照“三角函在运用分部积分法的公式udv =uv −vdu 时, 关键是u 与dv
数, 指数函数, 幂函数, 对数函数, 反三角函数”顺序选取, 以下举例说明.
2x
例6 求：x ∫e dx
∫∫
分析：被积函数是幂函数x 与指数函数e 的乘积, 可以选取e dx 为dv , 即：dv =e dx , 则
2x 2x 2x x 22x x
∫x e dx =∫x d (e ) =x e −∫e d (x ) =x e −2∫xe dx =x e −2(xe −e ) +C =e (x −2x +2) +C .
2x x x
2x x x x 2
例7 求e sin xdx
分析：被积函数是指数函数e 与三角函数sin x 的乘积, 可以选取sin xdx 为dv , 即：, dv =sin xdx , 则
x x x x x x e cos xdx =e d (sinx ) =e sin x −sin xd (e ) =e sin x −e ∫∫∫∫sin xdx
x
∫
x
=e x sin x −∫e x d (−cos x ) =e x sin x −[−e x cos x +∫e x cos xdx ]=e x sin x +e x cos x −∫e x cos xdx
于是
1x x
cos e xdx =e sin x +e x cos x ）+C . ∫2
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5 其他方法
5.1 有些不定积分, 利用拆（添）项的方法可以使问题简化.
dx (1+e x −e x ) dx dx e x dx
例8 ∫==∫−
(1+e x ) 2∫(1+e x ) 21+e x ∫(1+e x ) 2
e −x dx d (e x +1) 1−x
=∫−x −∫=ln(e +1) ++C
e +1(1+e x ) 21+e x
5.2 涉及三角函数的不定积分, 有时需要考虑”1”的逆用, 可以使复杂问题简单化.
dx （sin 2x +cos 2x ）11
==(+例9 ∫∫sin 2x cos 2x dx sin 2x cos 2x ∫sin 2x cos 2x
=∫(csc2x +sec 2x ) dx =tan x −cot x +C
5.3 有些不定积分, 单独考虑时较难积出, 倘若构造另一个不定积分与之组合, 可利用相互之间的关联性质积出. 笔者称这种方法为“解方程组法”
例10 求解
dx
∫1+x 4
dx x 2dx
J 2=∫则
解：令 J 1=∫44
1+x 1+x
11
dx d x ) (−) 2(1+x ) dx =+C J 1+J 2=∫==1∫2∫
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1+x 4x +(x −) +2
x x 1d (x +2
(1−x ) dx J 1−J 2=∫=−∫=+C 2 4
1+x (x −) 2+2x
2
(1+
于是, 解方程组得：
dx J 1=∫=−+C . 4
1+x
参考文献：
[1]华东师范大学数学系编. 数学分析（上册）[M].高等教育出版社,1990. [2]仉志余. 大学数学应用教程（上册）[M].北京大学出版社,2006.8. [3]裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1998.5.
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