函数定义域的类型和求法

函数定义域的类型和求法

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数yx22x15的定义域。 |x3|8

解：要使函数有意义，则必须满足

x22x150|x3|80①②

④ ③ 由①解得 x3或x5。 由②解得 x5或x11

③和④求交集得x3且x11或x>5。

故所求函数的定义域为{x|x3且x11}{x|x5}。

例2 求函数ysinx1

x2的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

sinx0216x0①②

③

④ 由①解得2kx2k，kZ 由②解得4x4

由③和④求公共部分，得

4x或0x

](0，] 故函数的定义域为(4，

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b，即为所求的定义域。

例3 已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x21)的定义域。

2解：令2x12，得1x23，即0x23，因此0|x|3，从而

3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。

（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知f(2x1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

22x4，32x15。 解：因为1x2，

即函数f(x)的定义域是{x|3x5}。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数ymx26mxm8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明mx26mx8m0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当m0时，mx26mxm80是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

m02(6m)4m(m8)0

0m1

综上可知0m1。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数f(x)kx7的定义域是R，求实数k的取值范围。 kx24kx3

解：要使函数有意义，则必须kx24kx3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，即kx24kx30无实数

①当k≠0时，16k243k0恒成立，解得0k

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是0k

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x，则另一边长为3； 43。 41(a2x)于是可得矩形面积。 2

11yx(a2x)axx2 22

x21ax。 2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x0x0 1a2x0(a2x)02

0xa。 2

1aax，定义域为（0，）。 222故所求函数的解析式为yx

例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。 因为CD=AB=2x，所以CDx，所以ADLABCDL2xx， 22

L2xxx2

故y2x 22

(2)x2Lx 2

根据实际问题的意义知

2x0L0x L2xx202

故函数的解析式为y(2

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9 已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：

2L)xLx，定义域（0，）。 22

0xa1ax1a，即 0xa1ax1a

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当1a0时，F（x）的定义域为{x|ax1a}； 2

1时，F（x）的定义域为{x|ax1a}； 2（2）当0a

（3）当a

六、隐含型 11或a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。 22

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数ylog2(x22x3)的单调区间。

解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为（－1，3）。

函数ylog2(x22x3)是由函数ylog2t，tx22x3复合而成的。 tx22x3(x1)24，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间(，1]上是增函数；在区间[1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单调增； (1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函数ylog2(x22x3)在区1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。 间(1，

函数定义域的类型和求法

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数yx22x15的定义域。 |x3|8

解：要使函数有意义，则必须满足

x22x150|x3|80①②

④ ③ 由①解得 x3或x5。 由②解得 x5或x11

③和④求交集得x3且x11或x>5。

故所求函数的定义域为{x|x3且x11}{x|x5}。

例2 求函数ysinx1

x2的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

sinx0216x0①②

③

④ 由①解得2kx2k，kZ 由②解得4x4

由③和④求公共部分，得

4x或0x

](0，] 故函数的定义域为(4，

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b，即为所求的定义域。

例3 已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x21)的定义域。

2解：令2x12，得1x23，即0x23，因此0|x|3，从而

3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。

（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知f(2x1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

22x4，32x15。 解：因为1x2，

即函数f(x)的定义域是{x|3x5}。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数ymx26mxm8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明mx26mx8m0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当m0时，mx26mxm80是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

m02(6m)4m(m8)0

0m1

综上可知0m1。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数f(x)kx7的定义域是R，求实数k的取值范围。 kx24kx3

解：要使函数有意义，则必须kx24kx3≠0恒成立，因为f(x)的定义域为R，即kx24kx30无实数

①当k≠0时，16k243k0恒成立，解得0k

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是0k

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x，则另一边长为3； 43。 41(a2x)于是可得矩形面积。 2

11yx(a2x)axx2 22

x21ax。 2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x0x0 1a2x0(a2x)02

0xa。 2

1aax，定义域为（0，）。 222故所求函数的解析式为yx

例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。 因为CD=AB=2x，所以CDx，所以ADLABCDL2xx， 22

L2xxx2

故y2x 22

(2)x2Lx 2

根据实际问题的意义知

2x0L0x L2xx202

故函数的解析式为y(2

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9 已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为［0，1］，即0x1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：

2L)xLx，定义域（0，）。 22

0xa1ax1a，即 0xa1ax1a

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当1a0时，F（x）的定义域为{x|ax1a}； 2

1时，F（x）的定义域为{x|ax1a}； 2（2）当0a

（3）当a

六、隐含型 11或a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。 22

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数ylog2(x22x3)的单调区间。

解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为（－1，3）。

函数ylog2(x22x3)是由函数ylog2t，tx22x3复合而成的。 tx22x3(x1)24，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间(，1]上是增函数；在区间[1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单调增； (1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函数ylog2(x22x3)在区1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。 间(1，