一、 ｎ阶行列式计算： （共20分，每小题10分）
+x 1⋅⋅⋅111+x ⋅⋅⋅1
（1） A n =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1111+x
+x 1
1
（2）A n =
11+x 21
⋅⋅⋅11
111+x 3⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
111⋅⋅⋅1
111
⋅⋅⋅11+x n
1⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅1+x n -1
其中x i ≠0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, n 。
二、假设A 为n 阶方阵，D =diag {λ1, λ2, λ3, ⋅⋅⋅, λn }是n 阶对角阵，其中λ1, λ2, λ3⋅⋅⋅, λn 两两不相等，且AD =DA ，证明:A必为对角阵。 (10分)
三．设ε1, ε2, ε3是复数域上三维线性空间V 的一组基，T 是V 的一个线性变换，它在这组基
（装订线内不要答题）
四、讨论参数α, β的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。
⎛56-3⎫ ⎪
下的矩阵为A = -101⎪，即T (ε1, ε2, ε(ε, ε, 3) εA 。求：T 的所有的特征值与特3) =12
12-1⎪⎝⎭
征向量。 (12分)
⎧αx 1
⎪⎨x 1⎪x ⎩1
+
x 2
+++
x 3x 3x 3
=4
=3 （18分） =4
+βx 2+2βx 2
五、设A , B 分别为实数域上m 阶、n 阶方阵，试证明：
⎛A 0⎫
1． 如果A , B 都相似于对角矩阵，则 ⎪也相似于一个对角矩阵。
0B ⎝⎭
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2． 设
⎛A 0⎫
⎪相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵S ，使得
⎝0B ⎭
⎛A 0⎫S -1 ⎪S =diag (λ1, λ2, ⎝0B ⎭
, λn ) 。
对S 进行分块，令S =
⎛S 1⎫
⎪，其中S 1是m ⨯(m +n ) 阶矩阵，S 2是n ⨯(m +n ) 阶矩阵。试S ⎝2⎭
证明：S 1的每一列都是A 的特征向量，S 2的每一列是B 的特征向量，并且
rank (S 1) =m , rank (S 2) =n 。
3．
⎛A 0⎫
⎪相似于一个对角矩阵当且仅当A , B 都相似于对角阵。(共20分)
⎝0B ⎭
n
n
R 为实数域R 上全体n 维向量的集合。六、设R 为实数集，设本题中的向量均在R
中。证明（共20分）： （1）设向量组α1, α2, 组
, αs 可以由向量组β1, β2, , βt 线性表示，且s >t ，则向量
α1, α2, , αs 是线性相关的。 （10分）
, γs 可由向量组δ1, δ2,
, γs ) =(δ1, δ2,
, δt 线性表示，即存在实数域R 上的, δt ) ∙A ，并设δ1, δ2,
, δt 是线性
（2）设向量组γ1, γ2,
t ⨯s 的矩阵A ，使得(γ1, γ2,
无关向量组，则向量组γ1, γ2,
, γs 的秩等于矩阵A 的秩。 （10分）
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一、 ｎ阶行列式计算： （共20分，每小题10分）
+x 1⋅⋅⋅111+x ⋅⋅⋅1
（1） A n =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1111+x
+x 1
1
（2）A n =
11+x 21
⋅⋅⋅11
111+x 3⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
111⋅⋅⋅1
111
⋅⋅⋅11+x n
1⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅1+x n -1
其中x i ≠0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, n 。
二、假设A 为n 阶方阵，D =diag {λ1, λ2, λ3, ⋅⋅⋅, λn }是n 阶对角阵，其中λ1, λ2, λ3⋅⋅⋅, λn 两两不相等，且AD =DA ，证明:A必为对角阵。 (10分)
三．设ε1, ε2, ε3是复数域上三维线性空间V 的一组基，T 是V 的一个线性变换，它在这组基
（装订线内不要答题）
四、讨论参数α, β的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。
⎛56-3⎫ ⎪
下的矩阵为A = -101⎪，即T (ε1, ε2, ε(ε, ε, 3) εA 。求：T 的所有的特征值与特3) =12
12-1⎪⎝⎭
征向量。 (12分)
⎧αx 1
⎪⎨x 1⎪x ⎩1
+
x 2
+++
x 3x 3x 3
=4
=3 （18分） =4
+βx 2+2βx 2
五、设A , B 分别为实数域上m 阶、n 阶方阵，试证明：
⎛A 0⎫
1． 如果A , B 都相似于对角矩阵，则 ⎪也相似于一个对角矩阵。
0B ⎝⎭
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2． 设
⎛A 0⎫
⎪相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵S ，使得
⎝0B ⎭
⎛A 0⎫S -1 ⎪S =diag (λ1, λ2, ⎝0B ⎭
, λn ) 。
对S 进行分块，令S =
⎛S 1⎫
⎪，其中S 1是m ⨯(m +n ) 阶矩阵，S 2是n ⨯(m +n ) 阶矩阵。试S ⎝2⎭
证明：S 1的每一列都是A 的特征向量，S 2的每一列是B 的特征向量，并且
rank (S 1) =m , rank (S 2) =n 。
3．
⎛A 0⎫
⎪相似于一个对角矩阵当且仅当A , B 都相似于对角阵。(共20分)
⎝0B ⎭
n
n
R 为实数域R 上全体n 维向量的集合。六、设R 为实数集，设本题中的向量均在R
中。证明（共20分）： （1）设向量组α1, α2, 组
, αs 可以由向量组β1, β2, , βt 线性表示，且s >t ，则向量
α1, α2, , αs 是线性相关的。 （10分）
, γs 可由向量组δ1, δ2,
, γs ) =(δ1, δ2,
, δt 线性表示，即存在实数域R 上的, δt ) ∙A ，并设δ1, δ2,
, δt 是线性
（2）设向量组γ1, γ2,
t ⨯s 的矩阵A ，使得(γ1, γ2,
无关向量组，则向量组γ1, γ2,
, γs 的秩等于矩阵A 的秩。 （10分）
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