第2讲 圆周角定理与圆的切线
考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】
本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法
.
基础梳理
1．圆周角定理
(1) (2) (3)圆周角定理的推论
①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角
(1) (2)弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．
双基自测
1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝
AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4
2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________.
解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
1
∴∠BDC＝2∠BOC＝50°. 答案 50°
3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC， 因此△BOC是等边三角形，
OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1， 所以圆O的面积为π×12＝π. 答案 π
4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．
解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A
＝
60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°. 答案 30°
5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则圆O的直径为________．
解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝O的直径为4. 答案 4
考向一 圆周角的计算与证明
【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB
AP23
＝tan 60°2，故圆
tan ∠AOP
＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.
[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解． 解析 连接AD，BC.因为AB是圆O 的直径，所以∠
ADB＝∠ACB＝90°.
CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝
sin∠DACsin∠ACDABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD2所以cos∠DAP＝
32.
2
又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2. 2
答案 2
解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．
【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O
的面积等于________．
解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π. 答案 16π
考向二 弦切角定理及推论的应用
【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．
[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．
解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB. 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， BEAB
∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC. EFBEABEF
又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD， CDEF5EF
∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6， 3015
∴EF＝84.
15答案 4
(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，
从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
【训练2】 (2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.
证明 (1)因为AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC， 即BC2＝BE×CD
.
高考中几何证明选讲问题(二)
从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．
【示例】► (2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
第2讲 圆周角定理与圆的切线
考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】
本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法
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基础梳理
1．圆周角定理
(1) (2) (3)圆周角定理的推论
①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角
(1) (2)弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．
双基自测
1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝
AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案 6.4
2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________.
解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
1
∴∠BDC＝2∠BOC＝50°. 答案 50°
3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC， 因此△BOC是等边三角形，
OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1， 所以圆O的面积为π×12＝π. 答案 π
4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．
解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A
＝
60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°. 答案 30°
5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则圆O的直径为________．
解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝O的直径为4. 答案 4
考向一 圆周角的计算与证明
【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB
AP23
＝tan 60°2，故圆
tan ∠AOP
＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.
[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解． 解析 连接AD，BC.因为AB是圆O 的直径，所以∠
ADB＝∠ACB＝90°.
CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝
sin∠DACsin∠ACDABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD2所以cos∠DAP＝
32.
2
又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2. 2
答案 2
解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．
【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O
的面积等于________．
解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π. 答案 16π
考向二 弦切角定理及推论的应用
【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．
[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．
解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB. 又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC， BEAB
∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC. EFBEABEF
又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD， CDEF5EF
∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6， 3015
∴EF＝84.
15答案 4
(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，
从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．
【训练2】 (2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.
证明 (1)因为AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC， 即BC2＝BE×CD
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高考中几何证明选讲问题(二)
从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．
【示例】► (2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．