晶体的宏观对称性
物理科学学院 季淑英 2014020231
摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴
一 什么是晶体
人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。
所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。
二 晶体的宏观对称
对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作
对一种晶体而言, 其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列, 当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原, 这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质, 是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现, 晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即ρ（r ）。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足
r →gr =r ’，
如果这导致
ρ（r ’）=ρ（gr ）=ρ（r ）
那么g 是ρ（r ）的一个对称操作。
2 对称元素
对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者C n ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：
⎛x ，⎫⎛a a 12 ，⎪ 11
y ⎪= a 21a 22 z ，⎪ a
⎝⎭⎝31a 32
⎛a 11
其中，M 为正交矩阵，M = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫⎛x ⎫⎪ ⎪a 23⎪∙ y ⎪
⎪a 33⎪⎭⎝z ⎭a 13⎫⎪a 23⎪ a 33⎪⎭
2.1 对称中心和反演（i ）
取晶体中心为原点，将晶体中任一点(x ，y ，z )变成(-x ，-y ，-z )
⎛-100⎫
⎪M = 0-10⎪
0⎪0-1⎝⎭
2.2 对称面和反映（m ）
以z =0作为镜面，将晶体中的任何一点(x ，y ，z )变成(x ，y ，-z )
⎛100⎫ ⎪M = 010⎪
00-1⎪⎝⎭
2.3 n 次旋转对称轴（n 或者C n ）和n 次旋转反演轴（n ） 2.3.1n 次旋转对称轴（n 或者C n ）
π/n以后能自身重合，则称该轴为n 次若晶体绕某一固定轴旋转角度α=2
旋转对称轴。
定理1：晶体结构中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6重轴 证明：
如图所示A 1，A 2为一列点阵上相邻的两格点，其周期为a 。现晶体允许有n 次旋转轴通过格点，因为每个阵格的性质相同。以a 作半径转动角为α=
2π
将可得到n
另一个格点。绕A 1顺时针将A 2转α到格点B 1，而绕A 2逆时针将A 1转α到格点B 2。
B 1和B 2连线平行于A 1，A 2直线点阵，且B 1和B 2间的距离必须为a 的整数倍，设
为ma ，m 为整数。 则有：
a +2a cos （1800-α）=ma
cos α=
1-m
2
|
1-m
|≤1
2
由上表可知，晶体的旋转对称轴只能是1、2、3、4和6重轴。
晶体中只有1，2，3，4，6 次旋转轴，没有5次轴和大于6次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而5边形和(n>6)边形不能布满平面空间 来直观理解。 2.3.2 n 次旋转反演轴（n ）
π/n以后，再经过中心反演晶体能自身重合，则称绕某一对称轴旋转α=2
该轴为n 次旋转反演轴，称n 次旋转反演轴，又称像转轴。显然晶体的旋转反演
轴也只有1,2,3,4,6次，而不可能有5次或6次以上的旋转反演轴，用1，2，3，4，6表示。
注意：只有黑色点具有旋转－反演轴对称关系
对于晶体的宏观对称性，有反演，反映，旋转轴三类对称操作，对应
1, 2, 3, 4, 6，1，2，3，4，6和i ，m 等12种操作，但这12种对称操作并不完全是线性无关的（相互独立的），在研究晶体的对称性时，需要用三类操作的线性无关操作来简化问题。
定理2：在晶体的宏观对称性中，有以下8种基本对称操作元素，即
1，2,3,4,6，i ，m ，4
证明：
1表示中心反演，称为对称中心，即1=i ，2次旋转反演轴2代表垂直于该轴的
对称面（镜像）即2=m 。3的效果和3次旋转轴加上对称中心i 的总效果是一样的。6的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果是一样的。
即1=i ，2=m ，3=3+i ，6=3+m ，在有1,2,3,4,6，i 和m 的情况下，它们都不是独立的，唯有4是一个独立的对称元素和对称操作。综上所得，在晶体的宏观对称性中，只有1，2,3,4,6，i ，m ，4这8种基本对称操作元素。
三 总结
晶体的理想外形及其宏观观察中所表现出来的对称性称为宏观对称性，它与有限分子的对称性一样，也具有点对称的性质。对称元素所对应的对称操作构成点群。
每个晶体的对称性是上述8种基本对称元素的可能组合，可以证明总共只能有32种不同的组合方式，称为32种晶体学点群。点群反映的是晶体理想外形的对称性，根据晶体对称性的差异对晶体进行科学的分类，为晶体的研究提供理论基础。
晶体的宏观对称性
物理科学学院 季淑英 2014020231
摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴
一 什么是晶体
人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。
所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。
二 晶体的宏观对称
对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作
对一种晶体而言, 其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列, 当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原, 这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质, 是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现, 晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即ρ（r ）。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足
r →gr =r ’，
如果这导致
ρ（r ’）=ρ（gr ）=ρ（r ）
那么g 是ρ（r ）的一个对称操作。
2 对称元素
对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者C n ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：
⎛x ，⎫⎛a a 12 ，⎪ 11
y ⎪= a 21a 22 z ，⎪ a
⎝⎭⎝31a 32
⎛a 11
其中，M 为正交矩阵，M = a 21
a ⎝31
a 12a 22a 32
a 13⎫⎛x ⎫⎪ ⎪a 23⎪∙ y ⎪
⎪a 33⎪⎭⎝z ⎭a 13⎫⎪a 23⎪ a 33⎪⎭
2.1 对称中心和反演（i ）
取晶体中心为原点，将晶体中任一点(x ，y ，z )变成(-x ，-y ，-z )
⎛-100⎫
⎪M = 0-10⎪
0⎪0-1⎝⎭
2.2 对称面和反映（m ）
以z =0作为镜面，将晶体中的任何一点(x ，y ，z )变成(x ，y ，-z )
⎛100⎫ ⎪M = 010⎪
00-1⎪⎝⎭
2.3 n 次旋转对称轴（n 或者C n ）和n 次旋转反演轴（n ） 2.3.1n 次旋转对称轴（n 或者C n ）
π/n以后能自身重合，则称该轴为n 次若晶体绕某一固定轴旋转角度α=2
旋转对称轴。
定理1：晶体结构中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6重轴 证明：
如图所示A 1，A 2为一列点阵上相邻的两格点，其周期为a 。现晶体允许有n 次旋转轴通过格点，因为每个阵格的性质相同。以a 作半径转动角为α=
2π
将可得到n
另一个格点。绕A 1顺时针将A 2转α到格点B 1，而绕A 2逆时针将A 1转α到格点B 2。
B 1和B 2连线平行于A 1，A 2直线点阵，且B 1和B 2间的距离必须为a 的整数倍，设
为ma ，m 为整数。 则有：
a +2a cos （1800-α）=ma
cos α=
1-m
2
|
1-m
|≤1
2
由上表可知，晶体的旋转对称轴只能是1、2、3、4和6重轴。
晶体中只有1，2，3，4，6 次旋转轴，没有5次轴和大于6次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而5边形和(n>6)边形不能布满平面空间 来直观理解。 2.3.2 n 次旋转反演轴（n ）
π/n以后，再经过中心反演晶体能自身重合，则称绕某一对称轴旋转α=2
该轴为n 次旋转反演轴，称n 次旋转反演轴，又称像转轴。显然晶体的旋转反演
轴也只有1,2,3,4,6次，而不可能有5次或6次以上的旋转反演轴，用1，2，3，4，6表示。
注意：只有黑色点具有旋转－反演轴对称关系
对于晶体的宏观对称性，有反演，反映，旋转轴三类对称操作，对应
1, 2, 3, 4, 6，1，2，3，4，6和i ，m 等12种操作，但这12种对称操作并不完全是线性无关的（相互独立的），在研究晶体的对称性时，需要用三类操作的线性无关操作来简化问题。
定理2：在晶体的宏观对称性中，有以下8种基本对称操作元素，即
1，2,3,4,6，i ，m ，4
证明：
1表示中心反演，称为对称中心，即1=i ，2次旋转反演轴2代表垂直于该轴的
对称面（镜像）即2=m 。3的效果和3次旋转轴加上对称中心i 的总效果是一样的。6的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果是一样的。
即1=i ，2=m ，3=3+i ，6=3+m ，在有1,2,3,4,6，i 和m 的情况下，它们都不是独立的，唯有4是一个独立的对称元素和对称操作。综上所得，在晶体的宏观对称性中，只有1，2,3,4,6，i ，m ，4这8种基本对称操作元素。
三 总结
晶体的理想外形及其宏观观察中所表现出来的对称性称为宏观对称性，它与有限分子的对称性一样，也具有点对称的性质。对称元素所对应的对称操作构成点群。
每个晶体的对称性是上述8种基本对称元素的可能组合，可以证明总共只能有32种不同的组合方式，称为32种晶体学点群。点群反映的是晶体理想外形的对称性，根据晶体对称性的差异对晶体进行科学的分类，为晶体的研究提供理论基础。