习题
1． 设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为反矢量的矢量： (1) AB , CD ;
(2) AE , CG ;
(3) AC , EG ;
(4) AD , GF ;
(5) BE , CH .
2． 设∆ABC 和∆A ' B ' C ' 分别是三棱台ABC -A ' B ' C ' 的上、下底面，试在矢量AB , BC , CA , A ' B ' , B ' C ' , C ' A ' , AA ' , BB ' , CC ' 中找出共线矢量和共面矢量
。
3． 要使下列各式成立，矢量a , b 应满足什么条件？
(1) |a +b |=|a -b |;
(2) |a +b |=|a |+|b |;
(3) |a +b |=|a |-|b |;
(4) |a -b |=|a |+|b |;(5) |a -b |=|a |-|b |.
4． 已知四边形ABCD 中，AB =a -2c , CD =5a +6b -8c , 对角线AC , BD 的中点分别为E , F ，求EF 。
AB =a +2b , BC =-4a -b , CD =-5a -3b , 证明四边形ABCD 5． 在四边形ABCD 中，
为梯形。
6．
设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明：
OA +OB +OC +OD =4OM 。
用矢量法证明平行四边形对角线互相平分。
7． 知矢量a , b 相互垂直，矢量c 与a , b 的夹角为600，且|a |=1, |b |=2, |c |=3，计算：
(1) (a +b ) 2;
(2) (a +b )(a -b ); (3) (3a -2b )(b -3c );
2
(4) (a +2b -c ) 。
8． 已知矢量a , b , c 两两垂直，且|a |=1, |b |=2, |c |=3，求r =a +b +c 的长和它与a , b , c 的夹角。
9． 已知|a |=2, |b |=5, ∠(a , b ) =
q 垂直。
23
π, p =3a -b , q =λa +17b ，问系数λ取何值时p 与
10． 用矢量法证明：三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距。
已知平行四边形以a ={2, 1, -1}, b ={1, -2, 1}为两边，（1）求它的边长和内角；（2）求它的两对角线的长和夹角。
11． 已知|a |=2, |b |=5, a ⋅b =3，求(1) |a ⨯b |;
2
(3) (a -2b ) ⨯(b -2a ) 。
(2) (a +b ) ⨯(a -b ) ;
[]
2
[]
12．已知a ={2, -3, 1}, b ={1, -2, 3}，求与a , b 都垂直，且满足如下之一条件的矢量c ：
（1）c 为单位矢量；（2）c ⋅d =10，其中d ={2, 1, -7}。 13．已知a ={2, 3, 1}, b ={5, 6, 4}，求（1）以a , b 为边的平行四边形的面积；（2）这平行四边形的两条高的长。
14．已知矢径OA =r 1, OB =r 2, OC =r 3，证明R =(r 1⨯r 2) +(r 2⨯r 3) +(r 3⨯r 1) 垂直于ABC 平面。
15．已知直角坐标些内矢量a , b , c 的分量，判别这些矢量是否共面？若不共面，求出以它们为三邻边的作成的平行六面体的体积。
（1）a {3, 4, 5}, b {1, 2, 2}, c ={9, 14, 16}； （2）a {3, 0, -1}, b {2, -4, 3}, c ={-1, -2, 2}。 16．已知直角坐标些内A , B , C , D 四点坐标，判别它们是否共面？若不共面，求出以它们为顶点的四面体的体积和从顶点D 所引出的高的长。 （1）A (1, 0, 1), B (4, 4, 6), C (2, 2, 3), D (10, 14, 17) ； （2）A (2, 3, 1), B (4, 1, -2), C (6, 3, 7), D (-5, 4, 8) 。
17． 一直线上三点A , B , P 满足AP =λPB (λ≠-1), O 是空间任意一点，求证：OP =
OA +λOB 1+λ
。
18． 在∆ABC 中，设AB =e 1, AC =e 2。
（1）设D , E 是边BC 的三等分点，将矢量AD , AE 分解为e 1, e 2的线性组合； （2）设AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），将矢量AT 分解为e 1, e 2的线性组
合。
19． 用矢量法证明以下各题：
（1）三角形三中线共点；（2）P 是∆ABC 重心的充要条件是PA +PB +PC =0。 20． 证明三个矢量a =-e 1+3e 2+2e 3, b =4e 1-6e 2+2e 3, c =-3e 1+12e 2+11e 3共面，
其中a 能否用b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式。
21． 证明三个矢量λa -μb , μb -νc , νc -λa 共面。
22． 在平行六面体ABCD -EFGH 中，平行四边形CGHD
的中心为P ，并设
试求矢量BP , EP 关于标架A ; e 1, e 2, e 3的分量，以及∆BEP AB =e 1, AD =e 2, AE =e 3，
{}
23．在空间直角坐标系{O ; i , j , k }下，设点P(2,-3,-1) ， M(a ,b ,c )，求这二点关于（1）坐
三顶点及其重心关于A ; e 1, e 2, e 3的坐标。
{
标平面，（2）坐标轴，（3）坐标原点的各个对称点的坐标。
24． 已知A , B , C 三点坐标如下：（1）在标架O ; e , e 下，A (0, 1), B (2, -2), C (-2, 4) ；
12
（2）在标架O ; e 1, e 2, e 3下，A (0, 1, 0), B (-1, 0, 2), C (-2, 3, 4) 。判别它们是否共线？若共线，写出AB , AC 的线性关系式。
25．已知矢量a , b , c 的分量如下：（1）a ={0, -1, 2}, b ={0, 2, 4}, c ={1, 2, -1}；
（2）a ={1, 2, 3}, b ={2, -1, 0}, c ={0, 5, 6}。判别它们是否共面？能否将c 表示成a , b 的
线性组合？若能表示，写出表示式。 26．已知线段AB 被点C (2, 0, 2) 和D (5, -2, 0) 三等分，求这个线段两端点A , B 的坐标。
27． 已知矢量AB 与单位矢量e 的夹角为150
e
{}
{}
，且|AB |=10，求射影矢量e AB 与
Pr j AB 。又若r =-e ，求射影矢量r AB 与Pr j AB 。
r
习题
1． 设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为反矢量的矢量： (1) AB , CD ;
(2) AE , CG ;
(3) AC , EG ;
(4) AD , GF ;
(5) BE , CH .
2． 设∆ABC 和∆A ' B ' C ' 分别是三棱台ABC -A ' B ' C ' 的上、下底面，试在矢量AB , BC , CA , A ' B ' , B ' C ' , C ' A ' , AA ' , BB ' , CC ' 中找出共线矢量和共面矢量
。
3． 要使下列各式成立，矢量a , b 应满足什么条件？
(1) |a +b |=|a -b |;
(2) |a +b |=|a |+|b |;
(3) |a +b |=|a |-|b |;
(4) |a -b |=|a |+|b |;(5) |a -b |=|a |-|b |.
4． 已知四边形ABCD 中，AB =a -2c , CD =5a +6b -8c , 对角线AC , BD 的中点分别为E , F ，求EF 。
AB =a +2b , BC =-4a -b , CD =-5a -3b , 证明四边形ABCD 5． 在四边形ABCD 中，
为梯形。
6．
设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明：
OA +OB +OC +OD =4OM 。
用矢量法证明平行四边形对角线互相平分。
7． 知矢量a , b 相互垂直，矢量c 与a , b 的夹角为600，且|a |=1, |b |=2, |c |=3，计算：
(1) (a +b ) 2;
(2) (a +b )(a -b ); (3) (3a -2b )(b -3c );
2
(4) (a +2b -c ) 。
8． 已知矢量a , b , c 两两垂直，且|a |=1, |b |=2, |c |=3，求r =a +b +c 的长和它与a , b , c 的夹角。
9． 已知|a |=2, |b |=5, ∠(a , b ) =
q 垂直。
23
π, p =3a -b , q =λa +17b ，问系数λ取何值时p 与
10． 用矢量法证明：三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距。
已知平行四边形以a ={2, 1, -1}, b ={1, -2, 1}为两边，（1）求它的边长和内角；（2）求它的两对角线的长和夹角。
11． 已知|a |=2, |b |=5, a ⋅b =3，求(1) |a ⨯b |;
2
(3) (a -2b ) ⨯(b -2a ) 。
(2) (a +b ) ⨯(a -b ) ;
[]
2
[]
12．已知a ={2, -3, 1}, b ={1, -2, 3}，求与a , b 都垂直，且满足如下之一条件的矢量c ：
（1）c 为单位矢量；（2）c ⋅d =10，其中d ={2, 1, -7}。 13．已知a ={2, 3, 1}, b ={5, 6, 4}，求（1）以a , b 为边的平行四边形的面积；（2）这平行四边形的两条高的长。
14．已知矢径OA =r 1, OB =r 2, OC =r 3，证明R =(r 1⨯r 2) +(r 2⨯r 3) +(r 3⨯r 1) 垂直于ABC 平面。
15．已知直角坐标些内矢量a , b , c 的分量，判别这些矢量是否共面？若不共面，求出以它们为三邻边的作成的平行六面体的体积。
（1）a {3, 4, 5}, b {1, 2, 2}, c ={9, 14, 16}； （2）a {3, 0, -1}, b {2, -4, 3}, c ={-1, -2, 2}。 16．已知直角坐标些内A , B , C , D 四点坐标，判别它们是否共面？若不共面，求出以它们为顶点的四面体的体积和从顶点D 所引出的高的长。 （1）A (1, 0, 1), B (4, 4, 6), C (2, 2, 3), D (10, 14, 17) ； （2）A (2, 3, 1), B (4, 1, -2), C (6, 3, 7), D (-5, 4, 8) 。
17． 一直线上三点A , B , P 满足AP =λPB (λ≠-1), O 是空间任意一点，求证：OP =
OA +λOB 1+λ
。
18． 在∆ABC 中，设AB =e 1, AC =e 2。
（1）设D , E 是边BC 的三等分点，将矢量AD , AE 分解为e 1, e 2的线性组合； （2）设AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），将矢量AT 分解为e 1, e 2的线性组
合。
19． 用矢量法证明以下各题：
（1）三角形三中线共点；（2）P 是∆ABC 重心的充要条件是PA +PB +PC =0。 20． 证明三个矢量a =-e 1+3e 2+2e 3, b =4e 1-6e 2+2e 3, c =-3e 1+12e 2+11e 3共面，
其中a 能否用b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式。
21． 证明三个矢量λa -μb , μb -νc , νc -λa 共面。
22． 在平行六面体ABCD -EFGH 中，平行四边形CGHD
的中心为P ，并设
试求矢量BP , EP 关于标架A ; e 1, e 2, e 3的分量，以及∆BEP AB =e 1, AD =e 2, AE =e 3，
{}
23．在空间直角坐标系{O ; i , j , k }下，设点P(2,-3,-1) ， M(a ,b ,c )，求这二点关于（1）坐
三顶点及其重心关于A ; e 1, e 2, e 3的坐标。
{
标平面，（2）坐标轴，（3）坐标原点的各个对称点的坐标。
24． 已知A , B , C 三点坐标如下：（1）在标架O ; e , e 下，A (0, 1), B (2, -2), C (-2, 4) ；
12
（2）在标架O ; e 1, e 2, e 3下，A (0, 1, 0), B (-1, 0, 2), C (-2, 3, 4) 。判别它们是否共线？若共线，写出AB , AC 的线性关系式。
25．已知矢量a , b , c 的分量如下：（1）a ={0, -1, 2}, b ={0, 2, 4}, c ={1, 2, -1}；
（2）a ={1, 2, 3}, b ={2, -1, 0}, c ={0, 5, 6}。判别它们是否共面？能否将c 表示成a , b 的
线性组合？若能表示，写出表示式。 26．已知线段AB 被点C (2, 0, 2) 和D (5, -2, 0) 三等分，求这个线段两端点A , B 的坐标。
27． 已知矢量AB 与单位矢量e 的夹角为150
e
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，且|AB |=10，求射影矢量e AB 与
Pr j AB 。又若r =-e ，求射影矢量r AB 与Pr j AB 。
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