小学数学教学研究自考复习资料
教材《小学数学专题研究》李星云著
第一章 小学数学课程目标及内容
一、数学是一种研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。
数学本质：数学是一种研究思想事物的科学——恩格斯。 二、数学的作用：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。数学是一切科学技术的基础，数学的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然和社会科学中，数学作为一种文化，已成人们的共识。
三、我国数学课程及演变过程：
（1）萌芽时期（公元前600年前）
（2）初等数学时期(公元前600年——17世纪中叶)
（3）变量数学时期（17世纪中叶——19世纪20年代）
（4）近代数学时期（19世纪20年代——第二次世界大战）
（5）现代数学时期（第二次世界大战以来）
作为一门学科，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学馆。臵博士、助教，选定和注释从汉朝以来的十部算经， 以《算经十书》著。《算经十书》是我国古代数学发展和成就的代表文献，构成了我国古代传统数学体系。①《周髀算经》勾股定理；②《九章算术》方程章中第13题是著名“五家共井”最早的不定方程问题；③《孙子算经》“知客几何”“鸡兔同笼”尤其是“物不知数”是后来驰名于世的“大衍求一术”的起源，是中国古代数学最具独创精神的成就之一。④《张丘建算经》 提出了有趣的不定方程和解法“百鸡问题”；⑤《缉古算经》三次方程的代数解法；《数学记遗》“九宫图”。⑥三国时期刘徽用割圆术求出了圆周率值为3.14，之后法国数学家伟达用解析方法求出π值。⑦
世界上第一本讨论排列组合的书是《周易》
算学作为小学课程则从近代光绪二十八年（1902年）才正式开始。
1892年编《笔算数学》，则是我国学校里的第一部算学教科书。
1903年春编制《最新教科书》我国自己编写的第一本正式的小学算学课本问世。
1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。
1992年三个面向“面向现代化”、“面向世界”、“面向未来”。
四、国外数学课程变革的简况及趋势。
20世纪初，德国数学家克莱因发起并领导了数学教育近代化运动。
现代数学运动发展是不平衡的，分三种类型：1. 革新型 如英美；2. 进化型 如苏联；
3. 中间型 如日本。
相似之处：
1. 精简传统的算术内容：
2. 增减或渗透集合、函数、统计等现代数
学内容；
3. 用结构思想处理传统内容。
“回归基础”改为“走向基础”。
大众数学:目标让全体学生学好数学、学习
更多的数学而且是需要的数学。
五、小学数学课程目标与分析（参考课标） 小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、进行质量评估、决定考试命题等进行的依据。
1、 小学数学课程目标制定的依据
2、小学数学课程目标
3、 小学数学课程内容
六、学科数学与科学数学
课程内容的载体是教材——教科书。
学科数学的内容是依赖于科学数学二建立和发展的。
1. 作为科学的数学，它不考虑人们是否能
够理解和接受，只要能完备而又精确地阐明某种数学理论，更深刻地反应世界的空间形式和数量关系就行。而作为学科的数学必须遵循学生的认知规律和心理特点，往往日常生活、生产中的具体事例出发，对现象进行描述，然而转向定义、定律、性质等的揭露。
2. 作为科学数学，对所有的定理、法则等
都必须进行严格的论证和推导，而作为学科的数学限于学生的接收水平，往往通过列举一些事例用不完全归纳法得出结论。
3. 作为科学的数学，完全按照数学伦理的
逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均；作为学科数学在不影响科学性的前提下，兼顾小学生的认知规律。对某些内容可以适当调整。
由此可见，科学数学是作为人类认识的结果而呈现的，已完全揭示数量关系和空间形式为目的；而学科数学可看作为认识对象而存在。对作为小学学科的数学而言，除了正确反映科学数学的知识外，还必须充分遵循小学生的认知规律，有利于使他们学懂、学好、学活。有利于发展他们的智能，有利于进行思想品德教育。
七、小学数学课程内容编排原则：
1. 以数与计算为主线，以数与形式为重
点，把各部分内容按其彼此的内在联系结合起来。
2. 由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋
1、 上升。 3. 突出重点，分散难点。 4. 把数学知识和数学应用结合起来。 5. 注重趣味性。 数学学科的特点：1. 高度的抽象性2. 严密的逻辑性3. 应用的广泛性。 第二章 小学数学解题的理论依据 一、 数学问题及其组成 1、数学问题虽然名称不同，叙述内容不同，
但它们却有一个共同的特点，即是在一定的知识背景中提出的。知识背景主要包括已有的概念、理论和方法。因此，我们认为依照数学问题的解答与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为两类：常规问题和非常规问题。
2、依照数学问题提法的意义是否明确，数学问题的条件是否充分，我们还可以把数学问题划分为：可能问题和不可能问题。
3、数学问题的组成成分是条件、目标和运算。（三大组成部分也叫构成要素）
二、智力结构与活动方式
1、智力两个方面：一是天赋的潜力、
特性和发展的容量；即健全的神经代谢的总和。二是发展得以进行下去的大脑功能，即能够决定操作和理解的功能。
皮亚杰关于智力阶段的划分
感知运动阶段（0——2岁）
前运算阶段（2——7岁）
具体运算阶段（7——11岁）
形式运算阶段（11岁以上）
同化和顺应是相对立的两种力量。同化是一个人按照过去的经验、图示来活动；顺应则是根据面临的新信息所作的改变和思考。
2、智力活动方式：
（1）根据基本的心理过程，分为知觉方式、记忆方式和思维方式。
（2）根据完成的主要功能，分为定向方式、执行和控制方式。
（3）根据标准和规范化程度，分为计算性方式、算法指令性方式、启发性方式。
（4） 根据动作的共同性，分为一般方
式和具体方式。
另外，根据智力活动在人类不同认知领域
1、 里的运用程度，又可以分为一般方式（如分析、综合、抽象、概括、比较等）和限于某一认识领域的特殊方式。 二、 数学思维品质及其发展水平 1、思维：人脑对客观事物的本质特征、
相互关系及其内在规律性的概括的、间接的反映，是人们对外接输入的信息的感知的基础上经过分析、综合、比较、抽象、概括等智力活动方式，对其加工、推理和获得理性认识的心理过程。
2、思维的本质：思维是间接认识事物，是通过感知与被直接认识的事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。
3、思维的类型：1. 逻辑性思维2. 非逻辑
性思维。
形式逻辑思维：是以概念、判断、推
理等思维方式，同一律，矛盾律、排中
律等思维规律，归纳、演绎、类比、科
学假设等思维方法为其研究对象。
辩证逻辑思维：研究的是思维形式如何
正确反映客观事物的运动变化、事物的
内部矛盾、事物的有机联系和转化等问
题，其主要特点是用有限量来描述和刻
画。
4、数学思维：又叫数学型思维，就是
以数和形为思维的对象。以数学的语言
和符号为思维的载体，以认识和发现数
学规律为目的的一种思维。
数学思维品质：灵活性、积极性、目的
性、记忆性、广阔性、深刻性、批判性、准确性、简捷性、独创性和证明性。
数学思维水平的评定：第一级水平——
第五级水平
前两级水平是小学年级的学生所特有
的，第三级水平是初中年级学生所特有
的；第四级水平是高中年级学生所特有
的，至于第五级水平无论是几何方面还
是代数方面的，均属于数学思维的现代
水平。一般的中学阶段的学生是难以达
到的。
四、影响小学数学解题的心理因素：（两
大）
（一）问题解决的特征：1. 问题情境因
素2. 解题者的个体特征（解题者知识
经验基础和个性品质）3. 解题中的认知
策略（解题者用来调节注意、回忆和思
维的技能）
（二） 迁移与思维定势：
迁移是指一种知识、技能的学习和应用对另一种知识、技能的学习和应用所施加的影响。
思维定势：指的是一种思维的定向预备状态，在思维不受到新干扰的情况下，人们按照既定的方向或者方法去思考。
第三章 小学数学解题的认知过程
一、 小学数学学习及认知
学习：从广义上理解，学习是有机体
凭借经验的获得而产生的比较持久的
行为（思维、想象‘记忆、感知等内
部心理活动和语言、表情、动作等外
部活动）变化。
从狭义上理解，学习是指学生在老师指导下，有目的、有计划、有组织、有步骤地进行的获得知识、形成技能、培养能力、发展个性的过程。
桑代克——刺激反应理论，学习是刺激
和反应的联结。
苛勒——完形理论，学习是零碎和知觉
信息的再组织过程。
托尔曼——认知理论，学习是对环境中
的刺激，依其关系形成一种新的认知结构的过程，是意义的获得和实现期望的过程等等。
小学数学学习：是在教师指导下获得数
学知识、数学技能和数学能力，发展个性数学品质的过程。由于数学自身具有逻辑的严谨性、高度的抽象性及应用的广泛性，所以，小学数学学习的核心内容和最终母的是解决小学数学问题。
小学数学解题：作为小学生的一种特殊
心理活动，综合起来说，它属于一种认知学习。小学数学解题是一种逐渐深入的，具体某种程度创新性和思维对策的心理活动（认知）过程。不求甚解、生搬硬套、机械呆板等等，都不是小学数学解题的真实含义。
二、认知结构：是指个体在感知及理解
客观现实的基础上，在头脑里形成的一种心理结构。简单点说认知结构就是在个体头脑
里的知识结构。
小学数学解题作为小学数学学习的主
要内容和方式，其意义也就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学认知结构，并伴随着同化和顺应等特征。
小学数学解题并不是数学知识的简单
应用，而是以原有数学认知结构为依据，对新知识进行加工。
三、技能：是顺利完成某种任务的一种
心智或动作的活动方式，她需要通过练习才能形成。
动作：泛指在完成一项具体任务中所涉
及的一系列操作，以完善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作技能。心智系指借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感知、记忆、想象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。
技能和能力：是不同的概念，二者既有
联系，又有区别。技能是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性心理特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发展起重要的促进作用。
数学动作技能：指运用工具绘图的技
能，测量技能、使用计算工具的技能等。
数学心智技能：指数的计算技能、式的
恒等变形技能、解方程、解不等式的技能，推理论证技能、运用数学方法的技能等。
这两种数学技能既有联系又有区别。一
方面数学心智技能的形成，与数学动作技能有关；另一方面，数学动作技能又受数学心智技能控制。
数学认知技能：的形成，也有一个过程，就小学数学解题而言，可以概括成认知阶段、联结形成阶段和自动阶段。
小学数学解题中的数学认知技能尽管
有上述的几个阶段，但最终得以形成，都要经历一个从“会”到“熟”的过程，其间必须不断通过有计划、有目的的练习，才能完成这一转变。
发展：作为一般意义上的理解是指人的
各种特性在结构上和机能上的变化。发展有生理发展和心理发展之分。
四、认知发展：是指与大脑生长和知识
技能有关的发展方面。涉及人在知觉、记忆、
思维、语言、智力等方面种种功能的发展变化。
小学数学认知发展可以理解为小学数
学认知结构和数学认知技能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包含这几个阶段：1. 输入阶段2. 同化和顺应阶段3. 应用阶段。以上三个阶段是密切联系的。
第四章 小学数学解题的实质和结构
一、小学数学解题的含义
小学数学解题即小学数学领域中的问
题解决，不但要关心问题的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的整个思考活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就是思考的活动及探索的过程。
19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才成
功地建立了一个算术基本公理体系，解决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上述问题。
小学数学解题也就意味着找出这样一
个数学的一般原理（定义、公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到问题的条件或者条件的推论（解法的中间结果）时，就能得到问题所要求的答案。
二、 小学数学解题的结构
奥苏伯尔解题结构模式：1. 呈现问题的情境2. 明确问题的目标与已知条件3. 填补空隙的过程4. 解答后的检验。
小学数学解题的几个阶段：1. 分析题意
2. 寻找解法3. 实行解法4. 回顾解法
三、 小学数学解题的趋向
教育心理学认为根据解题者寻求解答的趋向可以把解题分为两种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。
尝试错误式是由进行无定向的尝试，重
复无效动作，纠正暂时性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行动。
顿悟式解决问题尝试错误式不同，它具
有一定的“心向”，努力发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解决的基础。
在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟
式实际上司不能绝对化的，尝试错误式解决可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不出是尝试错误式，未必就是顿悟式。顿悟式解题也不一定是彻底的、完善的和即时的，尽管看上去解答是突然出现的，事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲折的过程。
四、 小学数学解题的规则
常规问题解题规则：1. 公式规则2. 恒等式规则3. 定理规则4. 定义规则
非常规问题就是没有一般解题规则的
数学问题，它的解题步骤序列，可以利用技巧将其转化为等价的常规问题，或分解为若干个小常规问题，或通过分析、综合等方法来寻求。
算术基本公式体系是小学数学中的定
义、公理、定理、法则等之间的逻辑关系。
小学数学解题是以思考为内涵，以问题
目标为定向的心理活动过程。
第五章 小学数学解题的思想方法
化归 类比 归纳
美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解
题》《数学与合情推理》——关于数学解题的核心观点就是发现与再创造。
苏联 娅诺夫斯卡娅《解题意味着什么》——解题也就意味着把所要解的问题转化到已经解过的问题。
法国 笛卡尔 我所解决的每一个问题
都将成为范例，以用于解决其他问题。
一、化归法的一般模式为：
化归法的特点：在于它具有较强的目的
性、方向性和概括性。
基本原则：是由未知到已知，由难到易、由繁到简；
它的方向就是如何实现由所要解决的
问题向已解决的或较容易解决的问题的转化，这里蕴含着发现、发明及创造性的活动。
从广义上的理解化归是一种思想，如果
从狭义上来看，化归乃是重要的常用的和具体的解决方法之一，而且又有分割组合、映射反演等分别。
分割组合的一般模式：
分割组合：就是把所要求的问题，按照
可能和需要，分割成若干部分，使他们更容
易于求解，再将这些解答有机地组合起来，过渡到问题的最终结论。
映射反演就是映射和反演两种方法并
用。
映射：就是在两类数学对象或两个数学
集合的元素之间建立的某种对应关系。
反演：就是从已知运算往回推（每一步
运算都以其逆运算来代替，相对映射而言，反演就是逆映射。）
在数学解题中，这种映射反演具体表现
为坐标法、复数定向法、换元法等。
万能发现法：（笛卡尔）
这种模式在某些情况下是不适用的。这
种方法包含了“数学化”、“代数化”、“计算化”等合理的化归思想方法。
二、类比法：是根据两个或两类不同的
对象在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测着两个对象在其它方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法。
基本模式：
类比的结论属于或然性推论，因为从前
提到结论并不具备逻辑必然性。也就是说，类比也有一定的局限性，其结论常常是不可靠地的，甚至是完全错误的。
三、归纳法：是指通过对特殊情形的分
析引出普遍的结论的推理方法。德国大数学家高斯就曾说过，他的许多定理靠的是归纳法发明的，证明只是一个补行的手续。归纳常常是建立在有目的、有计划的观察和试验基础上的。
根据对象是否完备，归纳法又分为完全
归纳法和不完全归纳法两种。
完全归纳法：是根据某类事物中每一个
对象的情况或每一个子类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。
上面两种安全归纳推理，前者根据每一
个情况而得出一般性结论，后者根据每一类特殊（子类）情况而得出一般性结论。它们子本质上是相互联系的，前者是后者的特例，后者死前者的推广。所以，通常也可以把后者作为完全归纳推理的一般形式。
完全归纳法实质上也是一种演绎推理。 不完全归纳法：是根据对某类事物中的
一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。不完全归纳法的推理形式：
和归纳法不同，数学归纳法属于论证的
范畴，而不是猜测的方法。但是在归纳法与数学归纳法之间也存在着相互依赖、相互渗透的辩证关系。换言之，数学归纳法所证明的往往是由归纳法所得出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳法来证明。而且，更为重要的是，归纳的过程往往为应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反之证明的过程则加深了对原来猜测的理解。
四 创造性及其体现
创造：一般是指创造者的主观意识活动，通过科学实践而对自然界的某一方面或某些方面的合乎规律的反映，它是一种现象。
创造的三大基本特征：1. 实践性2. 创造
者的创造能力充分发挥3. 创新性，即开创性和新颖性。
创造性作为一个认知范畴的概念，系指
一种能力或特性，按教育心理学的观点，它和人的智力、智慧品质以及人格等有着密切的关系。
创造和创造性不能等同，不可相互替
代，但两者共处一体。因为如果强调过程，着眼于心理机制的话，那么创造即是一种特殊的解决问题的活动，是解决问题的最高表现。而任何问题的解决都需要一定的创造性作为基础。
创造性既然贯穿在始于问题提出，终于
问题解决这一创造过程中，就起内涵来说，它也具有一定的阶段性。
想象、灵感和直觉，通常被人们称做创
造性的精华。（核心）
想象：是在头脑中改造记忆中的表象而
创造新形象的过程。它既是一种具有极大的自由度的思维活动形式，同时又是可以自觉地引导进行的一种积极主动的心理形象。
灵感：是指人们在创造过程中，由于某
种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思维活动。
灵感的特点：灵感引发的随机性、灵感
显现的暂时性、灵感显现过程中的情感性。
灵感的产生不是凭空生产的，不是考等
待就能来临的。它的诱发有着漫长的有意识的活动，有着相当的辛勤努力和实践为基础。如爱迪生说：天才乃是99%的勤奋加上1%的灵感。
小学数学解题中，我们也应该通过有意
识的思考，去诱发灵感。
直觉简单得说就是直接去觉察。
直觉的三个明显的特征：
1. 它对问题的内在规律（即客观事
物的本质联系）的深刻理解。
2. 这种理解来自经验的积累。
3. 经验积累到一定的程度突然理性
与感性产生共鸣时，表现为豁然贯
通的一种顿悟式的理解。
直觉：是从感性经验达到理性飞跃的
人的认识过程的一种特殊表现形式，
是逻辑顺序的高度简缩。
总之想象、灵感、直觉的出现，不仅
意味着常规思维中的“跳跃”，逻辑
顺序的“中断”，及由此而得到的创
造性。而且三者常常又是紧密联系和
相互作用的，或是想象诱发了灵感和
直觉，或是灵感和直觉唤起了活跃的
想象。
第六章 小学数学解题能力分析
一、 小学数学解题能力的成分
从广义上讲，数学能力是顺利完成数学活动所必备的，且直接影响其活动效率的一种心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中主要变现出来的比较稳定的心理特征。从狭义上讲，数学能力即理解为解决数学问题的个性特征。
运算能力：这些运算能力最初表现为对
其知识的理解和技能的形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理运用运算，与其他各种运算的灵活运用和巧妙的结合上。这也就表现出一种解题的能力，即运算能力。
空间想象能力：在空间形式的问题中，所要研究的是图形的形状，图形的大小，图形与图形的位臵的关系等。在研究过程中，
除直接给出一些基本图形的性质外，总是要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行感知和操作，出现或构造出一些异于所给图形的新图形，并找到新的关系。这又表现出一种解题的能力即空间想象能力。
逻辑思维能力：数学问题的解决是解题
者从感知获得的感性材料出发，通过分析和综合、抽象和概括、判断和推理等逻辑思维方法，去粗取精、去伪取真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性认识，从而领会和掌握数学的规律和本质。因此，这仍然表现出一种解题的能力，逻辑思维能力这三者之间的关系既相互区别，又相互联系和制约的，所以习惯上把他们概括成数学解题能力的主要成分。
瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心
理学家认为组成数学解题能力的因素有：
1. 一般因素G （主要指智力因素）
2. 数因素N （对数概念的理解和应用）
3. 空间因素S （对空间形式的理解、想
象和抽象）
4. 语言因素V （用语言表达数学关系）
5. 推理因素R （运用逻辑思维、形象思
维和直觉思维）
日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方面：
A 、 数理性的领会能力：具体要求是使
之抽象化，使之数量化和图形化，
使之记号化或形式化。
B 、 概括能力：具体要求是使之扩展，
集中归纳，改变观点和改变条件。
C 、 思维能力：具体要求是有计划按步
骤地进行思考，进行类比或对比，
有根据地进行证明。
苏联心理学家鲁捷茨基：1. 使数学材
料形式化能力2. 概括数学材料的能力3. 用数学和其他符号进行运算能力4. 连续而有节奏的逻辑推理能力5. 缩短推理过程的能力6. 逆转心理过程的能力7. 灵活的思维能力8. 数学记忆能力9. 形成空间概念的能力10. 借助形象化（直观）努力。
我们认为小学数学解题能力是取决
于数学学科和数学活动的个人特性，是小
学生顺利完成解题这种特殊的数学活动时所表现出来的心理品质的综合。概括数学材料、逆转心理过程、灵活性、借助形象化等即是这种心理品质综合体中的具体成分。
二、概括数学材料能力主要表现：1.
在从所给数学材料的形成和结构中，能迅速抓住事物的“数”和“形”，找出或发现具有数学意义的关系与特征2. 正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分与有数学意义的结构。
概括数学材料，还在于感知题目的形
式结构。所谓题目的形式结构是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。
概括数学材料的能力还充分体现在
这样两个方面：一是从特殊的和具体的事物中，概括出某些一般的熟识的教学模式；二是从孤立的和特殊的事物中，概括出未知的数学模式。综合起来也就是从具体内容摆脱出来，并且在各种对象、关系和运算的结构中，概括出相似的、一般的和本质的东西。
克鲁捷茨基认为对数学材料的概括
能力，还应表现在问题的类型上即从不同的题目中发现一般类型，能从较简单的题目过渡到相同类型较复杂的题目，以及怎样吧一种类型从表面上相似的其他类型的题目中区分出来。这样有助于在解决问题时，解题者也就能够迅速概括出所要解决的问题，发现和过去所熟悉的问题的相似之处，从而将解法平移过来。
三、逆转心理的能力：指的是重建一
种心理过程的方向的能力，即不仅取向而且取逆向；不仅从正面而且从反面；不仅从因到果，而且执果索因地进行分析，是问题得以解决。
小学数学解题过程，逆转心理过程还
具体体现在正逆双方面的理解、思考和应用上，这样不仅有利于深入领会概念、公式、法则，而且能达到解题迅速，简捷的目的。
四、灵活性又称变通性：爱因斯坦看
成是创造你的典型特征。在数学解题过程中，灵活性指的是解题思路的灵活转换盒
迅速重组。
从认知心理学的角度看，所谓的灵活
性系指解题途径的多样化，判断其强弱的标准一般是指解题者从一种心理运算到另一种心理运算的轻快平衡和敏捷程度。
灵活性和深刻性。思维深刻的小学生
容易摆脱通常方法的羁绊，灵活自如地考虑问题；而灵活性很强的小学生，也常常能发现一些出乎意料的解题方法，更深刻地认识问题。
五、在小学数学解题中，小学生应努
力完善语言——+逻辑和视觉——形象这两个方面的相互转换，即在一定程度上依靠视觉意象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统也作出一种形象的解释，这就是所谓的“借助形象化”的全部内涵。
借助于想象化的根本目的在于从直
观上来理解较为抽象的数学关系，形成再现性想象，从而促进创造性的活动。从其模式（视觉的形象）来看，它和语言——逻辑模式有着不同的特征，但在具体解题过程中，它们是相互联系和作用的，因此，
单纯地强调解题中的视觉——形象化作用则也是片面的。
借助形象化所得到的 数学关系、数学规律、数学形式结构、数学知识系统和推证模式等，比起其他方式来，更能保持记忆。
数学气质有如下的三种类型：
分析型：倾向于用语言——逻辑的词语去思考
几何型：习惯于用视觉——形象的词语去思考
混合型：综合上述两类特征。
数学能力是解决数学问题的一种个体心理特征。
第七章 小学数学研究专题导引
一、数学学科品格：
1. 积极的思维态度：这种不断的抽象
化，一般化和统一化为数学思维的不断升华，提供必要的以及可能的条件，促进数学的发展。
2. 科学的思维方式：（1）是数学通过秩
序、和谐、对称、整齐、简约等形式来
表现与之联系的思维情趣，并在此基础上，形成学习或研究科学以及从事创造性的劳动具体方法。（2）“技术化”向“科学化”的过渡。“技术化”是指只注意具体实用的技巧，而没有形成某种思想，停留在经验和技术层面。而科学化则表现为注重定量分析，注重形式逻辑，注重抽象思维。
3. 强烈的思维内驱动：从数学发展这一
角度来看，思维内驱动主要是由数学内部发展和外部需要相适应而产生的。从数学学习这一角度来看，思维内驱动主要是来源于数学材料与人的认识的矛盾冲突。
4. 密集的脑力当量。某种学科知识总量
为T ，其脑力总付出为R ，这两者之反比，即为单位知识所含有的脑力付出，通称脑力当量C 用公式表示，即C=R/T。
二、数学活动教学观：由于数学本身是一种演绎法与结构法相互矛盾又相互作用的活动过程，所以它的教学就必须还其本来面目，不仅注重演绎法，而且
还设计出一种符合学生的认识规律和数学发展规律的教学过程，这就是数学活动教学观。
数学活动教学可分为这样三个阶段：
1. 具体材料的数学化，即从实际生活
中提取数学模型
2. 数学材料的逻辑组织化，即通过辨
析、归纳、直觉、类比、想象、寻找方向和线索，用逻辑方法吧数学材料组织到逻辑材料体系中去。
3. 数学结论的应用化。即把理解和掌
握结论转变为更加具体的思维，并能同所面临的实际情境相结合，从而创造性地应用结论。
上述阶段其实就是思维活动由
上升性——探索性——再上升性这样一个循环发展过程。
数学活动教学是提高人的素质
的一个有效途径。
它能最大限度地调动学生的积
极性，变被动接收知识为主动地寻求知识，变脱离学生的认识实际为符合
学生的认识规律，通过创设一些引人入胜的问题情境，激发学生的内在的学习动机。
数学活动教学提供了个体探求
和获得知识的过程，使之锻炼了意志，增强了思维能力，领会了数学的基本思想和方法。学生掌握的结论不仅不少，而且得到的思想方法更具有广泛的迁移意义，久而久之，可以使学生从爱学到学会，再到会学。
数学活动教学，因为同现实联系
起来，所以既培养了辩证唯物主义的科学世界观，又发展了人头脑中的数学现实认识。数学来源于现实，寓于现实，用于现实。
小学数学活动教学
现代心理学、教育心理学、数学
教育学的相关研究成果，构成了数学活动及其教学的理论基础。首先，从智力发展理论中的划分来看，小学生处于具体运算和形成运算这两个阶段，已经能从特殊到特殊这种传递性
的推理。逐渐过渡到特殊到一般或一般到特殊这两种不完全归纳和演绎推理：能从具体直观入手，通过语言复述和部分描述，逐渐过渡到经验型的抽象。所以小学数学的教学方法，对此就应该具有依赖性和适应性，就不能是单纯的结论教学，而应该强调多种多样的活动教学。否则就不能激起学生的共鸣，达不到应有的效果。
其次，概念学习理论认为，学习
从广义上讲就是一种概念学习。概念的形成过程，也就是活动的过程，如果注意感性的，具体的描述方法，就一定能够使学生正确理解和掌握概念。所以，对小学生而言，他们学习数学就应该是处理概念——数和量的分类，及他们之间的关系，记忆概念——数和量的表达方式；应用概念——数和量的相互作用。完成这些目标的形成主要是：活动、游戏、寻找共性、表达和符号化。
再次，认识发现理论强调学习不
单纯简单的刺激反应，而且以人的意识为中介的认知过程，所以，学习者是认识的主体。
小学教学活动，就是以学生为主
体，让他们自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法，与步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念和理论。
小学数学活动教学符合小学生
的认识规律，体现了辩证逻辑和形式逻辑的矛盾统一，突出了因材施教与面向全体的和谐统一。但是，也必须注意，小学数学活动教学必须有鲜明的目标性，必须选择最合适学生年龄特征的材料，必须设计合理、经济、有效的活动步骤，也不能照搬学生中心论，更不能吴管理的“放羊式”。
某知识点A 推导出其他知识点的
数目，习惯上称之为知识点A 的“基本度”，用J （A ）表示。
三、小学数学内容的趣味性。旨在以小
学数学系列知识为基础，通过数学游戏，数学图形、数学故事，数学歌谣，以及大量诱人思考的趣题，来激发小学生的学习兴趣，培养他们灵活的思路和分析的技巧，启迪他们的智慧，培养他们的创造性。
趣味化：一方面体现在教材的编辑中；另一方面则表现为趣味数学活动课的内容选择上。
注重以下几点：
1. 趣味化——小学数学趣味化方向的
灵魂
2. 合理性——小学数学趣味化方向的
基础
3. 思想性——小学数学趣味化方向的
保证
4. 创造性——小学数学趣味化方向的
目标
小学趣味活动的内容还应有针对性和连贯性等诸多方面。
四、研究性学习的特点：1. 开放性2. 问题性3. 社会性4. 实践性
研究性学习：就是要求学生激励科学研究的过程，获得亲身体验；了解科学研究的方法，提高解决问题的能力；增强探究和创新的意识，培养科学态度和精神；学习与人沟通和合作，培养社会责任感。
小学数学研究性学习的类型
1. 知识探究型 有效地解决了“是什么”的问题
2. 准学术研究 有效地解决了“为什么”的问题
3. 创新研究型（最高层次）有效地解决了“怎样做的更好”的问题
小学数学研究性学习应该由浅
入深和循序渐进，既不能墨守成规，也不能急功近利。因为研究性学习的主要目的不是要学生取得多大的研究成果，而是希望小学生通过研究性学习的这一手段，受科学思想和科学精神的熏陶，学会一点科学方法，体验科学研究的过程。
五、教育科研是一种运用科学的
方法和手段，有目的、有计划地探索、发现、掌握教育教学规律的认知活动，是一个立足于已知去探求未知的过程。
为了能正确地开展教育科研活
动，教师必须着重学习科学的研究方法、教育统计方法、教育测量、教育评价等有关进行教育科研的基础知识。具备有关科研的相应技能，如教育科学研究的选题，如何确定研究和论证的方法和手段，研究成果的定性与定量分析等。
小学数学论文的撰写：
小学数学科研工作要经过确定
课题、收集资料、制定方案、实施计划、分析效果、撰写论文等步骤。
小学数学论文的组成：标题、摘
要、前言、正文、结论、参考文献等部分组成、
标题：力求简短、明确、质朴、
醒目
摘要：简明扼要、引人入胜、内
容全面、重点突出、且能独立使用。
前言：也称引言或者序言。一般
包括本课题研究 背景或起点，需要研究的问题 研究的方法 手段 研究的意义或价值、
正文：论文的主体，作为表达作
者个人研究成果的部分，所占篇幅较大，有时还必须辅以必要的小标题，应力求概念清晰，论点明确，论证严密，论据充分。
结论：是对正文中所分析论证的
问题加以综合、概括出基本点。这是课题解决的答案。
参考文献：反映左下颌严肃的科
学态度和研究工作的依据，其中包括撰写论文所参考的书籍。
小学数学论文撰写的过程：
1. 选题、选材2. 拟纲、执笔3.
修改、定稿
小学数学教学研究自考复习资料
教材《小学数学专题研究》李星云著
第一章 小学数学课程目标及内容
一、数学是一种研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。
数学本质：数学是一种研究思想事物的科学——恩格斯。 二、数学的作用：一种科学只有在成功运用数学时，才算达到了真正完美的地步。数学是一切科学技术的基础，数学的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然和社会科学中，数学作为一种文化，已成人们的共识。
三、我国数学课程及演变过程：
（1）萌芽时期（公元前600年前）
（2）初等数学时期(公元前600年——17世纪中叶)
（3）变量数学时期（17世纪中叶——19世纪20年代）
（4）近代数学时期（19世纪20年代——第二次世界大战）
（5）现代数学时期（第二次世界大战以来）
作为一门学科，在我国却迟到隋唐时期，才在国子监设算学馆。臵博士、助教，选定和注释从汉朝以来的十部算经， 以《算经十书》著。《算经十书》是我国古代数学发展和成就的代表文献，构成了我国古代传统数学体系。①《周髀算经》勾股定理；②《九章算术》方程章中第13题是著名“五家共井”最早的不定方程问题；③《孙子算经》“知客几何”“鸡兔同笼”尤其是“物不知数”是后来驰名于世的“大衍求一术”的起源，是中国古代数学最具独创精神的成就之一。④《张丘建算经》 提出了有趣的不定方程和解法“百鸡问题”；⑤《缉古算经》三次方程的代数解法；《数学记遗》“九宫图”。⑥三国时期刘徽用割圆术求出了圆周率值为3.14，之后法国数学家伟达用解析方法求出π值。⑦
世界上第一本讨论排列组合的书是《周易》
算学作为小学课程则从近代光绪二十八年（1902年）才正式开始。
1892年编《笔算数学》，则是我国学校里的第一部算学教科书。
1903年春编制《最新教科书》我国自己编写的第一本正式的小学算学课本问世。
1978年2月《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》明确将小学算术改为统一的数学。
1992年三个面向“面向现代化”、“面向世界”、“面向未来”。
四、国外数学课程变革的简况及趋势。
20世纪初，德国数学家克莱因发起并领导了数学教育近代化运动。
现代数学运动发展是不平衡的，分三种类型：1. 革新型 如英美；2. 进化型 如苏联；
3. 中间型 如日本。
相似之处：
1. 精简传统的算术内容：
2. 增减或渗透集合、函数、统计等现代数
学内容；
3. 用结构思想处理传统内容。
“回归基础”改为“走向基础”。
大众数学:目标让全体学生学好数学、学习
更多的数学而且是需要的数学。
五、小学数学课程目标与分析（参考课标） 小学数学课程目标是小学教育方向和性质的表征，也是小学数学教育活动，包括组织教学内容、确定教学要求、选择教学方法、进行质量评估、决定考试命题等进行的依据。
1、 小学数学课程目标制定的依据
2、小学数学课程目标
3、 小学数学课程内容
六、学科数学与科学数学
课程内容的载体是教材——教科书。
学科数学的内容是依赖于科学数学二建立和发展的。
1. 作为科学的数学，它不考虑人们是否能
够理解和接受，只要能完备而又精确地阐明某种数学理论，更深刻地反应世界的空间形式和数量关系就行。而作为学科的数学必须遵循学生的认知规律和心理特点，往往日常生活、生产中的具体事例出发，对现象进行描述，然而转向定义、定律、性质等的揭露。
2. 作为科学数学，对所有的定理、法则等
都必须进行严格的论证和推导，而作为学科的数学限于学生的接收水平，往往通过列举一些事例用不完全归纳法得出结论。
3. 作为科学的数学，完全按照数学伦理的
逻辑系统进行安排，可以难易起伏不均；作为学科数学在不影响科学性的前提下，兼顾小学生的认知规律。对某些内容可以适当调整。
由此可见，科学数学是作为人类认识的结果而呈现的，已完全揭示数量关系和空间形式为目的；而学科数学可看作为认识对象而存在。对作为小学学科的数学而言，除了正确反映科学数学的知识外，还必须充分遵循小学生的认知规律，有利于使他们学懂、学好、学活。有利于发展他们的智能，有利于进行思想品德教育。
七、小学数学课程内容编排原则：
1. 以数与计算为主线，以数与形式为重
点，把各部分内容按其彼此的内在联系结合起来。
2. 由浅入深，由易到难，循序渐进，螺旋
1、 上升。 3. 突出重点，分散难点。 4. 把数学知识和数学应用结合起来。 5. 注重趣味性。 数学学科的特点：1. 高度的抽象性2. 严密的逻辑性3. 应用的广泛性。 第二章 小学数学解题的理论依据 一、 数学问题及其组成 1、数学问题虽然名称不同，叙述内容不同，
但它们却有一个共同的特点，即是在一定的知识背景中提出的。知识背景主要包括已有的概念、理论和方法。因此，我们认为依照数学问题的解答与知识背景的关系，可以把数学问题大致分为两类：常规问题和非常规问题。
2、依照数学问题提法的意义是否明确，数学问题的条件是否充分，我们还可以把数学问题划分为：可能问题和不可能问题。
3、数学问题的组成成分是条件、目标和运算。（三大组成部分也叫构成要素）
二、智力结构与活动方式
1、智力两个方面：一是天赋的潜力、
特性和发展的容量；即健全的神经代谢的总和。二是发展得以进行下去的大脑功能，即能够决定操作和理解的功能。
皮亚杰关于智力阶段的划分
感知运动阶段（0——2岁）
前运算阶段（2——7岁）
具体运算阶段（7——11岁）
形式运算阶段（11岁以上）
同化和顺应是相对立的两种力量。同化是一个人按照过去的经验、图示来活动；顺应则是根据面临的新信息所作的改变和思考。
2、智力活动方式：
（1）根据基本的心理过程，分为知觉方式、记忆方式和思维方式。
（2）根据完成的主要功能，分为定向方式、执行和控制方式。
（3）根据标准和规范化程度，分为计算性方式、算法指令性方式、启发性方式。
（4） 根据动作的共同性，分为一般方
式和具体方式。
另外，根据智力活动在人类不同认知领域
1、 里的运用程度，又可以分为一般方式（如分析、综合、抽象、概括、比较等）和限于某一认识领域的特殊方式。 二、 数学思维品质及其发展水平 1、思维：人脑对客观事物的本质特征、
相互关系及其内在规律性的概括的、间接的反映，是人们对外接输入的信息的感知的基础上经过分析、综合、比较、抽象、概括等智力活动方式，对其加工、推理和获得理性认识的心理过程。
2、思维的本质：思维是间接认识事物，是通过感知与被直接认识的事物有着合乎规律的联系的另一个对象而实现的。
3、思维的类型：1. 逻辑性思维2. 非逻辑
性思维。
形式逻辑思维：是以概念、判断、推
理等思维方式，同一律，矛盾律、排中
律等思维规律，归纳、演绎、类比、科
学假设等思维方法为其研究对象。
辩证逻辑思维：研究的是思维形式如何
正确反映客观事物的运动变化、事物的
内部矛盾、事物的有机联系和转化等问
题，其主要特点是用有限量来描述和刻
画。
4、数学思维：又叫数学型思维，就是
以数和形为思维的对象。以数学的语言
和符号为思维的载体，以认识和发现数
学规律为目的的一种思维。
数学思维品质：灵活性、积极性、目的
性、记忆性、广阔性、深刻性、批判性、准确性、简捷性、独创性和证明性。
数学思维水平的评定：第一级水平——
第五级水平
前两级水平是小学年级的学生所特有
的，第三级水平是初中年级学生所特有
的；第四级水平是高中年级学生所特有
的，至于第五级水平无论是几何方面还
是代数方面的，均属于数学思维的现代
水平。一般的中学阶段的学生是难以达
到的。
四、影响小学数学解题的心理因素：（两
大）
（一）问题解决的特征：1. 问题情境因
素2. 解题者的个体特征（解题者知识
经验基础和个性品质）3. 解题中的认知
策略（解题者用来调节注意、回忆和思
维的技能）
（二） 迁移与思维定势：
迁移是指一种知识、技能的学习和应用对另一种知识、技能的学习和应用所施加的影响。
思维定势：指的是一种思维的定向预备状态，在思维不受到新干扰的情况下，人们按照既定的方向或者方法去思考。
第三章 小学数学解题的认知过程
一、 小学数学学习及认知
学习：从广义上理解，学习是有机体
凭借经验的获得而产生的比较持久的
行为（思维、想象‘记忆、感知等内
部心理活动和语言、表情、动作等外
部活动）变化。
从狭义上理解，学习是指学生在老师指导下，有目的、有计划、有组织、有步骤地进行的获得知识、形成技能、培养能力、发展个性的过程。
桑代克——刺激反应理论，学习是刺激
和反应的联结。
苛勒——完形理论，学习是零碎和知觉
信息的再组织过程。
托尔曼——认知理论，学习是对环境中
的刺激，依其关系形成一种新的认知结构的过程，是意义的获得和实现期望的过程等等。
小学数学学习：是在教师指导下获得数
学知识、数学技能和数学能力，发展个性数学品质的过程。由于数学自身具有逻辑的严谨性、高度的抽象性及应用的广泛性，所以，小学数学学习的核心内容和最终母的是解决小学数学问题。
小学数学解题：作为小学生的一种特殊
心理活动，综合起来说，它属于一种认知学习。小学数学解题是一种逐渐深入的，具体某种程度创新性和思维对策的心理活动（认知）过程。不求甚解、生搬硬套、机械呆板等等，都不是小学数学解题的真实含义。
二、认知结构：是指个体在感知及理解
客观现实的基础上，在头脑里形成的一种心理结构。简单点说认知结构就是在个体头脑
里的知识结构。
小学数学解题作为小学数学学习的主
要内容和方式，其意义也就在于不断积极主动地建立、扩大和重新组织数学认知结构，并伴随着同化和顺应等特征。
小学数学解题并不是数学知识的简单
应用，而是以原有数学认知结构为依据，对新知识进行加工。
三、技能：是顺利完成某种任务的一种
心智或动作的活动方式，她需要通过练习才能形成。
动作：泛指在完成一项具体任务中所涉
及的一系列操作，以完善、合理方式组织起来并顺利进行时，就成为动作技能。心智系指借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。它包括感知、记忆、想象和思维，但以抽象思维为它的主要成分。
技能和能力：是不同的概念，二者既有
联系，又有区别。技能是指完成一定任务的活动方式，能力则是顺利完成任务的个性心理特征。技能的形成以一定的能力为前提，反过来又对能力的发展起重要的促进作用。
数学动作技能：指运用工具绘图的技
能，测量技能、使用计算工具的技能等。
数学心智技能：指数的计算技能、式的
恒等变形技能、解方程、解不等式的技能，推理论证技能、运用数学方法的技能等。
这两种数学技能既有联系又有区别。一
方面数学心智技能的形成，与数学动作技能有关；另一方面，数学动作技能又受数学心智技能控制。
数学认知技能：的形成，也有一个过程，就小学数学解题而言，可以概括成认知阶段、联结形成阶段和自动阶段。
小学数学解题中的数学认知技能尽管
有上述的几个阶段，但最终得以形成，都要经历一个从“会”到“熟”的过程，其间必须不断通过有计划、有目的的练习，才能完成这一转变。
发展：作为一般意义上的理解是指人的
各种特性在结构上和机能上的变化。发展有生理发展和心理发展之分。
四、认知发展：是指与大脑生长和知识
技能有关的发展方面。涉及人在知觉、记忆、
思维、语言、智力等方面种种功能的发展变化。
小学数学认知发展可以理解为小学数
学认知结构和数学认知技能的发展，是通过小学数学活动过程来体现的。认知发展一般包含这几个阶段：1. 输入阶段2. 同化和顺应阶段3. 应用阶段。以上三个阶段是密切联系的。
第四章 小学数学解题的实质和结构
一、小学数学解题的含义
小学数学解题即小学数学领域中的问
题解决，不但要关心问题的结果，而且要关心求得结果的过程，也就是问题解决的整个思考活动。所以小学数学解题指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，一步一步地靠近目标，最终达到目标。其含义就是思考的活动及探索的过程。
19世纪中叶，德国数学家格拉斯曼才成
功地建立了一个算术基本公理体系，解决和统一礼物在此之前人们一直混淆的上述问题。
小学数学解题也就意味着找出这样一
个数学的一般原理（定义、公理、法则、定律、公式）的序列，当应用他们到问题的条件或者条件的推论（解法的中间结果）时，就能得到问题所要求的答案。
二、 小学数学解题的结构
奥苏伯尔解题结构模式：1. 呈现问题的情境2. 明确问题的目标与已知条件3. 填补空隙的过程4. 解答后的检验。
小学数学解题的几个阶段：1. 分析题意
2. 寻找解法3. 实行解法4. 回顾解法
三、 小学数学解题的趋向
教育心理学认为根据解题者寻求解答的趋向可以把解题分为两种主要方式，一种是尝试错误式，另一种是顿悟式。
尝试错误式是由进行无定向的尝试，重
复无效动作，纠正暂时性尝试错误。直至出现解决问题得以成功的一系列反应所组成的行动。
顿悟式解决问题尝试错误式不同，它具
有一定的“心向”，努力发现手段与目标之间的有意义的联系，而这种联系正是问题赖以解决的基础。
在小学数学解题中，尝试错误式和顿悟
式实际上司不能绝对化的，尝试错误式解决可能是隐含在内而不表露于外的。所以看不出是尝试错误式，未必就是顿悟式。顿悟式解题也不一定是彻底的、完善的和即时的，尽管看上去解答是突然出现的，事实上却往往经历着一定的甚至是相当曲折的过程。
四、 小学数学解题的规则
常规问题解题规则：1. 公式规则2. 恒等式规则3. 定理规则4. 定义规则
非常规问题就是没有一般解题规则的
数学问题，它的解题步骤序列，可以利用技巧将其转化为等价的常规问题，或分解为若干个小常规问题，或通过分析、综合等方法来寻求。
算术基本公式体系是小学数学中的定
义、公理、定理、法则等之间的逻辑关系。
小学数学解题是以思考为内涵，以问题
目标为定向的心理活动过程。
第五章 小学数学解题的思想方法
化归 类比 归纳
美籍匈牙利数学家波利亚在《怎样解
题》《数学与合情推理》——关于数学解题的核心观点就是发现与再创造。
苏联 娅诺夫斯卡娅《解题意味着什么》——解题也就意味着把所要解的问题转化到已经解过的问题。
法国 笛卡尔 我所解决的每一个问题
都将成为范例，以用于解决其他问题。
一、化归法的一般模式为：
化归法的特点：在于它具有较强的目的
性、方向性和概括性。
基本原则：是由未知到已知，由难到易、由繁到简；
它的方向就是如何实现由所要解决的
问题向已解决的或较容易解决的问题的转化，这里蕴含着发现、发明及创造性的活动。
从广义上的理解化归是一种思想，如果
从狭义上来看，化归乃是重要的常用的和具体的解决方法之一，而且又有分割组合、映射反演等分别。
分割组合的一般模式：
分割组合：就是把所要求的问题，按照
可能和需要，分割成若干部分，使他们更容
易于求解，再将这些解答有机地组合起来，过渡到问题的最终结论。
映射反演就是映射和反演两种方法并
用。
映射：就是在两类数学对象或两个数学
集合的元素之间建立的某种对应关系。
反演：就是从已知运算往回推（每一步
运算都以其逆运算来代替，相对映射而言，反演就是逆映射。）
在数学解题中，这种映射反演具体表现
为坐标法、复数定向法、换元法等。
万能发现法：（笛卡尔）
这种模式在某些情况下是不适用的。这
种方法包含了“数学化”、“代数化”、“计算化”等合理的化归思想方法。
二、类比法：是根据两个或两类不同的
对象在某些方面（如特征、属性、关系等）的类同之处，猜测着两个对象在其它方面也可能有类同之处，并作出某种判断的推理方法。
基本模式：
类比的结论属于或然性推论，因为从前
提到结论并不具备逻辑必然性。也就是说，类比也有一定的局限性，其结论常常是不可靠地的，甚至是完全错误的。
三、归纳法：是指通过对特殊情形的分
析引出普遍的结论的推理方法。德国大数学家高斯就曾说过，他的许多定理靠的是归纳法发明的，证明只是一个补行的手续。归纳常常是建立在有目的、有计划的观察和试验基础上的。
根据对象是否完备，归纳法又分为完全
归纳法和不完全归纳法两种。
完全归纳法：是根据某类事物中每一个
对象的情况或每一个子类的情况，而作出该类事物的一般性结论的推理。
上面两种安全归纳推理，前者根据每一
个情况而得出一般性结论，后者根据每一类特殊（子类）情况而得出一般性结论。它们子本质上是相互联系的，前者是后者的特例，后者死前者的推广。所以，通常也可以把后者作为完全归纳推理的一般形式。
完全归纳法实质上也是一种演绎推理。 不完全归纳法：是根据对某类事物中的
一部分对象的情况，而作出关于该事物的一般性结论的推理。不完全归纳法的推理形式：
和归纳法不同，数学归纳法属于论证的
范畴，而不是猜测的方法。但是在归纳法与数学归纳法之间也存在着相互依赖、相互渗透的辩证关系。换言之，数学归纳法所证明的往往是由归纳法所得出的猜测，而归纳法所得出的猜测有些可用数学归纳法来证明。而且，更为重要的是，归纳的过程往往为应用数学归纳法去证明相应的结论打下了基础；反之证明的过程则加深了对原来猜测的理解。
四 创造性及其体现
创造：一般是指创造者的主观意识活动，通过科学实践而对自然界的某一方面或某些方面的合乎规律的反映，它是一种现象。
创造的三大基本特征：1. 实践性2. 创造
者的创造能力充分发挥3. 创新性，即开创性和新颖性。
创造性作为一个认知范畴的概念，系指
一种能力或特性，按教育心理学的观点，它和人的智力、智慧品质以及人格等有着密切的关系。
创造和创造性不能等同，不可相互替
代，但两者共处一体。因为如果强调过程，着眼于心理机制的话，那么创造即是一种特殊的解决问题的活动，是解决问题的最高表现。而任何问题的解决都需要一定的创造性作为基础。
创造性既然贯穿在始于问题提出，终于
问题解决这一创造过程中，就起内涵来说，它也具有一定的阶段性。
想象、灵感和直觉，通常被人们称做创
造性的精华。（核心）
想象：是在头脑中改造记忆中的表象而
创造新形象的过程。它既是一种具有极大的自由度的思维活动形式，同时又是可以自觉地引导进行的一种积极主动的心理形象。
灵感：是指人们在创造过程中，由于某
种诱因的作用而突发的一种非逻辑的思维活动。
灵感的特点：灵感引发的随机性、灵感
显现的暂时性、灵感显现过程中的情感性。
灵感的产生不是凭空生产的，不是考等
待就能来临的。它的诱发有着漫长的有意识的活动，有着相当的辛勤努力和实践为基础。如爱迪生说：天才乃是99%的勤奋加上1%的灵感。
小学数学解题中，我们也应该通过有意
识的思考，去诱发灵感。
直觉简单得说就是直接去觉察。
直觉的三个明显的特征：
1. 它对问题的内在规律（即客观事
物的本质联系）的深刻理解。
2. 这种理解来自经验的积累。
3. 经验积累到一定的程度突然理性
与感性产生共鸣时，表现为豁然贯
通的一种顿悟式的理解。
直觉：是从感性经验达到理性飞跃的
人的认识过程的一种特殊表现形式，
是逻辑顺序的高度简缩。
总之想象、灵感、直觉的出现，不仅
意味着常规思维中的“跳跃”，逻辑
顺序的“中断”，及由此而得到的创
造性。而且三者常常又是紧密联系和
相互作用的，或是想象诱发了灵感和
直觉，或是灵感和直觉唤起了活跃的
想象。
第六章 小学数学解题能力分析
一、 小学数学解题能力的成分
从广义上讲，数学能力是顺利完成数学活动所必备的，且直接影响其活动效率的一种心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展起来的，并在这类活动中主要变现出来的比较稳定的心理特征。从狭义上讲，数学能力即理解为解决数学问题的个性特征。
运算能力：这些运算能力最初表现为对
其知识的理解和技能的形成上，进而体现在根据具体问题的特点，恰当地合理运用运算，与其他各种运算的灵活运用和巧妙的结合上。这也就表现出一种解题的能力，即运算能力。
空间想象能力：在空间形式的问题中，所要研究的是图形的形状，图形的大小，图形与图形的位臵的关系等。在研究过程中，
除直接给出一些基本图形的性质外，总是要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行感知和操作，出现或构造出一些异于所给图形的新图形，并找到新的关系。这又表现出一种解题的能力即空间想象能力。
逻辑思维能力：数学问题的解决是解题
者从感知获得的感性材料出发，通过分析和综合、抽象和概括、判断和推理等逻辑思维方法，去粗取精、去伪取真，由此及彼、由表及里的改造，才上升到理性认识，从而领会和掌握数学的规律和本质。因此，这仍然表现出一种解题的能力，逻辑思维能力这三者之间的关系既相互区别，又相互联系和制约的，所以习惯上把他们概括成数学解题能力的主要成分。
瑞典心理学家魏德林为代表的欧美心
理学家认为组成数学解题能力的因素有：
1. 一般因素G （主要指智力因素）
2. 数因素N （对数概念的理解和应用）
3. 空间因素S （对空间形式的理解、想
象和抽象）
4. 语言因素V （用语言表达数学关系）
5. 推理因素R （运用逻辑思维、形象思
维和直觉思维）
日本的大桥正夫等学者，认为数学解题能力包括以下三个方面：
A 、 数理性的领会能力：具体要求是使
之抽象化，使之数量化和图形化，
使之记号化或形式化。
B 、 概括能力：具体要求是使之扩展，
集中归纳，改变观点和改变条件。
C 、 思维能力：具体要求是有计划按步
骤地进行思考，进行类比或对比，
有根据地进行证明。
苏联心理学家鲁捷茨基：1. 使数学材
料形式化能力2. 概括数学材料的能力3. 用数学和其他符号进行运算能力4. 连续而有节奏的逻辑推理能力5. 缩短推理过程的能力6. 逆转心理过程的能力7. 灵活的思维能力8. 数学记忆能力9. 形成空间概念的能力10. 借助形象化（直观）努力。
我们认为小学数学解题能力是取决
于数学学科和数学活动的个人特性，是小
学生顺利完成解题这种特殊的数学活动时所表现出来的心理品质的综合。概括数学材料、逆转心理过程、灵活性、借助形象化等即是这种心理品质综合体中的具体成分。
二、概括数学材料能力主要表现：1.
在从所给数学材料的形成和结构中，能迅速抓住事物的“数”和“形”，找出或发现具有数学意义的关系与特征2. 正确辨认出或分离出某些对解决问题有效的成分与有数学意义的结构。
概括数学材料，还在于感知题目的形
式结构。所谓题目的形式结构是指构成题目实质的相互关联的量的综合体。
概括数学材料的能力还充分体现在
这样两个方面：一是从特殊的和具体的事物中，概括出某些一般的熟识的教学模式；二是从孤立的和特殊的事物中，概括出未知的数学模式。综合起来也就是从具体内容摆脱出来，并且在各种对象、关系和运算的结构中，概括出相似的、一般的和本质的东西。
克鲁捷茨基认为对数学材料的概括
能力，还应表现在问题的类型上即从不同的题目中发现一般类型，能从较简单的题目过渡到相同类型较复杂的题目，以及怎样吧一种类型从表面上相似的其他类型的题目中区分出来。这样有助于在解决问题时，解题者也就能够迅速概括出所要解决的问题，发现和过去所熟悉的问题的相似之处，从而将解法平移过来。
三、逆转心理的能力：指的是重建一
种心理过程的方向的能力，即不仅取向而且取逆向；不仅从正面而且从反面；不仅从因到果，而且执果索因地进行分析，是问题得以解决。
小学数学解题过程，逆转心理过程还
具体体现在正逆双方面的理解、思考和应用上，这样不仅有利于深入领会概念、公式、法则，而且能达到解题迅速，简捷的目的。
四、灵活性又称变通性：爱因斯坦看
成是创造你的典型特征。在数学解题过程中，灵活性指的是解题思路的灵活转换盒
迅速重组。
从认知心理学的角度看，所谓的灵活
性系指解题途径的多样化，判断其强弱的标准一般是指解题者从一种心理运算到另一种心理运算的轻快平衡和敏捷程度。
灵活性和深刻性。思维深刻的小学生
容易摆脱通常方法的羁绊，灵活自如地考虑问题；而灵活性很强的小学生，也常常能发现一些出乎意料的解题方法，更深刻地认识问题。
五、在小学数学解题中，小学生应努
力完善语言——+逻辑和视觉——形象这两个方面的相互转换，即在一定程度上依靠视觉意象，把数学关系视觉化，对比较抽象的数学系统也作出一种形象的解释，这就是所谓的“借助形象化”的全部内涵。
借助于想象化的根本目的在于从直
观上来理解较为抽象的数学关系，形成再现性想象，从而促进创造性的活动。从其模式（视觉的形象）来看，它和语言——逻辑模式有着不同的特征，但在具体解题过程中，它们是相互联系和作用的，因此，
单纯地强调解题中的视觉——形象化作用则也是片面的。
借助形象化所得到的 数学关系、数学规律、数学形式结构、数学知识系统和推证模式等，比起其他方式来，更能保持记忆。
数学气质有如下的三种类型：
分析型：倾向于用语言——逻辑的词语去思考
几何型：习惯于用视觉——形象的词语去思考
混合型：综合上述两类特征。
数学能力是解决数学问题的一种个体心理特征。
第七章 小学数学研究专题导引
一、数学学科品格：
1. 积极的思维态度：这种不断的抽象
化，一般化和统一化为数学思维的不断升华，提供必要的以及可能的条件，促进数学的发展。
2. 科学的思维方式：（1）是数学通过秩
序、和谐、对称、整齐、简约等形式来
表现与之联系的思维情趣，并在此基础上，形成学习或研究科学以及从事创造性的劳动具体方法。（2）“技术化”向“科学化”的过渡。“技术化”是指只注意具体实用的技巧，而没有形成某种思想，停留在经验和技术层面。而科学化则表现为注重定量分析，注重形式逻辑，注重抽象思维。
3. 强烈的思维内驱动：从数学发展这一
角度来看，思维内驱动主要是由数学内部发展和外部需要相适应而产生的。从数学学习这一角度来看，思维内驱动主要是来源于数学材料与人的认识的矛盾冲突。
4. 密集的脑力当量。某种学科知识总量
为T ，其脑力总付出为R ，这两者之反比，即为单位知识所含有的脑力付出，通称脑力当量C 用公式表示，即C=R/T。
二、数学活动教学观：由于数学本身是一种演绎法与结构法相互矛盾又相互作用的活动过程，所以它的教学就必须还其本来面目，不仅注重演绎法，而且
还设计出一种符合学生的认识规律和数学发展规律的教学过程，这就是数学活动教学观。
数学活动教学可分为这样三个阶段：
1. 具体材料的数学化，即从实际生活
中提取数学模型
2. 数学材料的逻辑组织化，即通过辨
析、归纳、直觉、类比、想象、寻找方向和线索，用逻辑方法吧数学材料组织到逻辑材料体系中去。
3. 数学结论的应用化。即把理解和掌
握结论转变为更加具体的思维，并能同所面临的实际情境相结合，从而创造性地应用结论。
上述阶段其实就是思维活动由
上升性——探索性——再上升性这样一个循环发展过程。
数学活动教学是提高人的素质
的一个有效途径。
它能最大限度地调动学生的积
极性，变被动接收知识为主动地寻求知识，变脱离学生的认识实际为符合
学生的认识规律，通过创设一些引人入胜的问题情境，激发学生的内在的学习动机。
数学活动教学提供了个体探求
和获得知识的过程，使之锻炼了意志，增强了思维能力，领会了数学的基本思想和方法。学生掌握的结论不仅不少，而且得到的思想方法更具有广泛的迁移意义，久而久之，可以使学生从爱学到学会，再到会学。
数学活动教学，因为同现实联系
起来，所以既培养了辩证唯物主义的科学世界观，又发展了人头脑中的数学现实认识。数学来源于现实，寓于现实，用于现实。
小学数学活动教学
现代心理学、教育心理学、数学
教育学的相关研究成果，构成了数学活动及其教学的理论基础。首先，从智力发展理论中的划分来看，小学生处于具体运算和形成运算这两个阶段，已经能从特殊到特殊这种传递性
的推理。逐渐过渡到特殊到一般或一般到特殊这两种不完全归纳和演绎推理：能从具体直观入手，通过语言复述和部分描述，逐渐过渡到经验型的抽象。所以小学数学的教学方法，对此就应该具有依赖性和适应性，就不能是单纯的结论教学，而应该强调多种多样的活动教学。否则就不能激起学生的共鸣，达不到应有的效果。
其次，概念学习理论认为，学习
从广义上讲就是一种概念学习。概念的形成过程，也就是活动的过程，如果注意感性的，具体的描述方法，就一定能够使学生正确理解和掌握概念。所以，对小学生而言，他们学习数学就应该是处理概念——数和量的分类，及他们之间的关系，记忆概念——数和量的表达方式；应用概念——数和量的相互作用。完成这些目标的形成主要是：活动、游戏、寻找共性、表达和符号化。
再次，认识发现理论强调学习不
单纯简单的刺激反应，而且以人的意识为中介的认知过程，所以，学习者是认识的主体。
小学教学活动，就是以学生为主
体，让他们自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法，与步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念和理论。
小学数学活动教学符合小学生
的认识规律，体现了辩证逻辑和形式逻辑的矛盾统一，突出了因材施教与面向全体的和谐统一。但是，也必须注意，小学数学活动教学必须有鲜明的目标性，必须选择最合适学生年龄特征的材料，必须设计合理、经济、有效的活动步骤，也不能照搬学生中心论，更不能吴管理的“放羊式”。
某知识点A 推导出其他知识点的
数目，习惯上称之为知识点A 的“基本度”，用J （A ）表示。
三、小学数学内容的趣味性。旨在以小
学数学系列知识为基础，通过数学游戏，数学图形、数学故事，数学歌谣，以及大量诱人思考的趣题，来激发小学生的学习兴趣，培养他们灵活的思路和分析的技巧，启迪他们的智慧，培养他们的创造性。
趣味化：一方面体现在教材的编辑中；另一方面则表现为趣味数学活动课的内容选择上。
注重以下几点：
1. 趣味化——小学数学趣味化方向的
灵魂
2. 合理性——小学数学趣味化方向的
基础
3. 思想性——小学数学趣味化方向的
保证
4. 创造性——小学数学趣味化方向的
目标
小学趣味活动的内容还应有针对性和连贯性等诸多方面。
四、研究性学习的特点：1. 开放性2. 问题性3. 社会性4. 实践性
研究性学习：就是要求学生激励科学研究的过程，获得亲身体验；了解科学研究的方法，提高解决问题的能力；增强探究和创新的意识，培养科学态度和精神；学习与人沟通和合作，培养社会责任感。
小学数学研究性学习的类型
1. 知识探究型 有效地解决了“是什么”的问题
2. 准学术研究 有效地解决了“为什么”的问题
3. 创新研究型（最高层次）有效地解决了“怎样做的更好”的问题
小学数学研究性学习应该由浅
入深和循序渐进，既不能墨守成规，也不能急功近利。因为研究性学习的主要目的不是要学生取得多大的研究成果，而是希望小学生通过研究性学习的这一手段，受科学思想和科学精神的熏陶，学会一点科学方法，体验科学研究的过程。
五、教育科研是一种运用科学的
方法和手段，有目的、有计划地探索、发现、掌握教育教学规律的认知活动，是一个立足于已知去探求未知的过程。
为了能正确地开展教育科研活
动，教师必须着重学习科学的研究方法、教育统计方法、教育测量、教育评价等有关进行教育科研的基础知识。具备有关科研的相应技能，如教育科学研究的选题，如何确定研究和论证的方法和手段，研究成果的定性与定量分析等。
小学数学论文的撰写：
小学数学科研工作要经过确定
课题、收集资料、制定方案、实施计划、分析效果、撰写论文等步骤。
小学数学论文的组成：标题、摘
要、前言、正文、结论、参考文献等部分组成、
标题：力求简短、明确、质朴、
醒目
摘要：简明扼要、引人入胜、内
容全面、重点突出、且能独立使用。
前言：也称引言或者序言。一般
包括本课题研究 背景或起点，需要研究的问题 研究的方法 手段 研究的意义或价值、
正文：论文的主体，作为表达作
者个人研究成果的部分，所占篇幅较大，有时还必须辅以必要的小标题，应力求概念清晰，论点明确，论证严密，论据充分。
结论：是对正文中所分析论证的
问题加以综合、概括出基本点。这是课题解决的答案。
参考文献：反映左下颌严肃的科
学态度和研究工作的依据，其中包括撰写论文所参考的书籍。
小学数学论文撰写的过程：
1. 选题、选材2. 拟纲、执笔3.
修改、定稿