高考文科数学复习 极坐标和参数方程
一、极坐标、参数方程
【知识点1】极坐标
（1）极坐标和直角坐标的转化：⎨（2）常见的直线极坐标方程：
第一种：ρcos θ=1（⇒x =1），或者θ=
⎧x =ρcos θy
，ρ2=x 2+y 2，tan θ=
x ⎩y =ρsin θ
π
2
（⇒x =0）
第二种：ρsin θ=1（⇒y =1），或者θ=0（⇒y =0） 第三种：θ=
π
3
(ρ∈R),0
π
2
（⇒y =tan θ⋅x ）
（3）常见的圆极坐标方程 第一种：ρ=1（⇒x 2+y 2=1）
第二种：ρ=2cos θ（⇒x 2+y 2=2x ），或者ρ=2sin θ（⇒x 2+(y -1) 2=1） 第三种：ρ=2ρcos θ+4ρsin θ+11（⇒(x -1) +(y -2) =16）， 或者ρ=2ρcos θ+3（⇒(x -1) +y =4）
【知识点2】伸缩变换
点P (x , y ) 经过伸缩变换φ得到点P '(x ', y ')
2
2
2
2
2
2
⎧x '=-2x ⎪
例1：如直线l :2x +y =1通过伸缩变换 φ:⎨1，得到直线l ':-x '+3y '=1
'y =y ⎪3⎩
【解】将x =-
11
x ', y =3y '代入2x +y =1，得到2⋅(-x ') +3y '=1，即-x '+3y '=1 22
2
2
⎧x '=x y '22
=1 例2：如圆C :x +y =1通过伸缩变换 φ:⎨，得到椭圆C ':x '+
'4⎩y =2y
1y '2y '⎫⎛2222
=1 【解】将x =x ', y =y '代入x +y =1，得到x '+ ⎪=1，即x '+
24⎝2⎭
*例3：如直线l :2x +y =1通过伸缩变换 φ得到直线l ':2x '-3y '=4，求φ
2
【解】先将常数项化成相同，2x '-3y '=4化成
13
x '-y '=1 24
⎧1'
x =2x ⎧2x +y =1⎧x '=4x ⎪⎪2⎪⎪
对比⎨1，得到，即：φ⎨34 ⎨
''3'x -y =1y =-y ⎪-y '=y ⎪⎪⎩243⎩⎪⎩4
【知识点3】参数方程
一般地, 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x , y 都是某个变数t 的函数⎨
⎧x =f (t )
①,
⎩y =g (t )
并且对于t 的每一个允许值, 由方程组①所确定的点M (x , y ) 都在这条曲线上, 那么方程①就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x , y 的变数t 叫做参变数, 简称参数, 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. *常见的参数方程： （1） 直线：⎨
⎧x =1+2t
(t 为参数)
y =-3-t ⎩
（2） 圆：⎨
⎧x =r cos θ⎧x =a +r cos θ
或(θ为参数) ⎨(θ为参数)
⎩y =r sin θ⎩y =b +r sin θ
⎧x =a cos ϕ⎧x =b cos ϕ
(ϕ为参数) 或⎨(ϕ为参数) ，通常规定参数ϕ范围为ϕ∈[0，2π）
⎩y =b sin ϕ⎩y =a sin ϕ
（3） 椭圆：⎨
⎧x =2pt 2
(t 为参数) （4） 抛物线：⎨
⎩y =2pt
【知识点4】两点距离、点到直线的距离公式 ①两点距离：
已知A (x 1, y 1), B (x 2, y
2) ，有|AB |=
②点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离公式
d =
二、椭圆、双曲线和抛物线
【知识点1】椭圆方程
①定义：到两个定点（焦点）的距离（2c ）之和等于定长（2a , a >c >0）的点的轨迹是椭圆. 设a 为长半轴，b 为短半轴，c 为焦距，满足a =b +c . ②椭圆方程分为：
2
2
2
x 2y 2
（i ）焦点在x 轴上，2+2=1，，焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ；
a b x 2y 2
（ii ）焦点在y 轴上，2+2=1，，焦点F 1(0,-c ), F 2(0,c ) .
b a
③离心率e
0
c
④准线方程 x =
【知识点2】双曲线方程
①定义：到两个定点（焦点）的距离（2c ）之差的绝对值等于定长（2a ,0
设a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为焦距，满足c =a +b . ②双曲线方程分为：
2
2
2
x 2y 2
（i ）焦点在x 轴上，2-2=1，焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ；
a b y 2x 2
（ii ）焦点在y 轴上，2-2=1，，焦点F 1(0,-c ), F 2(0,c ) .
a b
③离心率e
e =
c >1 a
④两条渐近线
焦点在x 轴上，渐进线方程为y =±
b a x ；焦点在y 轴上，渐进线方程为y =±x . a b
y
a a
【知识点3】抛物线方程
①定义：到一个定点（焦点）的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线. ②抛物线方程分为：
x
p p ,0) ，准线方程x =-； 22p p
（ii ）焦点在y 轴上，x 2=2py ，焦点F (0,) ，准线方程
y =-.
2（i ）焦点在x 轴上，y 2=2px ，焦点F (
高考题型练习
第一部分
一、极坐标、参数方程
23. （2015全国卷I ，10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2，圆C 2:(x -1) 2+(y -2) 2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 1, C 2的极坐标方程； （2）若直线C 3的极坐标方程为θ=
23. （2014全国卷II ，10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C :ρ=2cos θ, θ∈[0,（1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 点处
的切线与直线l :y =+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
π
4
(ρ∈R ) ，设C 2与C 3的交点为M , N ，求∆C 2MN 的面积.
π
2
]
23. （10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C
1的参数方程为⎨
⎧⎪x =α
（α为参数），以坐标原点为极
⎪⎩y =sin α
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2的极坐标方程为ρsin(θ+（1）求C 1和C 2的直角坐标方程；
π
4
) =（2）设点P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.
23. （10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐
⎧⎪x =t
标方程为ρ=θ+) ，直线l
的参数方程为⎨（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，
4⎪⎩y =-1+π
B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点.
（1）求圆心的极坐标；
（2）求∆PAB 面积的最大值.
第二部分
一、椭圆
x 2y 2x 2y 2
+=1, C 2:+=1，则（ ） （1）已知椭圆C 1:
124168
A ．C 1与C 2的顶点相同 B ．C 1与C 2的长轴长相同 C. C 1与C 2的短轴长相同 D. C 1与C 2的焦距相同 （2）椭圆2x 2+y 2=16的离心率为（ ） A ．
11
B ．
32
C.
D. 2
1
，则C 的方程是（ ） 2
（3）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于
x 2y 2x 22
+=1 B
．A ．=1 344x 2y 2x 2y 2+=1 D. +=1 C. 4243
x 2y 2
+=1上的一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，（4）已知椭圆则点P 到另一个焦点的距离为（ ） 2516
A ．2 B ．3 C. 5 D. 7
x 2y 2
+=1的两个焦点，（5）已知F 1, F 2是椭圆过F 若|F 2A |+|F 2B |=12，1的直线交椭圆与A , B 两点，259
则|AB |=
二、双曲线
（1）双曲线2x -y =8的实轴长是（ ）
A ．2 B
． C. 4
D.
2
2
x 2y 2
=1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于（ ） （2）已知双曲线2-
a 5
A
．
34 B
． C. D.
144
2（3）双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．
12 B
．2
C. 1
D. ）若双曲线x 2y 2
（4a 2-b
2=1的一条渐进线经过点(3,-4) ，则此双曲线的离心率为（ ）A
B ．54 C. 453 D. 3
三、抛物线 （1）抛物线y =-14
x 2
的准线方程为（ ） A ．x =
1
16
B ．x =1 C. y =1 （2）设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ A ．4 B ．6 C. 8 D. 12 （3）以直线y =x -4与x 轴的交点为焦点的抛物线的方程为（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=-16x C. y 2=12x D. y 2=-12x （4）过点P (-2,3) 的抛物线的标准方程是（ ）
A ．y 2
=-
92x 或x 2=43y B ．y 2=92x 或x 2=4
3y C. y 2=92x 或x 2=-43y D. y 2=-92
42x 或x =3
y
3D. y =2）
高考文科数学复习 极坐标和参数方程
一、极坐标、参数方程
【知识点1】极坐标
（1）极坐标和直角坐标的转化：⎨（2）常见的直线极坐标方程：
第一种：ρcos θ=1（⇒x =1），或者θ=
⎧x =ρcos θy
，ρ2=x 2+y 2，tan θ=
x ⎩y =ρsin θ
π
2
（⇒x =0）
第二种：ρsin θ=1（⇒y =1），或者θ=0（⇒y =0） 第三种：θ=
π
3
(ρ∈R),0
π
2
（⇒y =tan θ⋅x ）
（3）常见的圆极坐标方程 第一种：ρ=1（⇒x 2+y 2=1）
第二种：ρ=2cos θ（⇒x 2+y 2=2x ），或者ρ=2sin θ（⇒x 2+(y -1) 2=1） 第三种：ρ=2ρcos θ+4ρsin θ+11（⇒(x -1) +(y -2) =16）， 或者ρ=2ρcos θ+3（⇒(x -1) +y =4）
【知识点2】伸缩变换
点P (x , y ) 经过伸缩变换φ得到点P '(x ', y ')
2
2
2
2
2
2
⎧x '=-2x ⎪
例1：如直线l :2x +y =1通过伸缩变换 φ:⎨1，得到直线l ':-x '+3y '=1
'y =y ⎪3⎩
【解】将x =-
11
x ', y =3y '代入2x +y =1，得到2⋅(-x ') +3y '=1，即-x '+3y '=1 22
2
2
⎧x '=x y '22
=1 例2：如圆C :x +y =1通过伸缩变换 φ:⎨，得到椭圆C ':x '+
'4⎩y =2y
1y '2y '⎫⎛2222
=1 【解】将x =x ', y =y '代入x +y =1，得到x '+ ⎪=1，即x '+
24⎝2⎭
*例3：如直线l :2x +y =1通过伸缩变换 φ得到直线l ':2x '-3y '=4，求φ
2
【解】先将常数项化成相同，2x '-3y '=4化成
13
x '-y '=1 24
⎧1'
x =2x ⎧2x +y =1⎧x '=4x ⎪⎪2⎪⎪
对比⎨1，得到，即：φ⎨34 ⎨
''3'x -y =1y =-y ⎪-y '=y ⎪⎪⎩243⎩⎪⎩4
【知识点3】参数方程
一般地, 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标x , y 都是某个变数t 的函数⎨
⎧x =f (t )
①,
⎩y =g (t )
并且对于t 的每一个允许值, 由方程组①所确定的点M (x , y ) 都在这条曲线上, 那么方程①就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x , y 的变数t 叫做参变数, 简称参数, 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. *常见的参数方程： （1） 直线：⎨
⎧x =1+2t
(t 为参数)
y =-3-t ⎩
（2） 圆：⎨
⎧x =r cos θ⎧x =a +r cos θ
或(θ为参数) ⎨(θ为参数)
⎩y =r sin θ⎩y =b +r sin θ
⎧x =a cos ϕ⎧x =b cos ϕ
(ϕ为参数) 或⎨(ϕ为参数) ，通常规定参数ϕ范围为ϕ∈[0，2π）
⎩y =b sin ϕ⎩y =a sin ϕ
（3） 椭圆：⎨
⎧x =2pt 2
(t 为参数) （4） 抛物线：⎨
⎩y =2pt
【知识点4】两点距离、点到直线的距离公式 ①两点距离：
已知A (x 1, y 1), B (x 2, y
2) ，有|AB |=
②点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离公式
d =
二、椭圆、双曲线和抛物线
【知识点1】椭圆方程
①定义：到两个定点（焦点）的距离（2c ）之和等于定长（2a , a >c >0）的点的轨迹是椭圆. 设a 为长半轴，b 为短半轴，c 为焦距，满足a =b +c . ②椭圆方程分为：
2
2
2
x 2y 2
（i ）焦点在x 轴上，2+2=1，，焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ；
a b x 2y 2
（ii ）焦点在y 轴上，2+2=1，，焦点F 1(0,-c ), F 2(0,c ) .
b a
③离心率e
0
c
④准线方程 x =
【知识点2】双曲线方程
①定义：到两个定点（焦点）的距离（2c ）之差的绝对值等于定长（2a ,0
设a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为焦距，满足c =a +b . ②双曲线方程分为：
2
2
2
x 2y 2
（i ）焦点在x 轴上，2-2=1，焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ；
a b y 2x 2
（ii ）焦点在y 轴上，2-2=1，，焦点F 1(0,-c ), F 2(0,c ) .
a b
③离心率e
e =
c >1 a
④两条渐近线
焦点在x 轴上，渐进线方程为y =±
b a x ；焦点在y 轴上，渐进线方程为y =±x . a b
y
a a
【知识点3】抛物线方程
①定义：到一个定点（焦点）的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线. ②抛物线方程分为：
x
p p ,0) ，准线方程x =-； 22p p
（ii ）焦点在y 轴上，x 2=2py ，焦点F (0,) ，准线方程
y =-.
2（i ）焦点在x 轴上，y 2=2px ，焦点F (
高考题型练习
第一部分
一、极坐标、参数方程
23. （2015全国卷I ，10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1:x =-2，圆C 2:(x -1) 2+(y -2) 2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 1, C 2的极坐标方程； （2）若直线C 3的极坐标方程为θ=
23. （2014全国卷II ，10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C :ρ=2cos θ, θ∈[0,（1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 点处
的切线与直线l :y =+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
π
4
(ρ∈R ) ，设C 2与C 3的交点为M , N ，求∆C 2MN 的面积.
π
2
]
23. （10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C
1的参数方程为⎨
⎧⎪x =α
（α为参数），以坐标原点为极
⎪⎩y =sin α
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2的极坐标方程为ρsin(θ+（1）求C 1和C 2的直角坐标方程；
π
4
) =（2）设点P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.
23. （10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐
⎧⎪x =t
标方程为ρ=θ+) ，直线l
的参数方程为⎨（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，
4⎪⎩y =-1+π
B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点.
（1）求圆心的极坐标；
（2）求∆PAB 面积的最大值.
第二部分
一、椭圆
x 2y 2x 2y 2
+=1, C 2:+=1，则（ ） （1）已知椭圆C 1:
124168
A ．C 1与C 2的顶点相同 B ．C 1与C 2的长轴长相同 C. C 1与C 2的短轴长相同 D. C 1与C 2的焦距相同 （2）椭圆2x 2+y 2=16的离心率为（ ） A ．
11
B ．
32
C.
D. 2
1
，则C 的方程是（ ） 2
（3）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于
x 2y 2x 22
+=1 B
．A ．=1 344x 2y 2x 2y 2+=1 D. +=1 C. 4243
x 2y 2
+=1上的一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，（4）已知椭圆则点P 到另一个焦点的距离为（ ） 2516
A ．2 B ．3 C. 5 D. 7
x 2y 2
+=1的两个焦点，（5）已知F 1, F 2是椭圆过F 若|F 2A |+|F 2B |=12，1的直线交椭圆与A , B 两点，259
则|AB |=
二、双曲线
（1）双曲线2x -y =8的实轴长是（ ）
A ．2 B
． C. 4
D.
2
2
x 2y 2
=1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于（ ） （2）已知双曲线2-
a 5
A
．
34 B
． C. D.
144
2（3）双曲线x 2-y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A ．
12 B
．2
C. 1
D. ）若双曲线x 2y 2
（4a 2-b
2=1的一条渐进线经过点(3,-4) ，则此双曲线的离心率为（ ）A
B ．54 C. 453 D. 3
三、抛物线 （1）抛物线y =-14
x 2
的准线方程为（ ） A ．x =
1
16
B ．x =1 C. y =1 （2）设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ A ．4 B ．6 C. 8 D. 12 （3）以直线y =x -4与x 轴的交点为焦点的抛物线的方程为（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=-16x C. y 2=12x D. y 2=-12x （4）过点P (-2,3) 的抛物线的标准方程是（ ）
A ．y 2
=-
92x 或x 2=43y B ．y 2=92x 或x 2=4
3y C. y 2=92x 或x 2=-43y D. y 2=-92
42x 或x =3
y
3D. y =2）